Bài giảng Hệ thống xử lý tín hiệu số 2 chiều

Bài giảng Xử lý ảnh số 20 GV. Mai Cường Thọ CHƯƠNG III HỆ THỐNG XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ 2 CHIỀU I. Một số tín hiệu 2 chiều cơ bản I.1. Xung Dirac và xung đơn vị a, Tín hiệu một chiều • Xung dirac cho tín hiệu một chiều   ≠ =∞= 0;0 0;)( t t tδ Biểu diễn tín hiệu liên tục s(t) thông qua xung dirac: ∫∞ ∞− −= ττδτ dtsts )()()( • Xung đơn vị, tác động tại thời điểm t=0   ≠ == 00 01)( n n nδ Biểu diễn tín hiệu rời rạc s(n), thông qua xung đơn vị ∑ ∞ −∞= −= k knksns )()()( δ b. Tín hiệu hai chiều • Xung dirac cho tín hiệu 2 chiều   ≠≠ ==∞= 0,00 0,0),( yx yx yxδ • Xung đơn vị cho tín hiệu 2 chiều   ≠≠ === 0,00 0,01),( nm nm nmδ • Biểu diễn một tín hiệu 2 chiều ∫ ∫∞ ∞− ∞ ∞− −−= dudvvyuxvusyxs ),(),(),( δ Dùng cho tín hiệu liên tục ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −−= k l lnkmlksnms ),(),(),( δ Dùng cho tín hiệu rời rạc t 0 δ(t) δ(n) n 0 y x 0 δ(x,y) Bài giảng Xử lý ảnh số 21 GV. Mai Cường Thọ I.2 Tín hiệu đơn vị và bước nhảy đơn vị a. Tín hiệu một chiều • Tín hiệu đơn vị   < ≥= 00 01)( t t tu • Bước nhảy đơn vị   < ≥= 00 01)( n n nu b. Tín hiệu 2 chiều Với tín hiệu liên tục   << ≥≥= 0,00 0,01),( yx yx yxu Với tín hiệu rời rạc   << ≥≥= 0,00 0,01),( nm nm nmu II. Hệ thống xử lý tín hiệu 2 chiều Ta có: nmSTnmz yxSTyxz )],([),( )],([),( = = S: Tác động T: Toán tử của hệ thống Z: Đáp ứng của hệ thống t 1 0 0 1 2 3 4 ……… y x u(x,y) x u(m,n) y T[…] S(x,y) S(m,n) Z(x,y) Z(m,n) Bài giảng Xử lý ảnh số 22 GV. Mai Cường Thọ • Hệ thống tuyến tính (T là toán tử tuyến tính): Hệ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng và nguyên lý tỉ lệ. nếu ),(),();,(),( 2211 yxZyxSyxZyxS TT →→ , thì với ),(.),(.),(),(),( 2121 yxZbyxZayxbSyxaSyxS T +→+= - Nếu T là toán tử tuyến tính thì ta có dudvvyuxvuSyxS ),(),(),( −−= ∫ ∫∞ ∞− ∞ ∞− δ ∫ ∫∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− −−=−−== dudvvyuxTvuSdudvvyuxvuSTyxSTyxZ )],([),(]),(),([)],([),( δδ Nhớ lại yxhvyuxT uv ),()],([ =−−δ : đáp ứng của hệ thống TTBB đối với tác động là xung dirac tại tọa độ (u,v) - gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Ta thấy rằng đáp ứng của hệ thống phụ thuộc vào thời điểm tác động nên rất khó xây dựng hệ thống. • Với hệ thống tuyến tính bất biến dịch: yxhyxT ),()],([ =δ vyuxhvyuxT ),()],([ −−=−−δ Ta có công thức tích chập (convolution) ),(),(),( ),(),(),( yxhyxSyxZ dudvvyuxhvuSyxZ ⊗= −−= ∫ ∫∞ ∞− ∞ ∞− Với tín hiệu rời rạc, ta có công thức tổng chập ),(),(),( ),(),(),( nmhnmSnmZ lnkmhlkSnmZ k l ⊗= −−= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= Ví dụ: Tính tổng chập sau: ),(),(),( nmhnmSnmx ⊗= với n -1 1 1 1 S(m,n) m n 4 1 2 3 h(m,n) m Bài giảng Xử lý ảnh số 23 GV. Mai Cường Thọ )1,1(),1()1,(),( )1,1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0( )1,1(),1(),(),0(),(),( ),(),(),(),(),( 1 0 1 0 1 0 1 0 −−+−−−+= −−+−+−+= −−+−=−−= −−=⊗= ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ = = = = ∞ ∞= ∞ −∞= nmhnmhnmhnmh nmhSnmhSnmhSnmhS nmhlSlnmhlSlnkmxhlkS lnkmhlkSnmhnmSnmx k l l l k l MatLab: Lệnh: conv2(S,h) 2.3 Các tính chất của tổng chập a. Tính giao hoán ∑∑ ∑∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= −−=−− ⊗=⊗ k l k l lnkmSlkGknkmGlkS nmSnmGnmGnmS ),(),(),(),( ),(),(),(),( b. Tính kết hợp [ ] [ ] ),(),(),(),(),(),(),(),(),( 321321321 nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗ Ghép nối nối tiếp 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h1, h2 tương đương với: tương đương với h1(m,n) h2(m,n) V(m,n) G(m,n) S(m,n) n 4 1 2 3 h(m,n) m 2 1 4 n 0 0 3 h(m,n-1) m 3 2 0 0 0 n 0 0 h(m-1,n-1) m 1 4 3 2 1 6 3 n 5 1 x(m,n) m -4 5 0 4 n 1 0 h(m-1,n) m 2 3 S(m,n) G(m,n) h1(m,n)⊗ h2(m,n) h1(m,n) h2(m,n) G(m,n) S(m,n) Bài giảng Xử lý ảnh số 24 GV. Mai Cường Thọ c. Tính chất phân phối với phép cộng [ ] ),(),(),(),(),(),(),( 3121321 nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗+⊗=+⊗ Ghép nối song song 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h1, h2 Tương đương với Ví dụ: Cho một hệ thống xử lý ảnh được thiết kế như hình vẽ, hãy xác định đáp ứng G(m,n) của hệ thống. Với Giải Ta có [ ] [ ]),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( 321 32 nmhnmhnmhnmS nmhnmhnmSnmhnmSnmG ⊗+⊗= ⊗+⊗= S(m,n) g(m,n) h1(m,n) + h2(m,n) n -1 1 1 1 h1(m,n) m n 1 j 1 j h2(m,n) m n 1 -j 1 j h3(m,n) m n 1 1 1 1 S(m,n) m h1(m ,n) h2(m ,n) h3(m ,n) + G(m,n) S(m,n) h1(m,n) h2(m,n) + V1(m,n) V2(m,n) S(m,n) G(m,n) Bài giảng Xử lý ảnh số 25 GV. Mai Cường Thọ Tính riêng: h2(m,n)⊗h3(m,n) )1,1(),1()1,(),( )1.1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0( ),1(),1(),(),0( ),(),(),(),( 3333 32323232 1 0 32 1 0 32 1 0 1 0 3232 −−+−+−+= −−+−+−+= −−+−= −−⋅=⊗ ∑∑ ∑∑ == = = nmjhnmhnmhnmjh nmhhnmhhnmhhnmhh lnmhlhlnmhlh lnkmhlkhnmhnmh ll k l h(m,n)=h1(m,n)+h*(m,n) Kết quả cuối cùng của hệ thống ta có: ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −−=⊗ k l lnkmhlkSnmhnmS ),(),(),(),( Khai triển công thức trên với S(m,n) và H(m,n) ta sẽ thu được tín hiệu ra G(m,n). 1 -j 1 n 0 0 j h3(m,n-1) m n 1 0 1 -j 0 j h3(m-1,n) m jh3(m-1,n-1) n 0 0 1 0 0 j m 0 j -1 h2⊗h3 n j 1 j -1 jh3(m,n) m h*(m,n) n 1 0 2 0 1 2j m 1 2j -1 h(m,n) n 1 1 3 -1 2 2j m 1 2j -1 Bài giảng Xử lý ảnh số 26 GV. Mai Cường Thọ CHƯƠNG IV CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH Các phép biến đổi ảnh là cách tiếp cận thứ hai được áp dụng trong tín hiệu số nói chung và trong xử lý ảnh nói riêng. Phép biến đổi (transform) là thuật ngữ dùng để chỉ việc chuyển đổi sự biểu diễn của một đối tượng từ không gian này sang một không gian khác, từ cách biểu diễn này sang cách biểu diễn khác, ví dụ phép biến đổi Fourier, Z, Laplace. Nói chung mục đích của các phép biến đổi ở đây là cố gắng phân tích để biểu diễn tín hiệu dưới dạng tổng có trọng số của các tín hiệu cơ bản, đặc biệt mà ta có thể thấy rõ được tính chất của chúng. - Nhớ lại phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc một chiều: ∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= = = n knj k knj enx N kX ekXnx ω ω ).(1)( ).()( Ta có ωωω sincos je j += là một tín hiệu điều hòa phức cơ bản. - Đối với ảnh số, ta có thể mô tả như sau: Các Sij là các ảnh cơ sở, các aij là các hệ số phân tích I. Phép biến đổi Unitar (Unitary Transform) 1. Ma trận trực giao và ma trận Unitar • Cho A là một ma trận vuông • A trực giao khi: hay IAAT = Trong đó A-1 là ma trận đảo của A. AT là ma trận chuyển vị của A. • Ma trận A được gọi là ma trận Unitar nếu: A-1= A*T hay AA*T= I A* là ma trận liên hợp của A S S11 S12 SMN a11 + a11 + aMN + … AA T=−1 Bài giảng Xử lý ảnh số 27 GV. Mai Cường Thọ Các phần tử của A* được xác định như sau với aik= x + jy thì a*ik = x – jy (dạng số phức tổng quát). Nhận xét : Nếu các phần tử của ma trận A có giá trị là số thực thì A trực giao ⇔ A unitar Ví dụ 1 Xét xem ma trận A sau đây có phải là ma trận Unitar không Giải : Ta có , A trực giao ⇒ A Unitar Ví dụ 2 Kiểm tra tính Unitar của ma trận sau Nhận xét Tuy nhiên Vậy A không Unitar Ví dụ 3 Xét ma trận 11 11 2 1 − =A 11 11 2 1 − =AT IA == −− = 20 02 2 1 11 11 11 11 2 1AT 2 2 j jA − = 2 2 j jAT −= Ij j j jA AT ==− − = 20 01 2 2 2 2 I j j j j j jA j j j j AA T ≠ − = −− = − = − = 322 223 2 2 2 2 , 2 2 , 2 2 A*T** Ij j j j j j Aj j j j A TTA ≠==== 02 20 2 1 1 1 1 1 2 1 , 1 1 2 1 , 1 1 2 1 A Bài giảng Xử lý ảnh số 28 GV. Mai Cường Thọ Tuy nhiên ta lại có: ⇒ A là ma trận Unitar ví dụ 4: Xét tính Unitar của ma trận sau: 2. Phép biến đổi Unitar một chiều Cho vector S = S(n) = (S(0), S(1), S(2),…S(N-1))T và ANxN là ma trận Unitar. Ta có ảnh V của S qua phép biến đổi Unitar thuận. Ví dụ: S(n)= (S1, S2, S3)T , ma trận unitar Ta có Phép biến đổi Unitar ngược: Suy ra: 2 3 2 1 2 3 2 11 2 3 2 1 2 3 2 11 111 3 1 jj jjA − − + − + − − − = IAj j A T == − − = 20 02 2 1 , 1 1 2 1 A*T* →→ = SAV hay ∑ − = = 1 0 )()( N n kn nskv a aaa aaa aaa A 333231 232221 131211 = SaSaSa SaSaSa SaSaa S S S aaa aaa aaa S SAV 333232131 323222121 31321211 3 2 1 333231 232221 131211 1 ++ ++ + =×== + →→ → − → = VS A 1 →→ = VS A T* Bài giảng Xử lý ảnh số 29 GV. Mai Cường Thọ Hay ta có công thức: Trong đó: Kết luận: với hình ảnh cơ sở ka∗ là cột k của ma trân A*T, ta tách Sr thành các hình ảnh cơ sở thông qua các hệ số của Vr 3 Phép biến đổi Unitar 2 chiều Cho ma trận Unitar ANxN , với ảnh s(m, n) ta có công thức biến đổi Unitar của ảnh S như sau: Cặp biến đổi Unitar 2 chiều: )()()( 1 * 1 kvkvns N k kn N k nk ab ∑∑ == == bbb bbb bbb A T 333231 232221 131211 * = k n ba nkkn = * )1(...)1()0( * 1 * 1 * 0 −+++= → − →→→ NVvvS aaa N Các hinh ảnh cơ sở hệ số phân tích V = ASAT (Xác định hệ số phân tích) S= A*TVA* (Xác định ảnh cơ sở) Hay S= ∑∑ − = − = 1 0 1 0 , * ),( N k N l lk lkVA , với A lk* , : là hình ảnh cơ sở aaA Tlklk *** , = Trong đó : ak* và al* là các cột thứ k và l của A*T Bài giảng Xử lý ảnh số 30 GV. Mai Cường Thọ Ví dụ: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định các ảnh cơ sở của S qua phép biến đổi Giải: * Xác định hệ cơ sở: V= ASAT = A*T = * Xác định các aaA Tlklk *** , = Ta có : 1 1 2 1* 0 =a và 1 1 2 1* 1 − =a 11 11 2 111 1 1 2 1* 0 * 0 * 00 === aaA T , 11 11 2 111 1 1 2 1* 0 * 1 * 10 −− = − == aaA T 11 11 2 111 1 1 2 1* 1 * 0 * 01 − − =−== aaA T , 11 11 2 111 1 1 2 1* 1 * 1 * 11 − − =− − == aaA T * Như vậy S có thể biểu diễn qua các hình ảnh cơ sở như sau: 11 11 0 11 11 11 11 2 1 11 11 2 5 43 21 − − + −− − − − −==S 11 11 2 1 − =A và 43 21 =S 04 210 2 1 11 11 22 64 2 1 11 11 43 21 11 11 2 1 − − = −−− = −− 11 11 2 1 − Hình ảnh cơ sở Bài giảng Xử lý ảnh số 31 GV. Mai Cường Thọ Ví dụ 2: Cho ma trận Unitar A và ảnh S, hãy xác định V và A lk* , 1 1 2 1 j j A = và 43 21 =S Giải: * V= ASAT = jj jj j j jj jj j j j j 5351 5153 2 1 1 1 243 4231 2 1 1 1 43 21 1 1 2 1 ++ +−+− = ++ ++ = * A*T= 1 1 2 1 j j − − * Tính aaA Tlklk *** , = với ja −= 1 2 1* 0 và 12 1* 1 j a − = 1 1 2 11 1 2 1* 0 * 0 * 00 −− − =− − == j jjjaaA T j jjjaaA T − − =− − == 1 1 2 11 1 2 1* 1 * 0 * 01 j jjjaaA T − −− =− − == 1 1 2 11 12 1* 0 * 1 * 10 1 1 2 11 12 1* 1 * 1 * 11 j jjjaaA T − −− =− − == II. Biến đổi Fourier 1. Biến đổi Fourier 1 chiều Cho f(x) là hàm liên tục với biến thực x. Biến đổi Fourier của f(x) là ℑ ( ){ }xf : ℑ ( ){ }xf = F(u) = dxxf e uxj pi2)( − ∞ ∞− ∫ Trong đó j= 1− Cho F(u), f(x) có thể nhận được bằng cách biến đổi Fourier ngược (IFT): ℑ-1 ( ){ }uF = f(x) = duuF e uxj∫∞ ∞− pi2)( Bài giảng Xử lý ảnh số 32 GV. Mai Cường Thọ Công thức trên là cặp biến đổi Fourier tồn tại nếu f(x) liên tục và có thể tích phân được, và F(u) cũng có thể tích phân được. Trong thực tế các điều kiện trên luôn thoả mãn. Với f(x) là hàm thực, biến đổi Fourier của hàm thực nói chung là số phức: F(u) = R(u) + j I(u) Trong đó R(u) và I(u) là thành phần thực và thành phần ảo của F(u). Ta thường biểu diễn dưới dạng hàm mũ F(u)= e ujuF )()( φ Trong đó: )()()( 22 uIuRuF += và   = )( )( tanarg)( uR uI uφ - F(u) được gọi là phổ biên độ Fourier của f(x), và )(uφ gọi là góc pha. - Biến u thường được gọi là biến tần số (phần biểu diễn hàm mũ) =e uxj pi2− , theo công thức Euler: e uxj pi2− = cos(2piux) – jsin(2piux) Vậy ta có thể nói rằng, biến đổi Fourier tạo ra một cách biểu diễn khác của tín hiệu dưới dạng tổng có trọng số các hàm sin và cosin (2 hàm trực giao) Ví dụ: Ta có hàm f(x) như sau: F(u) = dxxf e uxj∫∞ ∞− − pi2)( = dxA X uxj e∫ − 0 2pi = [ ]e uxjuj A Xpipi 22 0−− = [ ]12 2 −− −e uxjuxj A pipi = [ ] eeee uxjuxjuxjuxj ux u A uj A pipipipi pi pipi −−− =− )sin( 2 22 Đó là một hàm phức, phổ Fourier: )( )sin()sin()( ux uxAxnux u A uF e uxj pi pi pi pi == − A f(x) X x Bài giảng Xử lý ảnh số 33 GV. Mai Cường Thọ 2. Biến đổi Fourier 2 chiều Biến đổi Fourier có thể mở rộng cho hàm f(x, y) với 2 biến. Nếu f(x, y) là hàm liên tục và tích phân được và F(u, v) cũng tích phân được, thì cặp biến đổi Fourier 2 chiều sẽ là : ℑ { } ∫ ∫ +−∞ ∞− == dxdyyxfvuFyxf e vyuxj )(2),(),(),( pi ℑ-1 { } ∫ ∫∞ ∞− + == dudvvuFyxfvuf e vyuxj )(2),(),(),( pi Trong đó u, v là biến tần số. Cũng như biến đổi Fourier 1 chiều, ta có phổ biên độ, phổ pha, cho trường hợp 2 chiều: ),(),(),( 22 vuIvuRvuF += và   = ),( ),( tanarg),( vuR vuI vuφ Ví dụ: xác định biến đổi Fourier của hàm trên hình sau: F(u, v)= Y vyjXX Y uxj vyjuxjvyuxj vyjuxjAdydxAdxdyyxf ee eee 0 2 00 0 2 22)(2 22 ),(     −    −== −− −−+− ∞ ∞− ∫ ∫ ∫∫ pipi pipi pipipi = [ ] [ ]        =−−−− −− −− vY vY uX uX AXY vjuj A ee ee vYjuXj YjuXj pi pi pi pi pipi pipi pipi )sin()sin(1 2 11 2 22 Phổ công suất của nó: vY)( vY)sin( uX)( )Xusin(XY),( 2 pi pi pi piAvuF =
Các tính chất của biến đổi Fourier A X Y F(x,y) x y Bài giảng Xử lý ảnh số 34 GV. Mai Cường Thọ 3. Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Giả thiết cho hàm liên tục f(x), được rời rạc hoá thành chuổi: { } { } { } [ ]{ }{ }xNxfxxfxxfxf ∆−+∆+∆+ 1,2,, 0000 Trong đó: N- số mẫu, ∆x bước rời rạc ( chu kỳ lấy mẫu). Ta dùng biến x vừa là biến liên tục vừa là biến rời rạc. Ta định nghĩa : f(x)= f(x0 + x∆x) x: - là các giá trị rời rạc 0, 1, 2,…, N-1. Chuỗi { })1(...),2(),1(),0( −Nffff là các mẫu đều bất kì được lấy mẫu đều từ một hàm liên tục. Cặp biến đổi Fourier cho các hàm lấy mẫu: F(u)= ∑ − = −1 0 2 )(1 N x N uxj exfN pi với u= 0, 1, 2, …N-1 Và f(x) =∑ − = 1 0 2 )( N x N uxj euF pi với x= 0, 1, 2, …N-1 Trường hợp DFT 2 chiều: F(u, v) = ∑∑− = − = +− 1 0 1 0 )(2),(1 M x N y N vy M uxj eyxfMN pi f(x,y)=∑ ∑ − = − = + 1 0 1 0 )(2),( M u N v N vy M uxj evuF pi với u= 1,0 −M , v= 1,0 −N và x= 1,0 −M , y= 1,0 −N Nếu M=N (lấy mẫu vuông ): Ta có: ∑∑− = − = + − = 1 0 1 0 )(2),(1),( N x N y N vyuxj eyxfNvuF pi ∑∑− = − = + = 1 0 1 0 )(2),(1),( N u N v N vyuxj evuFN yxf pi với x, y=0, 1, 2,…N-1