Luận văn Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai

bộ giáo dục và đào tạo tr−ờng đại học bách khoa hà nội --------------------------------------- V ũ c ô n g đ o à n luận văn thạc sĩ khoa học ngành : công nghệ thông tin Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai c ô n g n g h ệ th ô n g tin Vũ công đoàn 2006 - 2008 Hà Nội 2008 Hà Nội 2008 1 Mục lục Mục lục............................................................................................................ 1 Danh mục hình vẽ............................................................................................ 3 Mở đầu............................................................................................................. 5 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ ........................................................................... 7 1.1. Tập mờ.................................................................................................. 7 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ ....................................................... 8 1.3. Quan hệ mờ ........................................................................................ 10 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian .............................................. 10 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau. 13 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ ....................................................................... 14 1.5. Nguyên lý mở rộng ............................................................................ 17 1.6. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 18 Ch−ơng 2. tập mờ loại hai ............................................................................. 19 2.1. Giới thiệu chung................................................................................. 19 2.2. Hàm thuộc loại hai ............................................................................. 19 2.2.1. Khái niệm tập mờ loại hai ........................................................... 19 2.2.2. Định nghĩa tập mờ loại hai và các khái niệm.............................. 19 2.2.3. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới ............................................ 26 2.3. Tập mờ loại hai nhúng........................................................................ 27 2.4. Các phép toán trên tập mờ loại hai ..................................................... 30 2.4.1. Hợp của các tập mờ loại hai ........................................................ 30 2.4.2. Giao của các tập mờ loại hai ....................................................... 32 2.4.3. Phần bù của một tập mờ loại hai ................................................. 33 2.5. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 36 Ch−ơng 3. Suy diễn với tập mờ loại hai ........................................................ 37 3.1. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành ............................................. 37 3.1.1. Khái niệm chung ......................................................................... 37 3.1.2. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên cùng một không gian ............................................................................................................... 38 3.1.3. Quan hệ mờ loại hai và phép hợp thành trên các không gian khác nhau ....................................................................................................... 41 3.1.4. Phép hợp thành của một tập mờ loại hai và một quan hệ mờ loại hai .......................................................................................................... 42 3.2. Tích Đê-các của các tập mờ loại hai .................................................. 43 3.3. Các dạng luật mờ................................................................................ 45 3.4. Một số ph−ơng pháp suy diễn mờ loại hai ......................................... 46 3.4.1. Suy diễn mờ dựa vào phép hợp thành.......................................... 46 3.4.2. Suy diễn mờ dựa trên sự t−ơng tự của các tập mờ....................... 48 3.5. Nhận xét ............................................................................................. 57 2 Ch−ơng 4. Hệ logic mờ loại hai khoảng........................................................ 59 4.1. Định nghĩa.......................................................................................... 59 4.2. Hàm thuộc trên và hàm thuộc d−ới của tập mờ loại hai khoảng........ 60 4.3. Phép toán hợp và giao của tập mờ loại hai khoảng ............................ 62 4.4. Suy diễn với tập mờ loại hai khoảng .................................................. 63 4.5. Giảm loại và khử mờ .......................................................................... 68 4.6. Thiết kế hệ logic mờ loại hai khoảng bằng ph−ơng pháp lan truyền ng−ợc BP (Back-Propagation) ................................................................... 70 4.7. ứng dụng của hệ logic mờ loại hai khoảng ........................................ 76 4.8. Kết luận ch−ơng ................................................................................. 79 Kết luận ......................................................................................................... 80 Tài liệu tham khảo......................................................................................... 81 3 Danh mục hình vẽ Hình 1-1: Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc …………………………… 7 Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(xBÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(x Bà …………………………………………………………………… 9 Hình 1-3: đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à ………………… 11 Hình 1-4 ………………………………………………………………… 16 Hình 2-1: (a) hàm thuộc loại một, (b) vết mờ hàm thuộc loại một, (c) FOU …………………………………………………………………………… 20 Hình 2-2: Ví dụ về hàm thuộc loại hai ………………………………… 21 Hình 2-3: (a): một tập mờ loại hai Gaussian. (b): hàm thuộc thứ cấp Gaussian tại x = 4 ……………………………………………………… 23 Hình 2-4 ……………………………………………………………… 24 Hình 2-5: FOU dạng tam giac ………………………………………… 25 Hình 2-6: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số giá trị trung bình m không chắc chắn ……………………………………………… 26 Hình 2-7: FOU của hàm thuộc sơ cấp Gaussian với tham số độ lệch chuẩn δ không chắc chắn ………………………………………………………… 26 Hình 2-8: Ví dụ về một tập loại một nhúng (đ−ờng đứt tô đậm) trong một tập mờ loại hai……………………………………………………………… 28 Hình 2-9: Một tập mờ loại hai nhúng và một tập mờ loại một nhúng đ−ợc gắn với hàm thuộc loại hai đ−ợc biểu diễn trong Hình 2-2………………. 29 Hình 3-1: Hệ logic mờ loại hai ………………………………………… 37 Hình 4-1: Ví dụ về hàm thuộc của một tập mờ loại 2 khoảng trong không gian rời rạc. Miền tô đen trong mặt phẳng x-u là FOU ………………….. 60 Hình 4-2: (a) minh hoạ cho ví dụ 4-1, (b) minh hoạ cho ví dụ 4-2 ……….62 Hình 4-3: Xác định lf và l f . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm. ………………………………………………………… …67 Hình 4-4: Xác định )(~ ylBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………......67 4 Hình 4-5: Xác định )(~ yBà . (a) sử dụng minimum t-norm. (b) sử dụng product t-norm …………………………………………………………….68 Hình 4-6: Minh hoạ cho tập mờ loại 2 khoảng đơn trị có hai luật. (a) FOU của 11 ~F và 12 ~F trong luật 1. (b) FOU của 21 ~F và 22 ~F trong luật 2 …………..73 Hình 4-7: Giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của RMSEs1, RMSEns1, RMSEs2 . (a) giá trị trung bình, (b) độ lệch chuẩn ……………………… . 78 5 Mở đầu Lý thuyết tập mờ loại hai đ−ợc Zadeh đ−a ra từ năm 1975. Tập mờ loại hai ngày càng đ−ợc khẳng định vị trí −u việt của mình trong việc cải thiện và nâng cao chất l−ợng xử lý thông tin so với nhiều ph−ơng pháp truyền thống khác. Ngày nay, Logic mờ đ−ợc ứng dụng trong thực tiễn đặc biệt là trong lĩnh vực dự báo, khai phá tri thức, điều khiển mờ… Tuy nhiên, việc tính toán và xử lý thông tin dựa trên tập mờ loại hai nói chung có độ phức tạp rất lớn, điều này đã ảnh h−ởng không nhỏ tới khả năng ứng dụng của tập mờ loại hai vào giải quyết các bài toán thực tế. Chính vì vậy, những năm trở lại đây, lý thuyết tập mờ loại hai nhận đ−ợc rất nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Một trong những h−ớng nghiên cứu đó là tìm ra các ph−ơng pháp làm giảm độ phức tạp tính toán trong các hệ logic mờ loại hai. Suy diễn với tập mờ loại hai là một khâu quan trọng trong hệ logic mờ loại hai. Ph−ơng pháp suy diễn quyết định rất lớn tới chất l−ợng và độ phức tạp tính toán của toàn hệ. Với mục đích tìm hiểu nghiên cứu về tập mờ loại 2, đ−ợc sự h−ớng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Khang – Khoa CNTT - Đại Học Bách Khoa Hà Nội, tôi lựa chọn đề tài “Tập mờ loại hai và suy diễn với tập mờ loại hai”. Đề tài thực hiện tìm hiểu nghiên cứu những vấn đề cơ bản đối với tập mờ loại hai, một số ph−ơng pháp suy diễn đối với tập mờ loại hai tổng quát và tập mờ loại hai khoảng. Đề tài đ−ợc chia thành các phần sau: Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ: Ch−ơng này trình bày các khái niệm cơ bản về tập mờ nói chung làm cơ sở để tìm hiểu, nghiên cứu các đặc tr−ng của tập mờ loại hai. Ch−ơng 2. Tập mờ loại hai: Tập mờ loại hai là sự phát triển và mở rộng của tập mờ loại một nhằm khắc phục những nh−ợc điểm của tập mờ loại một. Ch−ơng này trình bày những khái niệm và những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai. Các phép toán tập hợp trên tập mờ loại hai cũng đ−ợc trình bày ở đây, các phép toán này là công cụ không thể thiếu để thực hiện các phép suy diễn mờ. 6 Ch−ơng 3. Một số ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai: Ch−ơng này trình bày một số ph−ơng pháp suy diễn với tập mờ loại hai. Hai ph−ơng pháp suy diễn đ−ợc trình bày ở đây đó là ph−ơng pháp suy diễn dựa trên phép hợp thành và ph−ơng pháp suy diễn dựa trên độ t−ơng tự. Từ đó đ−a ra những phân tích đánh giá, đây là một cơ sở quan trọng để lựa chọn ph−ơng pháp suy diễn phù hợp khi thiết kế và xây dựng các ứng dụng logic mờ. Ch−ơng 4: Tập mờ loại hai khoảng: Tập mờ loại hai tổng quát bộc lộ một số nh−ợc điểm nh− độ phức tạp tính toán lớn. Do có cấu trúc đặc biệt nên việc tính toán và suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng có độ phức tạp nhỏ hơn rất nhiều lần so với tập mờ loại hai tổng quát. Chính vì vậy, tập mờ loại hai khoảng th−ờng đ−ợc ứng dụng trong các hệ logic mờ. Ch−ơng này trình bày những đặc tr−ng cơ bản của tập mờ loại hai khoảng và ph−ơng pháp suy diễn trên tập mờ loại hai khoảng. 7 Ch−ơng 1. Cơ bản về tập mờ 1.1. Tập mờ Định nghĩa 1-1: Tập mờ F xác định trong không gian X đ−ợc định nghĩa nh− sau: F = {(x, )(x Fà )| x ∈X} với )(xFà ∈ [0, 1] à F đ−ợc gọi là hàm thuộc của tập mờ F và )(xFà là giá trị độ thuộc của x ∈ X vào F. Để thuận tiên cho việc biểu diễn, ng−ời ta ký hiệu tập mờ F : F = ∫ X F xx /)(à , khi X liên tục F = xx X F /)(∑ à , khi X rời rạc ở đây, các kí hiệu ∫ và ∑ không phải là phép tích phân và tổng đại số mà là tập hợp tất cả các phần tử x ∈X kết hợp với giá trị độ thuộc )(x Fà t−ơng ứng của chúng. 0 25 50 75 100 0.5 1 )(x Fà )(xDà x )(xà Hình 1-1. Các hàm độ thuộc cho xe nội địa và xe ngoại nhập dựa trên tỷ lệ phần trăm các thành phần sản xuất trong n−ớc (1-1) (1-3) (1- 2) 8 Ví dụ 1-1: Hình 1-1 mô tả việc phân loại tập các ô tô thành hai tập nội địa (D) và ngoại nhập (F) theo tỷ lệ phần trăm các linh kiện đ−ợc sản xuất trong n−ớc. ở đây, F và D là các tập mờ có các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x Fà và )(xDà ; x là tỷ lệ phần trăm các linh kiện sản xuất trong n−ớc. Một chiếc ô tô đ−ợc coi là nội địa nếu có )(x Dà > )(xFà , ng−ợc lại nó đ−ợc coi là xe ngoại nhập. Thông th−ờng, đồ thị sử dụng để mô tả cho các hàm thuộc của một tập mờ có dạng hình tam giác, hình thang, Gaussian .v.v. Các hàm thuộc th−ờng đ−ợc lựa chọn một cách tùy ý trên cơ sở kinh nghiệm của ng−ời sử dụng về lĩnh vực liên quan hoặc ph−ơng pháp tính toán tối −u mà họ lựa chọn. 1.2. Các phép toán tập hợp trên tập mờ Trong lý thuyết tập mờ, các phép toán tập hợp đ−ợc định nghĩa thông qua các hàm thuộc của chúng. Giả sử A và B là hai tập mờ xác định trên không gian X đ−ợc đặc tr−ng bởi các hàm thuộc t−ơng ứng là )(x À và )(xBà . Định nghĩa 1-2: Hợp của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∪ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∪ = max[ )(xÀ , )(xBà ] Định nghĩa 1-3: Giao của hai tập mờ A và B, ký hiệu BA∩ , có hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x BÀ ∩ = min[ )(xÀ , )(xBà ] Phần bù của tập mờ A, ký hiệu A và hàm thuộc đ−ợc định nghĩa: )(x À = 1 - )(xÀ Xét ví dụ sau: Ví dụ 1-2: Cho hai tập mờ A và B có hàm thuộc đ−ợc xác định nh− sau: )(x À = ⎩⎨ ⎧ ≤≤−+ ≤≤ − 15.0],)5.0(1/[1 5.00,0 2 xx x nếu nếu (1-4) (1-5) (1-6) (1-7) 9 )(x Bà = 10,)707.0(1 1 4 ≤≤−+ xx Hình 1-2 d−ới đây mô tả các hàm thuộc )(x À , )(xBà , )(xBÀ ∪ , )(xBÀ ∩ , )(x À Ví dụ này cho thấy phép hợp, giao của một tập mờ với phần bù của nó có kết quả khác so với trong tập rõ. Bởi vì, rõ ràng XAA ≠∪ và φ≠∩ AA . Ngoài việc sử dụng các phép toán maximum và minimum, ng−ời ta còn có thể định nghĩa các phép hợp và phép giao khác cho tập mờ. Chẳng hạn, Zadeh định nghĩa hai phép toán hợp và giao cho tập mờ nh− sau: (1-8) 0.707 0.5 )(x Bà )(x À x 1 (a) 0.707 0.5 x 1 )(x BÀ ∪ (b) 0.707 0.5 )(x BÀ ∩ x 1 0.707 0.5 )(x Bà x 1 )(x Bà (d) Hình 1-2: Các hàm thuộc: (a) )(x À và )(xBà , (b) )(x BÀ ∪ , (c) )(xBÀ ∩ , (d) )(xBà (c) 10 1. Phép hợp: )(x BÀ ∪ = )(xÀ + )(xBà - )()( xx BA àà 2. Phép giao: )(x BÀ ∩ = )()( xx BA àà Sau đó, Klir và Yuan định nghĩa hai phép toán t-conorm cho phép hợp và t-norm cho phép giao sử dụng cho tập mờ: Phép toán t-conorm (còn gọi là s-norms) đ−ợc sử dụng cho phép hợp, đ−ợc ký hiệu là ⊕ . Maximum và phép tổng đại số là phép toán t-conorm. D−ới đây là hai ví dụ về t-conorm: ™ x⊕ y = min(1, x+y) ™ x⊕ y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 1 0 0 xy yx Phép t-norm đ−ợc sử dụng cho phép giao, đ−ợc ký hiệu là ∗ . Minimun và hàm đại số là t-norm. D−ới đây là hai ví dụ về t-norm. ™ x∗y=max(0, x+y-1) ™ x∗y = ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = lại ng−ợc nếu nếu nếu 0 1 1 xy yx Việc định nghĩa các t-conom, t-norm và phép lấy phần bù khác nhau sử dụng trong lý thuyết tập mờ cung cấp cho chúng ta một sự lựa chọn phong phú hơn khi xây dựng hệ logic mờ. 1.3. Quan hệ mờ Quan hệ mờ thể hiện độ thuộc của sự xuất hiện hoặc không xuất hiện của sự kết hợp, sự ảnh h−ởng hoặc tính chất liên kết giữa các phần tử của hai hay nhiều tập mờ. 1.3.1. Quan hệ mờ trên cùng không gian Định nghĩa 1-4: Gọi U và V là hai không gian nền. Quan hệ mờ, R(U,V) là một tập mờ trong không gian của tích Đê-các UìV. Tập mờ này là tập con của UìV và đ−ợc đặc tr−ng bởi hàm thuộc ),( yx Rà , với x U∈ và y V∈ . R(U,V) = {((x,y), ),( yx Rà )| (x,y) VU ì∈ }, với ),( yxRà ∈[0,1] (1-15) (1-9) (1-10) (1-11) (1-12) (1-13) (1-14) 11 Ví dụ 1-3: Giả sử U và V là hai tập các số thực. Xét quan hệ mờ “mục tiêu x là gần với mục tiêu y”. Hàm thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc xác định nh− sau: }0,5/|)|5max{(|)(| yxyxc −−≡−à Hàm thuộc của quan hệ này đ−ợc diễn tả trong Hình 1-3. Chú ý rằng khoảng cách giữa hai mục tiêu x và y đ−ợc xác định bởi |x-y|, đ−ợc hiểu nh− là một biến phụ thuộc. Vì các quan hệ mờ là các tập mờ trong không gian Đê-các nên lý thuyết tập hợp và các phép toán số học có thể đ−ợc định nghĩa và sử dụng đối với các quan hệ mờ này bởi việc sử dụng các phép toán hợp, giao, lấy phần bù mà chúng ta đã định nghĩa ở các phần tr−ớc. Giả sử R(U,V) và S(U,V) viết tắt là R và S là hai quan hệ mờ trong cùng không gian tích Đê-các UxV. Các phép hợp và giao của hai quan hệ này với các thành phần của nó đ−ợc định nghĩa: ),( yxSR∩à = ),( yxRà ∗ ),( yxSà ),( yxSR∪à = ),( yxRà ⊕ ),( yxSà ở đây, ∗ là các t-norm và ⊕ là các t-conorm. Ví dụ 1-4: Xem xét mức độ phù hợp của hai quan hệ mờ sau đây: “u gần với v” và “u nhỏ hơn v”; và quan hệ mờ “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v”. Tất cả các quan hệ này cùng không gian tích Đê-các UxV. Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng U={u1, u2} = {2, 12} và V ={v1, v2, v3} = {1, 7, 13}. Chúng ta sẽ tính toán giá trị độ thuộc của các thành phần trong phép hợp và giao của hai quan hệ này. Hàm thuộc cho các quan hệ mờ “gần” và “nhỏ” ký hiệu là 1 5 |x-y| |)(| yxc −à Hình 1-3: Đồ thị hàm thuộc của quan hệ mờ |)(| yxc −à (1-16) (1-18) (1-17) 12 ),( vucà và ),( vusà . Các số trong ),( vucà và ),( vusà đ−ợc chọn để phù hợp với khái niệm sự so sánh hai số trong U và V. Giả sử dùng minimum t-norm (∧ ) và maximum t-conorm (∨ ) cho các phép hợp và giao khi đó: ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∨=∪ và ),(),(),( jisjicjisc vuvuvu ààà ∧=∩ ở đây, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. Sử dụng các công thức (1-21) và (1-22), ta có: Từ (1-23) và (1-24) chúng ta thấy rằng “u gần v” hoặc “u nhỏ hơn v” phù hợp hơn nhiều so với “u gần v” và “u nhỏ hơn v” bởi vì giá trị độ thuộc ),( vusc∪à t−ơng đối lớn, trong khi đó giá trị độ thuộc ),( vusc∩à t−ơng đối nhỏ. 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 1.04.09.0 321 vvv ≡),( vucà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 16.00 321 vvv ≡),( vusà (1-21) (1-22) 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 9.04.01.0 16.09.0 321 vvv ≡∪ ),( vuscà 2 1 u u ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 3.000 1.04.00 ≡∩ ),( vuscà 321 vvv (1-23) (1-24) (1-19) (1-20) 13 1.3.2. Quan hệ mờ và phép hợp thành trên các không gian khác nhau Định nghĩa 1-5: Giả sử R(U,V) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các UìV và S(V,W) là một quan hệ mờ trên không gian tích Đê-các VìW có các hàm thuộc t−ơng ứng là ),( yx Rà và ),( zySà với ),( yxRà ∈[0,1] , ),( zySà ∈[0,1]. Phép hợp thành giữa quan hệ mờ R và S ký hiệu là R oS, là một quan hệ mờ có hàm thuộc ),( zx SRà o đ−ợc định nghĩa: ),( zx SRà o = supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] ở đây toán tử supremum chính là hàm maximum và toán tử ∗ là một t- norm, chẳng hạn nh− hàm minimum. Nh− vậy, sup-star ở đây đ−ợc hiểu nh− các sup-min và sup-product t−ơng đ−ơng với các max-min và max-product. Ví dụ 1-5: Giả sử c là một quan hệ mờ “u gần v” trên không gian tích Đê- các UìV, ở đây U={u1, u2} và V={v1,v2,v3}, với các giá trị đ−ợc cho nh− sau: U={2,12}, V={1,7,13}; giá trị độ thuộc của quan hệ mờ này đ−ợc cho bởi (1-19). Và mb một quan hệ mờ “v lớn hơn nhiều w” trên không gian VìW, ở đây W={w1, w2}={4.8}, giá trị độ thuộc ),( wvmbà đ−ợc cho trong (1-26) d−ới đây: ),( wv mbà = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 7.0 0 0 1 6.0 0 3 2 1 21 v v v ww Phát biểu “u gần v” và “v lớn hơn nhiều w” thể hiện phép hợp thành giữa hai quan hệ mờ c và mb nó là một tập mờ có hàm thuộc ),( wu mbcà o đ−ợc xác định theo (1-25) và minimun-tnorm nh− sau: ),( jimbc wuà o = [ ),(),( 11 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 22 jmbic wvvu àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 33 jmbic wvvu àà ∧ ] với i = 1,2 ; j = 1,2,3; ∧ thể hiện minimum và ∨ thể hiện maximum. Chẳng hạn: (1-25) (1-26) (1-27) 14 ),( 11 wumbcà o = [ ),(),( 1111 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1221 wvvu mbc àà ∧ ] ∨ [ ),(),( 1331 wvvu mbc àà ∧ ] = [0.9 ∧ 0] ∨ [0.4 ∧ 0.6] ∨ [0.1 ∧ 1] = 0 ∨ 0.4 ∨0.1 = 0.4 Tính toán t−ơng tự cho các phần tử còn lại chúng ta có ma trận độ thuộc của các thành phần của quan hệ mờ ),( wu mbcà o nh− sau: ),( wu mbcà o = ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 7.0 1.0 9.0 4.0 2 1 21 u u ww Chú ý: Trong tr−ờng hợp V = U, khi đó hàm thuộc à R (x,y) trở thành à R (x) hoặc à R (y), ví dụ quan hệ mờ “y là một số trung bình và y nhỏ hơn z”. vì V=U, khi đó phép hợp thành sup-star trong (1-25) trở thành: supy∈V[à R (x,y)∗ à S (y,z)] = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] đây chỉ là hàm của một biến đầu ra z. Nh− vậy, chúng ta có thể đơn giản ký hiệu ),( zx SRà o thành )(zSRà o , và ta có )(z SRà o = supx∈U[à R (x)∗ à S (x,z)] 1.4. Cơ bản về suy diễn mờ Luật mờ là một thành ph