Luận văn Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân

Lời cảm ơn Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của T.S Nguyễn Đinh Hùng. Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán. Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài. Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này. Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc. Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Mục lục Trang Mở đầu 1 Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 5 1.1. Tư duy 6 1.2. Tư duy sáng tạo 6 1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 9 1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho HS. 14 1.5. Tiềm năng của hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 19 1.6. Kết luận chương 1 21 Chương 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 22 2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 22 2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một bài toán hình học không gian 54 2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen 69 2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không gian về bài toán hình học phẳng 78 2.5. Kết luận chương 2 85 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 86 3.1. Mục đích thực nghiệm 86 3.2. Nội dung thực nghiệm 86 3.3. Tổ chức thực nghiệm 86 3.4. Kết luận chung về thực nghiệm 89 kết luận 91 tài liệu tham khảo 92 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp ứng được những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền thông. Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải tin tưởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới. Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đến mục tiêu giáo dục. Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong đó con người có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng. Vì thế bắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, lưu truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một tương lai mà ta chưa biết rõ. Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa khoá của sự phát triển. Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập buộc chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo được động lực trong thúc đẩy bản thân họ tư duy để đạt được mục tiêu đó. Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ở trường phổ thông, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng. Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác. Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với tác phẩm "Sáng tạo toán học" nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học. Đồng thời trong tác phẩm "Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc năng lực toán học của học sinh. ở nước ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Hay như luận văn Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi dưỡng một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo lý thuyết đồ thị". Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh". Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài: "Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân". Như vậy, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán được rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Tuy nhiên, việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở trường THPT thì các tác giả chưa khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể. Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn này là: "Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học". 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề nhằm góp phần rèn luyện yếu tố tư duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải bài tập hình học. 3. Giả thuyết khoa học Nếu dạy học hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh thì có thể góp phần đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông trung học. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu 4.1- Làm sáng tỏ khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo. 4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh. 4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sự phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 4.4- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài. 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1- Nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán. - Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài. - Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài. 5.2. Quan sát - Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa. 5.3. Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm với lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. 6. Cấu trúc luận văn A. Phần mở đầu - Lý do chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thiết khoa học - Phương pháp nghiên cứu B. Phần nội dung Chương 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Tư duy 1.2. Tư duy sáng tạo 1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo 1.4. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho HS. 1.5. Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. 1.6. Kết luận chương 1 Chương 2. Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh 2.1. Vấn đề 1: Rèn luyện tư duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 2.2. Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một bài toán. 2.3. Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy lạ về quen. 2.4. Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học không gian về bài toán hình học phẳng. 2.5. Kết luận chương 2 Chương 3. Thực nghiệm sư phạm 3.1. Mục đích thực nghiệm 3.2. Nội dung thực nghiệm 3.2.1. Lớp thực nghiệm 3.2.2. Tiến trình thực nghiệm 3.3. Kết quả thực nghiệm 3.3.1. Đánh giá hoạt động học tập của học sinh ở lớp học 3.3.2. Kết luận về thực nghiệm sư phạm. Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1. Tư duy Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy. Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn Quang Cẩn) Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó". Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy. - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. 1.2. Tư duy sáng tạo Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người. Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán) Theo Tôn Thân quan niệm: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội) Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm". Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả". Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đối với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như vậy, một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu người giải chưa biết trước thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày. Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy sáng tạo ra cái mới. Thật vậy, tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới về các phương thức hoạt động. Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của tư duy sáng tạo: - Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo. - Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách" - Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. - Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu. - Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một phương thức mới). - Kỹ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng phương thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977) Tư duy sáng tạo là tư duy tích cực và tư duy độc lập nhưng không phải trong tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không phải trong tư duy độc lập đều là tư duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm dưới dạng vòng trong đồng tâm Tư duy tích cực Tư duy độc lập Tư duy sáng tạo Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết đến. Bắt đầu từ tình huống gợi vấn đề, tư duy sáng tạo giải quyết mâu thuẫn tồn tạo trong tình huống đó với hiệu quả cao, thể hiện ở tính hợp lý, tiết kiệm, tính khả thi và cả ở vẻ đẹp của giải pháp. Nói chung tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. 1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc của tư duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau: - Tính mềm dẻo - Tính nhuần nhuyễn - Tính độc đáo - Tính hoàn thiện - Tính nhạy cảm vấn đề 1.3.1. Tính mềm dẻo Tính mềm dẻo của tư duy là năng lực dễ dàng đi từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, từ thao tác tư duy này sang thao tác tư duy khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hóa, cụ thể hoá và các phương pháp suy luận như quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác, điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại. Tính mềm dẻo của tư duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện tượng, gạt bỏ sơ đồ tư duy có sẵn và xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán đoán. Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách suy nghĩ đã có từ trước. Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Như vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sáng tạo, do đó để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy. 1.3.2. Tính nhuần nhuyễn Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới. Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất lượng của ý tưởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo, trong trường hợp này số lượng làm nảy sinh ra chất lượng. Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau: - Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn để phải giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó tìm được phương án tối ưu. Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm của BC. Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AI, OC? Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng cách từ 1 điểm thuộc 1 đường thẳng (chẳng hạn O ẻ OC) đến một mặt phẳng song song đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ). Qua I kẻ IJ // OC (J ẻ OB) Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC. Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)). Kẻ OH ^ AJ (H ẻ AJ). Vì IJ // OC nên ị IJ ^ OH. Do đó OH ^ (AIJ) hay OH ^ (P) Suy ra d (AI, OC) = d ((P), OC) = d ((P), O) = OH = . - Hai là khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có một cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. Trở lại ví dụ trên ta có: Cách 2: Dựng đường vuông góc chung của AI và OC. - Qua I kẻ đường thẳng IJ // OC (J ẻ OB) - Qua O kẻ đường thẳng OH // AJ (H ẻ AJ) - Qua H kẻ đường thẳng HE // IJ (I ẻ AI) - Qua E kẻ đường thẳng EF // OH (F ẻ OC) Khi đó EF là đoạn ^ góc chung của AI và OC. Thật vậy. Vì IJ // OC nên Vì OH ^ AJ (theo cách dựng) nên theo (1) ta có OH ^ (AIJ) ị OH ^ AI mà EF // OH nên ị EF ^ AI (2) Ta lại có: OC ^ (AOB) ị OC ^ OH. Do đó EF ^ OC (OH // EF) (3) Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh. Khoảng cách giữa đường thẳng AI và OC là: d(AI, OC) = EF = OH. Trong đó: ị OH = . Vậy d(AI, OC) = . Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và OC là khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng AI, OC và song song với nhau. Từ I kẻ IJ // OC (J ẻ OB) Gọi (P) là mp qua AI và IJ, (Q) là mp qua DC và // (P) Khi đó: d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH = . Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đường thẳng AI và OC là chiều cao hình chóp có đỉnh là một điểm nằm trên một đường thẳng (chẳng hạn O ẻ OC) đáy nằm trên mặt phẳng // đường thẳng đó và chứa đường thẳng còn lại (mp (AIJ)). Hình chóp OAIJ Ta có d(OC, AI) = Trong đó: VOAIJ = SAIJ = ị d(OC, AI) = Vậy d (OC, AI) = . Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng AI, OC là chiều cao hình