Bài giảng Lịch sử toán học - Phan Bá Trình

1 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG LỊCH SỬ TOÁN HỌC Người thực hiện: ThS Phan Bá Trình Quảng Ngãi, tháng 7 năm 2019 2 MỤC LỤC MỤC LỤC ......2 MỞ ĐẦU .........3 Chương 1 BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN .... 4 1.1 Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán...4 1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường THC .7 Chương 2 SỰ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC .10 2.1 Số tự nhiên và hệ thống phi số ...10 2.2 Toán học cổ Ai cập.12 2.3 Toán học Babilon13 Chương 3 TOÁN HỌC SƠ CẤP.15 3.1 Toán học cổ Hy Lạ.15 3.2 Toán học cổ Trung Quốc ....19 3.3 Toán học cổ Ấn Độ 21 3.4 Toán học ở Trung Á và Cận đông..24 3.5 Toán học ở Châu Âu...26 Chương 4 TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN30 4.1 Toán học của những đại lượng biến thiên...30 4.2 Hình học giải tích. ..36 4.3 Phép tính vi tích phân. 42 Chương 5 TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI...57 5.1 Sự mở rộng đối tượng của toán học. ...57 5.2 Hình học phi Ơclit ...60 5.3 Đại số hiện đại và cấu trúc toán học63 5.4 Lý thuyết tập hợp ...66 5.5 Lôgic toán và phương pháp tiên đề. 70 5.6 Hai xu thế phát triển chính của toán học hiện đại74 Chương 6 VÀI NÉT VỀ TOÁN HỌC Ở VIỆT NAM.78 6.1 Giới thiệu vài nét về sự phát triển của toán học Việt Nam. ...78 6.2 Vài nét về Giáo sư -Tiến sĩ khoa học Lê Văn Thiêm .....79 6.3 Vài nét về Giáo sư Hoàng Tụy ...................81 6.4 Vài nét về Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn. .....83 6.5 Vài nét về Giáo sư Ngô Bảo Châu. .87 Tài liệu tham khảo .88 3 MỞ ĐẦU Lịch sử toán học là khoa học về những quy luật khách quan của sự phát triển toán học. Nó giải quyết được nhiều nhiệm vụ khác nhau, chẳng hạn: Xác định các phương pháp, các khái niệm và các tư tưởng toán học đã phát sinh như thế nào trong lịch sử. Nghiên cứu phát hiện các mối liên hệ giữa toán học với nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người. Nghiên cứu phát hiện nguyên nhân lịch sử của cấu trúc logic của toán học hiện đại, tính biện chứng của sự phát triển của nó. Lịch sử toán học có nội dung nghiên cứu hết sức phong phú. Vì thời gian trong chương trình của ngành sư phạm toán dành cho môn học này là 02 tín chỉ (30 tiết) nên bài giảng này chỉ trình bày một số vấn đề mang tính chất tổng quan về lịch sử phát triển của toán học tiêu biểu. Nội dung của bài giảng gồm 6 chương: Chương 1. Bộ môn lịch sử toán Chương 2. Sự phát sinh toán học Chương 3. Toán học sơ cấp Chương 4. Toán học cao cấp cổ điển Chương 5. Toán học hiện đại Chương 6. Vài nét về toán học ở Việt Nam Chúng tôi hy vọng rằng bài giảng này sẽ đóng góp phần nhỏ vào việc giảng dạy và học bộ môn lịch sử toán học. Bài giảng này chắc hẳn còn nhiều thiếu sót. Chúng tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, các thầy cô giáo, các em sinh viên và các độc giả gần xa. 4 CHƯƠNG 1 BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN 1.1. Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán 1.1.1 Đối tượng Lịch sử Toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học. Mọi ngành toán học, dù khác nhau như thế nào đi nữa thì cũng có chung một đối tượng. Theo định nghĩa của Ăngghen thì đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Các ngành khác nhau của toán học nghiên cứu các dạng đặc biệt, riêng biệt của các quan hệ số lượng và hình dạng không gian đó. Việc hiểu rõ đối tượng của lịch sử toán không thể đầy đủ qua một số định nghĩa ngắn gọn, mà sẽ được hoàn chỉnh dần trong quá trình nghiên cứu toàn bộ bài giảng này. 1.1.2. Nhiệm vụ Cũng như mọi khoa học khác, toán học bao gồm các yếu tố sau đây: a. Các sự kiện, tích lũy được trong quá trình phát triển của nó. b. Các giả thuyết, tức là các mệnh đề khoa học, dựa trên các sự kiện mà đề ra, và về sau phải được thực nghiệm kiểm tra lại. c. Các lí thuyết và các quy luật toán học là kết quả của sự khái quát hóa các tài liệu cụ thể. d. Phương pháp luận toán học tức là sự giải thích lí luận tổng quát các quy luật và lí thuyết toán học. Các yếu tố trên đây liên hệ chặt chẽ với nhau và không ngừng phát triển. Giải thích và tìm ra quy luật của sự vận động và phát triển này trong toán học, ở mỗi giai đoạn lịch sử nhất định là nhiệm vụ của bộ môn lịch sử toán. Lịch sử toán là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán học. Lịch sử toán liên quan đến toàn bộ toán học và nhiều ngành khoa học khác. 1.1.3. Bản chất của toán học Phân tích đối tượng của toán học (cũng là đối tượng của lịch sử toán học) ta thấy toán học là một khoa học rất thực tiễn vì toán học nghiên cứu quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan. Toán học là một khoa học vào loại cổ nhất. Loài người đã có những kiến thức toán học ngay từ giai đoạn phát triển sớm nhất, do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai. Tuy nhiên, đối tượng của toán học không phải do thực tại cho ta một cách trực tiếp, mà là kết quả của trừu tượng hóa. Muốn nghiên cứu một đối tượng hay một 5 hiện tượng nào đó bằng công cụ toán học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tượng và hiện tượng, mà chỉ giữ lại những gì đặc trưng cho số lượng và hình dạng của chúng mà thôi. Làm như vậy, chẳng hạn ta được “điểm” là cái gì không có kích thước, “đường” là cái gì không bề dày, bề rộng, những x và y, a và b, những đại lượng không đổi và đại lượng biến thiên. Trong quá trình phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng. Trong các lí thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một tiên đề. Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học được một số người hiểu là một yếu tố xuất phát, tiên thiên. Chẳng hạn, họ cho rằng các phần tử của tập hợp, về nguyên tắc, được tách khỏi các sự vật của thế giới hiện thực và các hệ tiên đề, các định nghĩa, các phép toán được đưa vào một cách tùy ý. Nhận thức này đưa đến những quan điểm duy tâm sai lầm, ảnh hưởng không tốt đến sự phát triển của toán học. Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học chỉ che đậy nguồn gốc thực tế khách quan (thường là phức tạp, nhiều mức độ, gián tiếp) của mọi khái niệm toán học, chứ không xóa bỏ nguồn gốc đó. Lịch sử chứng tỏ rằng nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người là điều quyết định chủ yếu sự phát triển của toán học. Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối liên hệ chặt chẽ với những nhu cầu kĩ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán học ngày càng thêm phong phú. Tất nhiên, toán học không phải là sự bịa đặt trống rỗng của các nhà thông thái. Ngược lại, thực tiễn, đặc biệt là kĩ thuật, lại là một phương tiện hỗ trợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu toán học và có tác dụng làm thay đổi nhiều bộ mặt của toán học (chẳng hạn, tác dụng của máy tính điện tử đối với sự phát triển của toán học). Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong những mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau và bằng con đường thuần túy lôgíc. Khi lí tính sáng tạo ra toán học bằng con đường lôgíc thì không phải đã xa rời hiện thực mà chính lại càng sát gần hiện thực hơn và có tác dụng đối với hiện thực. Tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở rộng. Về nguyên tắc, không thể nêu ra giới hạn của sự mở rộng đó. “Toán học là người đầy tớ và là hoàng hậu của mọi khoa học.” Lịch sử cho hay rằng nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kĩ thuật khá lâu, có khi đến hàng thế kỉ. Chẳng hạn, lí thuyết hàm số biến số phức ra đời từ cuối thế kỉ thứ XVIII, nhưng đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được áp dụng vào 6 thủy động học và khí động học và từ đó đi vào công nghiệp hàng không hiện đại. Hình học Phi Ơclít ra đời từ giữa thế kỉ thứ XIX nhưng đến thế kỉ thứ XX mới được áp dụng vào lí thuyết tương đối của Vật lí. Lôgíc toán học ra đời từ cuối thế kỉ thứ XIX nhưng đến giữa thế kỉ thứ XX mới được sử dụng để tạo nên máy tính điện tử. Nói chung, bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ nhất đã được chuẩn bị trước đó một thế kỉ. Bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ hai đã được chuẩn bị trước đó nửa thế kỉ (Rõ ràng nếu không có lí thuyết tập hợp, đại số hiện đại, lôgíc toán, thì không thể có điều khiển học (xibécnêtic) và máy tính điện tử) Với sự phát triển của máy tính điện tử, chúng ta hiện nay đang sống trong nền văn minh tin học, và theo dự báo, sau đó sẽ là nền văn minh sáng tạo. Các nhà toán học cũng có công đầu trong việc xây dựng “khoa học sáng tạo” (creatology), tiếp đó là các nhà tâm lí học, giáo dục học,v.v Vì vậy, về vai trò của toán học đối với thực tiễn, cần có nhận thức rộng rãi, không thể chỉ thấy tác dụng trước mắt mà còn phải nhìn cả tác dụng lâu dài. Theo quan điểm điều khiển học, toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa học tự nhiên và cả khoa học xã hội, ngày càng phát triển hiệu lực của phương pháp toán học trong các ngành đó và trong xã hội sáng tạo tương lai. 1.1.4. Các giai đoạn phát triển toán học Để nghiên cứu lịch sử toán một cách thuận lợi thì cần chia giai đoạn. Có nhiều cách chia giai đoạn theo một số đặc điểm nào đó, chẳng hạn chia theo quốc gia, theo chế độ kinh tế xã hội, theo các phát minh lớn có tác dụng quyết định tính chất của sự phát triển, vv Cuộc tranh luận về phân chia các giai đoạn phát triển toán học chưa kết thúc. Trong bài giảng này, các giai đoạn được phân chia theo Kônmôgôrốp (Kolmogorop Andrei Nikolaievich, người Nga) vì nó tương đối hợp lí, dựa trên cơ sở về sự đánh giá nội dung của toán học: Các phương pháp, quan điểm và những kết quả quan trọng nhất. Theo ông, quá trình hình thành và phát triển của toán học gồm bốn giai đoạn sau đây: a. Giai đoạn phát sinh toán học Giai đoạn này bắt đầu từ thời xa xưa nhất của loài người nguyên thủy, kéo dài cho đến khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN), lúc mà toán học trở thành một khoa học độc lập, có đối tượng và phương pháp nghiên cứu riêng. Đặc điểm của giai đoạn này là việc tích lũy các sự kiện toán học cụ thể trong khuôn khổ một khoa học chung (khoa học tự nhiên) b. Giai đoạn toán học sơ cấp (từ khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN) đến hết thế kỉ thứ XVI) Đặc điểm của giai đoạn này là việc nghiên cứu các đại lượng không đổi. Những nội dung toán học đang được dạy ở trường phổ thông Việt Nam và nhiều 7 nước trên thế giới hiện nay có thể cho ta một khái niệm về thành tựu của giai đoạn này. c. Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (từ thế kỉ thứ XVII đến giữa thế kỉ XIX) Đặc điểm của giai đoạn này là việc sáng tạo ra toán học của các đại lượng không đổi. Trong giai đoạn này, đối tượng chủ yếu của toán học là các quá trình, các chuyển động. Giai đoạn này mở đầu bằng việc đưa đại lượng biến thiên vào hình học giải tích của Đềcác, với phép tính vi tích phân mà Niutơn và Lépnít đã hoàn thành toàn bộ. Phần lớn kiến thức toán học ở giai đoạn này đang được dạy ở các trường Cao đẳng và ở những năm đầu của các trường đại học của nước ta. d. Giai đoạn toán học hiện đại (từ giữa thế kỉ thứ XIX đến nay) Người ta thường xem mở đầu của giai đoạn này là phát minh to lớn của Lôbasépski và Bôlyai về hình học Phi Ơclit, là sự ra đời của đại số hiện đại. Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng, nhiều lí thuyết toán học mới xuất hiện, vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Toán học đã trở thành một khối thống nhất với những nền tảng và những phương pháp chung. Trong toán học có hiện tượng phân ngành sâu sắc và giữa toán học với các khoa học khác có hiện tượng liên ngành chặt chẽ. Phạm vi ứng dụng của toán học được mở rộng chưa từng thấy. 1.2. Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường Trung học cơ sở Nếu như đối với mỗi người, sự hiểu biết lịch sử khoa học là có ích, thì đối với người giáo viên, việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơ bản của khoa học mình giảng dạy, hiểu rõ các quy luật phát triển của khoa học ấy là điều rất cần thiết. 1. Nghiên cứu lịch sử toán chúng ta thấy quá trình phát triển của toán học là quá trình không ngừng tiến lên trên con đường khái quát hóa và trừu tượng hóa. Về phương diện là một khoa học thì toán học phát triển theo các quy luật khách quan. Toán học là một trong các hình thái của ý thức xã hội loài người, vì vậy các quy luật chi phối sự phát triển của toán học về cơ bản chủ yếu vẫn là những quy luật chung của mọi hình thái ý thức xã hội. Nghiên cứu sự phát triển của toán học, chúng ta sẽ thấy được trong chừng mực nhất định, các phương pháp, các khái niệm và tư tưởng toán học đã phát sinh như thế nào, các lí thuyết toán học khác nhau đã hình thành ra sao trong lịch sử, mối quan hệ giữa các bộ phận của toán học, thấy được những việc đã xảy ra, những bước đang đi và con đường sẽ tới của toán học. Nghiên cứu các giai đoạn phát triển của toán học, chúng ta còn nắm được các mối liên hệ phong phú của toán học, liên hệ giữa toán học với những nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con người, với sự phát triển của các khoa học khác, các ảnh hưởng của cơ cấu kinh tế và xã hội, của đấu tranh giai cấp (đặc biệt trong lĩnh vực tư tưởng), đấu tranh gay gắt giữa cái cũ và cái mới đến nội dung và tính chất của 8 sự phát triển toán học, vai trò của nhân dân, của tập thể và cá nhân các nhà toán học, v.v Nghiên cứu lịch sử toán ta thấy sự phát triển của toán học không phải là một quá trình bằng phẳng, đều đặn và liên tục của các chân lí toán học. Có thể nói, lịch sử toán học là lịch sử của sự đấu tranh gay gắt giữa cái mới và cái cũ, trong đó cái mới nhất định chiến thắng, mặc dù trải qua sự thất bại tạm thời và cả sự hi sinh của nhiều nhà khoa học tiến bộ. Chẳng hạn, ở thế kỉ thứ XVII, phép tính vi phân vừa mới xuất hiện trong các công trình của Lépnít, Niutơn thì đã bị giáo chủ Becơli công kích kịch liệt. Cuộc đấu tranh xung quanh các khái niệm cơ bản của giải tích, đặc biệt là khái niệm giới hạn, đã kéo dài suốt quá trình lịch sử ngành đó. Sự xây dựng cơ sở của môn giải tích dựa trên lí thuyết giới hạn mãi đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận. Cơ sở của hình học Phi Ơclít đã được biết từ năm 1826 với Lôbasepski, tuy nhiên phải đấu tranh lâu dài, đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận và tiếp tục phát triển. Về thực chất, hình học Phi Ơclít chỉ có thể phát triển sau khi lí thuyết tương đối của Anhstanh xuất hiện. Như thế, lịch sử toán học cho biết bản thân toán học là không có tính chất giai cấp, nhưng có tác động của chế độ xã hội đối với sự phát triển của nó, có thái độ của các giai cấp đối với nó, có quan điểm duy tâm và duy vật và có tính chất giai cấp trong việc xây dụng, giảng dạy và sử dụng nó. 2. Nghiên cứu sự hình thành khoa học toán học, ta càng thấy rõ toán học có hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Ơclit nhưng nó cũng là một nghệ thuật vô hạn, không cứng nhắc. Khi được trình bày theo kiểu Ơclit, toán học là một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học trong quá trình tìm tòi, sáng tạo là một khoa học thực nghiệm và quy nạp. Cả hai hình thái đó đều có từ lâu, cũng như chính bản thân toán học vậy. Hệ thống suy diễn chặt chẽ từ các tiên đề của hình học Ơclít đã chi phối toán học trong một thời gian dài và khá quyến rũ. Tuy nhiên, nhấn mạnh quá đáng sẽ đi chệch khỏi con đường đúng đắn nếu coi những yếu tố kiến thiết, phương pháp quy nạp, trực quan, tưởng tượng, cũng như quá trình tư duy tiền lôgic, chỉ đóng một vai trò thứ yếu. Phương pháp suy diễn, thoạt nhìn khá giáo điều nhưng lại cho phép chiếm lĩnh một cách nhanh chóng nhiều lĩnh vực đáng kể. Tuy nhiên phương pháp kiến thiết của Xôcrát đi từ cái riêng đến cái chung, thoát khỏi giáo điều nhờ có tư tưởng độc lập, sáng tạo là con đường nghiên cứu đầy hi vọng không gì so sánh được. Phép suy diễn cần được bổ sung bằng trực quan, khát vọng tổng quát hóa liên tiếp cần được hạn chế và cân bằng nhờ trân trọng đến cái riêng. Nhu cầu thực tiễn (hiểu theo nghĩa rộng, kể cả nhu cầu của các khoa học lân cận và nhu cầu của bản thân toán học) là động lực của toán học, phương pháp tiên đề là tác phong của toán học hiện đại. Nói rằng đặc trưng của phương pháp toán học là trừu tượng hóa, khái quát hóa thì ta cũng không quên một mặt khác của phương pháp toán học là phương pháp quy nạp, dự đoán, mò mẫm. Tóm lại, 9 đặc trưng của phương pháp toán học là sự kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suy diễn. Hiểu như vậy, giáo viên dạy toán sẽ có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, vừa phản ánh được bản sắc bộ môn, vừa thể hiện tư duy toán học hoàn chỉnh, vừa sát đối tượng, đạt yêu cầu giáo dục. 3. Giáo viên toán cần hiểu rõ các vấn đề như: con người đã lao động thế nào để sáng tạo ra các khái niệm toán học các hình ảnh cụ thể nào là cần thiết trong bước đầu hình thành khái niệm, tính chất, lí thuyết toán học trừu tượng các chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích lũy như thế nào trong lịch sử những sự kiện toán học điển hình, các bài toán lí thú mà người xưa đã giải trong hàng trăm năm; những khó khăn đặc biệt mà loài người đã phải vượt qua trong quá trình phát triển toán học. Lịch sử toán có thể giúp cho giáo viên trong công tác rất khó khăn của mình là biến toán học thành một môn dạy hấp dẫn, thích thú đối với học sinh, làm cho các giờ toán không phải là một gánh nặng, một hình phạt đối với học sinh, mà là một nguồn vui, một cái gì đẹp đẽ, có thể giúp ích cho họ trong cuộc sống, trong công tác. Hiểu rõ lịch sử toán, giáo viên có thể kết hợp vào bài giảng của mình mà giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét về lịch sử khái niệm, lịch sử vấn đề, lịch sử các phát minh, tiểu sử các nhà khoa học, làm cho giờ học thêm sinh động, có tác dụng khêu gợi khả năng sáng tạo của học sinh, động viên họ, giúp họ củng cố lòng tin ở bản thân CÂU HỎI 1. Phân tích vì sao lịch sử toán là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán học? 2. Bản chất của toán học là gì? 3. Nêu đặc điểm của mỗi giai đoạn lịch sử toán học theo cách chia của Kônmôgôrốp. 4. Vì sao chuyên đề lịch sử toán lại hỗ trợ đắc lực cho giáo trình phương pháp dạy học môn Toán THCS? 5. Phân tích sự cần thiết phải hiểu biết môn lịch sử toán đối với giáo viên toán THCS. 10 CHƯƠNG 2 SỰ PHÁT SINH TOÁN HỌC 2.1. Số tự nhiên và hệ thống ghi số 2.1.1. Sự hình thành khái niệm số ở người nguyên thủy Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời. Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN. Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN, cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian. Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác. Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú. Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN. Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân Ai Cập cổ đại. Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian. Ngư