Bài giảng Giải tích 2 - Chương 4 - Nguyễn Văn Quang

1. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba 2. Hệ tọa độ trụ 3. Hệ tọa độ cầu 4. Ứng dụng hình học 5. Ứng dụng cơ học ( , , )f f x y z xác định trên vật thể đóng, bị chặn . E Chia E một cách tùy ý ra thành n khối hình hộp nhỏ: 1 2, ,..., .nE E E Thể tích tương ứng mỗi khối: 1 2( ), ( ),..., ( ).nV E V E V E Trên mỗi khối lấy tuỳ ý một điểm ( , , ).i i i iM x y ziE Lập tổng Riemann: 1 ( ) ( ) n n i i i I f M V E    , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi lim n n I I   được gọi là tích phân bội ba của f = f(x,y,z) trên khối E. ( , , ) E I f x y z dxdydz  Định nghĩa 23-Mar-21 2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, thì khả tích trên miền này. 3) ( , , ) ( , , ) E E f x y z dxdydz f x y z dxdydz    2) E E V dxdydz  4) ( ) E E E f g dxdydz fdxdydz gdxdydz     5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 rời nhau: 1 2E E E fdxdydz fdxdydz fdxdydz    6) ( , , ) , ( , , ) ( , , ) E E x y z E f x y z g x y z fdxdydz gdxdydz      Tính chất 23-Mar-21 3 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính (Định lý Fubini): tích phân lặp ( , , ) E I f x y z dxdydz  Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là 𝑂𝑥𝑦. Mặt phía trên: 2( , )z z x y 1( , )z z x y Mặt phía dưới: Hình chiếu: Hình chiếu: 𝐷𝑥𝑦 2 1 ( , ) ( , ) ( , , ) xy z x y D z x y dxdy f x y z dz   ( , , ) E I f x y z dxdydz  2( , )z z x y 1( , )z z x y PrOxy xyE D 23-Mar-21 4 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN • Tương tự ta có 2 công thức tích phân lặp khác, khi chiếu khối E lên 2 mặt phẳng Oxz, Oyz. • Thông thường, miền hình chiếu 𝐷𝑥𝑦 sẽ có biên là phương trình của biên khối E nhưng không chứa 𝑧.  Ta sẽ khử 𝑧 ở trong phương trình của biên khối E, hoặc tìm phương trình nào không chứa 𝑧 của biên khối E. Cách tính – Định lý Fubini (tích phân lặp) 23-Mar-21 5 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý Tính tích phân bội ba trong đó E là vật thể: E I zdxdydz  Hình chiếu của E xuống Oxy: Mặt phía dưới: 2 2 2 22 , 0 ; 1     z x y z x y 2 2: 1D x y  Mặt phía trên: 2 2 2( , ) 2z x y x y   1 0z  2 2 2 2 2 01 x y x y I zdz dxdy              23-Mar-21 6 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2 2 2 2 2 2 1 0 2 x y x y I d z xdy             2 2 2 2 2 1 (2 ) . 2x y x y I dxdy       Đổi sang hệ tọa độ cực.   2 2 2 1 0 0 2 2 r I d r dr        7 6   23-Mar-21 7 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân bội ba , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E I zdxdydz  Hình chiếu của E xuống Oxy: Mặt phía dưới: 21 , 1y x z x    Mặt phía trên: 2 2( , ) 1z x y x  1 0z  21 0 x OAB I dxdy zdz           , nằm trong góc phần tám thứ nhất. Tam giác OAB. A B Ví dụ 23-Mar-21 8 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 21 0 x OAB I zdz dxdy             2 2 1 1 0 0 1 2 x x dx dy      11 60  A O B 21 2 0 2 x OAB z I dxdy              2 21 2OAB x I dxdy     Ví dụ 23-Mar-21 9 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: (2 3 ) E I x y dxdydz  Hình chiếu của E xuống Oxy: Mặt phía dưới: , 1 , 0, 0.y x z y x z     Mặt phía trên: 1z y  0z  Ví dụ 23-Mar-21 10 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN   1 0 2 3 y D I x y dz dxdy           1 1 0 2 3 (1 ) x I dx x y y dy       1 0 (2 3 ) y D dzI x y xdy       2 3 (1 ) D I x y y dxdy      11 60 I  Ví dụ 23-Mar-21 11 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: ( 1) E I z dxdydz  Hình chiếu của E xuống Oxy: Mặt phía dưới: 2 , , 0, 1.   x y z x z x Mặt phía trên: z x 0z  Ví dụ 23-Mar-21 12 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 0( 1) x D I z dz dxdy         2 21 1 1 2y x I dy x dx           2 0 2 x D z I z dxdy             2 2D x I x dxdy         38 35 I  Ví dụ 23-Mar-21 13 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến tổng quát 23-Mar-21 14 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Giả sử có phép đổi biến: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤); sao cho phép đổi biến này là 1-1 (có thể trừ trên biên), và 𝐽 ≠ 0 (có thể 𝐽 = 0 tại một số điểm hữu hạn), khi đó: 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐸𝑥𝑦𝑧 = 𝑓(𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)). 𝐽 . 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤𝐸𝑢𝑣𝑤 Trong đó: 𝐽 = 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤) = 𝑥′𝑢 𝑥 ′ 𝑣 𝑥 ′ 𝑤 𝑦′𝑢 𝑦 ′ 𝑣 𝑦 ′ 𝑤 𝑧′𝑢 𝑧 ′ 𝑣 𝑧 ′ 𝑤 Định lý: Điểm M(x,y,z) trong hệ trục tọa độ Oxyz. ( , , )M x y z  1( , ,0)M x y  r z y x z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , ).r z ( , , )r z được gọi là hệ tọa độ trụ của điểm M. Công thức đổi biến từ tọa độ Decasters sang tọa độ trụ: cos sin x r y r z z          r z r z r z x x x J y y y z z z             r Định nghĩa 23-Mar-21 15 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 1( , )z z r  2 ( , )z z r  Đổi biến sang tọa độ trụ. cos sin x r y r z z          ( , , ) E I f x y z dxdydz  Mặt phía dưới: 1( , )z z r  Mặt phía trên: 2 ( , )z z r  Hình chiếu: D Xác định cận của D: ,r  1 2 1 2 :D r r r        2 2 2 1 1 1 ( , ) ( , ) ( cos , sin , ) r z r r z r I d rdr f r r z dz            23-Mar-21 16 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: 2 2 E I x y dxdydz  Hình chiếu xuống Oxy: Mặt phía dưới: 2 2 2 24, 1 , 1.z z x y x y      Mặt phía trên: 4z  21z r  2 2: 1D x y  2 2 1 4 0 0 1 r I d dr r dzr         0 2 : 0 1 D r       2 2 1 4 2 10 0 r I d dr r z            2 1 2 2 0 0 (3 )    d r r dr 12 5   23-Mar-21 17 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E I zdxdydz  Hình chiếu của E xuống O𝑥𝑦: Mặt phía dưới: 2 2 2 2 2 2, 2 , 1.z x y z x y x y       Mặt phía trên: 22z r  2z r 2 2: 1D x y  Cận của D: 0 2 : 0 1 D r       23-Mar-21 18 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN y 2 2 2 1 2 0 0 r r I d dr z dzr         2 2 2 22 1 0 0 2 r r z d r dr       3 Tính tích phân , trong đó E:  2 2 E I x z dxdydz  2 22 , 2.y x z y   Chiếu xuống O𝑥𝑧. Mặt trên: 2y  Mặt dưới: r y  2 2 Hình chiếu: 2 2: 4D x z  2 2 2 2 2 0 0 /2 16 3r rI d r r dyd         23-Mar-21 19 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Điểm 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) trong hệ trục tọa độ O𝑥𝑦𝑧. ( , , )M x y z  1( , ,0)M x y  y x z M được xác định duy nhất bởi bộ ( , , ).   ( , , )   được gọi là hệ tọa độ cầu của điểm M. Công thức đổi biến sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   x x x J y y y z z z                   2 sinJ       cosz   sinr   Định nghĩa 23-Mar-21 20 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Giả sử trong tọa độ cầu, vật thể E được giới hạn bởi: 1 2 1 2 1 2                  ( , , ) E I f x y z dxdydz  2 2 2 1 1 1 2( sin cos , sin sin , co ) s ns i                      d d f d Chú ý: 0 0 2 0                   hay Định nghĩa 23-Mar-21 21 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: 2 2 2 E I x y z dxdydz   2 2 2 2 2, .z x y x y z z     Đổi sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   23-Mar-21 22 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ta có: 2 2 2 cosx y z z      2 2 4 z x y      23-Mar-21 23 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN   , 0,cos   const        0, 4 0,cos    const           0,2 0, 4 0,cos          23-Mar-21 24 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN / 4 2 cos 0 0 0 2 sinI d d d            1 2 10 80         Xác định cận: 0 4    0 2   0 cos   Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E I zdxdydz  Xác định cận: 2 2 2 2 2, 1.z x y x y z      Đổi sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   3 4     0 2   0 1  1 0 0 2 2 3 / 4 cos sinI d d d              y x z 8    23-Mar-21 25 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN x y z Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: ( ) E I y z dxdydz  Xác định cận: 2 2 20, 2 ( 0) z x y z y z     Đổi sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   2     0    0 2sin sin     2sin sin / 2 0 0 2( sin sin c sinos )+I d d d                   Cách 1: 23-Mar-21 26 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 5 12   Cách 2: Xác định cận: sin cos sin sin cos 1 x y z                   2     0 2   0 1  2 1 / 2 0 2 0 (1 sin sin co is ) s n+I d d d                   Đổi sang tọa độ cầu mở rộng: x y z Gốc tọa độ dời về đây 23-Mar-21 27 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 5 12   x y z Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: 2 2 2 3/ 2( )x y z E I e dxdydz   Xác định cận: 2 2 20, 1 ( 0) y x y z y     Đổi sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   0    2    0 1  3 2 2 1 0 0 sinI d d e d            2( 1) 3 e   23-Mar-21 28 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: E I zdxdydz  Xác định cận: 2 2 21, 2 ( 1) z x y z z z     Đổi sang tọa độ cầu: sin cos sin sin cos x y z                   0 2    0 2   0   ? Phải chia khối E ra làm 2 khối. Việc tính toán rất phức tạp. 23-Mar-21 29 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Xác định cận: Đổi sang tọa độ cầu mở rộng: sin cos 1 sin sin cos x y z                    2     0 2   0 1  2 1 / 2 0 2 0 (1 cos n) siI d d d              Gốc tọa độ dời về đây 23-Mar-21 30 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 5 12   Tính tích phân , trong đó E là vật thể giới hạn bởi: 2 2 1 E I dxdydz x y    Đổi sang tọa độ trụ: 2 2 2 2 20, 4, ( 0)1 z x y z x y z       Sử dụng tọa độ cầu, việc tính toán phức tạp hơn nhiều. Xác định cận: cos sin x r y r z z        0 2   0 1r  20 4z r   22 1 4 0 0 0 r r I d dr dz r        23-Mar-21 31 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN  2 3 3 3     Đổi sang tọa độ cầu rồi tính: 2 2 2 0 0 0 2 4 4x x y I dx dy xdz           Vẽ khối E: Xác định vật thể E: 2 2 2 2 0 4 0 4 0 x x y x y z               z x y Ví dụ 23-Mar-21 32 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến sang tọa độ cầu: Xác định cận: 2     sin cos sin sin cos x y z                   3 2     0 2  3 / 2 2 2 / 2 0 sin cos sinI d d d                 3 / 2 2 2 2 / 2 0 sin cosI d d d                 3 / 2 2 / 2 1 sin cos 4 d d             z x y 23-Mar-21 33 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN z x y Đổi sang tọa độ trụ rồi tính: 22 2 4 2 2 0 0 0 x x I dx dy z x y dz      Vẽ khối E: Xác định vật thể E: 2 0 2 0 2 0 4 x y x x z           x y 23-Mar-21 34 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Đổi biến sang tọa độ trụ: Xác định cận: 0 2    cos sin x r y r z z          0 2cosr   0 4z  2cos/ 2 4 0 0 0 I d dr z r r dz        4 22cos/ 2 2 0 0 0 2 z I d r dr     128 9 I  z x y 23-Mar-21 35 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Từ định nghĩa tích phân bội ba ta có công thức tính thể tích vật thể E: Có thể sử dụng tích phân kép để tính thể tích vật thể. Tuy nhiên trong một số trường hợp sử dụng tích phân bội ba tính nhanh hơn, vì tích phân bội ba có cách đổi sang tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu. E E V dxdydz  Ứng dụng hình học của tích phân bội ba 23-Mar-21 36 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi: 1 2  2 2 2 2 2 2 2 21; 4,       x y z x y z z x y E V dxdydz  Sử dụng tọa độ cầu: / 4 2 2 2 0 0 1 sinV d d d          (14 7 2) 3 V   Sử dụng tích phân kép, tính toán rất phức tạp !!! 0 4    0 2   23-Mar-21 37 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi: 0 2cosr   2 2 2 ; 3, 3x y x x z x z      E V dxdydz  2 3 cos/ 2 / 2 0 cos 3 osc r r V d dr r dz             4V  2 2       cos 3 3 cosr z r     y x z Sử dụng tọa độ trụ: cos sin x r y r z z        23-Mar-21 38 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi: 0 3r  2 2 2 2 2 24; 4x y z x y z z      E V dxdydz  Sử dụng tọa độ trụ: 2 2 2 3 4 0 0 2 4 r r V d dr dzr          10 3 V   0 2   2 22 4 4r z r     x y Sử dụng tọa độ cầu tính phức tạp hơn nhiều. 23-Mar-21 39 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính thể tích vật thể E được giới hạn bởi: 2 , 1, 0.y x y z z    E V dxdydz  1 0 y Parabol dz dxdy         2 11 1 1 0 y x dx dy dz       23-Mar-21 40 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN