Bài giảng Nhập môn Kinh tế lượng - Chương 8: Tương quan chuỗi (Tự tương quan)

22/8/2015 1 Tương quan chuỗi (Tự tương quan) Lê Minh Tiến 1 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Giả thiết không có tự tương quan giữa các nhiễu trong mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển được biểu diễn bằng hệ số hiệp phương sai: cov(ui, uj) = 0, i ≠ j 2 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Nếu kết hợp giả thiết kỳ vọng của nhiễu E(ui) = 0 và định nghĩa hiệp phương sai, ta có thể biểu diễn tính chất không có tự tương quan giữa các nhiễu bằng biểu thức sau: E(uiuj) = 0, i ≠ j  Điều này có nghĩa là nhiễu của một quan sát không bị ảnh hưởng bởi nhiễu của quan sát khác. 3 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Tự tương quan (AutoCorrelation) được hiểu là sự tương quan giữa các thành phần của dãy quan sát theo thời gian (đối với Time series data) hoặc không gian (đối với Cross data), nghĩa là: cov(ui, uj) ≠ 0 4 record sales (thousands) advertsing budget (thousands of pounds) no. of plays on radio 1 per week attractiveness of band 0 200 400 0 200 400 0 1000 2000 0 1000 2000 0 20 40 60 0 20 40 60 0 5 10 0 5 10 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Thí dụ: khảo sát sản lượng của quý theo lượng lao động và vốn, nếu xảy ra sự kiện đình công trong một quý nào đó, thì có thể xảy ra hai tình huống:  việc đình công chỉ ảnh hưởng đến sản lượng của quý này và không có gì đảm bảo là nó cũng ảnh hưởng đến các quý sau → không xảy ra tự tương quan.  việc đình công xảy ra ở quý này nhưng nó có thể tiếp tục gây hậu quả cho các quý sau → xảy ra tự tương quan. 5 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Thí dụ: xét mối quan hệ giữa chi tiêu tiêu dùng và thu nhập của các hộ gia đình ở cùng khu vực.  Rất có thể việc chi tiêu tiêu dùng tăng của hộ gia đình nào đó sẽ dẫn đến việc tăng chi tiêu tiêu dùng của những hộ gia đình khác.  Nguyên nhân có thể là do tâm lý tiêu dùng chung của các hộ gia đình không muốn thua kém nhau.  Trong bối cảnh này có tự tương quan xảy ra giữa các quan sát chéo. 6 22/8/2015 2 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Nếu ut bị ảnh hưởng bởi ut-1: ut = ρut-1 + εt (-1 ≤ ρ ≤ 1) (1) trong đó εt thỏa các giả thiết cổ điển:  E(εt) = 0, t  cov(εt, εt’) = 0, t ≠ t’  var(εt) = σ 2 ,t thì ρ được gọi là hệ số tự tương quan bậc nhất và (1) được gọi là mô hình tự tương quan bậc nhất (tự hồi quy bậc nhất), ký hiệu AR(1) (AutoRegressive scheme). 7 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khái niệm  Trường hợp tổng quát, nếu ut được tạo bởi: ut = ρ1ut-1 + ρ2ut-2 ++ ρput-p + εt (-1 ≤ ρj ≤ 1) trong đó εt thỏa các giả thiết cổ điển:  E(εt) = 0, t  cov(εt, εt’) = 0, t ≠ t’  var(εt) = σ 2 ,t thì ta nói ut bị tương quan chuỗi bậc p, hay tự tương quan bậc p, hay tự hồi quy bậc p, ký hiệu AR(p). 8 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Nguyên nhân  Nguyên nhân khách quan  Nguyên nhân chủ quan 9 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   Tính chất quán tính (Inertia) của dãy số liệu: hầu hết các chuỗi dữ liệu thời gian trong kinh tế có tính chất quán tính.  Thí dụ: số liệu theo thời gian của tổng sản phẩm quốc gia GNP, chỉ số giá, tỷ lệ thất nghiệp thường có tính chu kỳ. 10 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   Khi nền kinh tế thoát khỏi tình trạng suy thoái thì hầu hết các chỉ số này có khuynh hướng bắt đầu gia tăng, nghĩa là giá trị của chúng tại một thời điểm thường sẽ cao hơn giá trị ở thời điểm trước.  Xu hướng này sẽ tiếp tục cho đến khi có một nhân tố nào đó xảy ra tác động đến nền kinh tế và dẫn đến hậu quả là làm chậm hoặc thay đổi khuynh hướng biến thiên của chuỗi dữ liệu.  Vì vậy trong hồi quy chuỗi thời gian, các quan sát kế tiếp nhau có nhiều khả năng tương quan với nhau. 11 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   Hiện tượng mạng nhện (Cobweb phenomenon): Trong thực tế, lượng cung của một số mặt hàng phản ứng lại trước sự thay đổi của giá trễ hơn một khoảng thời gian, bởi vì các quyết định cung đòi hỏi phải có thời gian để thực hiện, thí dụ như trong lĩnh vực nông nghiệp. Hàm cung khi đó có thể biểu diễn dưới dạng: QSt = β1 + β2.Pt-1 + ut 12 22/8/2015 3 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   Hiện tượng trễ (Lags): biến phụ thuộc thời điểm t phụ thuộc vào chính biến đó ở thời điểm t – 1.  Thí dụ như việc phân tích hồi quy của chi tiêu cho tiêu dùng phụ thuộc vào thu nhập theo thời gian, ta có thể sử dụng mô hình sau: CSt = β1 + β2.Int + ut 13 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   Với mô hình này, rất có thể gặp phải vấn đề tự tương quan vì đã bỏ qua yếu tố chi tiêu cho tiêu dùng ở thời điểm t – 1, mà tập quán của người tiêu dùng là không muốn thay đổi thói quen chi tiêu (ở đây ta không xét tới sự thay đổi đột biến của thu nhập). Điều này có nghĩa là chi tiêu tiêu dùng ở thời điểm t còn phụ thuộc vào mức chi tiêu tiêu dùng thời điểm t – 1, do đó mô hình hồi quy hợp lý hơn là: CSt = β1+β2.Int + β3.Int-1 + vt 14 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân khách quan   So sánh hai mô hình, ta thấy: ut = β3.Int-1 + vt  Như vậy việc bỏ qua chi tiêu ở thời điểm t -1 dẫn đến ut biến thiên có tính chất hệ thống.  Chi tiêu tiêu dùng của thời kỳ t -1 gọi là số hạng trễ trong mô hình hồi quy. 15 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân chủ quan   Việc sử lý số liệu (manipulation): Trong thực nghiệm, số liệu thô thường được xử lý. Thí dụ như số liệu quý bằng số liệu của 3 tháng cộng lại, rồi chia 3 (làm trơn số liệu). Chính sự làm trơn số liệu này có thể dẫn tới sai số hệ thống trong các nhiễu và gây ra tự tương quan. 16 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân chủ quan   Phép nội suy (interpolation) và ngoại suy (extrapolation) số liệu: thí dụ như tổng điều tra dân số ở một nước được tiến hành 10 năm một lần, vào năm 1980 và 1990 chẳng hạn, nếu cần số liệu cho năm 1985 thì phải dùng kỹ thuật nội suy số liệu. Kỹ thuật này có thể gây ra sai số có tính chất hệ thống. 17 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân chủ quan   Sai số do lập mô hình: có thể là do bỏ sót biến quan trọng hay chỉ định dạng hàm sai.  Bỏ sót biến: Xét mô hình hồi quy sau: Yi = β1 + β2X1t + β3X2t + β4X3t + ut Giả sử vì lý do nào đó, ta thực hiện hồi quy mô hình dưới đây: Yi = β1 + β2X1t + β3X2t + vt Nếu mô hình đầu là mô hình đúng thì việc hồi quy mô hình sau tương đương với biểu thức: vt = β4X3t + ut Như vậy thành phần nhiễu vt biểu lộ quan hệ có tính chất hệ thống, do đó gây ra hiện tượng tự tương quan. 18 22/8/2015 4 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Nguyên nhân chủ quan   Dạng hàm sai: Giả sử khảo sát mối quan hệ chi phí biên với sản lượng, ta có mô hình đúng là: MCi = β1 + β2Qi + β2Qi 2 + ui Thay vì thực hiện hồi quy mô hình trên, ta lại hồi quy mô hình: MCi = β1 + β2Qi + vi Như vậy vi= β2Qi 2 + ui . Nó phản ánh sự biến thiên có tính chất hệ thống, theo giá trị bình phương của sản lượng, do đó gây ra hiện tượng tự tương quan. 19 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Các hệ số hồi quy ước lượng được không còn tính chất BLUE Xét hồi quy hai biến với số liệu theo thời gian: Yi = β1+ β2Xt + ut Nếu có tự tương quan xảy ra, nghĩa là có một cơ chế tạo ra dãy ut, do đó E(ut.ut+p) ≠ 0, p ≠ 0. 20 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Nếu không xảy ra tự tương quan, thì hệ số hồi quy và sai số của chúng được ước lượng bằng các công thức: và khi đó β2^ là ước lượng tuyến tính, không chệch tốt nhất của β2. 21   2 2 22 2 ˆ ˆ, vart t t t x y x x       Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Nếu xảy ra tự tương quan bậc 1, thì β2^ vẫn theo công thức trên, nhưng phương sai đúng của nó là:  So sánh công thức var(β2^) trong hai trường hợp thì nhận thấy rằng mặc dù β2^ vẫn là ước lượng không chệch và tuyến tính của β2, nhưng tính chất phương sai nhỏ nhất thì không có gì đảm bảo. 22       1 2 2 1 2 2 11 1 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2ˆ ˆvar var ... n n t t t t nt t n n n n n AR t t t t t t t t x x x x x x x x x x                                      Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Ước lượng của phương sai bị chệch, như vậy làm mất hiệu lực khi thực hiện các kiểm định t, F. Khi xảy ra tự tương quan bậc 1, công thức đúng để xác định phương sai của hệ số hồi quy là công thức var(β2^)AR(1). Vì thế nếu vẫn sử dụng công thức var(β2^)= 2/xt 2 như trước thì ta thu được ước lượng chệch. 23 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Với các giả thiết cổ điển thì σ^2 là ước lượng không chệch của σ2, nghĩa là E(σ^2)= σ2. Tuy nhiên khi xảy ra AR(1), thì người ta chứng minh được: với được diễn giải như là hệ số tự tương quan của chuỗi giá trị của biến độc lập X. 24    22 2 / 1 2ˆ 2 n r E n           1 11 2 1 n t tt n tt x x r x       22/8/2015 5 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Dễ ràng nhận thấy rằng khi ρ và r đều là giá trị dương thì E(σ^2)<σ2, nghĩa là ta đã ước lượng thấp giá trị thực của phương sai. Do đó nếu sử dụng σ^2 bằng công thức thông thường trong trường hợp có tự tương quan bậc 1, thì không những ước lượng thấp hơn phương sai của tổng thể mà còn làm ước lượng thấp hơn phương sai của các hệ số hồi quy. 25 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   R2 được ước lượng quá cao so với giá trị thực Nếu σ^2 là ước lượng thấp của σ2, thì có nghĩa RSS=ei 2 là ước lượng thấp của RSS tổng thể, dẫn đến R2=1-RSS/TSS được ước lượng quá cao. 26 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Sai số của các giá trị dự báo có thể không còn hiệu quả. Trong mô hình hồi quy hai biến đang xét, thì phương sai dự báo của giá trị trung bình được tính theo công thức: 27        20 1 2 0 2 0ˆ ˆ ˆˆ . 2 . .var Y var var X X var X     Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Hậu quả   Việc ước lượng chệch phương sai của các hệ số hồi quy hiển nhiên dẫn đến việc ước lượng chệch var(Y0^). Điều này làm cho việc đánh giá sai số của các giá trị dự báo không còn đáng tin cậy. 28 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Phát hiện Định tính: Đồ thị: plot et theo t (hoặc et/^); Scatter et theo et-1 Giản đồ tự tương quan Định lượng: Kiểm định D-W về TTQ bậc 1 Kiểm định B-G về TTQ bậc p Kiểm định Chuỗi dấu (đọc thêm) 29 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định tính: Phương pháp đồ thị Ta có thể vẽ các loại đồ thị sau:  et theo thời gian t  et/t^ theo t (gọi là đồ thị phần dư chuẩn hoá)  et theo et-1 (gọi là lược đồ AR(1))  Nếu đồ thị biến thiên không có quy luật (tức là dạng ngẫu nhiên) thì không có tự tương quan  Nếu đồ thị biến thiên có tính quy luật (tức là dạng không ngẫu nhiên) thì có tự tương quan.  (lưu ý 2 đồ thị et và et/^ sẵn có trên Eviews: sau khi hồi quy, từ output->Views/Actual,/graph) 30 22/8/2015 6 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định tính: Phương pháp đồ thị Dùng giản đồ tự tương quan:  Bước 1: hồi quy gốc  Bước 2: Output>Views/Residual/Correlogram- Q-stat  Nếu các hệ số tự tương quan đều nằm trong đường viền thì kết luận: mô hình không bị tự tương quan; ngược lại thì kết luận: bị tự tương quan. 31 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1 Điều kiện áp dụng kiểm định Durbin-Watson:  1. Mô hình hồi quy phải có hệ số chặn. Nếu mô hình không có hệ số chặn thì phải ước lượng mô hình có hệ số chặn để lấy RSS, sau đó tiến hành bình thường.  2. Các biến độc lập là không ngẫu nhiên (hay là cố định trong các mẫu lặp).  3. Các nhiễu u có tương quan bậc nhất: ut = ρut-1 + εt 32 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  4. Mô hình không chứa biến Y như là biến độc lập, nghĩa là không xét những mô hình hồi quy kiểu như: Yt = β1 + β2Xt + β3Yt-1 + ut  5. Không có quan sát bị mất trong dữ liệu. 33 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Xét AR(1): ut = ρut-1 + εt (- 1 ≤ ρ ≤ 1)  Tính  Dễ thấy 0 ≤ d ≤ 4 34     2 1 1 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ, 2 1 n n t t t t t t n n t t t t e e e e d e e                  Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Khi ρ = -1 hay ρ = 1 (d = 4 hay d = 0): tự tương quan hoàn hảo.  Khi ρ = 0 (d = 2): không xảy ra tự tương quan 35 d=4 d=2 d=0 ρ=-1 ρ=0 ρ =1Tự tương quan âm Tự tương quan dương Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Trong thực nghiệm:  d gần 4, điều này cho thấy khả năng có tự tương quan âm,  d gần 0, cho thấy khả năng xảy ra tự tương quan dương.  Tuy nhiên khái niệm “gần” cần được đánh giá bằng giá trị cụ thể mà ta gọi là giá trị tới hạn.  Bảng thống kê Durbin-Watson cho ta các giá trị tới hạn dU, dL dựa vào ba tham số: mức ý nghĩa α, số quan sát n, và số biến độc lập k’. 36 22/8/2015 7 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1 Quy tắc kiểm định Durbin-Watson tổng quát:  Hạn chế của kiểm định Durbin-Watson là tồn tại hai miền không thể quyết định được. Để khắc phục hạn chế này, ta có thể áp dụng quy tắc kiểm định Durbin-Watson cải biên. 37 Tự tương quan âm Không quyết định được Không có tự tương quan bậc nhất Không quyết định được Tự tương quan dương 0 dL dU 4-dU 4-dL 42 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1 Quy tắc kiểm định Durbin-Watson cải biên:  Giả thuyết phía phải, mức ý nghĩa α: H0: ρ = 0 H1: ρ > 0 38 0 dU 4 Có tự tương quan dương Không có tự tương quan dương Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Giả thuyết phía trái, mức ý nghĩa α: H0: ρ = 0 H1: ρ < 0 39 0 4-dU 4 Không có tự tương quan âm Có tự tương quan âm Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Giả thuyết 2 phía, mức ý nghĩa 2α: H0: ρ = 0 H1: ρ ≠ 0 40 Không có TTQ Có TTQ âm 0 4-dU 4dU Có TTQ dương Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Durbin-Watson về tự tương quan bậc 1  Kiểm định Durbin-Watson có khuyết điểm:  Cỡ mẫu n lớn thì không có trong bảng tra.  Có một số mẫu thuẫn khi tra bảng để tìm dU, dL  Do đó đôi khi người ta sử dụng kiểm định Durbin-Watson theo kinh nghiệm: 41 Không có TTQ Có TTQ âm 0 3 41 Có TTQ dương Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Breusch-Godfrey (BG)  Giả sử mô hình hồi quy có dạng : Yt = β1 + β2Xt + ut trong đó nhiễu ut bị tự tương quan bậc p: ut = ρ1ut-1 + ρ2ut-2 +...+ ρput-p + εt và εt thoả các giả thiết của OLS.  Giả thiết không có tự tương quan bậc p tương đương với H0: ρ1 = ρ2 =...= ρp = 0. 42 22/8/2015 8 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Breusch-Godfrey (BG) Các bước tiến hành kiểm định BG:  Bước 1: Ước lượng mô hình gốc (1) theo OLS và tính được phần dư ei.  Bước 2: Ước lượng mô hình et = 1+ 2Xt+1et-1++pet-p+ vt (*) và tính R2(*)  Bước 3: Nếu (n-p).R2(*) > 2 ;p thì bác bỏ H0, nghĩa là thừa nhận có tự tương quan bậc p. 43 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Breusch-Godfrey (BG)  Kiểm định BG có các đặc điểm :  áp dụng cho cỡ mẫu lớn.  có thể áp dụng cho mô hình có biến độc lập có dạng Yt-1, Yt-2,...  áp dụng cho tự tương quan với bậc bất kỳ.  kiểm định BG đòi hỏi phải xác định trước bậc p của tự tương quan. Thông thường người ta phải tiến hành kiểm định với nhiều giá trị p khác nhau. 44 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định Breusch-Godfrey (BG)  Kiểm định BG có thể được áp dụng khi nhiễu được tạo ra theo tiến trình MA(q) bậc q (qth- order Moving Average), nghĩa là có dạng : ut = εt + 1εt-1 + 2εt-2 +...+ qεt-q trong đó ε là thành phần nhiễu ngẫu nhiên với kỳ vọng bằng 0 và phương sai không đổi. 45 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định chuỗi dấu (Runs test)  Thành phần nhiễu có khi là giá trị dương, có khi là giá trị âm.  Nếu sự thay đổi về dấu của thành phần nhiễu diễn ra mang tính hệ thống, theo một kiểu mẫu nào đó, thì có nghĩa là có sự tương quan giữa các nhiễu.  Nếu dấu của nhiễu thay đổi một cách ngẫu nhiên thì có thể nhận định không có tự tương quan. 46 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định chuỗi dấu (Runs test) Kiểm định chuỗi dấu sẽ dựa vào dấu của các phần dư ước lượng từ mô hình hồi quy và thực hiện qua các bước sau :  Bước 1: Hồi quy mô hình gốc, tính phần dư et  Bước 2: Xác định dấu của phần dư et, dấu (-) với những et 0. Kết quả là ta được một dãy dấu, trong đó có các dấu (+) hoặc (-) xen kẽ nhau. 47 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định chuỗi dấu (Runs test)  Bước 3 : Xác định các thông số:  n1 : tổng số dấu (+) trong dãy.  n2 : tổng số dấu (-) trong dãy.  N = n1 + n2 : tổng số quan sát.  k*: số chuỗi dấu bao gồm cả chuỗi dấu (+) và chuỗi dấu (-) trong dãy. 48 22/8/2015 9 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định chuỗi dấu (Runs test)  Bước 4: Lập giả thiết H0: không có tự tương quan giữa các phần dư. Dưới giả thiết H0, và giả định rằng n1 > 10, n2 > 10, thì số chuỗi dấu (k) là đại lượng ngẫu nhiên, được xem là có phân phối tiệm cận chuẩn với kỳ vọng và phương sai xác định bởi biểu thức: 49               1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 var ,se var 1 n n E k n n n n n n n n k k k n n n n          Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le  Định lượng:  kiểm định chuỗi dấu (Runs test)  Nếu chấp nhận H0, thì khoảng tin cậy của k là (E(k) - zα/2.se(k); E(k) + zα/2.se(k))  Quy tắc quyết định: nếu k* nằm trong khoảng tin cậy thì chấp nhận H0, nếu k* nằm ngoài khoảng tin cậy thì bác bỏ H0.  Ưư điểm của kiểm định chuỗi dấu là kiểm định phi tham số, nhưng hạn chế của nó là không áp dụng được khi điều kiện cho n1, n2 không thoả. 50 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khắc phục  Giả sử nhiễu ut có tự tương quan bậc 1, nghĩa là: ut = ρut-1 + εt (*) với hệ số tự tương quan ρ đã biết và εt thoả các giả thiết cổ điển. 51 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khắc phục  Xét mô hình hồi quy hai biến: Yt = β1 + β2Xt + ut (1)  Mô hình trên áp dụng cho mọi thời điểm nên cũng đúng cho thời điểm t – 1: Yt-1 = β1 + β2Xt-1 + ut-1 (2)  Nhân hai vế của phương trình hồi quy (2) với ρ, ta được: ρYt-1 = ρβ1 + ρβ2Xt-1 + ρut-1 (3) 52 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khắc phục  Trừ (1) cho (3) ta được Yt - ρYt-1 = β1(1 – ρ) + β2(Xt – ρXt-1) + t (phương trình sai phân cấp 1 tổng quát)  Phương trình này có thể viết lại dưới dạng: Yt*=β1* + β2*Xt*+ t (4) với: Yt*= Yt - ρYt-1, β1*= β1(1 – ρ), Xt*=Xt – ρXt-1, t = ut – ρut-1 (do giả thiết (*))  Vì εt thoả các giả thiết cổ điển nên các ước lượng OLS của mô hình hồi quy (4) có tính chất BLUE. 53 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khắc phục  Khi thực hiện hồi quy phương trình sai phân tổng quát, ta bị mất quan sát đầu tiên, vì quan sát thứ nhất không có quan sát đứng trước nó. Trong thực nghiệm, quan sát thứ nhất của mô hình (4) được xác định theo biến đổi Prais- Winsten như sau: 54 * 2 * 2 1 1 1 11 , 1Y Y X X     ! 22/8/2015 10 Bài giảng Kinh tế lượng © Tien M. Le Khắc phục  Với ρ = 1 thì phương trình sai phân tổng quát trở thành phương trình sai phân cấp 1: Yt – Yt-1 = β(Xt – Xt-1) + (ut – ut-1)  Thực hiện hồi quy phương trình sai phân cấp 1 là thực hiện hồi quy qua gốc