Luận văn Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Cấu trúc phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . . 8 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . . . . . . . 12 1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3. Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.4. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21.4.7. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.8. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.9. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.10. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.11. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.12. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.13. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.14. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.15. Họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . 17 1.5.1. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3. Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.5. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.6. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Định lý tham số hoá của Brody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22 2.1.2. Thác triển các đường cong J -chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao . . . . . . . . . . . 30 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi . . . . . . . . . . . 32 2.2.1. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.4. Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5. Bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32.2.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.7. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4Mở đầu Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức. Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức. Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F. Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn bè đồng nghiệp và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình. Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Thái nguyên, tháng 8 năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Đa tạp hầu phức 1.1.1. Cấu trúc phức Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu J2 := J ◦ J = −Id. Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv. Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v1, v2, ..., vn}. Xem V là R-không gian vectơ VR, xét J : VR −→ VR .................v 7−→ Jv = iv. Khi đó J là cấu trúc phức trên VR và không gian phức mà nó cảm sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu. 1.1.2. Nhận xét VR có R-cơ sở là {v1, v2, ..., vn, Jv1, Jv2, ..., Jvn}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 71.1.3. Ví dụ a) Cn = {(z1, ..., zn) : zj = xj + iyj ∈ C} ∼= R2n = {(x1, y1, x2, y2, ..., xn, yn)} . J : R2n → R2n cho bởi: J((x1, y1, ..., xn, yn)) = (−y1, x1, ...,−yn, xn). Khi đó J là cấu trúc phức trên R2n. b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M0 là đa tạp thực nhẵn 2m chiều. Gọi Tx(M0) là không gian tiếp xúc thực của M0 tại x và gọi Tx(M) là không gian tiếp xúc phức của M tại x. Giả sử (U, h) là một bản đồ địa phương của M quanh x. Ta có h : U −→ U ′ ⊂ Cm h = (h1, h2, ..., hn), cảm sinh ra h˜ : U −→ R2m cho bởi h˜(x) = (Reh1(x), Imh1(x), ...,Rehm(x), Imhm(x)). Ta có (U, h˜) là một bản đồ địa phương của M0 quanh x. Gọi { ∂ ∂z1 ∣∣∣∣ x , ..., ∂ ∂zn ∣∣∣∣ x } là C-cơ sở của Tx(M). Nó cảm sinh ra{ ∂ ∂xj ∣∣∣∣ x , ∂ ∂yj ∣∣∣∣ x }n j=1 là R-cơ sở của Tx(M0). Xét J : Tx(M0) −→ Tx(M0) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8cho bởi v = α1. ∂ ∂x1 ∣∣∣∣ x + β1. ∂ ∂y1 ∣∣∣∣ x + ...+ αn. ∂ ∂xn ∣∣∣∣ x + βn. ∂ ∂yn ∣∣∣∣ x ∈ Tx(M0) thì Jv = (−β1) ∂ ∂x1 ∣∣∣∣ x + α1 ∂ ∂y1 ∣∣∣∣ x + ....+ (−βn) ∂ ∂xn ∣∣∣∣ x + αn ∂ ∂yn ∣∣∣∣ x . Khi đó J là cấu trúc phức trên Tx(M0). 1.1.4. Cấu trúc hầu phức Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi pi : TM →M là phân thớ tiếp xúc thực. Giả sử J : T (M)→ T (M) là một tự đẳng cấu của T (M) liên kết với ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn ∀x ∈M : Jx = J ∣∣∣∣ Tx(M) : Tx(M)→ Tx(M) là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ Tx(M). Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M . 1.1.5. Đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếuM là một đa tạp vi phân chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J . 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều. Đặt T (M)C = T (M)⊗R C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9Tương tự ta định nghĩa T ∗(M)C = T ∗(M)⊗R C. Từ đó ta định nghĩa tích ngoài ΛT ∗(M)C và εr(M)C = ε(M,ΛrT ∗(M)C). Gọi εr(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức. Tức là với ϕ ∈ εr(M), ta có ϕ(x) = ∑ |I|=r ′ ϕI(x)dxI trong đó ϕI là hàm giá trị phức và∑ 1≤i1<i2<...<ik≤m = ∑ |I|=r ′ . Khi đó ta có dãy ε0(M) d−→ ε1(M) d−→ ... d−→ εm(M) −→ 0 với d2 = 0. Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức, khi đó J : Tx(M)C → Tx(M)C là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M)C. Ta đặt T 1,0(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J . T 0,1(M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J . Xét đẳng cấu liên hợp Q : T (M)C −→ T (M)C được cho trên mỗi thớ bởi Q(vx) = ivx ; vx ∈ TxMC. Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T 1,0(M) tới T 0,1(M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Xét T ∗(M)1,0 và T ∗(M)0,1 lần lượt là các phân thớ đối hợp của T 1,0(M), T 0,1(M). Ta có T ∗(M)C = T ∗(M)1,0 ⊕ T ∗(M)0,1 và có nhúng tự nhiên ΛT ∗(M)1,0 ↪→ ΛT ∗(M)C ΛT ∗(M)0,1 ↪→ ΛT ∗(M)C. Đặt εp,q(M) = ε(M,Λp,qT ∗(M)) εr(M) = ∑ p+q=r εp,q(M). Xét phép chiếu tự nhiên pip,q : ε r(M) −→ εp,q(M); (p+ q = r). Xét hạn chế d := d ∣∣∣∣ εp,q(M) Ta có d : εp,q(M) −→ εp+q+1(M) = ∑ r+s=p+q+1 εr,s(M). Đặt ∂ : εp,q(M) −→ εp+1,q(M) cho bởi ∂ = pip+1,q ◦ d. Đặt ∂ : εp,q(M) −→ εp,q+1(M) cho bởi ∂ = pip,q+1 ◦ d. Thác triển tuyến tính ∂, ∂ lên toàn ε∗(M) = dimM=m∑ r=0 εr(M) ta được ∂, ∂ : εr(M) −→ εr+1(M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 1.2.2. Định nghĩa Cấu trúc hầu phức J được gọi là khả tích nếu d = ∂ + ∂. 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg) Giả sử (X, J) là đa tạp hầu phức. Giả sử J là khả tích thì tồn tại duy nhất một cấu trúc đa tạp phức trên X sao cho nó cảm sinh ra cấu trúc hầu phức J . 1.2.4. Nhận xét Nếu (M,J) là đa tạp phức thì J là cấu trúc hầu phức khả tích. 1.3. Hàm đa điều hòa dưới 1.3.1. Định nghĩa Giả sử r là hàm lớp C2 trên M , khi đó ta định nghĩa dạng Levi của r trên T (M) như sau: LJ(r)(X) := −d(J∗dr)(X, JX) 1.3.2. Định nghĩa Một hàm nửa liên tục trên u trên (M,J) được gọi là hàm J-đa điều hòa dưới trên M nếu u ◦ f là điều hòa dưới trên ∆,∀f ∈ OJ(∆,M). Khi đó ta có đặc trưng sau đây về hàm đa điều hòa dưới. 1.3.3. Mệnh đề Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức. Giả sử u là C2-hàm giá trị thực trên M . Khi đó u là J-đa điều hòa dưới trên M nếu và chỉ nếu : LJ(u)(X) ≥ 0,∀X ∈ T (M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 Chú ý: Ta nói rằng một hàm C2-giá trị thực u trên M là J-đa điều hòa dưới chặt trên M nếu LJ(u) xác định dương trên TM. 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức Ký hiệu J0 là cấu trúc hầu phức chuẩn tắc trong R2n. 1.4.1. Định nghĩa +) Một ánh xạ trơn f : (M,JM) −→ (N, JN) giữa hai đa tạp hầu phức được gọi là (JM , JN)-chỉnh hình nếu các đạo hàm của nó giao hoán với cấu trúc hầu phức, tức là f∗ ◦ JM = JN ◦ f∗ . Ký hiệu O((M,JM), (N, JN) hay OJM ,JN (M,N) là tập hợp tất cả các ánh xạ (JM , JN)-chỉnh hình từ M vào N . Đặc biệt, nếu M là một miền trong Cn với JM là J0 trên R2n, thì tập O((M,JM), (N, JN)) được ký hiệu đơn giản là O(M, (N, JN)) và mỗi f ∈ O(M, (N, JN)) được gọi một cách đơn giản là J-chỉnh hình. +) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆r = {z ∈ C : |z| < r} . Với r = 1 ta kí hiệu ∆ = ∆1 là đĩa đơn vị trong C. Nếu (M,JM) = ( ∑ , J0) trong đó J0 là cấu trúc phức chính tắc trên diện Riemann ∑ , thì ánh xạ (J0, JN)-chỉnh hình được gọi là đường cong J-chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N, JN). Kí hiệu OJ( ∑ , N) là tập tất cả các đường cong J-chỉnh hình trên N . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 1.4.2. Bổ đề Cho (M,J) là một đa tạp hầu phức. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C. Khi đó tập tất cả các ánh xạ J-chỉnh hình từ ∆ −→M là đóng theo tôpô compact mở. Chứng minh Giả sử (fn)n∈N là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M,J) hội tụ đều trên mỗi tập compact của ∆ đến f . Chọn hai tập compact K và K ′ của ∆ sao cho K là phần trong của K ′. Theo chứng minh của Sikorav [Sk, mệnh đề 2.3.6 (i), tr.171 ] cho thấy rằng nếu K ′ đủ nhỏ thì ‖fn‖C2(K) ≤ L‖fn‖L∞(K ′). Vì vậy, sự hội tụ đều của (fn)n∈N suy ra tính C2-hội tụ cho f , vì thế f thỏa mãn các phương trình Cauchy-Riemann và là J-chỉnh hình. Bổ đề được chứng minh. 1.4.3. Bổ đề Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C2. Giả sử p và q là hai điểm của M đủ gần nhau. Khi đó tồn tại một đường cong J-chỉnh hình u : ∆ −→M sao cho p và q nằm trong u(∆). Từ Bổ đề trên cho phép ta định nghĩa được giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức như sau: 1.4.4. Định nghĩa Cho (M,J) là một đa tạp hầu phức, J ∈ C2 và gọi ρ là khoảng cách Bergman-Poincare trên ∆. Metric tương ứng là ρ = dz ⊗ dz (1− |z|2)2 . Ta định nghĩa giả khoảng cách Kobayashi kJM trên (M,J) như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 Cho trước hai điểm p, q ∈ M . Một dây chuyền Kobayashi nối hai điểm p, q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình (fk : ∆→ (M,J))1≤k≤m và các điểm zk, wk ∈ ∆ thoả mãn f1(z1) = p; fk(wk) = fk+1(zk+1); fm(wm) = q. Giả khoảng cách Kobayashi của (M,J) từ p tới q được định nghĩa bởi kJM(p, q) = inf m∑ k=1 ρ(zk, wk), trong đó infimum được lấy theo tất cả các dây chuyền Kobayashi nối p với q. Hàm số kJM : M ×M → R thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách kJM(p, q) ≥ 0 kJM(p, q) = k J M(q, p) kJM(p, q) + k J M(q, r) ≥ kJM(p, r) Tương tự như trong trường hợp phức , ta có tính chất giảm khoảng cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của kJM : 1.4.5. Tính chất Cho f : (M,J) −→ (N, J ′) là một ánh xạ (J, J ′)-chỉnh hình. Khi đó ∀(p, q) ∈M 2 ta có kJM(p, q) ≥ kJ ′ N (f(p), f(q)). 1.4.6. Hệ quả kC ≡ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 1.4.7. Mệnh đề Giả khoảng cách Kobayashi kJM là liên tục trên M ×M. 1.4.8. Định nghĩa Đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là hyperbolic (Kobayashi) nếu kJM thực sự là một khoảng cách. Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M,kJM) là đầy theo nghĩa Cauchy thì ta nói rằng (M,J) là hyperbolic đầy. Tương tự như trong trường hợp phức ta có định lý Barth [Ba] sau: 1.4.9. Mệnh đề Nếu M là đa tạp hầu phức hyperbolic thì kJM cảm sinh tôpô tự nhiên của M . 1.4.10. Định nghĩa Giả sử (M,JM), (N, JN) là các đa tạp hầu phức. Giả sử F ⊂ O((M,JM), (N, JN)). i) Một dãy {fi}i≥1 ⊂ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K ⊂M và với mỗi tập compact L ⊂ N , có một số dương j0 = j(K,L) sao cho fj(K) ∩ L = ∅,∀j ≥ j0. ii) F là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con phân kỳ compact. 1.4.11. Định nghĩa Một đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là taut nếu mọi dãy {fn}n≥1 trong O(∆, (M,J)), hoặc tồn tại một dãy con phân kỳ compact hoặc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 một dãy con hội tụ đều trên các tập con compact tới một ánh xạ J-chỉnh hình f : ∆ −→ (M,J). 1.4.12. Định lý Mỗi đa tạp hầu phức taut M là hyperbolic. 1.4.13. Định nghĩa Giả sử Ω là một miền trong C, (M,J) là một đa tạp hầu phức và F ⊂ O(Ω, (M,J)). Họ F được gọi là chuẩn tắc nếu F b O(Ω, (M,J)) trong tôpô compact mở. 1.4.14. Định nghĩa Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M,J) là một hàm liên tục không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc TM thoả mãn 1)E(v) = 0⇔ v = 0 2)E(av) = |a|E(v),∀a ∈ R, v ∈ TM. Ký hiệu dE là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E . Thế thì hàm khoảng cách dE sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [La]). 1.4.15. Họ đồng liên tục Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Và C(X, Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup. Họ F ⊂ C(X, Y ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17 được gọi là đồng liên tục tại một điểm x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈