Bài giảng Giải tích 2 - Chương 6 - Nguyễn Văn Quang

1. Tích phân mặt loại 1 2. Tích phân mặt loại 2 Định nghĩa 23-Mar-21 2 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆. Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1, 𝑆2, ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛. Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖) tùy ý. Lập tổng Riemann: 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 𝐼 = lim 𝑛→∞ 𝐼𝑛, không phụ thuộc cách chia mặt cong 𝑆, và cách lấy điểm 𝑀𝑖. 𝐼 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 𝑆 được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên mặt 𝑆. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính chất 23-Mar-21 3 1. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt cong trơn 𝑆 thì khả tích trên 𝑆. 2. Diện tích của mặt 𝑆: 𝑑𝑆𝑆 . 3. 𝑘𝑓 + 𝑚𝑔 𝑑𝑆 = 𝑆 𝑘 𝑓𝑑𝑆 + 𝑚 𝑔𝑑𝑆𝑆𝑆 4. Nếu 𝑆 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 thì: 𝑓𝑑𝑆 =𝑆 𝑓𝑑𝑆 + 𝑓𝑑𝑆𝑆2𝑆1 . TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính 23-Mar-21 4 Phương trình tham số mặt cong S: 𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 Phương trình tham số hàm vector mặt cong S: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector của mặt S có dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢. 𝐢 + 𝑣. 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢. 𝐤 Ví dụ 23-Mar-21 5 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢 Do đó: 𝑥2 + 𝑧2 = 4, mặt S là mặt trụ song song với trục Oy. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Phương trình tham số mặt cong S: Nếu thêm điều kiện: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng: Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2 Ví dụ 23-Mar-21 6 𝑥 = 𝑥; 𝑦 = 𝑦; 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2 Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Phương trình tham số mặt cong S: 𝐫 𝑥, 𝒚 = 𝑥. 𝐢 + 𝑦. 𝐣 + (𝑥2 + 2𝑦2). 𝐤 Cách tính 23-Mar-21 7 Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷, khi đó: trong đó: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ;u v x y z x y z u u u v v v                   r i j k r i j k ( , , ) ( ( , )) | |u v S D f x y z dS f u v dudv     r r r u v u u u v v v x y z x y z        i j k r r Tính 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆𝑆 , trong đó S là hình cầu: 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2. Ví dụ 23-Mar-21 8 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃; 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 Tức là: 𝐫 𝜑, 𝜃 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐢 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝐣 + 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃𝐤 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tham số hóa mặt cầu S bằng hệ tọa độ cầu: 𝐷 𝜑, 𝜃 = { 𝜑, 𝜃 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋} sin sin cos sin 0.       r i j kR R cos cos sin cos sin       r i j kR R R Ví dụ 23-Mar-21 9 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin                i j k r r R R R R R 2 2 2 2 2cos sin sin sin sin cos        i j kR R R 2| | sin r ru v R 2 2 ),( ( cos sin ) S D x dS R r r d d            , 4 2 ( ) (cos sin ) sin D R d d          Vậy: Ví dụ 23-Mar-21 10 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN   4 2 4 2 3 0 0 2 4 2 3 0 0 2 21 20 0 2 31 1 2 2 30 0 4 cos sin cos sin (1 cos 2 ) (sin sin cos ) sin 2 cos cos 4 3                                             R R d d R d d d d R Tính 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆𝑆 , trong đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2. Ví dụ 23-Mar-21 11 𝐼 = 𝑥2𝑑𝑆 𝑆 = 𝑦2𝑑𝑆 𝑆 = 𝑧2𝑑𝑆 𝑆 Do đó: 𝐼 = 1 3 (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑆𝑆 = 𝑅2 3 𝑑𝑆𝑆 = 4𝜋𝑅4 3 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách 2: Do các hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn, và mặt cầu đối xứng qua các mặt phẳng tọa độ. Cách tính 23-Mar-21 12 Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦). Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆1, 𝑆2, ⋯ , 𝑆𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau). Diện tích tương ứng: ∆𝑆1, ∆𝑆2, ⋯ , ∆𝑆𝑛. Trên mỗi mặt 𝑆𝑖 lấy điểm 𝑀𝑖(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 , 𝑧𝑖) tùy ý. Lập tổng Riemann: 𝐼𝑛 = 𝑓 𝑀𝑖 . ∆𝑆𝑖 𝑛 𝑖=1 Trong phần ứng dụng tích phân kép (tính diện tích mặt cong), ta có: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN   22 ( , ) ( , ) 1 ( )i x i i y i i iS z x y z x y S D          22 ( , ) ( , ) 1x i i y i iz x y z x y x y        Cách tính 23-Mar-21 13 Do đó: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN   1 22 1 ( ) ( , , ) ( , ) ( , ) 1 n n i i i n i i i x i i y i i i I f M S f x y z z x y z x y x y                 22 lim ( , , ) ( , , ) 1 xy n x y n S D I I f x y z dS f x y z z z dxdy             hay   22 1 ( , , ( , )) ( , ) ( , ) 1 n i i i i i x i i y i i i f x y z x y z x y z x y x y              22 ( , , ( , )) 1 xy x y D f x y z x y z z dxdy         Cách tính 23-Mar-21 14 1. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxy Nếu 𝑆 có phương trình 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxy là 𝐷𝑥𝑦 : 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆 𝑆 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑥, 𝑦 1 + (𝑧𝑥 ′ )2 + (𝑧𝑦 ′ )2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 z x y O z = z(x,y) S Dxy TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính 23-Mar-21 15 2. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oxz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oxz là 𝐷𝑥𝑧 : 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆𝑆 = 𝑓 𝑥, 𝑦(𝑥, 𝑧), 𝑧 1 + (𝑦𝑥 ′)2 + (𝑦𝑧′)2𝑑𝑥𝑑𝑧𝐷𝑥𝑧 3. Chiếu mặt cong 𝑆 lên mp Oyz Nếu 𝑆 có phương trình 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧) và 𝑆 có hình chiếu trên mp Oyz là 𝐷𝑦𝑧 : 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑆𝑆 = 𝑓 𝑥(𝑦, 𝑧), 𝑦, 𝑧 1 + (𝑥𝑦 ′ )2 + (𝑥𝑧′)2𝑑𝑦𝑑𝑧𝐷𝑦𝑧 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Chú ý 23-Mar-21 16 Nếu hình chiếu của 𝑆 xuống mặt phẳng Oxy chỉ là một đường cong (trường hợp này xảy ra khi 𝑆 là một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác, không được chiếu xuống mặt phẳng Oxy. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 2 2 2( ) S I x y z dS   nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3. Ví dụ 23-Mar-21 17 Z=0 Z=3 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 9} Phương trình mặt nón: 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑦 𝑥2 + 𝑦2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 18 𝐼 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑆 𝑆 = 2 𝑥2 + 𝑦2 2𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐼 = 2 2 𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑 𝐷𝑟𝜑 = 2 2 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝑟3𝑑𝑟 3 0 = 81 2𝜋 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S là phần của mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 2 2 2( ) S I x y z dS   nằm giữa hai mặt phẳng z = 0 và z = 3. Ví dụ 23-Mar-21 19 Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃 ; 𝜃 = 𝜋/4 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách 2: 𝐷 𝜌, 𝜑 = 𝜌, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜌 ≤ 3 2 Do đó: 𝑥 = 𝜌 2 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌 2 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝜌 2 Ví dụ 23-Mar-21 20 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: 𝐫𝜌 × 𝐫𝜑 = 𝜌2 4 + 𝜌2 4 = 𝜌 2 cos sin 1 2 2 2 sin cos 0 2 2 i j k r r           cos sin 2 2 2 i j k          Ví dụ 23-Mar-21 21 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 2 2 2 2 ( , ) ( ) 2S D I x y z dS d d           2 3 2 3 3 ( , ) 0 0 1 1 2 2D d d d d             81 2 Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 S I zdS  trong miền 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 2} Phương trình mặt S: 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −2𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = −2𝑦 𝑑𝑆 = 1 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 + 𝜕𝑧 𝜕𝑥 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 + 4(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 22 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 23 𝐼 = 𝑧𝑑𝑆 𝑆 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 1 + 4(𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐼 = (2 − 𝑟2) 1 + 4𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑 𝐷𝑟𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 2, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} = 37 10 𝜋 = 𝑑𝜑 2𝜋 0 (2 − 𝑟2) 1 + 4𝑟2. 𝑟𝑑𝑟 2 0 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 S I zdS  trong miền 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 Cách 2: Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 − 𝜌2 24 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: 𝑥 = 2 − 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 2 − 𝑧𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 𝐷 𝑧, 𝜑 = 𝑧, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 2 Ví dụ 23-Mar-21 25 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = (2 − 𝑧) + 1 4 = 9 4 − 𝑧 cos sin 1 2 2 2 2 2 sin 2 cos 0 i j k r rz z z z z               1 2 cos 2 sin 2      i j kz z Ví dụ 23-Mar-21 26 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ( , ) 9 4S D z I zdS z zdzd      37 10   2 2 0 0 1 9 4 2 d z zdz     Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu: 2 2( ) S I x y dS  𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2, 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 Dxy 0z x y z 27 𝐷𝑥𝑦 = { 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2} Phương trình mặt S: 𝑧 = 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 28 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = −𝑥 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 ; Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝐼 = 𝑟2. 𝑅 𝑅2 − 𝑟2 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑 𝐷𝑟𝜑 𝐷𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅, 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋} = 4𝜋𝑅4 3 = 𝑅 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝑟3 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟 𝑅 0 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = −𝑦 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 → 𝑑𝑆 = 𝑅 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu: 2 2( ) S I x y dS  𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2, 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 29 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 Tham số mặt cầu S qua hệ tọa độ cầu: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách 2: 𝐷(𝜑, 𝜃) = {(𝜑, 𝜃): 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2} Ví dụ 23-Mar-21 30 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: sin sin cos sin 0 cos cos sin cos sin i j k r r R R R R R                2 2 2 2 2cos sin sin sin sin cos        i j kR R R 2| | sinr ru v R   2 2 2 2 ( , ) ( ) sin S D x y dS R r r d d            4 3 ( , ) sin D R d d       Vậy: Ví dụ 23-Mar-21 31 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 4 3 ( , ) sin D R d d       2 /2 4 3 0 0 sinR d d        /2 4 2 0 2 (cos 1) (cos )R d      /2 3 4 0 cos 2 cos 3 R            44 3 R  Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ( ) S I x y z dS   và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 32 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Mar-21 33 A B C O x + y + z = 1 Dxy S z = 1 – x – y TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ( ) S I x y z dS   và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 34 Dxy A B O 𝐼 = 𝑥 + 𝑦 + (1 − 𝑥 − 𝑦) 1 + 1 + 1𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 = 3 𝑑𝑥 1 0 𝑑𝑦 1−𝑥 0 = 3 2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính , trong đó S là mặt xung quanh hình chóp cho bởi: ( ) S I x y z dS   𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0. Ví dụ 23-Mar-21 35 Mặt S gồm 4 mặt của tứ diện OABC. Tích phân 𝐼1 trên mặt ABC đã tính trong ví dụ trước. Ta tính tích phân trên các mặt còn lại 𝑂𝐴𝐵 𝐼2 , 𝑂𝐵𝐶 𝐼3 , 𝑂𝐶𝐴 𝐼4 . TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Mar-21 36 A B C O S1 S4 S3 S2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Mar-21 37 Trên mặt OAB, phương trình của mặt là: z = 0. Hình chiếu của mặt xuống Oxy là tam giác OAB. 𝐼2 = 𝑥 + 𝑦 + 0 1 + 0 + 0𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑂𝐴𝐵 = 𝑑𝑥 1 0 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 1−𝑥 0 = 1 3 Tích phân trên các mặt còn lại tính tương tự. → 𝐼 = 1 + 3 2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán kính R và diện tích toàn bộ mặt cầu. Ví dụ 23-Mar-21 38 𝑆 = 𝑑𝑆 𝑆 = 𝑅 𝑅2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 = 𝑅 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝑟 𝑅2 − 𝑟2 𝑑𝑟 𝑅 0 = 2𝜋𝑅2 Diện tích toàn bộ mặt cầu bằng 2 lần diện tích nửa mặt cầu và bằng 4𝜋𝑅2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tính diện tích của mặt cong S, trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 lấy trong phần 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. Ví dụ 23-Mar-21 39 z=0 z=1 2 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 40 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝐷(𝑥, 𝑦) = { 𝑥, 𝑦 : 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2} Đổi biến qua hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 Phương trình mặt S: 𝑧 = 2 − 𝑥2 − 𝑦2 Do đó: 𝑧𝑥 ′ = −2𝑥, 𝑧𝑦 ′ = −2𝑦 Diện tích mặt S: 𝐼 = 𝑑𝑆𝑆 = 1 + 4 𝑥 2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷(𝑥,𝑦) 𝐷(𝑟, 𝜑) = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 1 ≤ 𝑟 ≤ 2} Cách 1: Ví dụ 23-Mar-21 41 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN = 𝑑𝜑 2𝜋 0 𝑟 1 + 4𝑟2𝑑𝑟 2 1 Do đó, diện tích mặt S: 𝐼 = 1 + 4𝑟2. 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜑𝐷(𝑟,𝜑) 9 5 5 2 6         Ví dụ 23-Mar-21 42 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Tham số mặt S qua hệ tọa độ trụ: 𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 2 − 𝜌2 Do đó: 𝑥 = 2 − 𝑧. 𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 2 − 𝑧. 𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝑧 = 𝑧 𝐷 𝑧, 𝜑 = 𝑧, 𝜑 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 Cách 2: Ví dụ 23-Mar-21 43 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Do đó: 𝐫𝑧 × 𝐫𝜑 = (2 − 𝑧) + 1 4 = 9 4 − 𝑧 cos sin 1 2 2 2 2 2 sin 2 cos 0 i j k r rz z z z z               1 2 cos 2 sin 2      i j kz z Ví dụ 23-Mar-21 44 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN ( , ) 9 4S D z I dS zdzd      9 5 5 2 6         2 1 0 0 1 9 4 2 d zdz     Định nghĩa mặt 2 phía 23-Mar-21 45 Cho mặt cong S. Di chuyển vector pháp tuyến của S từ một điểm A nào đó theo một đường cong (kín) tùy ý. Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, vector pháp tuyến không đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt hai phía. Trong trường hợp ngược lại, vector pháp tuyến đổi chiều thì mặt cong S được gọi là mặt một phía. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 46 Mặt Mobius TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 47 Mặt cầu, mặt nón, mặt bàn là mặt 2 phía. Mặt cầu TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa mặt định hướng 23-Mar-21 48 S là mặt cong hai phía. Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì mặt S được gọi là mặt định hướng. Vector pháp tuyến của mặt định hướng là vector pháp tuyến hướng về phía dương của mặt định hướng. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 49 Tìm vector pháp tuyến của mặt cầu tại biết phía ngoài của mặt cầu là phía dương. Phương trình mặt cầu: 2 2 2 4x y z    1,0, 3A 2 24  z x y Vector pháp tuyến:   2 2 2 2 , ,1 , ,1 4 4                x y x y z z x y x y l Vector pháp tuyến tại điểm A: 1 ,0,1 3        l TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 50 Tìm vector pháp tuyến của mặt nón tại biết phía dương của mặt nón là phía dưới nhìn từ hướng của trục Oz. 2 2 z x y   1,1, 2A Phương trình mặt nón: 2 2 z x y Vecto pháp tuyến:   2 2 2 2 , , 1 , , 1              x y x y z z x y x y l Vecto pháp tuyến tại điểm A: 1 1 , , 1 2 2 l        TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 23-Mar-21 51 Phía ngoaøi Phía trong TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Mar-21 52 P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S. Vector pháp tuyến đơn vị của mặt S là: Tích phân mặt loại một (cos ,cos ,cos ).  n  cos cos cos        S I P Q R dS được gọi là tích phân mặt loại hai của P, Q, R trên mặt định hướng S lấy theo hướng dương của mặt S, khi đó:     S I Pdydz Qdzdx Rdxdy 𝛼, 𝛽, 𝛾 lần lượt là góc hợp bởi 𝐧 với các trục Ox, Oy, Oz. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Định nghĩa 23-Mar-21 53 Định lý Cho 𝑆 là mặt định hướng các hàm 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑄 𝑥, 𝑦, 𝑧 , 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên mặt 𝑆. Khi đó tích phân mặt loại 2 luôn tồn tại. Tính chất • Tích phân mặt loại 2 có các tính chất tương tự như đối với tích phân đường loại 2. 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ = − 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆− TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính 23-Mar-21 54 Nếu 𝐅 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 là trường vector liên tục xác định trên mặt định hướng S, hướng dương của S trùng với vector pháp đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là: TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN S S d dS   F S F n Nếu S được cho bởi hàm vector r(u, v), thì: u v u vS dS    r r F r r ( , ) ( ( , )) ( )u v D u v u v dudv   F r r r ( , ) ( ( , )) u v u v u vD u v u v dudv           r r F r r r r r Cách tính 23-Mar-21 55 Vector pháp tuyến đơn vị hướng về phía dương của mặt S:  cos ,cos ,cos .n        ( 1) .           xy x y D P z Q z R dxdy TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN             2 2 22 2 2 1 cos ,cos ,cos 1 1 1 yx x y x y x y zz z z z z z z                    Do đó,  cos cos cos        S I P Q R dS Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng : ( , ).S z z x y     22 1 . cos x y dxdy dS z z dxdy      Mặt khác: Cách tính 23-Mar-21 56 Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦). Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oxy là miền 𝐷𝑥𝑦 . Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑧𝑥 ′ , −𝑧𝑦 ′ , 1). Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S. 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ = (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷𝑥𝑦 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính 23-Mar-21 57 Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑥 = 𝑥(𝑦, 𝑧). Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oyz là miền 𝐷𝑦𝑧 . Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(1,−𝑥𝑦 ′ , −𝑥𝑧 ′). Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S. 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ = (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐷𝑦𝑧 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Cách tính 23-Mar-21 58 Cho 𝑆 là mặt định hướng có phương trình: 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑧). Hình chiếu của 𝑆 trên mp Oxz là miền 𝐷𝑥𝑧 . Vector pháp tuyến: 𝐥 = 𝐴, 𝐵, 𝐶 = ±(−𝑦𝑥 ′ , 1, −𝑦𝑧 ′). Dấu (+) , (-) được chọn sao cho 𝐥 hướng về phía dương của mặt S. 𝑃𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑄𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑅𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆+ = (𝑃𝐴 + 𝑄𝐵 + 𝑅𝐶)𝑑𝑥𝑑𝑧 𝐷𝑥𝑧 TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN Ví dụ 23-Mar-21 59 Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu: Tính 𝐼 = 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑺+ . Trong đó 𝑆 + là phía ngoài của mặt cầu: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2. TS. Nguyễn Văn Quang Đại học Công nghệ - ĐHQGHN 𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠�