Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 4: Khảo sát tính ổn định của hệ thống

BÀI GIẢNG LÝ THIẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Thạc sĩ VÕ VĂN ĐỊNH NĂM 2009 CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4.1 Khái niệm về ổn định 4.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 4.3 Phương pháp quỷ đạo nghiệm số 4.4 Tiêu chuẩn ổn định tần số 4.1.1 Định nghĩa 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Hệ thống được gọi là ở trạng thái ổn định, nếu với tín hiệu vào bị chặn thì đáp ứng của hệ thống cũng bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu đầu tiên của hệ thống ĐKTĐ là hệ thống phải giữ được trạng thái ổn định khi chịu tác động của tín hiệu vào và chịu ảnh hưởng của nhiễu lên hệ thống. Hệ phi tuyến có thể ổn định trng phạm vi hẹp khi độ lệch ban đầu nhỏ và không ổn định trong phạm vi rộng nếu độ lệch ban đầu là lớn. 4.1.1 Định nghĩa 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Đối với hệ tuyến tính đặc tính của quá trình quá độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích. Tính ổn định của hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại và giá trị của tín hiệu vào và trong hệ tuyến tính chỉ tồn tại một trạng thái cân bằng. Phân biệt ba trạng thái cân bằng: - Biên giới ổn định - ổn định - và không ổn định 4.1.1 Định nghĩa 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Trên hình vẽ ta thấy nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân bằng của quả cầu, chẳn hạn cho nó một vận tốc nhỏ ban đầu đủ bé thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới vị trí a, hoặc sẽ dao động quanh vị trí cân bằng vị trí b và vị trí d, hoặc sẽ không về trạng thái ban đầu vị trí c. Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân bằng ở biên giới ổn định, trường hợp sau là ổn định trường hợp thứ ba là không ổn định. c a b d 4.1.1 Định nghĩa 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Cũng ở vị trí b và vị trí d, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu lớn thì cũng sẽ không trở vể trạng thái ban đầu được - hai trạng thái b và d chỉ ổn định trong phạm vi hẹp mà không ổn định trong phạm vi rộng. c a b d Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn định được giới hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những hệ thống mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng. 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng phương trình vi phân dạng tổng quát: (4.1) )( )( ... )()( )( )( ... )()( 11 1 10 11 1 10 trb dt tdr b dt trd b dt trd b tca dt tdc a dt tcd a dt tcd a mmm m m m nnn n n n       (4.2) )( )( ... ... )( )( )( 1 1 10 1 1 10 sA sB asasasa bsbsbsb sR sC sG nn nn mm mm         Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là r(t) và tính hiệu ra c(t). Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1) có dạng: 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Nghiệm của (4.1) gồm hai thành phần: (4.3) )()()( 0 tctctc qđ Trong đó: - c0(t) : là nghiệm riêng của (4.1) có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập - cqđ (t) : là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc trưng cho quá trình quá độ. 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Dạng nghiệm đặc trưng cho quá trình quá độ trong hệ thống: (4.4) )( 1    n i tp iqđ ietc  Trong đó pi là nghiệm của phương trình đặc tính: (4.5) 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA pi có thể là nghiệm thực cũng có thể là nghiệm phức liên hợp và được gọi là nghiệm cực của hệ thống. Đa thức mẫu số hàm truyền đạt là A(s) bậc n do đó hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, , n 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Zero là nghiệm của phương trinh B(s) = 0. Tử số hàm truyền đạt G(s) là đa thức bậc m (m < n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, , m. Hệ thống ổn định nếu: (4.6) 0)(lim   tcqđ t Hệ thống không ổn định nếu: (4.7) )(lim   tcqđ t 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Trong phương trình (4.4) hệ số i là hằng số phụ thuộc vào thông số của hệ và trạng thái ban đầu. Nghiệm cực pi được viết dưới dạng: (4.8) iii jp             i ii t tp i t tMe e i i     )cos(2 0 lim Nếu i < 0 Hệ ổn định Nếu i = 0 Nếu i > 0 Hệ không ổn định nếu pi là nghiệm phức nếu pi là nghiệm thực (Hệ ở biên giới ổn định) 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức số: 1. Phần thực của nghiệm cực dương i > 0 2. Phần thực của nghiệm cực dương bằng 0 3. Phần thực của nghiệm cực âm i < 0 Mặt phẳng S Re Im 0 Phân bố cực trên mặt phẳng S 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Ổn định của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nhiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt là A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng của hệ thống. 1 – Hệ thống ổn định nếu tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều có phần thực âm: Re[pi] < 0, i < 0 các nghiệm nằm bê trái mặt phẳng phức: 2 – Hệ thống không ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) còn lại là các nghiệm đều có phần thực âm (nghiệm trái) Kết luận: (4.9) 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 3 – Hệ thống ở biên giới ổn định nếu có dù chỉ là một nghiệm có phần thực bằng không còn lại là các nghiệm có phần thực âm (một nghiệm hoặc một cặp nghiệm phức liên hợp nằm trên trục ảo). Vùng ổn định của hệ thống là nửa trái mặt phẳng phức số S. Đáp ứng quá độ có thể do động hoặc không dao động tương ứng với nghiệm của phương trình đặc tính là nghiệm phức hay nghiệm thực. 4.1.2 Ổn định của hệ thống tuyến tính 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH Tất cả các phương pháp khảo sát ổn định đều xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo một các nào đó. Tổng quát, ba cách đánh giá sau đây thường được dùng để xét ổn định: 1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz. 2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikailov - Nyquist - Bode. 3- Phương pháp chia miền ổn định và phương pháp quỷ đạo nghiệm số. 4.2.1 Điều kiện cần 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Điều kiện cần để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số của phương trình đặc trưng phải khác 0 và cùng dấu. Ví dụ: hệ thống có phương trình đặc trưng: 0123 23  sss không ổn định 0352 24  sss không ổn định 01254 234  ssss chưa kết luận được 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA Muốn xét tính ổn định tính ổn định của hệ thống thei tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo quy tắc: - Bảng Routh có (n + 1) hàng. - Hàng 1 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số chẵn. - Hàng 2 của bảng Routh gồm các hệ số có chỉ số lẽ. - Phần ở hàng i cột j của bảng Routh (i > 3) được tính theo công thức: 1,11,2 .   jiijiij ccc  1,1 1,2   i i i c c Với 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Bảng Routh: sn c11= a0 c12=a2 c13=a4 c14=a6 - sn-1 c21=a1 c22=a3 c23=a5 c24=a7 - sn-2 c31=c12-3c22 c32=c13-3c23 c33=c14-3c24 c34=c15-3c25 - sn-3 c41=c22-4c32 c42=c23-4c33 c43=c24-4c34 c44=c25-4c35 - - - - - - - - s0 cn1=cn-2,2-ncn-1,2 11 3 21 c c   21 4 31 c c   2 ,1 1,1 n n n c c     4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Phát biểu tiêu chuẩn Routh Điều kiện cần và đủ để tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức là tất cả các phần tử nằm ở cột 1 của bảng Routh đều dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 của bảng Routh bằng số nghiệm nằm bên phải mặc phẳng phức. 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Ví dụ 1: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 01254 234  ssss s4 1 5 1 S3 4 2 0 S2 1 S1 0 S0 1 Giải: Bảng Routh 3 1 4   4 8 9   5 81 20   1 9 5 2 4 2   8 10 2 1 9 9   4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Vì tất cả các phần tử cột 1 bảng Routh đều dương nên tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng đều nằm bên trái mặt phẳng phức, do đó hệ thống ổn định. 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Ví dụ 2: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có sơ đồ khối như sau: G(s) R(s) H(s) C(s) )5)(3( 50 )( 2   ssss sG 2 1 )(   s sH 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0)()(1  sHsG 0 )2( 1 . )5)(3( 50 1 2    sssss 050)2)(5)(3( 2  sssss 0503031166 2345  sssss 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Bảng Routh: s5 1 16 30 s4 6 31 50 S3 0 S2 50 S1 0 S0 50 3 1 6   4 6 10,83   5 10,83 18, 99   1 16 31 10,83 6   Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính đều có 2 nghiệm nằm bên phải mặt phằng phức, do đó hệ thống không ổn định. 1 30 50 21, 67 6   6 31 21, 67 18, 99 10,83   10,83 21, 67 50 6,84 18, 99    0503031166 2345  sssss 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Ví dụ 3: Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình vẽ. Hãy xác định điều kiện của K để hệ thống ổn định. G(s) R(s) C(s) )2)(1( )( 2   ssss K sG 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Giải : Phương trình đặc trưng của hệ thống là: 0)(1  sG 0 )2)(1( 1 2    ssss K 0)2)(1( 2  Kssss 0233 234  Kssss 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Bảng Routh: s4 1 3 K S3 3 2 0 S2 K S1 0 S0 K 3 1 3   4 9 7   1 7 3 2 3 3   9 2 7 K 0233 234  Kssss 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Điều kiện để hệ thống ổn định: 9 2 0 14 07 9 0 K K K         Các trường hợp đặc biệt: Trường hợp 1: nếu có hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0 thì ta thay hệ số bằng 0 ở cột 1 bởi số dương, nhỏ tùy ý, sau đó quá trình tính toán được tiếp tục. 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Ví dụ 4: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 03842 234  ssss s4 1 4 3 s3 2 8 0 s2 3  s2  >0 3 s1 0 s0 3 Giải: Bảng Routh 3 1 2   4 2    1 4 8 0 2   2 8 3 0    4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Vì các hệ số ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính của hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, do đó hệ thống không ổn định. Trường hợp 2: nếu tất cả các hệ số của hàng nào đó bằng 0: - Thành lập đa thức phụ từ các hệ số của hàm trước hàng có tất cả các hệ số bằng 0, gọi đa thức đó là Ap(s). -Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có các hệ số chính là các hệ số của . Sau đó quá trình tính toán tiếp tục. Chú ý: nghiệm của đa thức Ap(s) cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng. ( )pdA s ds 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Ví dụ 5: Hãy xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng là: 047884 2345  sssss Xác định số nghiệm của phương trình đặc trưng nằm bên trái, phải hay trên trục ảo của của mặt phẳng phức? 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ s5 1 8 7 s4 4 8 4 s3 s2 4 s1 0  s1 8 0 S0 Giải: Bảng Routh 3 1 4   4 4 6   1 8 8 6 4   6 6 4 0 4  5 6 4   5 4 8   4 8 6 4 6   1 7 4 6 4   4 3 0 3 8   047884 2345  sssss 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Đa thức phụ: 08 )( 44)( 2  s ds sdA ssA p p Nghiệm của đa thức phụ cũng chính là nghiệm của phương trình đặc trưng: jsssAp  044)( 2 Kết luận: - Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức. - Phương trình đặc trưng có hai nghiệm nằm trên trục ảo. - Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức là 5 - 2 = 3.  Hệ thống ở biên giới ổn định. 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Cho hệ thống có phương trình đặc trưng: 0...)( 1 1 10    nn nn asasasasA Muốn xét tính ổn định của hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo quy tắc: - Ma trận Hurwitz là ma trận vuông cấp n n - Đường chéo ma trận Hurwitz là các hệ số từ a1 đến an. - Hàng lẽ của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số lẽ theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ                     na aaa aaa aaaa aaaa       0 00 00 0 0 420 531 6420 7531 - Hàng chẵn của ma trận Hurwitz gồm các hệ số chỉ số chẵn theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu ở bên trái đường chéo. 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương. Ví dụ 6: Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng là 0234 23  sss Hỏi hệ thống có ổn định không? Giải: Ma trận Hurwitz:                      240 031 024 0 0 0 31 20 31 aa aa aa 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ Các định thức: 111  a 102134 31 24 20 31 2              aa aa 20102 31 24 2 0 0 0 20 31 3 31 20 31 3                         aa aa a aa aa aa Vì tất cả các định thức con chứa đường chéo của ma trận Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn định. 4.3.1 Khái niệm 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Xét hệ thống có phương trình đặc tính (4.10) 042  Kss Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trị khác nhau của K: K = 0: s1 = 0 s2 = - 4 K = 1: s1 = - 0,268 s2 = - 3,732 K = 2: s1 = - 0,586 s2 = - 3,414 K = 3: s1 = - 1 s2 = - 3 K = 4: s1 = - 2 s2 = - 2 4.3.1 Khái niệm 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ K = 5: s1 = - 2 + j s2 = - 2 - j K = 6: s1 = - 2 + j1,414 s2 = - 2 - j1,414 K = 7: s1 = - 2 + j1,732 s2 = - 2 - j1,732 K = 8: s1 = - 2 + j2 s2 = - 2 - j2 Vẽ các nhiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá trị của K lên mặt phẳng phức. Nếu cho K thay đổi liên tục từ 0 đến +, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên hình vẽ được gọi là quỷ đạo nghiệm số. 4.3.1 Khái niệm 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Định nghĩa: Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thống khi khi có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0 đến . 0- 1- 2- 3- 4 + 2j + 1j - 1j - 2j Re Im s 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Xét hệ thống có sơ đồ khối sau: G(s) R(s) H(s) C(s) Phương trình đặc tính của hệ: (4.11) 0)().(1  sHsG Muốn áp dụng các quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số, trước tiên ta phải biến đổi tương đương phương trình đặc tính về dạng: (4.12) 0 )( )( 1  sD sN K trong đó K là thông số thay đổi. 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Đặt: Gọi n là số cực của G0(s), m là số zero của G0(s), phương trình (4.12) trở thành: )( )( 0 sD sN KG  0)(1 0  sG       )12()( 1)( 0 0 lsG sG Điều kiện biên độ Điều kiện pha 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Sau đây là 11 quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số của hệ thống có phương trình đặc tính có dạng (4.12); Quy tắc 1: Số nhánh của quỷ đạo nghiệm số = bậc của phương trình đặc tính = số cực của G0(s) = n. Quy tắc 2: Khi K = 0: các nhánh của quỷ đạo nghiệm số xuất phát từ các cực của G0(s). Quy tắc 3: Quỷ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực. Quy tắc 4: Một điểm trên trục thực thuộc về quỷ đạo nghiệm số nếu tổng số cực và zero của G0(s) bên phải nó là một số lẽ. 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Quy tắc 5: Góc tạo bởi đường tiệm cận của quỷ đạo nghiệm số với trục thực xác định bởi: Quy tắc 6: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A xác định bởi: (4.13) ...)2 ,1 ,0( )12(     l mn l   (4.14) zero OA 11 mn zp mn m i i n i i        cùc Quy tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỷ đạo nghiệm số nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình: 0 ds dK 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Quy tắc 8: Giao điểm của quỷ đạo nghiệm số với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cáh sau đây: - Áp dụng tiêu chuẩn Routh - Hurwitz. - Thay s = j vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trị K. Quy tắc 9: Góc xuất phát của quỷ đạo nghiệm số tại cực phức pj được xác định bởi: (4.15) )arg()arg(180 11 0     n ji i ij m i ijj zpzp Dạng hình học của công thức trên là: j = 180 0 + ( góc từ các zero đến cực pj) - ( góc từ các cực còn lại đến cực pj). 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Quy tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến + Quy tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỷ đạo nghiệm số có thể xác định từ điều kiện biên độ (4.16) 1 )( )( .  sD sN K 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau: Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Ví dụ 7: Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau: Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0  + (1) 0 )3)(2( 10)(1    sss K sG G(s) R(s) C(s) )3)(2( )(   sss K sG Giải: Phương trình đặc trưng của hệ thống: 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Các cực: ba cực: p1 = 0 , p2 = - 2 ; p3 = -3  QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0. Các zero: không có. Khi K  +, ba nhánh của quỷ đạo nghiệm số sẽ tiến đến vô cùng theo các tiệm cận xác định bởi: - Góc giữa các tiệm cận và trục thực:                   )1( )1( 3 )0( 3 03 )12()12( 3 2 1 l l l l mn l        4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ - Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực: 3 5 0-3 0)3()2(0[zero OA        mn cùc - Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình 0 ds dK Ta có (1) )65()3)(2( 23 ssssssk  )6103( 2  ss ds dK Do đó 0 ds dK )( 785,0 549,2 0)6103( 12 lo¹i s2      s ss 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ - Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác định bằng một trong hai cách sau đây: Ta có (1) (2) 065 23  Ksss Cách 1: Áp dụng tiêu chuẩn Routh s3 1 6 s2 5 K s1 0 s0 K 3 1 5   1 6 5 K 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ Điều kiện để hệ thống ổn định: 300 0 0 5 1 6        K K K Vậy, hệ số khuếch đại giới hạn là Kgh = 30. Thay giá trị Kgh = 30 vào phương trình (2), giải phương trình ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.          6 6 5 03065 3 2 1 23 js js s sss 4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỶ ĐẠO NGHIỆM SỐ 0)(6)(5)( 23  Kjjj  Cách 2: Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng s = j. Thay s = j vào phương trình (1) ta được: 065 23  Kjj         05 06 2 3 K  4.3.2 Quy tắc vẽ quỷ đạo nghiệm số 4.3 PHƯƠNG PHÁ