CHƯƠNG 7: MÔ TẢ TOÁN TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN RỜI RẠC
7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc
7.2 Phép biến đổi Z
7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền
7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái
138 trang |
Chia sẻ: thuychi11 | Lượt xem: 1703 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng Lý thiết điều khiển tự động - Chương 7: Mô tả toán toán học hệ thống điều, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
BÀI GIẢNG
LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Thạc sĩ VÕ THANH VIỆT
NĂM 2009
CHƯƠNG 7: MÔ TẢ TOÁN TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN RỜI RẠC
7.1 Hệ thống điều khiển rời rạc
7.2 Phép biến đổi Z
7.3 Mô tả hệ thống rời rạc bằng hàm truyền
7.4 Mô tả hệ thống rời rạc bằng phương trình trạng thái
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi
tiếp, trong đó tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung, không
phải là hàm liên tục theo thời gian.
7.1.1 Khái niệm
Tùy thuộc vào phương pháp lượng tử hóa tinq hiệu mà ta có
các loại hệ thống xử lý tín hiệu khác nhau.
Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín hiệu có biên
độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín hiệu này
gọi là hệ thống rời rạc.
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Nếu phép lượng tử hóa được tiến hành theo thời gian và cả
theo biên độ là kết quả nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử
lý tín hiệu số là hệ thống số.
Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều khiển –
biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời rạc cách
đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu.
Vì có thời gian trể tất yếu do lấy mẫu, việc ổn định hệ thống
phức tạp hơn so với liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật
phân tích và thiết kế đặc biệt.
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Sự phát triển mạnh mẽ của kỷ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và kỹ
thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều khiển
số được sử dụng để điều khiển.
Hệ thống điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều
khiển liên tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật
toán điều khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển
phức tạp bằng cáh lập trình.
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng rãi,
từ các bộ điều khiển đơn giản như điêu khiển nhiệt độ, điều
khiển động cơ DC, AC đến các hệ thống điều khiển phức tạp
như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều
khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho
những ứng dụng khác nhau.
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Đây là sơ đồ khối của hệ thống điều khiền số thường gặp,
trong hệ thống có hai loại tín hiệu:
Tín hiệu liên tục: c(t), uR(t)
và tín hiệu số: r(kT), cht(kT), u(kT)
r(kT)
D/A
c(t)
A/D
Đối tượng
Cảm biến
Máy tính số
u(kT) uR(kT)
cht(kT)
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Trung tâm của hệ thống là máy tính số, máy tính có chức năng
xử lý thông tin phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều
khiển đối tượng.
Vì cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng
bộ chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính.
Do đó để phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước
tiên ta phải mô tả toán học được quá trình chuyển đổi A/D và
D/A.
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Tuy nhiên, hiện nay không có phương pháp nào cho phép mô
tả chính xác quá trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng
tử hóa biên độ.
Vì vậy thay vì khảo sát hệ thống số như sơ đồ khối trên ta khảo
sát hệ rời rạc ở hình sau:
r(kT) c(t)
Lấy mẫu
Đối tượng
Cảm biến
Máy tính số
u(kT) uR(kT)
cht(kT)
Lấy mẫu
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Trong chương này, chúng ta phát triển phương pháp phân tích
và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống điều khiển
rời rạc.
Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên độ đủ nhỏ để có
thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là tín hiệu rời rạc,
điều đó có nghĩa là lý thuyết điều khiển rời rạc trình bày trong
phần này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích và thiết kế các
hệ thống điều khiển số.
7.1.1 Khái niệm
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành tín
hiệu rời rạc theo thời gian.
Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín hiệu liên tục x(t) đầu ra là tín
hiệu rời rạc x*(t) như hình.
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
x(t) x*(t)
T
t
x(t)
0
t
x*(t)
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
t
s(t)
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
1
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Quá trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:
(7.1) )().()( tstxtx
Trong đó s(t) là chuỗi xung dirac:
(7.2) )()(
-k
kTtts
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử x(t) = 0 khi t < 0, ta
được:
0
)()()(
k
kTttxtx
(7.3) )()()(
0
k
kTtkTxtx
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
(7.4) )()(
0
k
kTsekTxsX
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình lấy
mẫu.
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Định lý Shannon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bị méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều
kiện:
(7.5) 2
1
cf
T
f
Trong đó fc là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được
sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các
khâu lấy mẫu.
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian
thành tín hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và
được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc
là khâu giữ bậc 0 (Zero – Order Hold – ZOH) như hình sau
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
x*(t) xR(t)
ZOH
t
x*(t)
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
r(t)
t
1
0
t
xR(t)
0 T 2T 3T 4T 5T 6T 7T
c(t)
t
1
0 T
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Ta tìm hàm truyền của ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu vào của
khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có độ
rộng bằng T. ta có:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
s
e
e
ss
Ttutu
tcsC
Ts
Ts
1
11
)()(
)()(
L
L
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Theo định nghĩa:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
)(
)(
)(
sR
sC
sGZOH
(7.6)
11
)(
s
e
s
e
sG
zTs
ZOH
Do đó:
Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0. Trong
các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai số
lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu
giữ bậc 0 (ZOH).
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Nhận xét:
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Bằng các sử dụng pháp biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá
trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4)
và (7.6).
Tuy nhiên, các biểu thức toán học (7.4) và (7.6) lại chứa hàm
ex nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế
hệ thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác
giúp khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi
Z trình bày ở mục 7.2.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:
(7.7) )()()(
k
kzkxkxzX Z
Trong đó: z = eTs (s là biến Laplace)
Ký hiệu: x(k) X(z)
Z
Nếu x(k) = 0,k < 0 thì biểu thức định nghĩa trở thành:
(7.8) )()()(
0
k
kzkxkxzX Z
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Ý nghĩa của việc biến đổi Z
Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu
x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).
Biểu thức lấy mẫu:
(7.9) )()(
k
kTsekTxzX
Biểu thức biến đổi Z:
(7.10) )()(
0
k
kzkxzX
Vì z = eTs nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như
nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là
rời rạc tín hiệu đó.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Định nghĩa
• Phép biến đổi Z ngược
Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là:
C
1-kX(z)z
2
1
)( dzkx
Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC
của X(z) và bao gốc tọa độ.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1. Tính tuyến tính
Thì:
Nếu: x1(k) X1(z)
Z
x2(k) X2(z)
Z
a1x1(k) + a2x2(k) a1X1(z) + a2X2(z) (7.11)
Z
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
2. Dời trong miềm hội tụ
Nếu trong miềm Z ta nhân X(z) với z-k0 thì tương đương với
trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k0 chu kỳ lấy mẫu.
Nhận xét:
Vì: x(k – 1) z-1 X(z)Z
Nên z-1 được gọi là toán tử hàm trễ một chu kỳ lấy mẫu.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
2. Dời trong miềm hội tụ
Thì:
Nếu: x(k) X(z)
Z
x(k – k0) z-k X(z) (7.12)
Z
k
x(k)
0 1 2 3 4 5 6 7
k
x(k-k0)
0 1 2 3 4 5 6 7
8 9
k0
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
3. Tỉ lệ trong miềm Z
Nếu: x(k) X(z)
Z
akx(k) X(a-1z) (7.13)
Z
4. Đạo hàm trong miềm Z
Nếu: x(k) X(z)
Z
k.x(k) Z (7.14)
)(
dz
zdX
zthì:
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
5. Định lý giá trị đầu
Nếu:
6. Định lý giá trị cuối
Nếu: x(k) X(z)
Z
x() Z (7.16) )()1(lim 1
1
zXz
z
x(k) X(z)
Z
x(0) Z (7.15) )(lim zX
z
thì:
thì:
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
1. Hàm dirac
Theo định nghĩa:
0
1
)(k
nếu k = 0
nếu k 0
(k)
t1
0
1)0()()( 0
zzkk
k
k Z
Vậy: (k) 1 (ROC: toàn bộ mặt phẳng Z
Z
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
2. Hàm nấc đơn vị
Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:
0
1
)(tu
nếu t 0
nếu t < 0
u(t)
t1
0
Hàm nấc đơn vị (liên tục trong miền thời gian)
0
1
)(ku
nếu k 0
nếu k < 0
u(k)
k1
0
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
2. Hàm nấc đơn vị
Theo định nghĩa:
zzzz
zkuzkuku
k
k
k
k
...1
)()()(
21
0
Z
Nếu z-1< 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn,
ta dễ dàng suy ra:
11
1
)(
1
z
z
z
kuZ
Vậy: u(k) (ROC: Z > 1Z
11
1
1
z
z
z
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
3. Hàm dốc đơn vị
Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:
0
)(
t
tr
nếu t 0
nếu t < 0
Hàm dốc đơn vị (liên tục trong miền thời gian)
0
)(
kT
kr
nếu k 0
nếu k < 0
r(t)
t1
0
r(k)
k
0
r(k) = kTu(k)
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
3. Hàm dốc đơn vị
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỷ lệ
trong miềm Z.
Ta có: u(k) Z
11
1
z
ku(k) Z
21
1
1
11
1
z
z
zdz
d
z
kTu(k) Z
221
1
11
z
Tz
z
Tz
(ROC: Z > 1)Vậy: r(k) = kTu(k)
Z
221
1
11
z
Tz
z
Tz
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
4. Hàm mũ
Theo định nghĩa:
...1
...1
)()()(
21
221
0
zeze
zeze
zkxzkxkx
aTaT
aTaT
k
k
k
kZ
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
4. Hàm mũ
Lấy mẫu x(t) với chu kỳ lấy mẫu là T, ta được:
0
)(
ate
tx
nếu t 0
nếu t < 0
Hàm mũ (liên tục trong miền thời gian)
nếu k 0
nếu k < 0
x(k) = e-kaTu(k)
x(t)
t
1
0
x(k)
k
1
0
0
)(
akTe
kx
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
4. Hàm mũ
Nếu (eaTz)-1< 1 thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi
vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn, ta dễ dàng suy ra:
aTaT ez
z
ze
kx
1
1
1
)(Z
(ROC: eaTz > 1 z > e-aT
aTaT ez
z
ze
1
1
1
Vậy: e-kaTu(k) Z
Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
az
z
az
11
1Z
aku(k)
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến
đổi Z ngược ta có:
C
k dzzzX
j
kx 1)(
2
1
)(
Với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và
bao gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường
áp dụng các cách sau:
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó
tra bản biến đổi Z
)3)(2(
)(
zz
z
zXVí dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Phân tích X(z) ta được:
)3()2(
)(
z
z
z
z
zX
Tra bảng biến đổi Z ta được:
az
z
Z
aku(k)
Suy ra: x(k) = (-2k + 3k)u(k)
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa
...)3()2()1()0(
)()(
3210
0
kxkxkxkx
zkxzX
k
k
Theo định nghĩa biến đổi Z:
Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuỗi lũy thừa ta sẽ
được giá trị x(k) chính là hệ số của thành phần z-k.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 2: Phân tích X(z) thành chuỗi lũy thừa
)3)(2(
)(
zz
z
zXVí dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Phân tích X(z) ta được:
65)3)(2(
)(
2
zz
z
zz
z
zX
Chia đa thức ta được:
...65195)( 4321 zzzzzX
Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy
)3)(2(
)(
zz
z
zXVí dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Ta có:
21
1
651)3)(2(
)(
zz
z
zz
z
zX
121 )()651( zzXzz
121 )(6)(5)( zzXzzXzzX
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ quy
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời
trong miền thời gian), ta được:
)1()2(6)1(5)( kkxkxkx
)1()2(6)1(5)( kkxkxkx
Với điều kiện đầu: 0)2( ;0)1( kxkx
Thay vào công thức trên ta được:
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
Tại các cực của zk-1X(z) )(Re)( 1 zXzskx k
Nếu z0 là cực bậc p thì:
00
)()(
)!1(
1
)(Re 101
1
1
zz
kp
p
p
zz
k zXzzz
dz
d
p
zXzs
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
)3)(2(
)(
zz
z
zXVí dụ: Cho tìm x(k)
Giải: Áp dụng công thức thặng dư ta được:
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
3121 )(Re)(Re)( zkzk zXzszXzskx
Mà:
k
z
k
z
k
z
k
z
k
z
z
zz
z
zz
zXzzzXzskx
2
)3()3)(2(
)2(
)()2()(Re)(
32
1
2
1
2
1
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
k
z
k
z
k
z
k
z
k
z
z
zz
z
zz
zXzzzXzskx
3
)2()3)(2(
)3(
)()3()(Re)(
33
1
3
1
3
1
Do đó: x(k) = -2k + 3k
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc
được mô ta bằng phương trình sai phân:
Hệ thống rời rạc
r(k) c(k)
(7.17) )()1(...)1()(
)()1(...)1()(
110
110
krbkrbmkrbmkrb
kcakcankcankca
mm
nn
Trong n m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:
)()(...)()(
)()(...)()(
1
1
10
1
1
10
zRbzzRbzRzbzRzb
zCazzCazCzazCza
mm
mm
nn
nn
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzb
zR
zC
1
1
10
1
1
10
...
...
)(
)(
)()...(
)()...(
1
1
10
1
1
10
zRbzbzbzb
zCazazaza
mm
mm
nn
nn
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Đặt:
(7.18)
...
...
)(
)(
)(
1
1
10
1
1
10
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzb
zR
zC
zG
G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương vầ dạng
(7.19)
...
...
)(
1
1
1
10
1
1
1
10
)(
n
n
n
n
m
m
m
m
mn
zazazaa
zbzbzbbz
zG
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong
thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Ví dụ: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi bởi phương trình sai
phân sau:
)()2(2)(3)1(5)2(2)3( krkrkckckckc
Tìm hàm truyền của hệ thống?
Giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống
ta được:
)()(2)(3)(5)(2)( 223 zRzRzzCzzCzCzzCz
321
21
23
2
3521
)2(
352
12
)(
)(
)(
zzz
zz
zzz
z
zR
zC
zG
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ
liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc.
Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ
khối có các khâu lấy mẫu.
Xét một số sơ đồ khối thường gặp sau đây:
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hàm truyền:
G1(s) G1(s)
C*(s) = C(z)R*(s)R(s)
Trong đó:
(7.20) )().(
)(
)(
)( 21 zGzG
zR
zC
zG
)()( ; )()( 2211 sGzGsGzG ZZ
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ. Tìm hàm truyền
tương đương của hệ thống
G1(s) G1(s)
C*(s) = C(z)R*(s)R(s)
bs
sG
as
sG
1
)( ;
1
)( 21
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:
aTez
z
as
sGzG
1
)()( 11 ZZ
bTez
z
bs
sGzG
1
)()( 22 ZZ
Dễ dàng suy ra:
))((
)()()(
2
21 bTaT ezez
z
zGzGzG
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hàm truyền:
Trong đó:
(7.21) )(
)(
)(
)( 21 zGG
zR
zC
zG
)()( 2121 sGsGGG Z
G1(s) G1(s)
C*(s) = C(z)R*(s)R(s)
T T
Cần chú ý là:
)()()()( )()()( 21212121 zGGsGsGsGsGzGzG ZZZ
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Ví dụ: Cho sơ đồ khối hệ thống như hình vẽ. Tìm hàm truyền
tương đương của hệ thống
bs
sG
as
sG
1
)( ;
1
)( 21
2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
G1(s) G1(s)
C*(s) = C(z)R*(s)R(s)
T T
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Giải: Tra bảng biến đổi Z ta có:
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
11
)()()(
2121
bsbaasab
bsbaasab
bsas
sGsGzGG
ZZ
Z
ZZ
2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
))()((
)(
)()(
1
)()(
1
)(21
bTaT
aTbT
bTaT
ezezab
eez
ez
z
baez
z
ab
zGG
2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
Hàm truyền:
(7.22)
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zC
zGk
G(s)
R(s)
H(s)
C(s)T
7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
Trong đó: )()()( ; )()( sHsGzGHsGzG