Tiểu luận Những vấn đề liên quan đến động cơ nhiệt hoạt động theo chu trình carnot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 K34B KHOA HÓA
BÀI TIỂU LUẬN NHỮNG VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘNG CƠ NHIỆT HOẠT ĐỘNG THEO CHU TRÌNH CARNOT Nhóm 2: Vũ Văn Lượng Nguyễn Thùy Linh Mai Thị Loan Trịnh Thị Ngân Dương Thị Nhàn Nguyễn Thị Oanh Trịnh Hà Phương Nguyễn Thị Tâm Năm 2009-2010 MỤC LỤC I .Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học và những hạn chế của nguyên lý đó I.1 Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học I.2 Những hạn chế của nguyên lý thứ nhất II . Qúa trình thuận nghịch và quá trình không thuận nghịch II.1 Định nghĩa II.2 Thí dụ II.2.1 Về quá trình thuận nghịch II.2.2 Về quá trình không thuận nghịch II.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu các quá trình thuận nghịch và không thuận nghịch. III. Nguyên lý thứ hai của nhiệt động III.1 Máy nhiệt III.2 Nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học phát biểu định tính III.3 Chu trình carnot III.3.1 Chu trình Carnot với tác nhân là khí lý tưởng III.3.2 Động cơ nhiệt làm việc theo chu trình cacno với các tác nhân bất kỳ III.3.3 Động cơ nhiệt làm việc theo chu trình bất kỳ III.3.4. Cách tăng hiệu suất (hệ số tác dụng hữu ích) của động cơ nhiệt IV. Phát biểu định lượng nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học và nhiệt giai nhiệt động lực học IV.1. Phát biểu định lượng nguyên lý thứ hai nhiệt động lực học IV.2 Nhiệt giai của nhiệt động học V. Mở rộng V.1 Động cơ đốt trong V.2 Ưu khuyết điểm và lĩnh vực sử dụng động cơ đốt trong V.2.1 Ư u điểm chính của động cơ đốt trong V.2.2 Nhược điểm động cơ đốt trong V.2.3 : Lĩnh vực sử dụng V.3 Đặc điểm của chu trình lý tưởng Chúng ta thấy rằng trên thực tế các máy nhiệt đêù hoạt động theo chu trình nhất định. Chu trình có lợi nhất là chu trình cacno. Điều này đã được nêu trong lý thuyết về chu trinh của sadi cacno (1824) cùng với hai định lý mang tên định lý Cacno thứ nhất và thứ hai. Sự đúng đắn của hai định lý này đã được Clausius và Thomson khẳng định lại vào khoảng 1850-1851 Chu trình cacno đóng vai trò to lớn trong sự phát triển nhiệt động học và kĩ thuật nhiệt vì nó cho phép ta lập nên biểu thức định lượng của nguyên lý thứ hai, phân tích hiệu suất cua các máy nhiệt và định nghĩa được nhiệt độ nhiệt động học tuyệt đối, không phụ thuộc một vật nhiệt biểu nào. Để tìm hiểu các vấn đề trên ta sẽ đi tìm hiểu các vấn đề sau: I .Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học và những hạn chế của nguyên lý đó I.1 Nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học: Lượng nhiệt do hệ hấp thụ được dùng để tăng nội năng của hệ và để thực hiện công chống lại lực ngoài.
I.2 Những hạn chế của nguyên lý thứ nhất Nội dung của nguyên lý thứ nhất chính là định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng. Tất cả các quá trình vĩ mô trong tự nhiên đều phải tuân theo nguyên lý thứ nhất. Nhưng ngược lại , một quá trình vĩ mô phù hợp với nguyên lý thứ nhất có thể vẫn không xảy ra trong thực tế. Ta hãy xét một vài ví dụ : Xét một hê cô lập gồm hai vật có nhiệt độ khác nhau. Khi đặt hai vật tiếp xúc nhau thì chúng sẽ trao đổi nhiệt với nhau. Theo nguyên lý thứ nhất nhiệt lượng tỏa ra từ vật này bằng nhiệt từ vật kia thu vào; còn trong hệ xảy ra quá trình truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh hoặc từ vật lạnh sang vật nóng thì nguyên lý thứ nhất đều không bị vi phạm, tuy nhiên, thực tế cho biết rằng trong hệ cô lập, qúa trình truyền nhiệt từ vật lạnh sang vật nóng sẽ không xảy ra mà chỉ xảy ra quá trình truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh. Một hòn đá có khối lượng m được nâng lên độ cao Z trong chân không, thế năng của nó là mgZ. Nếu nó rơi xuống đất, thế năng giảm, còn động năng tăng dần. Lúc va chạm với đất động năng của nó đạt giá trị mgZ. Sau khi va chạm động năng này biến đi nhưng làm đất nóng lên. Hiện tượng xảy ra theo đúng nguyên lý thứ nhất. Nếu ta hình dung hiện tượng ngược lại: hòn đá đang nằm trên mặt đất lấy một hiện tượng đúng bằng hiện tượng ở trên , đưa nó lên được một độ cao Z. Trong quá trình này, nguyên lý thứ nhất không bị vi phạm. Tuy nhiên, trong thực tế không xảy ra quá trình đó. Qua hai ví dụ trên ta thấy nguyên lý thứ nhất không cho ta biết chiều diễn biến của quá trình thực tế xảy ra….. Trong vấn đề này, nguyên lý thứ nhất cũng nêu lên sự khác nhau trong quá trình chuyển hóa giữa công và nhiệt. Theo nguyên lý thứ nhất, công và nhiệt tương đương nhau và có thể chuyển hóa lẫn nhau ; nhưng thực tế chỉ rõ rằng công có thể chuyển hóa hoàn toàn thành nhiệt nhưng ngược lại nhiệt chỉ có thể biến một phần mà không thể biến hoàn toàn thành công được. Nguyên lý thứ nhất cũng không đề cập đến tới vấn đề chất lượng của nhiệt. Trong thực tế nhiệt lượng Q lấy ở môi trường có nhiệt độ cao có chất lượng cao hơn nhiệt lượng đó lấy ở môi trường có nhiệt độ thấp hơn. Như vậy nếu chỉ dựa vào nguyên lý thứ nhất thì sẽ có nhiều vấn đề thực tế không giải quyết được. Nguyên lý thứ hai của nhiệt động học sẽ khắc phục những hạn chế trên đây của nguyên lý thứ nhất và cùng với nó tạo thành một hê thống lý luận chặt chẽ làm cơ sở cho việc nghiên cứu các hiện tượng nhiệt. Về mặt kĩ thuật nguyên lý thứ hai đóng một vai trò rất quan trọng trong việc chế tạo các động cơ nhiệt II . Qúa trình thuận nghịch và quá trình không thuận nghịch Dựa vào đặc tính của các quá trình người ta chia chúng thành hai loại: quá trình thuận nghịch và quá trình không thuận nghịch. II.1 Định nghĩa Một quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1sang trạng thái 2được gọi là thuận nghịch khi nó có thể tiến hành theo chiều ngược lại và trong quá trình ngược đó, hệ đi qua các quá trình trung gian như trong quá trình thuận. Căn cứ vào định nghĩa ta thấy quá trình thuận nghịch cũng là quá trình cân bằng. Mà quá trình cân bằng là một chuỗi liên tiếp các trạng thái cân bằng. Quá trình này phải tiến hành rất chậm để mỗi thông số trạng thái của hệ tại mỗi phần của hệ có giá trị như nhau, nghĩa là hệ chuyển từ trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác. Tất nhiên quá trình đó có thể tiến hành theo chiều thuận cũng như theo chiều nghịch. Nếu mỗi trạng thái của hệ là không cân bằng thì các thông số trạng thái của hệ không có giá trị xác định và thực nghiệm chứng tỏ rằng khi trạng thái đó thay đổi thì không thể lặp lại trạng thái như cũ được. Như vậy theo định nghĩa trên trong quá trình thuận nghịch không thể có một trạng thái nào không cân bằng hay nói cách khác quá trình thuận nghịch là một quá trình cân bằng. Với một quá trình thuận nghịch, khi tiến hành theo chiều nghịch hệ qua tất cả các trạng thái trung gian như trong quá trình thuận. Do đó nếu biểu diễn bằng đồ thị thì đồ thị của quá trình thuận và quá trình nghịch là trùng nhau. Công mà hệ nhận được trong quá trình nghịch sẽ bằng và ngược dấu với công do hệ cung cấp cho bên ngoài trong quá trình thuận. Trở lại trạng thái cũ, nội năng của hệ không thay đổi. nhiệt mà hệ nhận được vào trong quá trình nghịch cũng bằng nhiệt mà hệ tỏa ra bên ngoài trong quá trình thuận. Vậy : đối với quá trình thuận nghịch, sau khi tiến hành quá trình thuận và quá trình nghịch để đưa hệ về trạng thái ban đầu thì môi trường xung quanh không xảy ra một sư biến đổi nào cả. Rất khó thực hiện những quá trình cân bằng . trong thực tế thường xảy ra các quá trình mà hệ biến đổi qua một số trạng thái không cân bằng. Như ta đã biết ở trên : khi trạng thái không cân bằng đã thai đổi thì không thể tạo lại trạng thái như thế nào được nữa. Những quá trình như thế được gọi là quá trình không thuận nghịch. Vì vậy ta có thể định nghĩa quá trình không thuận nghịch là quá trình mà khi ta tiến hành theo chiều ngược lại hệ không qua đầy đủ các trạng thái trung gian mà quá trình thuận . Đối với một quá trình không thuận nghịch công và nhiệt mà hệ nhận vào từ bên ngoài trong quá trình ngược không bằng công và nhiệt mà hệ cung cấp ra bên ngoài trong quá trình thuận. Kết quả là đối với quá trình không thuận nghịch sau khi tiến hành quá trình thuận và quá trình ngược lại để đưa hệ về trạng thái ban đầu thì môi trường xung quanh bị biến đổi. II.2 Thí dụ II.2.1 Về quá trình thuận nghịch Ta xét một con lắc dao động không ma sát mà nhiệt độ của nó bằng nhiệt độ của môi trường .Do các điều kiện này nên không có sự trao đổi nhiệt với bên ngoài. Trong nửa chu kỳ đầu con lắc đi ngược quãng đường từ vị trí 1 đến vị trí 2 và trong nửa chu kỳ sau con lắc đi đoạn đường ngược lại từ 2 về 1. Sau quá trình thuận và quá trình nghịch công của trọng lực sinh ra bằng không. Kết quả môi trường xung quanh không bị biến đổi. - Qúa trình nén và giãn khí đoạn nhiệt vô cùng chậm cũng là một quá trình thuận nghịch. Xét một khối khí đựng trong xilanhđặt trong vỏ cách nhiệt với bên ngoài. Giả sử khối khí giãn vô cùng chậm từ thể tích V1 đến thể tích V2 để quá trình có thể coi là quá trình cân bằng. Nếu tiên hành quá trình ngược lại : nén khí vô cùng chậm từ thể tích V2 đến thể tích V1 khối khí sẽ đi qua các trạng thái cân bằng trung gian như quá trình giãn. Công mà khối khí nhận được trong quá trình nén bằng công sinh ra trong quá trình giãn. Do đó sau khi trở về trạng haí ban đầu khối không khí trao đổi công với môi trường bên ngoài. Vì có vỏ cách nhiệt nên khối không khí trao đổi nhiệt với môi trường ngoài. Kết quả là sau khi trở về trạng thái ban đầu môi trường xung quanh không bị biến đổi. Có thể nói rằng mọi quá trình cơ học không có ma sát đều là quá trình thuận nghịch. II.2.2 Về quá trình không thuận nghịch Ta thấy trong các quá trình cơ học và nhiều quá trình khác, sự thuận nghịch chỉ tồn tại khi không có nhiệt độ trao đổi. Nhưng thực nghiệm chứng tỏ rằng mọi quá trình vĩ mô thực, bao giờ cũng có trao đổi với bên ngoài moi. Vì vậy, mọi quá trình vĩ mô thực đều là những quá trình không thuận nghịch. Thí dụ : các quá trình xảy ra có ma sát. Do có ma sát, trong quá trình thuận, một phần công biến thành nhiệt và nếu tiến hành quá trình ngược thì một phần công nữa lại biến thành nhiệt. kết quả cuối cùng là có một phần công biến thành nhiệt và thực nghiệm xác định, nhiệt đó chỉ làm nóng các vật chứ không biến thành công được. Do đó sau khi tiến hành quá trình thuận và quá trình ngược lại, môi trường xung quanh bị biến đổi. Vậy các quá trình có ma sát đều là quá trình không thuận nghịch. Quá trình truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh cũng là một quá trình không thuận nghịch. Quá trình này xảy ra một cách tự phát, không cần có một tác dụng nào từ bên ngoài. Quá trình chấm dứt khi nhiệt độ của hai vật cân bằng nhau. Muốn có một quá trình ngược lại : nhiệt từ vật lạnh truyền sang vật nóng thì phải có tác dụng từ bên ngoài. Kết quả là sau khi vật nóng truyền sang vật lạnh và lấy nhiệt từ vật lạnh trả lại cho vật nóng để hai vật trở về trạng thái ban đầu thì môi trường xung quanh bị biến đổi. II.3 Ý nghĩa của việc nghiên cứu các quá trình thuận nghịch và không thuận nghịch. Qua việc nghiên cứu các quá trình thuân nghịch và không thuận nghịch nói trên,ta thấy rằng các quá trình thuận nghịch kể trên đều là các quá trình lí tưởng và trong thực tế chỉ xảy các quá trình không thuận nghịch.việc nghiên cứu đó đóng vai trò rất quan trọng trong công việc xây dựng nguyên lí thứ hai của nhiệt động học. Những ví dụ về quá trình không thuận nghịch chỉ rõ ràng trong hai chiều diễn biến của một quá trình vĩ mô,chỉ có một chiều quá trình xảy ra một cách tự phát,không cần có tác dụng bên ngoài.chiều diễn biến tự phát này đảm bảo cho hệ tiến tới trạng thái cân bằng.khi hệ ở trạng thái cân bằng rồi thì hệ không thể tự phát, không cần có tác dụng bên ngoài. Chiều diễn biến tự phát này đảm bảo cho hệ tiến tới một trạng thái cân bằng. Khi hệ ở trạng thái cân bằng rồi thì hệ không thể tự phát xảy ra quá trình đưa hệ tới những trạng thái không cân bằng. Cần chú ý rằng tuy các quá trình thuận nghịch là các quá trình lý tưởng nhưng việc nghiên cứu chúng rất quan trọng đối với việc thiết lập biểu thức định lượng của nguyên lý thứ hai. Ta đã biết muốn thực hiện được các quá trình thuận nghịch cần phải loại trừ ma sát và ngăn không cho nhiệt truyền từ chỗ nóng sang chỗ lạnh . Vì vậy, so với quá trình bất thuận nghịch , quá trình thuận nghịch là quá trình lợi nhất về phương diện công và nhiệt vì công sinh ra không bị mất mát vì ma sát và nhiệt mà hệ nhận vào cũng không bị hao hụt do tỏa nhiệt cho môi trường xung quanh. Điều này được ứng dụng trong kĩ thuật chế tạo động cơ nhiệt mà ta sẽ nói ở phần sau. Tất nhiên máy hoạt động theo những chu trình càng gần quá trình thuận nghịch thì càng có lợi . III. Nguyên lý thứ hai của nhiệt động học Để phát biểu nguyên lý thứ hai của nhiệt động học ta xét đến các máy nhiệt III.1 Máy nhiệt Máy nhiệt là một hệ hoạt động tuần hoàn biến công thành nhiệt (máy lạnh) hoặc biến nhiệt thành công (động cơ nhiệt). Trong các máy nhiệt có các chất vận chuyển làm nhiệm vụ biến nhiệt thành công và ngược lại, chúng được gọi là các tác nhân. Khi máy hoạt động , tác nhân trao đổi nhiệt với các tác vật có nhiệt độ khác nhau. Các vật này được gọi là các nguồn nhiệt . Người ta coi nguồn nhiệt có nhiệt độ không đổi và sự trao đổi nhiệt không ảnh hưởng tới nhiệt độ của nó. Thông thường máy nhiệt trao đổi nhiệt với hai nguồn nhiệt. Nguồn có nhiệt độ cao hơn được gọi là nguồn nóng, còn nguồn có nhiệt độ thấp hơn gọi là nguồn lạnh. Tất cả các máy nhiệt đều hoạt động tuần hoàn, do đó các tác nhân trong maý nhiệt biến đổi theo chu trình. III.2 Nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học phát biểu định tính Theo nguyên lý thứ nhất của nhiệt động lực học để sinh công A trong chu trình , tác nhân phải dùng một lượng nhiệt Q=A. nhưng nguyên lý thứ nhất không giải quyết được vấn đề đặt ra trong thực tế là có phải toàn bộ nhiệt lượng Q1 mà tác nhân nhận cuả ngoại vật trong chu trình đã được dùng để sinh công A hay không ? Vấn đề này có liên quan chặt chẽ với việc chế tạo động cơ vĩnh cửu loại hai tức là loại động cơ có A = Q. Thực vậy sau khi đã thưà nhận là nguyên lý thứ nhất hoàn toàn đúng đắn một số người mơ tưởng dựa vào nguyên lý này có thể chế tạo những động cơ làm việc sao cho toàn bộ nhiệt lượng Q1 mà các tác nhân nhận của ngoại vật trong một chu trình được biến đổi hoàn toàn thành công A. Nếu chế tạo thành công loại động cơ này thì rất có lợi và rất thuận tiện , vì để làm chạy máy chỉ cần sử dụng một một nguồn nhiệt cung cấp năng lượng cho máy là đủ. Mà nguồn nhiệt ở quanh chúng ta thì vô cùng tận : vỏ trái đất, các đại dương, v v ….Ví dụ các đại dương trên trái đất có 1370 triệu km3 nước , chỉ cần giảm nhiệt độ của nước biển đi 0,10 thì cũng thu được một nhiệt lượng đủ để chạy tất cả các máy trên trái đất 1500 năm. Sau một thời gian dài mọi cố gắng nhằm thực hiện động cơ vĩnh cửu loại hai đều vô ích. Động cơ chế tạo trong thực tế, không chỉ sử dụng toàn bộ nhiệt lượng Q mà nó còn nhận của một nguồn nhiệt nào đó để biến thành công A được mà bao giờ cũng phải truyền cho một nguồn nhiệt thứ hai một phần nhiệt lượng Q2 mà
nó đã nhận của nguồn thứ nhất nghĩa là Q =
-
= A . tổng quát hóa những kinh nghiệm và những quan sát thu được trong thực nghiệm người ta đã xây dựng lên nguyên lý mới độc lập với nguyên lý thứ nhất nhiệt động lực học, đó là nguyên lý thứ hai của nhiệt động lực học có nội dung định tính như sau: Không thể thực hiện được một chu trình sao cho kết quả duy nhất của nó là tác nhân sinh công do nhiệt lấy từ một nguồn. Một cách ngắn gọn hơn có thể phát biểu nguyên lý hai như sau : không thể chế tạo được động cơ vĩnh cửu loại hai Như vậy nguyên lý thứ hai không có gì mâu thuẫn với nguyên lý thứ nhất mà chỉ làm sáng tỏ thêm nguyên lý thứ nhất, không những vậy khi vận dụng nguyên lý thứ hai vượt ra khỏi phạm vi của mối liên hệ giữa nhiệt và công để xét chung mọi quá trình biến đổi năng lượng đã xảy ra ta sẽ thấy nguyên lý thứ hai có nhiều ý nghĩa quan trọng sâu sắc và tổng quát. III.3 Chu trình carnot Động cơ nhiệt là thiết bị dùng để chuyển nhiệt thành công. Theo nguyên lí II một động cơ nhiệt khi làm việc phải tiếp xúc với ít nhất hai nguồn nhiệt là nguồn nóng với nhiệt độ T1 và nguồn lạnh có nhiệt độ T2 trong đó T1 > T2. Quá trình chuyển nhiệt thành công trong động cơ được biểu diễn bằng sơ đồ sau.
 Theo sơ đồ này động cơ lấy từ nguồn nóng nhiệt lượng Q1 chuyển cho nguồn lạnh lượng nhiệt Q2. Công nhận được là: A = Q1 – Q2 Tỉ số:
=
Được gọi là hệ số tác dụng hữu ích của động cơ, đó là tỉ số giữa công A nhận được và lượng nhiệt Q1 mà hệ lấy từ nguồn nóng. Rõ ràng
< 1 III.3.1 Chu trình Carnot với tác nhân là khí lý tưởng Trong thực tế, sự chuyển nhiệt thành công đã được nghiên cứu và áp dụng từ thế kỉ 18, nhưng mãi đến năm 1824 kĩ sư người Pháp Carnot mới xây dựng được chu trình thuân nghịch lí tưởng gọi là chu trình Carnot. Chu trình carnot là một chu trình thuận nghịch lí tưởng được thực hiện trong động cơ nhiệt, gồm hai đường đẳng nhiệt thuận nghịch (AB và CD) và hai đường đoạn nhiệt thuận nghịch (BC và AD) như được biểu diễn trong hệ trục (P, V) trên hình dưới
Chu trình carnot được tiến hành như sau: Giả sử chất sinh công là một mol khí lí tưởng. Hệ xuất phát từ trạng thái đầu A có thể tích VA và nhiệt độ T1. cho hệ giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch (T1 = const) đến thể tích VB ứng với điểm B. Công giãn nở A1 do hệ sinh ra bằng lượng nhiệt Q1 mà hệ nhận được, nghĩa là: A1 = Q1 = RT1ln
Sau đó hệ giãn nở đoạn nhiệt (Q = 0) từ thể tích VB đến VC theo đường BC. Công do hệ sinh ra bằng nội năng của hệ: AII = -
U = CV(T1 – T2) Tiếp tục thực hiện quá trình nén khí đẳng nhiệt (T2 = const) từ thể tich VC đến VD theo đường CD. Công tiêu tốn để nén khí bằng lượng nhiệt Q2 mất đi: AIII = - Q2 = RT2ln
= -RT2ln
Cuối cùng, hệ được nén đoạn nhiệt về trạng thái A ban đầu theo đường DA. Hệ nhận một công bằng độ tăng nội năng: AIV = -
U = CV (T2 - T1) Công của toàn bộ quá trình là: A = A1 + AII + AIII + AIV = = RT1ln
+ CV(T1 – T2) + RT2ln
+ CV (T2 - T1) = = RT1ln
- RT2ln
Quá trình BC là đoạn nhiệt nên ta có: T1
= T2
Qua trình AD cũng là đoạn nhiệt, nên ta có: T1
= T2
Chia hai đẳng thúc này cho nhau, ta nhận được:
=
hay
=
Như vậy công của toàn chu trình là: A = R(T1 - T2)ln
= Q1 – Q2 Ta lại có hiệu suất của động cơ nhiệt được tính theo công thức
=
=
Từ đó ta có:
=
=
=
Như vậy hệ số tác dụng hữu ích của động cơ nhiệt làm việc theo chu trình carnot thuận nghịch chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ nguồn nóng T1 và nguồn lạnh T2. Vì T1 > T2 nên 0 <
< 1. Nếu T1 = T2 thì
= 0 và A =0, có nghĩa là một động cơ nhiệt không thể sinh công nếu chỉ tiếp xúc với một nguồn nhiệt ở nhiệt độ không đổi. Nếu T2 = 0 thì
= 1, nhưng điều kiện này không thể thực hiện được, vì theo nguyên lý III của nhiệt động lực học thì không thể đạt được nhiệt độ không tuyệt đối (0K). Trên cơ sở đó Carnot đã đưa ra hai định lí như sau: hệ số tác dụng hữu ích của một động cơ nhiệt (
) làm việc theo chu trình Carnot thuận nghịch không phụ thuộc vào bản chất của chất sinh công mà chỉ phụ thuộc vào nhệt độ nguồn nóng và nguồn lạnh. Hệ số tác dụng hữu ích của chu trình Carnot thuận nghịch có giá trị lớn hơn hệ số tác dụng hữu ích của bất cứ chu trình nào khác giữa hai nhiệt độ cho trước. Chứng minh định lí Carnot thứ nhất: Giả thiết có hai động cơ làm việc theo chu trình thuận nghịch Carnot giữa hai nhiệt độ T1 và T2 nhưng khác nhau về chất sinh công trong động cơ thứ nhất là khí kí tưởng, trong động cơ thứ hai là một chất khí hoặc một chất lỏng bất kì. Giả thiết động cơ thứ nhất nhận lượng nhiệt Q1 từ nguồn nóng, trong quá trình làm việc nó thải cho nguồn lạnh lượng nhiệt Q2, đồng thời sản ra một công A = Q1 – Q2 , Hệ số tác dụng hữu ích của động cơ thứ nhất là:
=
Giả thiết động cơ thứ hai làm việc giữa hai nguồn nhiệt ấy cũng nhận ở nguồn nóng một nhiệt lượng Q
= Q1 và giả thiết nó có hệ số tác dụng hữu ích nhỏ hơn,
Q2.
 Bây giờ giả thiết cho động cơ thứ hai làm việc theo chiều ngược lại, nghĩa là nó nhận nhiệt Q
từ nguồn lạnh và thải nhiệt Q
cho nguồn nóng bằng cách tiêu thụ công A’ do động cơ I cung cấp, Nếu hai động cơ làm việc song song và ngược chiều nhau như vậy thì trạng th