Định lý bướm kép đối với tứ giác

ĐỊNH LÝ BƯỚM KÉP ĐỐI VỚI TỨ GIÁC NGUYỄN NGỌC GIANG (TP. HỒ CHÍ MINH) TRỊNH HUY VŨ (THPT CHUYÊN KHTN HÀ NỘI) Tóm tắt Chúng ta sẽ khám phá chứng minh định lí bướm đơn và định lí bướm kép cho tứ giác. Các kết quả này là mở rộng các kết quả trong [1] của tác giả Zvonko Cerin. 1. Định lí bướm đơn đối với tứ giác Zvonko Cerin [1] đã chứng minh được kết quả sau gọi là định lí bướm đơn đối với tứ giác Định lý 1 (Định lí bướm đơn đối với tứ giác). Cho A′B′C ′D′ là tứ giác nội tiếp của ABCD. Giả sử ABCD và A′B′C ′D′ cùng chung giao điểm của các đường chéo. U và V lần lượt là các giao điểm của đường thẳng AC với các đường thẳng D′A′ và B′C ′.. Định lí con bướm đối với tứ giác, được thiết lập AU UI . IV V C = AI IC . (1) Zevonko Cerin cũng đã mở rộng hệ thức (1) thành định lí tổng quát sau Định lý 2. Gọi A′B′C ′D′ là tứ giác nội tiếp của ABCD. E là giao của A′C ′ và B′D′. I là giao của AC và BD. U là giao của AC và D′A′. V là giao của AC và B′C ′. Nếu E nằm trên đường thẳng AC, thì AU UE . EV V C = AI IC . (2) 205 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Cerin chứng minh hệ thức (2) bằng phương pháp tọa độ với sự trợ giúp của phần mềm Maple. Cách chứng minh của Cerin có ưu điểm là cách chứng minh có tư duy thuật toán. Nhược điểm của nó là lời giải dài, tính toán phức tạp. Chính vì thế để khắc phục nhược điểm này, chúng tôi đã nghiên cứu và đưa ra cách chứng minh thuần túy hình học. J C B F G A D B' C' E H A' D' V M I U Chứng minh định lý 2. Đặt B′D′ cắt AB tại F ; A′C ′ cắt AD tại G;FG cắt AC tại H;FG cắt B′C ′ tại J,A′C ′ cắt BD tại M. Xét ∆AFG và ∆CB′C ′ có AC,FB′, GC ′ đồng quy tại E. Theo định lí Desargues, suy ra J,D,B thẳng hàng. Nói cách khác là J nằm trên BD. Xét tứ giác toàn phần AD′EA′FG, ta có (HU,AE) = −1 suy ra HA HE = UA UE . Từ đây ta có (HI,AE) = G(HI,AE) = (JI,DM) = C ′(JI,DM) = (V I, CE). Suy ra HA HE . IE IA = V C V E . IE IC suy ra AU UE . EV V C = AI IC . 206 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Đây chính là điều phải chứng minh. 2. Định lí bướm kép đối với tứ giác Từ định lí 1, chúng tôi nảy sinh ra ý tưởng mở rộng định lí bướm đơn đối với tứ giác thành định lí bướm kép như sau Định lý 3 (Định lí bướm kép đối với tứ giác). Cho tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua I dựng các đường thẳng d1, d2, d3; d′1, d ′ 2, d ′ 3 lần lượt cắt các cạnh AB,BC,CD,DA tạiM,R,G;N,S,H;P, T, F ;Q,L, J. Gọi giao điểm của RL,GJ ;ST,HF với AC lần lượt là U2, U3;V2, V3. Gọi giao điểm của MU3 với AD là W ;QU2 với AB là X. Gọi giao điểm của NV3 với DC là Z;PV2 với BC là Y. Gọi giao điểm của XW với AC là U ;Y Z với AC là V. Chứng minh rằng AU UI . IV V C = AI IC . (3) D A C B I Q N F G P W M U3 V3 L T R S U2 2 X J H Z Y U V V 207 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Chúng tôi mở rộng định lý 3 thành định lý 4 tổng quát hơn như sau Định lý 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Gọi E là điểm bất kì nằm trên AC. Qua E dựng các đường thẳng d1, d2, d3; d′1, d ′ 2, d ′ 3 lần lượt cắt các cạnh AB,BC,CD,DA tại M,R,G;N,S,H;P, T, F ;Q,L, J. Gọi giao điểm của RL,GJ ;ST,HF với AC lần lượt là U2, U3;V2, V3. Gọi giao điểm của MU3 với AD là W ;QU2 với AB là X. Gọi giao điểm của NV3 với DC là Z;PV2 với BC là Y. Gọi giao điểm của XW với AC là U ;Y Z với AC là V. Chứng minh rằng AU UE . EV V C = AI IC . (4) 2 D A C B I E Q N F G P W M W1 U3 V3 L T R S U2 X J X H Z Y V U V 1 Chứng minh định lý 4. Gọi giao điểm củaWE và BC làW1;XE cắt DC tại X1;X1W1 cắt Y Z tại V ′. Áp dụng định lí 2 cho tứ giác GHFJ nội tiếp tứ giác ABCD ta có AU3 U3E . EV3 V3C = AI IC , (5) 208 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. Áp dụng định lí 2 cho tứ giác MW1PW nội tiếp tứ giác ABCD và kết hợp với (5), ta suy ra P,W1, V3 thẳng hàng. Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được N,X1, V2 thẳng hàng. Áp dụng định lí Papus cho 3 cặp điểm thẳng hàng là P,Z,X1 và N,W1, Y có PW1 cắt ZN tại V3;ZY cắt X1W1 tại V ′;PY cắt X1N tại V2 nên V ′, V2, V3 thẳng hàng. Nói cách khác là V ′ nằm trên AC. Do đó V ′ chính là giao điểm của ZY với AC. Suy ra V ′ trùng V hay V thuộc X1W1. Áp dụng định lí 2 cho tứ giác XW1X1W nội tiếp tứ giác ABCD ta thu được AU UE . EV V C = AI IC . Đây là điều phải chứng minh. Nhận xét Khi E = I thì định lí 4 trở thành định lí 3. Tài liệu tham khảo [1] Zvonko Cerin, On Butterflies inscribed in a quadrilateral, Forum Geom, 6(2006), 241-246. 209 Tạp chí Epsilon, Số 03, 06/2015. 210