Bài giảng Dao động ký thuật

1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dao động kỹ thuật, NguyễnVăn Khang, NXB Khoa họcvà kỹ thuật. 2. Bài tậpdaođộng kỹ thuật, NguyễnVăn Khang và nhiều nk, NXB Khoa họcvàkỹ thuật. 3. Lý thuyếtdaođộng, Lê Xuân Cận(dịch), NXB Khoa học và kỹ thuật. 4. Dao động tuyếntính, Nguyễn Đông Anh (dịch), NXB Khoa họcvàkỹ thuật. 2 NỘI DUNG Chương mởđầu: Các khái niệmcơ bảncủalý thuyếtdaođộng. Chương 1: Dao động tuyếntínhcủahệ mộtbậc tự do. Chương 2: Dao động tuyếntínhcủahệ nhiềubậc tự do. 3 Chương mởđầu CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG 1. Định nghĩa dao động. 2. Mô tảđộng học các quá trình dao động. 3. Phân loạihệ dao động. 4 1. Định nghĩadaođộng Dao động là mộthiệntượng phổ biển trong tự nhiên và trong kỹ thuật. Các máy, các phương tiệngiaothôngvậntải, các toà nhà cao tầng, những cây cầu,… đólàcáchệ dao động. Dao động là gì? Dao động là một quá trình trong đómột đạilượng vật lý (hoá học, sinh học,…) thay đổi theo thờigianmàcómột đặc điểm nào đólặplạiítnhấtmộtlần. 5 Dao động có lợihay cóhại? Dao động vừacólợi, vừacóhại. ™ Lợi: Dao động đượcsử dụng để tối ưu hoá mộtsố kỹ thuật như: đầm, kỹ thuật rung … ™ Hại: Giảm độ bềncủamáy, gâyrahiệntượng mỏicủavật liệudẫntới phá huỷ, ảnh hưởng đếntuổithọ củacáccông trình,.... 6 2. Mô tảđộng học các quá trình dao động a. Dao động điều hoà. Ví dụ hàm điều hoà? Ví dụ: sin(ωtct+αωα ), os(+ ) Dao động đượcmôtả về mặt toán họcbởicáchàmđiều hoà đượcgọi là dao động điều hoà. 7 Xét dao động đượcmôtả bởi: x(tA )= sin(ω t+α ) (1) x(t) Trong đó: A ω : tầnsố vòng (rad/s). T=2π/ω: Chu kỳ dao động (s). t A : biên độ dao động (m). -A ωt + α : pha dao động (rad). T α : pha ban đầu (rad). f = 1/T : tầnsố (HZ). 8 b. Dao động tuần hoàn. Hàm tuần hoàn? Hàm số x(t) đượcgọi là hàm tuần hoàn, nếutồntạimộthằng số T > 0 sao cho vớimọi t ta có hệ thức: x()(),tT+ =∀ xt t (2) Một quá trình dao động đượcmôtả về mặttoánhọcbởimột hàm tuần hoàn x(t) đượcgọi là dao động tuần hoàn. 9 x(t) Max(x) t Min(x) T Hằng số T nhỏ nhất để cho biểuthức(2) đượcthoả mãn gọi là chu kỳ dao động. Biên độ A của dao động tuần hoàn x(t) được định nghĩabởi công thứcsau: 1 A =−[]maxxt ( ) min xt ( ) 2 10 c. Dao động họ hình sin. + Một quá trình dao động đượcmôtả về mặttoánhọcbởi hàm: x()tAt= ()sin[ω () tt+α () t] (3) đượcgọilàdao động họ hình sin. + Dao động tắtdần: −δt xt()=+> Ae0 sin[ωαδ () tt (), t] 0 + Dao động tăng dần: δt xt()=+> Ae0 sin[ωαδ () tt (), t] 0 Dao động mà biên độ A(t) thay đổi luân phiên đượcgọilà dao động biến điệubiênđộ. Dao động mà tầnsố ω(t) thay đổi luân phiên đượcgọilàdao động biến điệutầnsố. 11 3. Phân loạihệ dao động a. Căncứ vào cơ cấugâynêndaođộng: + Dao động tự do. + Dao động cưỡng bức. + Dao động tham số. + Tự dao động. + Dao động hỗn độn. + Dao động ngẫu nhiên. 12 b. Căncứ vào số bậctự do: + Dao động củahệ mộtbậctự do. + Dao động củahệ nhiềubậctự do. + Dao động củahệ vô hạnbậctự do. c. Căncứ vào phương trình chuyển động: + Dao động tuyến tính. + Dao động phi tuyến. d. Căncứ vào dạng chuyển động: + Dao động dọc. + Dao động xoắn. + Dao động uốn. 13 Chương 1 DAO ĐỘNG TUYẾN TÍNH CỦA HỆ MỘT BẬC TỰ DO 1.1. Dao động tự do không cản. 1.2. Dao động tự do có cản. 1.3. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng điều hòa. 1.4. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng đa tầnvàchịukíchđộng tuầnhoàn. 1.5. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng bất kỳ. 14 §1. Dao động tự do không cản 1.1. Mộtsố ví dụ. ™ Thí dụ 1: Dao động củamộtvậtnặng treo vào lò xo. Æ Phương trình dao động: mx&& += cx 0 (1) c Vị trí cb tĩnh x m 15 ™ Thí dụ 2: Dao động củacon lắctoánhọc. O Æ Phương trình dao động: g φ ϕ +=sinϕ 0 L && l Xét dao động nhỏ: g m ϕ +=ϕ 0 (2) && l ™ Thí dụ 3: Dao động củacon lắcvậtlý. Æ Phương trình dao động: mga O a ϕϕ+=sin 0 && φ J o Xét dao động nhỏ: C m, Jo mga ϕϕ&& +=0 (3) J o 16 ™ Thí dụ 4: Dao động xoắncủatrục mang đĩa tròn. Æ Phương trình dao động: φ c ϕϕ&& +=0 (4) J C J Kếtluận: Dạng của phương trình dao động tự do củahệ mộtbậctự do có dạng chung là: mq&& + cq = 0 (5) Trong đóq làtọa độ suy rộng. 17 1.2. Tính toán dao động tự do không cản. Phương trình vi phân chuyển động củacơ hệ mộtbậc tự do không cảncódạng: mq&& + cq = 0 Hay: 2 (6) qq&& + ω o = 0 Trong đó ωo là tần số dao động riêng. Điềukiện đầu: to= 0 : qt()0 = qo (7) qt&&()0 = qo 18 Nghiệmcủa phương trình vi phân (6) có dạng: qCcostC= 12ωoo+ sinω t (8) Trong đóC1 và C2 là các hằng số tuỳ ý, đượcxácđịnh từđiềukiện đầu(7). Cho nghiệm(8) thoả mãn điềukiện đầu (7), ta xác định được: q& o CqC12==o , ω o Vậy: q&o qqcost=+ooω ω sinω o t (9) o 19 Nghiệm(9) còncóthể viếtdướidạng: (10) qA=+sin(ω o tα ) Trong đó: 2 22 2⎛⎞q&o ACC=+=+12 qo ⎜⎟ ⎝⎠ωo (11) C1 qo tgαω==o Cq2 &o 20 Từ biểuthức (10) ta thấy: dao động tự do không cảncủa hệ mộtbậctự do đượcmôtả bởi hàm điều hoà. Vì vậy, dao động tự do không cảncònđượcgọi là dao động điều hoà. ™ Đặctrưng: A :đượcgọilàbiênđộ dao động. ωo :đượcgọilàtầnsố riêng. ωot+α :đượcgọi là pha dao động. α :đượcgọi là pha ban đầu. T = 2п/ωo :đượcgọi là chu kì dao động. 21 ™ Tính chất chuyển động: 9 Tầnsố riêng và chu kì dao động không phụ thuộc vào các điềukiện đầumàchỉ phụ thuộcvàocáctham số củahệ. 9 Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầucủadaođộng tự do không cảnphụ thuộc vào các điềukiện đầu và các tham số củahệ. Chú ý: Việcxácđịnh tầnsố dao động riêng là nhiệmvụ quan trọng nhấtcủa bài toán dao động tự do. 22 §2. Dao động tự do có cản Trong phần này chúng ta khảo sát dao động tự do củahệ có xét đến ảnh hưởng củalựccản. Lựccản đượcxétởđây là lựccảnnhớttỷ lệ bậcnhấtvới vậntốc. 23 Xét dao động củahệ mô tả trên hình vẽ. Phương trình vi phân chuyển động củacơ hệ có dạng: mq&&++= bq & cq 0 (1) M Nếu đưavàocáckýhiệu: q cb ωδ2 ==,2 (2) c b o mm Thì phương trình (1) có dạng: 2 (3) qqq&&++=20δω & o Đây là phương trình vi phân cấp2 hệ số hằng số. 24 Phương trình vi phân (3) có phương trình đặctrưng: 22 (4) λδλω+ 20+=o Tuỳ theo quan hệ giữa δ và ωo, có thể xảyracác trường hợp sau: 22 δ < ωo (lựccảnnhỏ) :λ1, 2 = −±δωδi o − 22 δ ≥ ωo (lựccảnlớn) : λ1, 2 =−δδω ± − o Sau đây ta sẽ khảo sát từng trường hợp ở trên. 25 trường hợpthứ nhất: δ <ωo (lựccảnnhỏ) : Nghiệmtổng quát của phương trình vi phân dao động (3) có dạng: −δt qt()=+ e ( Ccos12ω t C sinω t ) (5) Trong đó: 22 (6) ω =−ωδo Các hằng số C1 và C2 đượcxácđịnh từđiềukiện đầu: tqqqq==0 : (0)oo ,&& (0) = 26 Từ các điềukiện đầu đã cho, ta xác định được: qq+δ CqC==, &oo 12o ω Nếu đưavàocáchằng số: 22 C1 ACCtg=+12, β = C2 Thì biểuthức nghiệm (5) có thể viếtdướidạng: qt()=+ Ae− δ t sin(ω t β ) (7) 27 Tính chất nghiệm: 9 Khi lựccảnnhỏ, hệ thựchiện dao động tắtdần. −δt 9 Độ lệchAe giảmtheoluậtsố mũ, tiệmcậntới không. 9 Dao động đượcmôtả bởi phương trình (7) là dao động họ hình sin.(hình vẽ) 28 Đặctrưng: Chuyển động củacơ hệđượcmôtả bởi quy luật không tuần hoàn, nhưng toạđộq lại đổidấumộtcách tuần hoàn. Quy ước: 22là tầnsố riêng của dao động tắtdần. ω =−ωδo T = 2/π ω là chu kỳ của dao động tắtdần. Ae−δt là biên độ của dao động tắtdần. 29 Chú ý: Để đặctrưng cho độ tắtdầncủadaođộng tự do có cản nhớt, ta đưa vào khái niệm độ tắt Lôga. qt() Λ=ln =δT qt()+ T Độ tắt Lôga đặctrưng cho độ giảmbiênđộ của dao động tắtdần. Ta còn xác định độ tắt Lôga như sau: −δ t qt() e kT ==−+()δtkT e qt()+ kT e δ Từđó: 1()qt Λ=δT = ln kqtkT()+ 30 trường hợpthứ hai : δ > ωo (lựccảnlớn) : Nghiệmtổng quát của phương trình (3) có dạng: −δt 22 qt()=−+ Ae sh ( δ ωβo t ) (8) Đường biểudiễn nghiệm q(t) cắttrục t không quá một lần(đồ thị). Do đó, chuyển động củahệ là chuyển động tắtdần, không dao động. qt() q&o > 0 q&o = 0 t qq&oo< λ2 31 trường hợpthứ ba : δ = ωo (lựccảntớihạn) : Trong trường hợp này nghiệmcủa phương trình đặc trưng là các số thựcâmvàbằng nhau. Nghiệmtổng quát của phương trình (3) có dạng: −δt qt()=+ e ( Ct12 C ) (9) Chuyển động củahệ là tắtdần, không dao động. 32 Chú ý: Trong mộtsố tài liệuviếtvề Dao động kỹ thuật, ngườita còn sử dụng khái niệm độ cản Lehr. Độ cản Lehr được xác định bởi: δ bb D == = (10) ωωoo2m 2 mc Phương trình vi phân dao động tự do có cảnnhớt(3) có thể viếtlại: 2 qDq&&+ 20ωωoo & += q (11) 33 22 2 Do: ωδoo−= ω1 −D Nên chuyển động củahệđược phân thành ba trường hợpsau: D <<1(δ ωo ) : độ cảnnhỏ. D ==1(δ ωo ) : độ cảntớihạn. D >>1(δ ωo ) : độ cảnlớn. Mặt khác, ta có quan hệ giữa độ tắt Lôga và độ cản Lehr: D Λ=δπT =2 1− D2 34 Ví dụ: Gắnmộtkhốilượng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phầntử cảnvàđàn hồi(hv). Bỏ qua khốilượng của thanh. -Phảichọn độ lớncủahệ số cảnb như thế nào để hệ có dao động nhỏ. -Xácđịnh độ cảnLerhD cầnthiết để sau mườidaođộng biên độ giảm còn 1/10 biên độ củachukỳđầu, sau đóxác định chu kỳ dao động. O a φ b a m c 35 §3. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukíchđộng điều hòa. 3.1. Mộtsố kích động thường gặp. 3.2. Dao động cưỡng bức không cản. 3.3. Dao động cưỡng bứccócản. 36 3.1. Mộtsố kích động thường gặp. ™ Kích động lực: F(t) Phương trình vi phân dao động: ˆ m my&&++= by & cy F() t = F sin Ω t y cb 37 ™ Kích động bởikhốilượng lệch tâm: m e 1 Ωt Phương trình vi phân dao động: y mo 2 my&&++=Ω by & cy me1 sin Ω t cb Trong đó: mm= o + m1 38 ™ Kích động bằng lực đàn hồi: x u(t) c1 m co b Phương trình vi phân chuyển động: mx&&++= bx & cx cuoo() t = cusinˆ Ω t Với: cc=+1 co 39 ™ Kích động động học: Phương trình vi phân chuyển động: m &&y ++=b y & c y ucˆ(sin Ω+ΩΩ t b cos t ) m y Với: ut()=Ω uˆ sin t cb u(t) 40 ™ Kích động bằng lựccảnnhớt: x u(t) c m bo b1 Phương trình vi phân chuyển động: mx&&++=ΩΩ bx & cx buo ˆ cos t Với: ut()=Ω uˆ sin t 41 Kếtluận: Qua các ví dụ trên ta thấy: Phương trình dao động tuyếntínhcủahệ mộtbậctự do chịukíchđộng điều hoà có dạng: mq&&++= bq & cq H12sin Ω+ t H cos Ω t 9 Phương trìnhtrêncòncóthể viếtlạidướidạng: 2 qqqh&&++=2sδω & o 12in Ω+ thcost Ω Với: 2 ωδo ==cm/,2 bm /. 9 Hoặc phương trình VPCĐ còn viết đượcdướidạng: 2 qDq&&++=Ω+Ω2sωωoo & qh12in thcost Trong đó: δ b D == ωo 2 cm 42 3.2. Dao động cưỡng bức không cản Phương trình vi phân dao động cưỡng bứccủahệ một bậctự do có dạng: mq&& + cq=Ω Hsin t (1) Phương trình trên còn có thể viếtlại: 2 (2) qqht&& + ω o =Ωsin Trong đó: cH ω 2 ==; h o mm 43 Nghiệmtổng quát của phương trình (2) có dạng: h qt()=+ Ccos12ωωoo t Csin t +22sin Ωt (3) o −Ω Các hằng số C và C đượcxácđịnh từđiềukiện đầu. 1 2 ω Giả sửđiềukiện đầu: tqqqq===0 : (0)oo ,&& (0) Cho nghiệm (3) thoả mãn điềukiện đầu, ta được: q&o hΩ CqC12==−o ; 22 ωωωooo()−Ω 44 Như vậy, nghiệm (3) có dạng: q&o hΩ qt()=+ qcosooωω tsin o t − ω22sin ot + ()−Ω (4) ωωωooo h +Ω22sin t o −Ω Nghiệm(4) gồm hai thành phần: ω 9 Ba số hạng đầutiênbiểuthị dao động tự do vớitần số là tầnsố riêng củahệ. 9 Số hạng thứ tư biểuthị dao động cưỡng bứcvớitần số là tầnsố củalựckíchđộng. 45 Chú ý rằng khi: qqoo= & = 0 thì nghiệm (4) có dạng: ωω hhΩ qt()=− sinω t+sin Ωt (5) ()22−Ω o 22−Ω oo ωo Số hạng thứ nhấtcủa(5) đượcgọi là thành phầndao động tự do kéo theo. Sau mộtkhoảng thờigiannàođó, do ảnh hưởng củalực cản nên các thành phầnmôtả dao động tự do củahệ sẽ mất đi Æ hệ chỉ còn thựchiệndaođộng cưỡng bứcvới tầnsố là tầnsố củalựccưỡng bức. Giai đoạn đầucòntồntạicả dao động tự do và dao động cưỡng bức đượcgọilàgiaiđoạnchuyểntiếp. Giai đoạnchỉ còn tồntại dao động cưỡng củahệđược gọilàgiaiđoạnbìnhổn. 46 Đốivớigiaiđoạnbìnhổn, quy luật dao động củahệ sẽ là: hH (6) qt*( )=Ω=22 sin t 2sin Ωt ωηo −Ωc(1 − ) Trong đó:η =Ω/ωo Chú ý: Thừasố H/c chínhlàdịch chuyểngâyrabởilực tĩnh H đặtvàovật dao động. Đạilượng: 1 V ()η = 1−η 2 Æ biểuthị tác dụng động lựccủalựckíchđộng, và được gọilàhàm khuyếch đại (hệ sốđộng lực) 47 Dạng đồ thị của V cho bởihìnhsau: V 1 0 1 η Ta thấy: khi tỷ số Ω/ωo dần đến 1 thì V và do đó dao động cưỡng bứctăng lên nhanh chóng và tiếntớivô cùng khi Ω = ω0. Hiệntượng đógọilàhiệntượng cộng hưởng. Như vậy, hiệntượng cộng hưởng là hiệntượng biên độ dao động cưỡng bứctăng lên rấtlớndo tầnsố củalực kích động trùng vớitầnsố dao động riêng củahệ. 48 ¾ Xét nghiệm(5) vớigiả thiết: Ω ≈ ωo ωω hhΩ qt()=− sinω t+ sin Ωt (5) ()22−Ω o 22−Ω oo ωo Đặt: Ω=ωo +2ε trong đó ε là đạilượng vô cùng bé. Sau mộtsố phép biến đổi, nghiệm(5) đưa về dạng: htsinε qt()≈ −Ω cos t (7) 2Ωε Do ε là một vô cùng bé nên hàm sinεt biến thiên chậm, còn chu kỳ củanó2п/ε rấtlớn. Hiệntượng dao động đượcchobởi(7) gọilàhiệntượng phách. 49 Đồ thị củahàm(7) chobởihìnhvẽ sau: 2.5 2 1.5 1 0.5 0 q(m) -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 t(s) 50 ¾ Xét trường hợp Ω →→ωo (0)ε Khi đócóthể thay sinεt bằng εt trong nghiệm (7), và ta có: ht (8) qcost=− ωo 2ωo Biên độ ht/2ωo tăng lên vô hạnkhithờigiant tăng. Như thế, ngay trong phạm vi lý thuyết dao động tuyến tính không cản, sự tăng biên độ lên vô hạn ở vùng cộng hưởng cũng đòi hỏiphảicóthờigian. Đốivớicácmáyđượcthiếtkế làm việc ở vùng cộng hưởng, khi tăng vậntốccủa máy qua vùng cộng hưởng cầnphảikhẩntrương cho vượt qua đủ nhanh. 51 Đồ thị của nghiệm(8) chobởihìnhsauđây: 30 20 10 0 q(m) -10 -20 -30 -40 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 t(s) 52 Kếtluận: Khi tính toán dao động cưỡng bức không cản ta cần phân ra 2 trường hợp: Trường hợpxacộng hưởng ( Ω ≠ ω o ). Trường hợpgầncộng hưởng ( Ω≈ ω o). Trong trường hợpnàykhi tacóhiệntượng phách, khi Ω=ωo +2ε Ω=ωo ta có hiệntượng cộng hưởng. 53 3.3. Dao động cưỡng bứccócảnnhớt Phương trình vi phân dao động trong trường hợpnày: 2 (1) qqqh&&++=2sδω & o 12in Ω+ thcost Ω Nghiệm riêng của phương trình (1) được tìm dướidạng: qt*( )= M sinΩ+ tNcost Ω (2) Thay (2) vào (1) ta xác định được: ()2ωδ22− Ω+Ωhh M = o 12 ()4222− Ω+ 22 Ω ωδo (3) 22 −Ω+2()δωhh12o −Ω N = 222 22 ()4ωδo − Ω+ Ω 54 Nghiệmtổng quát của phương trình (1): qt()=++Ω+Ω Ae−δt sin(ωβ t ) M sin t Ncos t (4) Số hạng thứ nhấtcủa(4) biểudiễn thành phần dao động tự do tắtdần. Hai số hạng sau có tầnsố Ω của ngoạilực biểudiễn thành phần dao động cưỡng bức củahệ. Thành phần dao động cưỡng bức(2) cóthể biểudiễn dướidạng: qt*( )= qˆ sin(Ω+ tϕ ) (5) Trong đó: hh22+ qMNˆ =+=22 12 22222 ωo (1−+ηη ) 4 D tgϕ = N/ M với: η =Ω/,ωδωooD = / 55 Các trường hợpcụ thể: ™ Trường hợpkíchđộng lựchoặckíchđộng qua lò xo: −1/2 ˆˆ⎡ 22 2 2⎤ qV==−+11(,ηηη DyV );⎣ (1 ) 4D ⎦ (6) ™ Trường hợpkíchđộng động học: 22 qVˆˆ==+22(,ηη D );y VDV 1 4 1 (7) ™ Trường hợpkíchđộng bởikhốilượng lệch tâm: 2 qVˆˆ==321(,ηη DyV ); V (8) Các hàm V1, V2, V3 là các hàm khuyếch đại (hay hệ số động lực). 56 Khi ta cốđịnh độ cản D, các hàm V1, V2, V3 đạtcực đại tạicácgiátrị sau của n: V1 đạtcực đạikhi: η =−12D2 V2 đạtcực đạikhi: 1 η =+−≈−18D 22 12D Nếu:D 1 2D V3 đạtcực đạikhi: 1 η = 12− D 2 57 Đồ thị của V1 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V1 3 D = 0.2 2 D = 0.4 1 D = 2/2 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 58 Đồ thị của V2 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V2 3 D = 0.2 2 D = 0.4 1 D = 2/2 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 59 Đồ thị của V3 vớicácgiátrị D cho trước: 7 6 D = 0 5 D = 0.1 4 V3 3 D = 0.2 2 D = 2/2 1 D = 0.4 0 0.4 0.6 0.8 η1 1.2 1.4 1.6 60 §4. Dao động củahệ chịukíchđộng tuần hoàn Giả sử lựckíchđộng biểudiễnbởimột hàm tuần hoàn của t vớichukỳ T: ∞ (1) f ()ta=+oj∑ ( a cosj Ω+tb j sinj Ωt ) j=1 Các hệ số Fourier ao, aj, bj đượcxácđịnh như sau: 1 T 2 T a = f ()tdt aftjtdt=Ω()cos o T ∫ j ∫ 0 T 0 2 T bftjtdt=Ω()sin j ∫ j =1→∞ T 0 2π T = Ω 61 Phương trình vi phân dao động cưỡng bứccủahệ mộtbậc tự do chịutácdụng củalựctuần hoàn có dạng: ⎡ ∞ ⎤ 2 1 (2) qqq&&++=2(δω & ooj⎢ a +∑ ajtbjtcos Ω+ jsin Ω)⎥ m⎣ j=1 ⎦ Ta tìm nghiệm riêng của phương trình (2) dướidạng: ∞ qt*( )=+ Aoj∑ ( A cos jtB Ω+ j sin jt Ω ) (3) j=1 Thế (3) vào (2), ta nhận được: 222 ao ()2ωδojj−Ωja − jb Ω Ao = A = mω2 j ⎡ 2222 222⎤ o mj⎣()4ωδo − Ω+ j Ω⎦ ()2ωδ222−Ωjb + ja Ω B = ojj j ⎡ 2222 222⎤ mj⎣()4ωδo − Ω+ j Ω⎦ 62 Nghiệm(3) còncóthể viếtdướidạng sau: ∞ (4) qt*( )=+ Aoj∑ C sin( jt Ω+α j ) j=1 Nghiệmtổng quát của phương trình (2) trong trường hợp lựccảnnhỏ có dạng: ∞ −δ t qt()=+++Ω+ Ae sin(ω tβα ) Aoj∑ Csin( j t j ) (5) j=1 Tính chất nghiệm: Số hạng thứ nhấtcủa(5) biểudiễn thành phầndaođộng tự do tắtdần. Các số hạng còn lạibiểudiễn thành phần dao động cưỡng bức. 63 ‰ Trường hợp: hai kích động có tầnsố gần nhau: Phương trình vi phân củahệ dao động mộtbậctự do không cảnchịutácdụng của hai lực điều hoà vớicáctần số Ω1 và Ω2 có dạng: ˆˆ (1) mq&& += cq F112sin Ω+ t F sin Ω 2 t Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng, dao động cưỡng bức củahệ có dạng: qA=Ω+Ω112sin tA sin 2 t (2) Trong đó: Fˆ 1 ˆ 1 F2 1 A1 = A = (3) c 1−η2 2 2 1 c 1−η2 64 Xét trường hợp Ω1 và Ω2 khá gần nhau. Do đặc điểmnàytasẽ biểudiễn nghiệm(2) dướidạng: qt()=Ω+Ω A112 sin t A sin 2 t AA+−AA =Ω+Ω+Ω−Ω12(sintt sin )12 (sin tt sin ) 2212 12 Ω −Ω Ω+Ω Ω−Ω Ω+Ω =+(A Ac ) os12 t sin 12 t+− ( A A )sin12 tc os 12 t 12 2212 22 Ta đưa vào ký hiệu: Ω −Ω B ()tAAc=+ ( )os 12 t 112 2 Ω −Ω B ()tAA=− ( )sin 12 t 212 2 Ω −Ω Ω= 12 2 65 Do Ω1 gần Ω2 nên B1(t), B2(t) là các hàm thay đổichậm theo t. Nghiệmcủaphương trình (1) đượcviếtdướidạng: qt()=Ω+=Ω+Ω A sin( tα ) B12 sin t Bcos t Trong đó: 22 A =+BB12: Biên độ thay đổichậmtheothờigian. Ω+Ω Ω= 12: Giá trị trungbìnhcủa hai tầnsố. 2 ⎛⎞B α = arctg ⎜⎟1 : Pha thay đổichậm theo thờigian. ⎝⎠B2 66 Như thế chuyển động củahệ có tính chất điều hoà với biên độ dao động A là hàm thay đổitheothời gian. Chu kỳ thay đổi theo thờigianlà: 4π Ta = Ω12−Ω Vì hiệusố Ω1 –Ω2 nhỏ nên chu kỳ Ta có giá trị lớnhơn nhiềuso vớichukỳ củahệ: 4π T = Ω12+Ω 67 Đồ thị dao động biểuthị trên hình vẽ dưới đây. Hiệntượng dao động như hình vẽ này gọilàhiệntượng phách. Như vậy, hiệntượng phách là hiệntượng biên độ dao động thay đổituần hoàn chậm theo thờigian. 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 q(m) -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 t(s) 68 Hiệntượng phách ởđây xuấthiệnkhitầnsố kích động Ω1 khá gầntầnsố kích động Ω2. Và ở phầntrướctacũng thấy: hiệntượng phách xuấthiện khi tầnsố củalựckíchđộng Ω khá gầntầnsố riêng ωo củahệ. Tuy nhiên, nếu quan tâm đếnlựccản thì dao động tự do sẽ tắtdần, và do đó theo thờigianhiệntượng phách cũng sẽ mất đi.(hình vẽ dưới): 2 1.5 1 0.5 0 q(m) -0.5 -1 -1.5 -2 0 50 100 150 200 250 300 350 400 t(s) 69 §5. Dao động cưỡng bứccủahệ chịukích động bấtkỳ Giả sử hàm kích động đượcbiểudiễnbởihàmkhả vi nào đó, thì phương trình dao động củahệ có dạng: mq&&+ bq & += cq f() t (1) Biến đổi(1) về dạng: 2 ft() qqq&&++=2(δω & o =g t )(2) m Nghiệmcủa(2) gồm : nghiệmcủa phương trình vi phân thuầnnhấttương ứng và một nghiệm riêng của nó. 70 Nghiệmthuầnnhất: trong trường hợpcảnnhỏ, nghiệm của phương trình vi phân thuầnnhấtcódạng: −−δδtt qt( )=+= Ae sin(ω tαωω ) e ( Ccos12 t + Csin t ) (3) Nghiệm(3) còncóthể viếtdướidạng: qt()= Cq11 () t+ Cq 2 2 () t (4) Trong đó: −δ t qt1 ()= e c osω t −δ t qt2 ()= e sinω t 71 Phương pháp bién thiên hằng số Lagrange: Tìm nghiệmcủa(2) dướidạng tương tự(4) nhưng C1 và C2 là hàm củathờigian: qt(