Luận văn Áp dụng phép biến đổi Laplace giải bài toán biên-Ban đầu hỗn hợp cho phương trình Parabolic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Hữu Việt ÁP DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI BÀI TOÁN BIÊN-BAN ĐẦU HỖN HỢP CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1Mục lục Mở đầu 4 Chương 1. Phép biến đổi Laplace 5 1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường . . . 5 1.1.1. Định nghĩa hàm gốc . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . 6 1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace . . . . . 8 1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc . . . . . . 12 1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập . . . . . . . . . . . 14 1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . 17 1.2. Hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3. Các phép tính trên không gian các hàm suy rộng 20 1.3. Hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . 20 1.4. Biến đổi Laplace với hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1. Biến đổi Laplace của hàm khả vi vô hạn có giá compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2. Biến đổi Laplace trên không gian các hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . . 22 1.4.3. Công thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4. Biến đổi Laplace của tích chập hai hàm suy rộng 25 1.4.5. Điều kiện của hàm ảnh . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. Bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic 30 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22.1.1. Đặt bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2. Trường hợp hệ số của phương trình không phụ thuộc vào t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Áp dụng biến đổi Laplace giải bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1. Áp dụng biến đổi Laplace cho trường hợp g˜ = 0 . 34 2.2.2. Trường hợp g˜ 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3. Một vài ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1. Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt (Ω = Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.2. Bài toán phân bố nhiệt độ bên trong một thanh kim loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS - TS Hà Tiến Ngoạn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà thầy còn thông cảm tạo mọi điều kiện động viên em trong suốt quá trình làm luận văn. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau Đại học - Đại học Sư phạm Thái Nguyên và các thầy cô giáo Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K17 Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở GD - ĐT Tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Đồng Yên - Bắc Quang - Hà Giang đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Học viên Nguyễn Hữu Việt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4Mở đầu Luận văn trình bày tổng quan cơ sở phép biến đổi Laplace đối với các hàm số một biến t xác định trên nửa trục dương, có độ tăng cấp mũ hữu hạn và phụ thuộc vào tham số vectơ x. Trên cơ sở đó, dùng phép biến đổi Laplace như một công cụ để luận văn trình bày việc nghiên cứu tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên-ban đầu hỗn hợp của phương trình parabolic tuyến tính cấp hai, khi hệ số của phương trình không phụ thuộc vào biến thời gian t. Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên tài liệu [5]. Bố cục của luận văn gồm 2 chương: • Chương 1 của Luận văn trình bày phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường, nhắc lại các khái niệm về hàm suy rộng, hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach và phép biến đổi Laplace đối với hàm suy rộng nhận giá trị trong không gian Banach. • Chương 2 của Luận văn trình bày bài toán biên-ban đầu hỗn hợp cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai có các hệ số không phụ thuộc vào biến thời gian t, ứng dụng của biến đổi Laplace để biểu diễn nghiệm của bài toán và một số ví dụ áp dụng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5Chương 1 Phép biến đổi Laplace 1.1. Phép biến đổi Laplace đối với hàm số thông thường 1.1.1. Định nghĩa hàm gốc Định nghĩa 1.1. Hàm một biến thực f(t) được gọi là hàm gốc nếu thoả mãn ba điều kiện sau : 1) f(t) = 0 với mọi t < 0. Điều này được đặt ra vì trong thực tế t thường là biến thời gian. 2) f(t) liên tục từng khúc trong miền t ≥ 0. Điều này có nghĩa là nếu lấy một khoảng (a,b) bất kì trên nửa trục thực t ≥ 0, bao giờ cũng có thể chia nó thành một số hữu hạn các khoảng nhỏ, sao cho trong mỗi khoảng nhỏ f(t) liên tục và tại mút của mỗi khoảng nhỏ nó có giới hạn một phía. 3) f(t) không tăng nhanh hơn hàm mũ khi t→ +∞. Nghĩa là tồn tại M > 0, σ0 > 0 sao cho |f(t)| ≤Meσ0t, ∀t > 0, (1.1) trong đó σ0 được gọi là chỉ số tăng của f(t). Rõ ràng σ0 là chỉ số tăng thì mọi số σ1 > σ0 cũng là chỉ số tăng. Ví dụ 1.1. Hàm bước nhảy đơn vị η (t) = { 0 nếu t < 0 1 nếu t ≥ 0 là hàm gốc vì η(t) liên tục với mọi t ≥ 0 và không tăng nhanh hơn hàm mũ với chỉ số tăng σ0 = 0. Ví dụ 1.2. Các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = tm, f(t) = sin t, f(t) = cos t... đều liên tục và không tăng nhanh hơn hàm mũ nhưng vẫn chưa phải là hàm gốc vì không thoả mãn điều kiện 1) của Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6Tuy nhiên hàm số sau : f(t)η(t) = { 0 nếu t < 0 f(t) nếu t ≥ 0 là một hàm gốc. 1.1.2. Định nghĩa phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace (hay còn gọi là toán tử Laplace) được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2. Giả sử f(t) là hàm gốc xác định với mọi t > 0. Biến đổi Laplace của hàm số f(t) được định nghĩa và ký hiệu là F (p) = L{f(t)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf (t) dt. (1.2) Định lý 1.1. Nếu f(t) là hàm gốc với chỉ số tăng σ0 thì tồn tại biến đổi Laplace F (p) = L{f(t)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf (t) dt xác định với mọi số phức p = σ+ iτ sao cho σ > σ0 và lim Re(p)→∞ F (p) = 0. Hơn nữa hàm biến phức F (p) là giải tích trong miền Re(p) > σ0 với đạo hàm F ′ (p) = +∞∫ 0 (−t)e−ptf (t) dt. (1.3) Chứng minh. Với mọi p = σ + iτ sao cho σ > σ0 ta có∣∣f (t) e−pt∣∣ 6Me(σ0−σ)t, mà +∞∫ 0 e(σ0−σ)tdt hội tụ, do đó tích phân +∞∫ 0 f (t) e−ptdt hội tụ tuyệt đối. Vì vậy tồn tại biến đổi Laplace F (p) và Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7|F (p)| 6 +∞∫ 0 |f (t) e−pt|dt = +∞∫ 0 ∣∣f (t) e−σte−iτ t∣∣dt = +∞∫ 0 |f (t) e−σt|dt 6 +∞∫ 0 Me(σ0−σ)tdt = Me(σ0−σ)t σ0 − σ ∣∣∣∣+∞ 0 = M σ0 − σ. Ngoài ra lim σ→∞ M σ − σ0 = 0 suy ra limRe(p)→∞F (p) = 0. Tích phân +∞∫ 0 f(t)e−ptdt hội tụ và tích phân +∞∫ 0 ∂ ∂p ( f(t)e−pt ) dt = +∞∫ 0 f(t)e−pt(−t)dt hội tụ đều trong miền {p|Re(p)> σ1} với mọi σ1 > σ (theo Định lý Weierstrass). Suy ra hàm ảnh F (p) có đạo hàm F ′(p) = +∞∫ 0 ∂ ∂p ( f(t)e−pt ) dt tại mọi điểm p thuộc các miền trên. Vì vậy F (p) giải tích trong miền Re(p) > σ0. Nhận xét 1.1. Từ Ví dụ 1.2 suy ra các hàm sơ cấp cơ bản như f(t) = tm, f(t) = sin t, f(t) = cos t... đều có biến đổi Laplace L{f(t)η(t)}. Do đó thay vì viết đầy đủ L{f(t)η(t)} ta có thể viết tắt L{f(t)}. Chẳng hạn ta viết L{sin t} thay cho L{sin tη(t)}. Ví dụ 1.3. Biến đổi Laplace của hàm f(t) = 1 là F (p) = L{1}(p) = +∞∫ 0 e−ptdt = e−pt −p ∣∣∣∣+∞ 0 = 1 p Ví dụ 1.4. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là F (p) = L{t}(p) = +∞∫ 0 e−pttdt = 1 p2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8Ví dụ 1.5. Cho hàm f(t) = tn, biến đổi Laplace của f(t) là F (p) = L{tn}(p) = +∞∫ 0 e−pttndt = 1 pn+1 Ví dụ 1.6. Hàm f(t) = eαt, α ∈ R có biến đổi Laplace là F (p) = L{eαt}(p) = +∞∫ 0 e−pteαtdt = 1 p− α Ví dụ 1.7. Hàm sin t có chỉ số tăng σ0 = 0 do đó có biến đổi Laplace là F (p) = L{sin t}(p) = +∞∫ 0 e−pt sin tdt. Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được F (p) = − cos te−pt∣∣+∞ 0 − +∞∫ 0 pe−pt cos tdt = 1− (pe−pt sin t|+∞0 )− p2 +∞∫ 0 e−pt sin tdt. ⇒ (1 + p2)F (p) = 1⇒ F (p) = 1 1 + p2 1.1.3. Các tính chất của phép biến đổi Laplace Tính chất 1.1. Phép biến đổi Laplace có tính tuyến tính. Nếu f(t) và g(t) có biến đổi Laplace thì Af(t)+Bg(t) cũng có biến đổi Laplace (A,B là các hằng số) và L{Af(t) +Bg(t)}(p) = AL{f(t)}(p) +BL{g(t)}(p). (1.4) Chứng minh. Gọi F (p), G(p) lần lượt là ảnh của f(t) và g(t) qua phép biến đổi Laplace. Theo định nghĩa L{Af(t) +Bg(t)}(p) = +∞∫ 0 e−pt[Af(t) +Bg(t)]dt. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Do tính chất tuyến tính của tích phân nên ta có +∞∫ 0 e−pt[Af(t) +Bg(t)]dt = A +∞∫ 0 e−ptdt+B +∞∫ 0 e−ptdt = AF (p) +BG(p). Thay vào trên ta có L{Af(t) +Bg(t)}(p) = AF (p) +BG(p). Ví dụ 1.8. L{6 + 7 sin t}(p) = 6L{1}(p) + 7L{sin t}(p) = 6 s + 7 1 + s2 . Tính chất 1.2. Phép biến đổi Laplace có tính đồng dạng. Nếu F (p) = L{f(t)}(p) thì với mọi hằng số λ > 0 ta có L{f(λt)}(p) = 1 λ F ( p λ ). (1.5) Chứng minh. Theo định nghĩa ta có L{f(λt)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf(λt)dt. Đổi biến λt = t1, dt = 1 λ dt1 ta được L{f(λt)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf(λt)dt = +∞∫ 0 e− p λ t1f(t1)dt1 = 1 λ F ( p λ ). Ví dụ 1.9. L{sinωt}(p) = 1 ω 1 (p/ω)2 + 1 = ω p2 + ω2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Tính chất 1.3. Phép biến đổi Laplace có tính dịch chuyển ảnh. Nếu F (p) = L{f(t)}(p), thì với ∀a ∈ C ta có L{eatf(t)}(p) = F (p− a). (1.6) Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có L{eatf(t)}(p) = +∞∫ 0 e−pt(eatf(t))dt = +∞∫ 0 e−(p−a)tf(t)dt = F (p− a). Ví dụ 1.10. L{eatt}(p) = 1 (p− a)2 . Tính chất 1.4. Phép biến đổi Laplace có tính trễ. Nếu τ là một hằng số và F (p) = L{f(t)}(p) thì ta có L{f(t− τ)}(p) = e−pτF (p). (1.7) Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có L{f(t− τ)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf(t− τ)dt. Đổi biến t1 = t− τ ta được +∞∫ 0 e−ptf(t−τ)dt = +∞∫ 0 e−p(t1+τ)f(t1)dt1 = e−pτ +∞∫ 0 e−pt1f(t1)dt1 = e−pτF (p). Vậy L{f(t− τ)}(p) = e−pτF (p). Ví dụ 1.11. Ta biết hàm f(t) = e2t có hàm ảnh qua biến đổi Laplace là F (p) = 1 p− 2 . Do đó ảnh của hàm f(t − 1) = e 2(t−1) qua biến đổi Laplace là L{f(t− 1)}(p) = e−pF (p) = e −p p− 2 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Ví dụ 1.12. Hàm xung (impulse) là hàm chỉ khác 0 trong một khoảng thời gian nào đó f(t) =  0 nếu t < a ϕ(t) nếu a < t < b. 0 nếu t > b Hàm xung đơn vị trên đoạn [a,b] là ηa,b(t) =  0 nếu t < a 1 nếu a < t < b. 0 nếu t > b ⇒ ηa,b(t) = η(t− a)− η(t− b), trong đó η(t) là hàm số trong Ví dụ 1.1. Do vậy mọi hàm xung bất kỳ có thể biểu diễn qua hàm xung đơn vị f(t) = η(t− a)ϕ(t)− η(t− b)ϕ(t). Biến đổi Laplace của hàm xung đơn vị là L{ηa,b(t)}(p) = L{η(t− a)}(p)− L{η(t− b)}(p) = e −ap − e−bp p . Ví dụ 1.13. Tìm biến đổi Laplace của hàm xung f(t) =  0 nếu t < 0 sin t nếu 0 < t < pi. 0 nếu t > pi Ta có f(t) = η(t) sin t− η(t− pi) sin t = η(t) sin t+ η(t− pi) sin(t− pi) Vậy L{f(t)}(p) = 1 p2 + 1 e−pip p2 + 1 = 1 + e−pip p2 + 1 Ví dụ 1.14. Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang f(t) =  0 nếu t < 0 2 nếu 0 < t < 1 4 nếu 1 < t < 2 1 nếu 2 < t < 3 0 nếu t > 3 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Ta có f(t) = 2η0,1(t) + 4η1,2(t) + η2,3(t) = 2[η(t)− η(t− 1)] + 4[η(t− 1)− η(t− 2)] + [η(t− 2)− η(t− 3)] = 2η(t) + 2η(t− 1)− 3η(t− 2)− η(t− 3). Do đó L{f(t)}(p) = 2 + 2e −p − 3e−2p − e−3p p . Tính chất 1.5. Quan hệ với biến đổi Fourier. Nếu f(t) là hàm có tính chất f(t) = 0 với ∀t < 0 thì ta có L{f(t)}(σ + iτ) = F{e−σtf(t)}(τ), (1.8) trong đó F{g(t)}(τ) là biến đổi Fourier của g(t) thuộc L1(R) và được xác định theo công thức sau F{g(t)}(τ) = +∞∫ −∞ e−itτg(t)dt. Chứng minh. Thật vậy, với f(t) là hàm có tính chất f(t) = 0 với ∀t < 0 thì L{(f(t)}(σ + iτ) = +∞∫ −∞ e−(σ+iτ)tf(t)dt = +∞∫ −∞ e−iτ t(e−σtf(t))dt = F{e−σtf(t)}(τ). 1.1.4. Biến đổi Laplace của đạo hàm hàm gốc a. Đạo hàm cấp 1 : Định lý 1.2. Giả sử f(t) là hàm gốc và có đạo hàm f ′(t) cũng là các hàm gốc. Khi đó ta có L{f ′(t)}(p) = pF (p)− f(0). (1.9) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Chứng minh. Ta có L{f ′(t)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf ′(t)dt. Áp dụng công thức tính phân từng phần ta được +∞∫ 0 e−ptf ′(t)dt = e−ptf(t) ∣∣+∞ 0 − +∞∫ 0 f(t)(−pe−pt)dt = e−ptf(t)∣∣+∞ 0 . Do |f(t)| ≤Meσ0t, nên nếu Re(p) = σ > σ0 thì |f(t)e−pt| ≤Me(σ−σ0)t → 0 khi t→ +∞. Ta có e−ptf(t) ∣∣+∞ 0 = −f(0). Thay vào trên ta được L{f ′(t)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf ′(t)dt = pF (p)− f(0). b. Đạo hàm cấp cao : Định lý 1.3. Giả sử hàm f(t) có đạo hàm đến cấp n và f(t), f ′(t), ... f (n)(t) đều là các hàm gốc. Khi đó ta có L{f (n)(t)}(p) = pnF (p)− pn−1f(0)− pf (n−2)f ′(0)− ...− f (n−1)(0). (1.10) Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.2 ta có L{f (n)(t)}(p) = +∞∫ 0 e−ptf (n)(t)dt. Áp dụng công thức (1.9) cho L{f (n)(t)}(p) ta được L{f (n)(t)}(p) = pL{f (n−1)}(p)− f (n−1)(0). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Tương tự áp dụng công thức (1.9) cho L{f (n−1)(t)}(p) ta được L{f (n)(t)}(p) = p2L{f (n−2)}(p)− pf (n−2)(0)− f (n−1)(0). Áp dụng công thức (1.9) liên tiếp như vậy thì cuối cùng ta được L{f (n)(t)}(p) = pnF (p)− pn−1f(0)− pf (n−2)f ′(0)− ...− f (n−1)(0). 1.1.5. Biến đổi Laplace của tích chập a. Định nghĩa tích chập của hai hàm gốc. Định nghĩa 1.3. Tích chập của hai hàm gốc f(t) và g(t) với t ≥ 0 là hàm số được ký hiệu và xác định bởi công thức (f ∗ g)(t) = t∫ 0 f(τ)gτ(t− τ)dτ. (1.11) Ví dụ 1.15. Cho f(t) = 5 và g(t) = sin t, ta có : (f ∗ g)(t) = t∫ 0 5 sin(t− τ)dτ = 5 cos(t− τ)|t0 = 5− 5 cos t. b. Tính chất. Tính chất 1.6. Tích chập có tính giao hoán. Cho hai hàm số f(t) và g(t) với t> 0 ta có (f ∗ g)(t) = (g ∗ f)(t). (1.12) Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 ta có (f ∗ g)(t) = t∫ 0 f(τ)g(t− τ)dτ. Đặt τ1 = t− τ ⇒ dτ1 = −dτ. ⇒ (f ∗ g)(t) = t∫ 0 f(τ)g(t− τ)du = t∫ 0 f(t− τ1)g(τ1)dτ1 = (g ∗ f)(t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Ví dụ 1.16. Tính tích chập et ∗ t = t∫ 0 eτ(t− τ)dτ. Tính tích phân bên vế phải bằng phương pháp tích phân từng phần ta được et ∗ t = t∫ 0 eτ(t− τ)dτ = t(et − 1)− (tet − et + 1) = et − t− 1. Tính chất 1.7. Tích chập có tính chất kết hợp. Cho các hàm số f(t), g(t) và h(t) với t> 0 ta có (f ∗ (g ∗ h))(t) = ((f ∗ g) ∗ h)(t). (1.13) Tính chất 1.8. Nếu f(t) và g(t) là hai hàm gốc thì tích chập của chúng (f ∗ g)(t) cũng là hàm gốc. c. Biến đổi Laplace của tích chập. Định lý 1.4. Nếu F (p) = L{f(t)}(p) và G(p) = L{g(t)}(p) thì ta có L{f ∗ g}(p) = F (p)G(p). (1.14) Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.3 ta có (f ∗ g)(t) = t∫ 0 f(τ)g(t− τ)dτ. ⇒ L{f ∗ g} = +∞∫ 0 e−ptdt t∫ 0 f(τ)g(t− τ)dτ. Xét tích phân bên vế phải. Vì ứng với t cố định thì tích phân theo τ lấy từ 0 đến t, sau đó cho t biến thiên từ 0 đến +∞ nên vế phải tích phân lặp lấy trong miền quạt G: 0 < arg(t + jτ) < pi 4 . Vì khi Re(p) > σ + 1 thì do tính chất của tích chập, tích phân lặp này hội tụ tuyệt đối. Do vậy, ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân. +∞∫ 0 e−ptdt t∫ 0 f(τ)g(t− τ)dτ = +∞∫ 0 f(τ)dτ +∞∫ t e−ptg(t− τ)dτ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Đổi biến t1 = t− τ ta có +∞∫ τ e−ptg(t− τ)dτ = e−pt +∞∫ 0 e−pt1g(t1)dt1. Vậy +∞∫ 0 e−ptdt t∫ 0 f(τ)g(t− τ)dτ = +∞∫ 0 e−pτf(τ)dτ +∞∫ 0 e−pt1g(t1)dt1 = F (p)G(p). Nghĩa là L{f ∗ g} = F (p)G(p). Ví dụ 1.17. L{t ∗ sin t} = L{t}L{sin t} = 1 p2 1 p2 + 1 = 1 p2(p2 + 1) . d. Cặp công thức Duhamel. Định lý 1.5. Nếu F (p) = L{f(t)} và G(p) = L{g(t)} thì ta có cặp công thức Duhamel như sau : pF (p)G(p) = L{f(0)g(t) + f ′ ∗ g}. (1.15) pF (p)G(p) = L{g(0)f(t) + f ∗ g′}. (1.16) Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh công thức (1.15) và do tính chất đối xứng ta suy ra công thức (1.16). Theo công thức đạo hàm của hàm gốc (1.9) ta có L{f ′(t)} = pF (p)− f(0). Áp dụng công thức (1.14), tích chập của hai hàm số f ′(t) và g(t) là L{f ′ ∗ g} = L{f ′}L{g} = [pF (p)− f(0)]G(p). Mặt khác ta có L{f(0)g(t)} = f(0)G(p). Cộng hai vế của hai đẳng thức trên với nhau ta được L{f(0)g(t)}+ L{f ′ ∗ g} = f(0)G(p) + [pF (p)− f(0)]G(p) = pF (p)G(p) ⇒ L{f(0)g(t) + f ′ ∗ g} = pF (p)G(p). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 1.1.6. Phép biến đổi Laplace ngược Như ta đã biết, phép biến đổi Laplace biến một hàm gốc cho trước thành một hàm ảnh. Trong mục này ta sẽ đi xét bài toán ngược lại. Tức là cho trước hàm ảnh, ta sẽ đi tìm hàm gốc. Tuy nhiên, không phải hàm nào cũng có thể là hàm ảnh được. Ta sẽ chỉ ra những điều kiện để một hàm nào đó là hàm ảnh, nghĩa là tồn tại hàm gốc của nó. a. Định nghĩa phép biến đổi Laplace ngược. Định nghĩa 1.4. Cho hàm F (p), nếu tồn tại hàm gốc f(t) sao cho L{f(t)}(p) = F (p) thì ta nói f(t) là biến đổi Laplace ngược của F (p) và ký hiệu là f(t) = L−1{F (p)}. (1.17) Ví dụ 1.18. Cho hàm f(t) = t, biến đổi Laplace của f(t) là F (p) = L{t}(p) = +∞∫ 0 e−pttdt = 1 p2 . Do đó f(t) = L−1 { 1 p2 } . b. Quan hệ giữa gốc và ảnh. Định lý 1.6. Nếu f(t) là một hàm gốc với chỉ số tăng σ0 và L{f(t)} = F (p) thì tại mọi điểm liên tục t của hàm f(t) ta có f(t) = 1 2pii σ+i∞∫ σ−i∞ eptF (p)dp, (1.18) trong đó tích phân vế phải được lấy trên đường thẳng Re(p) = σ theo hướng từ dưới lên, với σ là số thực bất kì lớn hơn σ0. Công thức (1.18) được gọi là công thức nghịch đảo của Mellin. Ta thừa nhận mà không chứng minh định lý trên. c. Điều kiện đủ để một hàm có biến đổi ngược. Định lý 1.6 cho thấy không phải mọi hàm phức giải tích nào cũng có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 biến đổi ngược. Chẳng hạn hàm F (p) = p2 không thể là ảnh của hàm gốc nào vì lim Re(p)→∞ F (p) =∞. Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ để hàm giải tích có biến đổi ngược. Định lý 1.7. Giả sử hàm phức F (p) thoả mãn ba điều kiện sau : i) F (p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re(p) > σ0. ii) |F (p)| ≤MR với mọi p thuộc đường tròn |p| = R và lim R→∞ MR = 0. iii) Tích phân σ+i∞∫ σ−i∞ F (p)dp hội tụ tuyệt đối. Khi đó F (p) có biến đổi ngược là hàm gốc f(t) cho bởi công thức f(t) = 1 2pii σ+i∞∫ σ−i∞ eptF (p)dp. 1.2. Hàm suy rộng 1.2.1. Định nghĩa hàm suy rộng Định nghĩa 1.5. Cho tập D = D(R) gồm tất cả những hàm khả vi vô hạn và có giá compact trong R. Khi đó sự hội tụ trong D được định nghĩa như sau: Dãy {ϕn}∞n=1 ⊂ D được gọi là hội tụ tới hàm ϕ trong D nếu thoả mãn các điều kiện dưới đây : i) Tồn tại tập compact K ⊂ R sao cho suppϕn ⊂ K, với ∀n. ii) ∀k ∈ N: Dkϕn(t) hội tụ đều đến Dkϕ(t) trên K. Tập D cùng với sự hội tụ trên được gọi là không gian các hàm cơ bản. Định nghĩa 1.6. Gọi D′ = D′(R) là tập gồm tất cả những phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian các hàm cơ bản D. Tập D′ cùng với sự hội tụ yếu trong D′ được gọi là không gian các hàm suy rộng. Trong đó sự hội tụ yếu trong D′ được định nghĩa như sau : Dãy (fn)n=1,2,... ∈ D′ được gọi là hội tụ về f ∈ D′(viết là fn → f khi n→∞ trong D′) nếu ∀ϕ ∈ D thì 〈fn, ϕ〉 → 〈f, ϕ〉 khi n→∞. Số h