Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan

TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN PO0P(I8¶6 0(AN 9A/8( TH(O5(0 AN' 5(/AT(' )8NCTIONA/ (48ATION6 Ths. Trần Thị Yến Ly Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm xuất phát từ định lý. Các phương trình này được biết đến là kiểu Stamate. Từ khóa: Định lý giá trị trung bình Pompeiu, phương trình hàm Stamate. ABSTRACT NJj\ QKұQ EjL   NJj\ QKұQ NӃW TXҧ SKҧQ ELӋQ   NJj\ GX\ӋW ÿăQJ   90 M E U’S ME V LUE E REM D REL ED FU L EQU S In this paper, the author studies Pompeiu’s mean value theorem and related functional equations. These equations are known as the Stamate type. Keywords: Pompeiu mean value theorem, Stamate equation. 1. Đặt vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691. Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu. Tác giả hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan 2.1. Định lý giá trị trung bình Pompeiu Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng [ ]a,b không chứa 0 và với mọi cặp 1 2x x≠ trong [ ]a,b , tồn tại điểm ( )1 2x , xξ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x .f x x .f x f .f . (1) x x − = ξ − ξ ξ − Chứng minh: Định nghĩa một hàm giá trị thực F trên khoảng 1 1, b a     bởi 1F(t) t.f . (2) t   =    Vì f khả vi trên [ ]a,b và [ ]0 a,b∉ nên F khả vi trên 1 1, b a     và '1 1 1F'(t) f f . (3) t t t     = −       Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với F trên [ ] 1 1x, y , b a   ⊂    , ta có gà y nhậ n bà i : 08/3/2021 gà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 gà y duyệ t đ ng : 25/9/2021 91 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN 'F(x) F(y) F ( ). (4) x y − = η − Với ( )x, yη∈ nào đó. Đặt 2 11 1x ;xx y= = ; Khi đó vì ( )x, yη∈ , ta có 1 2x x< ξ < . Sử dụng (2) và (3) trên (4) , ta có ' 1 1x f y f x y 1 1 1f f x y    −           = −    − η η η    hay ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x f x x f x f f . x x − = ξ − ξ ξ − 2.2. Ý nghĩa hình học của định lý giá trị trung bình Pompeiu Phương trình của cát tuyến nối các điểm ( )( )1 1x , f x , ( )( )2 2x , f x ( ) ( )2 1 1 1 2 1 f x f x y f (x ) (x x ). x x − = + − − Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm (0,y) , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 f x f x x f x x f x y f (x ) (0 x ) . x x x x − − = + − = − − Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( )( ), fξ ξ là ( ) ( ) ( )'y x f f .= − ξ ξ + ξ Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm (0,y) , trong đó ( ) ( )'y f f .= −ξ ξ + ξ Nếu tiếp tuyến này cắt trục tung tại cùng điểm như cát tuyến trên thì ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x f x x f x f f . x x − = ξ − ξ ξ − Đó là phương trình trong định lí giá trị trung bình Pompeiu. Do đó ý nghĩa hình học là tiếp tuyến tại điểm ( )( ), fξ ξ cắt trục tung tại cùng điểm như cát tuyến nối các điểm ( )( ) ( )( )1 1 2 2x , f x ; x , f x . 2.3. Phương trình kiểu Stamate Chú ý . Biểu thức đại số ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x .f x x .f x f .f . x x − = ξ − ξ ξ − cho một phương trình hàm. Ở đây dạng chính xác của vế phải là không cần thiết. Điều có liên quan là vế phải chỉ phụ thuộc vào ξ mà không phụ thuộc trực tiếp vào 1x và 2x . Vì vậy , ta có phương trình hàm ( )( )xf (y) yf (x) h x, y , x, y , x y. (5) x y − = ξ ∀ ∈ ≠ −  Tương tự như tỉ sai phân, một biến thể của nó được định nghĩa trong công trình của Chung và Sahoo (1993) bằng đệ quy là { } ( ) { } { } { } 1 2 n 1 2 n 1 1 2 3 n 1 2 n 1 n f x f x , x f x , x ,..., x x f x , x ,..., x f x , x ,..., x . x x − = − = − Một tính toán dễ dàng chứng tỏ rằng ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 90 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH POMPEIU VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN POMPEIU’S MEAN VALUE THEOREM AND RELATED FUNCTIONAL EQUATIONS Ths. Trần Thị Yến Ly Trường Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu các định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm xuất phát từ định lý. Các phương trình này được biết đến là kiểu Stamate. Từ khóa: Định lý giá trị trung bình Pompeiu, phương trình hàm Stamate. ABSTRACT In this paper, the author studies Pompeiu’s mean value theorem and related functional equations. These equations are known as the Stamate type. Keywords: Pompeiu mean value theorem, Stamate equation. 1. Đặt vấn đề Định lý giá trị trung bình Lagrange là một kết quả rất quan trọng trong giải tích. Nó có nguồn gốc từ định lý Rolle, được chứng minh bởi nhà toán học người Pháp Michel Rolle (1652-1719) đối với đa thức vào năm 1691. Năm 1946, Pompeiu giới thiệu một biến thể của định lý giá trị trung bình Lagrange mà ngày nay gọi là định lý giá trị trung bình Pompeiu. Tác giả hi vọng tạo được một tài liệu tham khảo tốt cho những người bắt đầu tìm hiểu về định lý giá trị trung bình và các phương trình hàm liên quan đến chúng và trình bày một số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này. 2. Định lý giá trị trung bình Pompeiu và các phương trình hàm liên quan 2.1. Định lý giá trị trung bình Pompeiu Với mỗi hàm giá trị thực f khả vi trên một khoảng [ ]a,b không chứa 0 và với mọi cặp 1 2x x≠ trong [ ]a,b , tồn tại điểm ( )1 2x , xξ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x .f x x .f x f .f . (1) x x − = ξ − ξ ξ − Chứng minh: Định nghĩa một hàm giá trị thực F trên khoảng 1 1, b a     bởi 1F(t) t.f . (2) t   =    Vì f khả vi trên [ ]a,b và [ ]0 a,b∉ nên F khả vi trên 1 1, b a     và '1 1 1F'(t) f f . (3) t t t     = −       Áp dụng định lý giá trị trung bình đối với F trên [ ] 1 1x, y , b a   ⊂    , ta có Ngà y nhậ n bà i : 08/3/2021 Ngà y nhậ n kế t quả phả n biệ n : 16/9/2021 Ngà y duyệ t đăng : 25/9/2021 91 Đ - 'F(x) F(y) F ( ). (4) x y − = η − Với ( )x, yη∈ nào đó. Đặt 2 11 1x ;xx y= = ; Khi đó vì ( )x, yη∈ , ta có 1 2x x< ξ < . Sử dụng (2) và (3) trên (4) , ta có ' 1 1x f y f x y 1 1 1f f x y    −           = −    − η η η    hay ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x f x x f x f f . x x − = ξ − ξ ξ − 2.2. Ý nghĩa hình học của định lý giá trị trung bình Pompeiu Phương trình của cát tuyến nối các điểm ( )( )1 1x , f x , ( )( )2 2x , f x ( ) ( )2 1 1 1 2 1 f x f x y f (x ) (x x ). x x − = + − − Đường thẳng này cắt trục tung tại điểm (0,y) , trong đó ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 f x f x x f x x f x y f (x ) (0 x ) . x x x x − − = + − = − − Phương trình tiếp tuyến tại điểm ( )( ), fξ ξ là ( ) ( ) ( )'y x f f .= − ξ ξ + ξ Tiếp tuyến này cắt trục tung tại điểm (0,y) , trong đó ( ) ( )'y f f .= −ξ ξ + ξ Nếu tiếp tuyến này cắt trục tung tại cùng điểm như cát tuyến trên thì ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x f x x f x f f . x x − = ξ − ξ ξ − Đó là phương trình trong định lí giá trị trung bình Pompeiu. Do đó ý nghĩa hình học là tiếp tuyến tại điểm ( )( ), fξ ξ cắt trục tung tại cùng điểm như cát tuyến nối các điểm ( )( ) ( )( )1 1 2 2x , f x ; x , f x . 2.3. Phương trình kiểu Stamate Chú ý . Biểu thức đại số ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 ' 1 2 x .f x x .f x f .f . x x − = ξ − ξ ξ − cho một phương trình hàm. Ở đây dạng chính xác của vế phải là không cần thiết. Điều có liên quan là vế phải chỉ phụ thuộc vào ξ mà không phụ thuộc trực tiếp vào 1x và 2x . Vì vậy , ta có phương trình hàm ( )( )xf (y) yf (x) h x, y , x, y , x y. (5) x y − = ξ ∀ ∈ ≠ −  Tương tự như tỉ sai phân, một biến thể của nó được định nghĩa trong công trình của Chung và Sahoo (1993) bằng đệ quy là { } ( ) { } { } { } 1 2 n 1 2 n 1 1 2 3 n 1 2 n 1 n f x f x , x f x , x ,..., x x f x , x ,..., x f x , x ,..., x . x x − = − = − Một tính toán dễ dàng chứng tỏ rằng TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 92 { } { } ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 nn j 1 2 n i i 1 j i i j x f (x ) x f (x )f x , x , x x x f x , x ,..., x f x . x x = ≠ − = −   =    − ∑ ∏ Kết quả sau đây được trình bay trong công trình của Aczel và Kuczma(1989) Định lý 2.3.1 Các hàm f , h : →  thỏa mãn phương trình hàm { } ( )f x, y h x y , x, y , x y. (6)= + ∀ ∈ ≠ khi và chỉ khi ( )f x ax b, h(x) b, (7)= + = trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Chứng minh Ta viết (6) thành ( ) ( )x f (y) y f (x) x y h x y (8)− = − + đúng với mọi x, y∈ , ngay cả x y= . Thay y 0= vào (8), ta có ( )x f (0) xh x= , nghĩa là ( )h(x) f 0 b,0 x . (9)= = ≠ ∈ Đưa (9) vào (8), ta có xf (y) y f (x) (x y)b (10)− = − Với mọi x, y∈ mà x y 0+ ≠ . Đặt x 1= và y 1≠ − trong (10) ta được ( ) ( )f y f 1 b y b ay b (11)= − + = +   Với mọi y 1≠ − . Đặt y 2= vào (11) , ta thấy rằng f (2) 2f (1) b= − , đặt x 1= − và y 2= vào (8), rồi sử dụng (9), ta có ( ) ( )f 1 f 1 b b− = − − +   , nghĩa là ( )f 1 a b− = − + . Do đó (11) đúng với mọi y∈ . Thay x 1= và y 1= − vào (8), ta được ( )h 0 b= , nên (9) đúng với mọi x∈ . Do đó ta có nghiệm (7). Điều đảo lại là hiển nhiên. Bổ đề 2.3.1. Nếu f ,g, h : →  thỏa mãn phương trình hàm xf (y) yg(x) h(x y) x y − = + − với mọi x, y∈ mà x y≠ thì f (x) g(x), x .= ∈ Chứng minh Thay đổi vai trò của x và y trong phương trình hàm trong bổ đề , rồi so sánh phương trình hàm nhận đuợc với phương trình hàm đó, ta có { } xf (y) yg(x) xg(y) yf (x), x, y , x y f (x) g(x) g(y) f (y) , x, y \ 0 , x y. x y − = − ∈ ≠ − − ⇒ = ∈ ≠   Cho α là một số thực khác 0 cố định và đặt ( ) ( )g fc α − α= α , ta có { }f (x) g(x) cx, x \ 0,= + ∈ α Cho { }u, v \ 0,∈ α với u v≠ . Đặt x u= và y v= trong phương trình trên , ta thấy rằng c=-c và do đó c=0 . Vì vậy f (x) g(x)= với mọi { }x \ 0∈ . Tiếp đến, đặt x = α và y 0= trong phương trình hàm của bổ đề, ta có ( )f (0) h= α . Ngoài ra, đặt x 0= và y = α trong phương trình hàm 93 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN đó, ta có ( ) ( )h g 0α = . Vì vậy ( ) ( )f 0 g 0= và ta có ( ) ( )f x g x= với mọi x∈ Hệ quả sau đây kéo theo từ Bổ đề 2.3.1 và Định lý 2.3.1. Hệ quả 2.3.1. Các hàm f ,g, h : →  thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( )xf y yg x h x y , x, y , x y x y − = + ∀ ∈ ≠ −  khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )f x g x a x b, h x b,= = + = trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Định lý 2.3.2. Cho s,t là các tham số thực. Các hàm f , h : →  thỏa mãn ( ) ( ) ( )xf y y x h sx ty (12) x y f− = + − với mọi x, y , x y∈ ≠ khi và chỉ khi ( )f x a x b= + trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Chứng minh (12) được viết lại là ( ) ( ) ( ) ( )xf y y f x x y h sx ty− = − + với x, y∈ mà x y≠ . Ta xét các trường hợp sau. Trường hợp 1. Giả sử s=0=t. Khi đó từ phương trình trên, ta có ( ) ( )x f y b y f x b . (14)− = −       Cho y=1 trong phương trình (14), ta có ( ) ( )f x x f 1 b b a x b, (15)= − + = +   Với ( )a f 1 b= − . Vì vậy ta có nghiệm như khẳng định f (x) a x b= + và h(x) = tùy ý với h(0) b.= Trường hợp 2. Giả sử t 0= và s 0≠ . Khi đó phương trình (12) trở thành ( ) ( ) ( ) ( )xf y y f x x y h sx . (16)− = − Cho y = 0 trong (16), ta có ( ) ( )xf 0 xh sx= , nghĩa là ( ) { }h x b, x \ 0 , (17)= ∈ Trong đó ( )b f 0= . Sử dụng (17) trong (16), ta có ( ) ( )x f y b y f x b , x 0. (18)− = − ≠       Cho x = 1 trong (18), ta có ( ) ( )f y y f 1 b b a y b, y . (19)= − + = + ∈    Cho x = 0 trong (16) , ta có ( ) ( )h 0 f 0 b= = và do đó (17) đúng với mọi x .∈ Trường hợp 3. Giả sử t ≠ 0 và s = 0 . Trường hợp này có thể xử lý tương tự như trường hợp trước. Vì vậy ta có nghiệm (13) như khẳng định trong định lý. Trường hợp 4. Giả sử s ≠ 0 ≠ t . Cho y = 0, ta có xf (0) = xh(sx). Do đó ta nhận được (17). Đặt (17) vào (19), ta có xf (y) - yf (x) = (x-y)b (20) Với sx + ty ≠ 0. Do đó đặt x = 1 vào (20), ta có (13) (21) ĈẠI HỌC TÀI CHÍNH  KẾ TOÁN 92 TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN { } { } ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 nn j 1 2 n i i 1 j i i j x f (x ) x f (x )f x , x , x x x f x , x ,..., x f x . x x = ≠ − = −   =    − ∑ ∏ Kết quả sau đây được trình bay trong công trình của Aczel và Kuczma(1989) Định lý 2.3.1 Các hàm f , h : →  thỏa mãn phương trình hàm { } ( )f x, y h x y , x, y , x y. (6)= + ∀ ∈ ≠ khi và chỉ khi ( )f x ax b, h(x) b, (7)= + = trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Chứng minh Ta viết (6) thành ( ) ( )x f (y) y f (x) x y h x y (8)− = − + đúng với mọi x, y∈ , ngay cả x y= . Thay y 0= vào (8), ta có ( )x f (0) xh x= , nghĩa là ( )h(x) f 0 b,0 x . (9)= = ≠ ∈ Đưa (9) vào (8), ta có xf (y) y f (x) (x y)b (10)− = − Với mọi x, y∈ mà x y 0+ ≠ . Đặt x 1= và y 1≠ − trong (10) ta được ( ) ( )f y f 1 b y b ay b (11)= − + = +   Với mọi y 1≠ − . Đặt y 2= vào (11) , ta thấy rằng f (2) 2f (1) b= − , đặt x 1= − và y 2= vào (8), rồi sử dụng (9), ta có ( ) ( )f 1 f 1 b b− = − − +   , nghĩa là ( )f 1 a b− = − + . Do đó (11) đúng với mọi y∈ . Thay x 1= và y 1= − vào (8), ta được ( )h 0 b= , nên (9) đúng với mọi x∈ . Do đó ta có nghiệm (7). Điều đảo lại là hiển nhiên. Bổ đề 2.3.1. Nếu f ,g, h : →  thỏa mãn phương trình hàm xf (y) yg(x) h(x y) x y − = + − với mọi x, y∈ mà x y≠ thì f (x) g(x), x .= ∈ Chứng minh Thay đổi vai trò của x và y trong phương trình hàm trong bổ đề , rồi so sánh phương trình hàm nhận đuợc với phương trình hàm đó, ta có { } xf (y) yg(x) xg(y) yf (x), x, y , x y f (x) g(x) g(y) f (y) , x, y \ 0 , x y. x y − = − ∈ ≠ − − ⇒ = ∈ ≠   Cho α là một số thực khác 0 cố định và đặt ( ) ( )g fc α − α= α , ta có { }f (x) g(x) cx, x \ 0,= + ∈ α Cho { }u, v \ 0,∈ α với u v≠ . Đặt x u= và y v= trong phương trình trên , ta thấy rằng c=-c và do đó c=0 . Vì vậy f (x) g(x)= với mọi { }x \ 0∈ . Tiếp đến, đặt x = α và y 0= trong phương trình hàm của bổ đề, ta có ( )f (0) h= α . Ngoài ra, đặt x 0= và y = α trong phương trình hàm 93 Đ - đó, ta có ( ) ( )h g 0α = . Vì vậy ( ) ( )f 0 g 0= và ta có ( ) ( )f x g x= với mọi x∈ Hệ quả sau đây kéo theo từ Bổ đề 2.3.1 và Định lý 2.3.1. Hệ quả 2.3.1. Các hàm f ,g, h : →  thỏa mãn phương trình hàm ( ) ( ) ( )xf y yg x h x y , x, y , x y x y − = + ∀ ∈ ≠ −  khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )f x g x a x b, h x b,= = + = trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Định lý 2.3.2. Cho s,t là các tham số thực. Các hàm f , h : →  thỏa mãn ( ) ( ) ( )xf y y x h sx ty (12) x y f− = + − với mọi x, y , x y∈ ≠ khi và chỉ khi ( )f x a x b= + trong đó a,b là các hằng số tùy ý. Chứng minh (12) được viết lại là ( ) ( ) ( ) ( )xf y y f x x y h sx ty− = − + với x, y∈ mà x y≠ . Ta xét các trường hợp sau. Trường hợp 1. Giả sử s=0=t. Khi đó từ phương trình trên, ta có ( ) ( )x f y b y f x b . (14)− = −       Cho y=1 trong phương trình (14), ta có ( ) ( )f x x f 1 b b a x b, (15)= − + = +   Với ( )a f 1 b= − . Vì vậy ta có nghiệm như khẳng định f (x) a x b= + và h(x) = tùy ý với h(0) b.= Trường hợp 2. Giả sử t 0= và s 0≠ . Khi đó phương trình (12) trở thành ( ) ( ) ( ) ( )xf y y f x x y h sx . (16)− = − Cho y = 0 trong (16), ta có ( ) ( )xf 0 xh sx= , nghĩa là ( ) { }h x b, x \ 0 , (17)= ∈ Trong đó ( )b f 0= . Sử dụng (17) trong (16), ta có ( ) ( )x f y b y f x b , x 0. (18)− = − ≠       Cho x = 1 trong (18), ta có ( ) ( )f y y f 1 b b a y b, y . (19)= − + = + ∈    Cho x = 0 trong (16) , ta có ( ) ( )h 0 f 0 b= = và do đó (17) đúng với mọi x .∈ Trường hợp 3. Giả sử t ≠ 0 và s = 0 . Trường hợp này có thể xử lý tương tự như trường hợp trước. Vì vậy ta có nghiệm (13) như khẳng định trong định lý. Trường hợp 4. Giả sử s ≠ 0 ≠ t . Cho y = 0, ta có xf (0) = xh(sx). Do đó ta nhận được (17). Đặt (17) vào (19), ta có xf (y) - yf (x) = (x-y)b (20) Với sx + ty ≠ 0. Do đó đặt x = 1 vào (20), ta có (13) (21) TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN 94 Với . Cho và trong (12), ta có Vì thế theo (21), ta có . Vì vậy (21) đúng với mọi Tiếp theo , ta chứng tỏ đúng với mọi ngoại trừ trường hợp . Nếu thì có thể được xác định tùy ý tại và với mọi . Nếu thì ta chứng tỏ . Cho và trong (21), ta được hay Do đó ta có với mọi . 2.4. Một phương trình của Kuczma Boggio (1947-1948) đã đưa ra một suy rộng sau đây của định lý giá trị trung bình Pompeiu. Ở đây, định lý được phát biểu mà không giới thiệu phần chứng minh (có thể xem ở các công trình của Boggio vào năm 1947 và 1948) Định lý 2.4.1. Với mọi hàm giá trị thực f và g khả vi trên một khoảng không chứa 0 và với mọi cặp trong , tồn tại một điểm sao cho Ở đây giả sử và là khác 0 trong . Định lý 2.4.2. Cho là một hàm liên tục và tăng chặt mà với κ∈ nào đó. Các hàm thỏa mãn phương trình hàm khi và chỉ khi trong đó ,α β là các hằng số tùy ý. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Nguyễn Văn Mậu (2003), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục, Quảng Nam. 2. Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích I, II, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội. 3. M. Kuzma (1986), Functional Equation in a single Variable, Polish Scientifi c Publishers, Warszawa. 4. P.K. Sahoo, T.Riedel (1998), Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientifi c Publishing Co. Pte. Ltd. 5. C. G. Small (2007), Functional Equations and How to Solve Them, Springer Science + Business Media, New York. 95 ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG VỚI GIÁ COMPACT FOURIER TRANFORM IN THE SPACE OF GENERALIZED FUNCTIONS WITH COMPACT SUPPORT ThS. Nguyễn Thị Minh Khai Trườ ng Đại học Tài chính - Kế toán TÓM TẮT Trong bài báo này tác giả trình bày trình bày chi tiết về không gian các hàm suy rộng với giá compact và phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' .ε Ω Từ khóa: Phép biến đổi Fourier, không gian các hàm suy rộng với giá compact, biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' .ε Ω ABSTRACT In this paper, the author presents details about space of generalized functions with compact support and the Fourier transform in the space of generalized functions with compact support ( )' .ε Ω Keywords: Fourier transform, space of generalized functions with compact support, fourier transform in the space of generalized functions with compact support ( )' .ε Ω 1. Đặt vấn đề Trong [4], [5], tác giả đã trình bày một cách chi tiết về phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng. Cụ thể, phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm giảm nhanh ( )nS , phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm ( )' nS . Trong bài báo này tác giả trình bày phép biến đổi Fourier trong không gian các hàm suy rộng với giá compact ( )' ,ε Ω trên cơ sở đó chỉ ra điều kiện cần và đủ để một hàm giải tích là phép biến đổi Fourier của một hàm ( )nC∞ϕ∈  hay một hàm giải tích là biến đổi Fourier của một hàm suy rộng với giá compact thông qua định lý 3.1, định lý 3.2 và định lý 3.3. 2. Không gian các hàm suy rộng với giá compact Định nghĩa 2.1. Cho hàm suy rộng ( )'f D .∈ Ω Giá của hàm suy rộng f là phần bù trong Ω của tập hợp các điểm mà tại mỗi điểm đó có một lân cận mở ω∈Ω sao cho f 0.f 0 ω ω = = có nghĩa là ( )0C : f , 0.∞∀ϕ∈ ω ϕ = Giá của hàm suy rộng f được kí hiệu là suppf . Hàm suy rộng f được gọi là có giá compact nếu suppf là tập compact. Ta kí hiệu tập tất cả các hàm suy rộng với giá compact trên Ω là ( )' .ε Ω Mỗi hàm suy rộng với giá compact có thể xem như một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên ( ) ,ε Ω không gian các hàm suy rộng có giá c