Bài giảng Giải tích số - Phan Bá Trình

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƢỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH SỐ Biên soạn : ThS. PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng 7/ 2018 MỤC LỤC Mục lục...........................................................................................................................2 Lời nói đầu......................................................................................................................3 Chƣơng 1 TÍNH TOÁN VỚI CÁC SỐ GẦN ĐÚNG.............................................4 1.1 Khái niệm..................................................................................................................4 1.2 Các loại sai số...........................................................................................................5 1.3 Sai số tính toán..........................................................................................................5 Bài tập chương 1.............................................................................................................8 Chƣơng 2 PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG BÉ NHẤT......................................9 2.1 Phương pháp nội suy.................................................................................................9 2.2 Tính giá trị đa thức bằng sơ đồ Hoocner.................................................................10 2.3 Đa thức nội suy Lagrăng.........................................................................................12 2.4 Đa thức nội suy Newton..........................................................................................18 2.5 Phương pháp bình phương bé nhất.........................................................................22 Bài tập chương 2...........................................................................................................28 Chƣơng 3 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH............32 3.1 Tính gần đúng đạo hàm...........................................................................................32 3.2 Tính gần đúng tích phân xác định...........................................................................33 Bài tập chương 3.......................................................................................................... 37 Chƣơng 4 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT.........40 4.1 Giới thiệu................................................................................................................40 4.2 Tách nghiệm...........................................................................................................40 4.3 Tách nghiệm cho phương trình đại số....................................................................42 4.4 Chính xác hóa nghiệm............................................................................................43 Bài tập chương 4...........................................................................................................50 Chƣơng 5 GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH....52 5.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính..........................................................................52 5.2 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Cramer.......................55 5.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gausse........................58 5.4 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp lặp đơn........................60 5.5 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính bằng phương pháp Gausse - Siedel...........63 Bài tập chương 5...........................................................................................................66 Chƣơng 6 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG...............68 6.1 Khái niệm................................................................................................................68 6.2 Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp giải tích..................................................68 6.3 Giải bài toán Cauchy bằng phương pháp số...........................................................69 Bài tập chương 6...........................................................................................................71 Tài liệu tham khảo.........................................................................................................72 3 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích số là lĩnh vực toán học nghiên cứu về các phương pháp số giải gần đúng các bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học. Bài toán nào cũng có các dữ liệu ban đầu được thu thập bằng cách đo đạc, thống kê...để có lời giải gần đúng của nó. Giải tích số là môn học bắt buộc đối với các trường thuộc khối ngành sư phạm. Nội dung “ Bài giảng Giải tích số” gồm 6 chương: Chương 1. Tính toán với các số gần đúng Chương 2. Phương pháp nội suy Chương 3. Đạo hàm và tích phân bằng số Chương 4. Giải gần đúng phương trình đại số và siêu việt Chương 5. Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính Chương 6. Giải gần đúng phương trình vi phân thường Bài giảng đã trình bày những nội dung căn bản nhất của Giải tích số. Đặc biệt, sau mỗi chương có phần bài tập rất phong phú để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng tính toán. Bài giảng đã giới thiệu các ví dụ minh hoạ thật đơn giản, dễ hiểu giúp người học dễ dàng tiếp cận với khối lượng kiến thức khá hấp dẫn và thú vị của từng chương. Chúng tôi hy vọng rằng “Bài giảng Giải tích số” là một tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên và là nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu. Đây là lần viết đầu tiên, chắc chắn bài giảng còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi hết sức chân thành cảm ơn sự góp ý, nhận xét của bạn đọc về nhiều phương diện để nội dung bài giảng ngày càng được tốt hơn. 4 CHƢƠNG 1. TÍNH TOÁN VỚI CÁC SỐ GẦN ĐÚNG 1.1. KHÁI NIỆM 1.1.1 Số gần đúng - Số x* biểu thị giá trị thực của một đại lượng gọi là số đúng. Số x có giá trị ít nhiều sai lệch với số đúng x* được gọi là số gần đúng của số x*. - Giá trị của các đại lượng dùng trong tính toán không được biết một cách chính xác. Chẳng hạn: giá trị của các đại lượng nhận từ các phép đo, thí nghiệm, số hữu tỉ: 1/3; 1/7; 20/3;...; giá trị của các số vô tỉ 2;,e ... - Trong tính toán, chúng ta làm việc chủ yếu với giá trị gần đúng của các đại lượng. 1.1.2 Sai số Giả sử x là số gần đúng của x* (x* : số đúng). Khi đó: *xx  gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng x và x   gọi là sai số tương đối của số gần đúng x. Ý nghĩa của sai số tuyệt đối và sai số tương đối: - Người ta không thể dùng sai số tuyệt đối để so sánh độ chính xác của phân tích mà kết quả được biểu diễn với các đơn vị đo khác nhau. - Để đánh giá tốt hơn độ chính xác và để có thể so sánh các kết quả phân tích biểu diễn bằng các đơn vị khác nhau ta dùng sai số tương đối. Sai số tương đối phản ánh độ chính xác của các phép phân tích các chỉ tiêu khác nhau, bằng các phương pháp khác nhau. Ta xét đến 2 loại sai số sau: Sai số tuyệt đối giới hạn, ký hiệu x là số không nhỏ hơn sai số tuyệt đối của số gần đúng x. Nghĩa là: xxx  * Suy ra xxxxx  * Trong đó: xx  là số gần đúng thiếu của số đúng x* xx  là số gần đúng thừa của số đúng x*. Quy ước: xxx * Ví dụ 1: 15,314,3  Số 3,14 là số gần đúng thiếu của số đúng  và số 3,15 là số gần đúng thừa của số đúng  . Ví dụ 2: Khi đo chiều dài của hai trục, ta thu được những kết quả sau: cmcml 1,05,1121  ; cmcml 1,03,72  Ta thấy rằng sai số tuyệt đối giới hạn của hai phép đo trên bằng nhau nhưng rõ ràng phép đo trục l1 chính xác hơn phép đo trục l2. Ví dụ 3: Khi đo đường kính của dây đồng ta được kết quả là )01,05,0(* d mm, tức là 51,049,0 *  d mm với sai số tuyệt đối giới hạn là 01,0d . Sai số tương đối giới hạn, ký hiệu x và được tính bởi công thức: 5 x x x   là số không nhỏ hơn sai số tương đối của số gần đúng x, nghĩa là: x  . 1.2 CÁC LOẠI SAI SỐ Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có các loại sau: - Sai số giả thiết: xuất hiện do việc giả thiết bài toán đạt được một số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp của bài toán. - Sai số do số liệu ban đầu: xuất hiện do việc đo đạc và cung cấp giá trị đầu vào không chính xác. - Sai số phƣơng pháp: xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần đúng. - Sai số tính toán: xuất hiện do làm tròn số trong quá trình tính toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn. 1.3. SAI SỐ TÍNH TOÁN 1.3.1 Công thức tổng quát của sai số Giả sử dùng n số gần đúng  nixi ,1;  để tính đại lượng y với    ni xxxfxfy ,...,, 21 và giả sử đã biết sai số tuyệt đối giới hạn  nixi ,1;  của các đối số  nixi ,1;  . Trong đó, hàm số f là hàm khả vi, liên tục theo các đối số xi. Khi đó sai số của y được xác định theo công thức sau: Sai số tuyệt đối giới hạn: i n i i x x f y      1 (1) Sai số tương đối giới hạn:   y y x x f y i n i i      1 ln  (2) Ví dụ 4: Tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của thể tích hình cầu 6 3d V   . Biết đường kính cmcmd 05,070,3  và 14,3 . Giải. Xem  và d là những đối số của hàm số V, ta có:   4422,8 6 7,3 6 33    dV  ;   4933,21 2 7,314,3 2 22    d d V  . Dùng công thức (1) ta có: Sai số tuyệt đối giới hạn là: 6 0882,105,0.4933,210016,0.4422,8        d d VV V   Do đó   33 33 0882,15084,260882,1 6 7,3.14,3 6 cmcmV d V   . Sai số tương đối giới hạn là: %1,404105,0 5084,26 0882,1    V V V hoặc tính theo công thức:       d d VV x x V V i n i i            lnlnln 1    %1,4041,0 7,3 05,0.3 14,3 0016,03    d d  . 1.3.2 Sai số của tổng đại số Trường hợp hàm số f có dạng   ni xxxxfy  ...21 . Ta có ni x f i ,1,1    , suy ra: Sai số tuyệt đối giới hạn:    n i ixy 1 (3) Sai số tương đối giới hạn: n n xxx xxx y y y      ... ... 21 21 (4) Ví dụ 5: Cho a = 50,9; b = 50,5 với a = b = 0,05 và u = a - b. Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của u. Giải. Ta có u = a - b = 50,9 - 50,5 = 0,4 với Sai số tuyệt đối giới hạn của u là: u = a + b = 0,05 +0,05 = 0,1. Sai số tương đối giới hạn của u là: %25 4,0 1,0    u u u . 1.3.3 Sai số của tích và thƣơng Trường hợp hàm số f có dạng   nmm m i xxx xxx xfy ... ........ 21 21   . Khi đó: 7    nmmm nmm m xxxxxx xxx xxx f ln...lnlnln...lnln ... ........ lnln 2121 21 21    và   ni xx f ii ;1; 1ln    , suy ra: Sai số tương đối giới hạn:      n i i n i i i x x x y 11  (5) Sai số tuyệt đối giới hạn: yyy  (6) Ví dụ 6: Xét S = d.r với d = 5,45 ; r = 2,94 ; d = r = 0,001. Hãy tính sai số tuyệt đối giới hạn và sai số tương đối giới hạn của S. Giải. Ta có:    d d d 0,0001835;    r r r 0,0003401. Sai số tương đối giới hạn của S là: S = d + r = 0,0001835 + 0,0003401 = 0,0005236. Ta có: S = (5,45).(2,94) = 16,023 Sai số tuyệt đối giới hạn của S là: S = S .S = (16,023).(0,0005236) = 0,0084. Đặc biệt, trường hợp hàm số f có dạng luỹ thừa    0;  xxfy . Khi đó: xfy lnlnln  và   xx f     ln , suy ra: Sai số tương đối giới hạn: x x x y  .   (9) Sai số tuyệt đối giới hạn: xyyyy  . (10) 8 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 SAI SỐ VÀ TÍNH GẦN ĐÚNG Bài 1. Xác định sai số tuyệt đối giới hạn của số gần đúng x = 3,14 thay cho số  . Bài 2. Đo trọng lượng của 1 dm3 nước ở 00C nhận được: p * = 999,847g  0,001g. Hãy xác định sai số tương đối giới hạn của phép đo trên. Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhất có chiều dài d =15,45m và chiều rộng r = 3,94m với sai số 1cm. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối giới hạn của diện tích S. Bài 4. Cho các số gần đúng a =4,7658 và b = 3,456 với a =5.10-4 và b=10-3; còn u = a.b. Hãy tìm sai số tương đối giới hạn của a và b; tính u và ước lượng sai số u và u. Bài 5. Cho a=12345; và a =0,1%, b=34,56 với b=0,8%. Xác định sai số tuyệt đối giới hạn a; b. Bài 6. Cho u = a-b với a = 55,23 và b = 55,20; a = b = 0,005. Tính u, u và u. Bài 7. Cho u = a/b + c với a = 125, b = 0,5, c = 5; a = b = 0,1 ; c = 1. Tính u và u. 9 CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ PHƢƠNG PHÁP BÌNH PHƢƠNG BÉ NHẤT 2.1 PHƢƠNG PHÁP NỘI SUY 2.1.1 Trong toán học ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị các hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực tế có trường hợp ta không xác định được biểu thức của hàm f(x) mà chỉ nhận được các giá trị rời rạc: y 0 , y 1 , ..., y n tại các điểm tương ứng x0, x1, ..., xn. Vấn đề đặt ra là làm sao để xác định giá trị của hàm tại các điểm còn lại. Ví dụ. Cho hàm f(x) thỏa: xi 0 1 2 4 f(xi) 2 3 -1 0 Tìm hàm nội suy f(x) và tính f(5). Ta phải xây dựng hàm  x sao cho:  ix = yi = f (xi) với ni ,0 .   x f (x) x x [a, b] và x  xi - Bài toán xây dựng hàm  x gọi là bài toán nội suy - Hàm  x gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b] - Các điểm xi ( i0,n ) gọi là các mốc nội suy. 2.1.2 Hàm nội suy cũng được áp dụng trong trường hợp đã xác định được biểu thức của f(x) nhưng nó quá phức tạp trong việc khảo sát, tính toán. Khi đó ta tìm hàm nội suy xấp xỉ với nó để đơn giản phân tích và khảo sát hơn. Trong trường hợp đó ta chọn n + 1 điểm bất kỳ làm mốc nội suy và tính giá trị tại các điểm đó, từ đó xây dựng được hàm nội suy (bằng công thức Lagrange, công thức Newton,). 2.1.3 Trường hợp tổng quát: hàm nội suy  x không chỉ thoả mãn giá trị hàm tại mốc nội suy mà còn thoả mãn giá trị đạo hàm các cấp tại mốc đó.        ; ; 1 / 1 / 0 / 0 / xfxxfx   10        ; ; 1 // 1 // 0 // 0 // xfxxfx   Nghĩa là ta tìm hàm nội suy của f(x) thỏa mãn bảng giá trị sau: xi x0 x1 ...... xn yi = f(xi) y0 y1 ...... yn y / i = f / (xi) y / 0 y / 1 ...... y / n y // i = f // (xi) y // 0 y // 1 ...... y // n ...... ...... ...... ...... ...... 2. 2 TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC BẰNG SƠ ĐỒ HOOCNER 2.2.1 Tính giá trị đa thức bằng sơ đồ Hoocner 2.2.1.1 Đặt vấn đề Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :   nn nn axaxaxaxp    1 1 10 ... 0; 0 a Tính giá trị đa thức p(x) khi x = c (c: giá trị cho trước) 2.2.1.2 Phương pháp Áp dụng sơ đồ Hoocner nhằm làm giảm đi số phép tính nhân (chỉ thực hiện n phép nhân), phương pháp này được phân tích như sau: p(x) = (...(( 0a x + a1)x +a2)x+ ... + 1na )x + na Suy ra: p(c) = (...(( 0a c + a1)c +a2)c+ ... + 1na )c + na Đặt 0p 0a p 1 = 0a c + a1 = 0p c + a1 p 2 = p1c + a2 . . . . . . . .  cpacpp nnn  1 Sơ đồ Hoocner 0a 1a 2a .... 1na na cp0 cp1 .... cpn 2 cpn 1 0p 1p 2p ... 1np  cppn  Ví dụ 1. Cho   125 346  xxxxxp . Tính p(-2) 11 Áp dụng sơ đồ Hoocner: x = -2 1 0 -5 2 0 -1 -1 -2 4 2 -8 16 -30 1 -2 -1 4 -8 15 -31 Vậy p(-2) = -31 2.2.2 Sơ đồ Hoocner tổng quát 2.2.2.1 Đặt vấn đề Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát :   nn nn axaxaxaxp    1 1 10 ... 0; 0 a (1) Xác định các hệ số của p(y + c). Trong đó y: biến mới, c: giá trị cho trước. 2.2.2.2. Phương pháp Giả sử: p(y+c) = b 0 y n + b 1 y n-1 + ..... + b n-1 y + b n (2) Như vậy ta phải xác định các hệ số bi ; ni ,0 Xác định bn Xét y = 0, từ (2) => p(c) = bn Xác định b n-1 p(x) = (x-c) p 1 (x) + p(c) (1 ’ ) Trong đó p 1 (x) : đa thức bậc n-1     nnnnn bbybybybycyp   122110 ... Đặt x = y + c ta có: p(x) (x c)   nnnnn bbybybyb   122110 ... (2’) Đồng nhất (1’) & (2’) suy ra: p 1 (x) = b 0 y n-1 + b 1 y n-2 + ...+ b n-2 y + b n - 1 Xét y = 0, p 1 (c) = b n-1 Tương tự ta có: b n-2 = p2(c), , b1 = pn-1(c) Vậy b n-i = pi(c) ni ,0 , b0 = a0 Với pi(c) là giá trị đa thức bậc n-i tại c Sơ đồ Hoocner tổng quát: 12 p(x) 2 4 0 0 -1 1 2 c =-1 -2 -2 2 -2 3 -4 p1(x) 2 2 -2 2 -3 4 -2 a0 a1 a2 ...... an-1 an p0.c p1.c ...... pn-2.c pn-1.c p0 p1 p2 ...... pn-1 pn =p(c) =bn p / 0.c p / 1.c ...... p / n-2.c p0 p / 1 p / 2 ...... p / n-1 =p1(c)=bn-1 ...... ...... ...... ...... ...... Ví dụ 2. Cho   242 256  xxxxxp . Xác định p(y-1). Giải. Áp dụng sơ đồ Hoocner tổng quát : c =-1 -2 0 2 -4 7 p2(x) 2 0 -2 4 -7 11 c =-1 -2 2 0 -4 p3(x) 2 -2 0 4 -11 c =-1 -2 4 -4 p4(x) 2 -4 4 0 c =-1 -2 6 p5(x) 2 -6 10 c =-1 -2 2 -8 Vậy   21111010821 23456  yyyyyyyp . 2.3 ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE 2.3.1 Đa thức nội suy Lagrange với mốc không cách đều Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi ( i 0,n), khi đó đa thức nội suy Lagrange của f(x) là đa thức bậc n và được xác định theo công thức sau:       n i i nin xpyxL 0                     B xA xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xp niiiiiii niii n       ...... ...... 1110 1110 Đặt           niii xxxxxxxxxxxx   ...... xW 1110 Suy ra     ix-x xW xA ;  ;W/ ixB  ni ,0 Không có (x-xi) 13           n i i i n xx y xL 0 i / xW xW . Ví dụ 1. Cho hàm f(x) thoả mãn: xi 0 1 2 4 f(xi) 2 3 -1 0 Tìm hàm nội suy Lagrange của f(x), tính f(5) Giải. Cách 1: W(x)= (x - x0) (x - x1) (x - x2)(x - x3) = x (x - 1) (x - 2) (x - 4) W’(x0)=W’(0) = (-1) (-2)(-4) = -8 W’(x1)=W’(1) = 1 (-1) (-3) = 3 W’(x2)=W’(2) = 2 (1) (-2) = -4 W’(x3)=W’(4) = 4 (3) (2) = 24.                            424 0 24 1 13 3 8 2 4213 xxxx xxxxxL           41424421 4 1  xxxxxxxxx          124214 4 1  xxxxxxx   2644 4 1 2  xxx   1324 2 1 2  xxx Cách 2:                            234 21 .0 212 41 .1 311 42 .3 421 421 .23            xxxxxxxxxxxx xL   2644 4 1 2  xxx   1324 2 1 2  xxx . 2.3.2 Đa thức nội suy Lagrange với mốc cách đều Giả sử f(x) nhận giá trị yi tại các điểm tương ứng xi  ni ,0 cách đều một khoảng h. j x-xj = h.(t-j) xi-xj = h.(i-j) 0 x-x0 = h.t xi-x0 = h.i 14 1 x-x1 = h.(t-1) xi-x1 = h.(i-1) ... i-1 x-xi-1 = h.[t-(i-1)] xi-xi-1 = h i+1 x-xi+1 = h.[t-(i+1)] xi-xi+1 = -h ... n x-xn = h.(t-n) xi-xn = -h.(n-i) Ta lần lượt thay x-x0 = h.t; x-x1 = h.(t-1); ...; x-xn = h.(t-n) và: xi-x0 = h.i; xi-x1 = h.(i-1); ...; xi-xn = -h.(n-i). vào biểu thức:                  niiiiiii niii n xxxxxxxxxx xxxxxxxxxx xp      ...... ...... 1110 1110 . Ta thu được                      inhhhhihihhi nthithithththht htxp in i n     ...2.11.1...2.1. ...1.1...2.1. 0                  iniii ntititttt in     ...2.111...21 ...1.1...21                  ininiit ntititittt     1!!. ...1..1...1 . Thay    xphtxp in i n 0 vào công thức:       n i i nin xpyxL 0 . Ta có:                        n i in i n iniit y ntititittthtxL 0 0 !! 1 ...1..1...1 Vì tổ hợp chập i của n phần tử là:  !! ! ini n C in   Nên               n i i ni in n it Cy n nttt htxL 0 0 1 ! ...1 . Lƣu ý: Đối với trường hợp bài toán có các mốc