Bài giảng Lý thuyết dạy học môn Toán 2 - Chương 1.4: Dạy học tuyến hàm số - Tăng Minh Dũng

Dạy học tuyến hàm số Tăng Minh Dũng Khoa Toán-Tin, trường ĐHSP Tp.HCM dungtm@hcmup.edu.vn Nội dung trình bày • Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Các định nghĩa khác nhau về quan niệm hàm • Lịch sử xuất hiện và tiến triển của các biểu trưng hàm số • Dạy học đồ thị hàm số 4/27/17 Tăng Minh Dũng 2 Nội dung trình bày • Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Các định nghĩa khác nhau về quan niệm hàm • Lịch sử xuất hiện và tiến triển của các biểu trưng hàm số • Dạy học đồ thị hàm số 4/27/17 Tăng Minh Dũng 3 Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Nhà sư phạm, toán học nổi tiếng Khin Chin (Nga): “Không có khái niệm nào có thể phản ánh được những hiện tượng của thực tế khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm. Không một khái niệm nào có thể bộc lộ được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm”. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 4 Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Nghiên cứu sự vật trong trạng thái § biến đổi sinh động § phụ thuộc lẫn nhau àTương quan hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và tư duy biện chứng • Tương quan hàm giữ vị trí trọng tâm của toán học hiện đại và vai trò chủ đạo trong dạy học toán. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 5 Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Tương quan hàm xuất hiện trong nhiều phân môn khác nhau của toán học § Đại số: mối liên hệ với phương trình, § Giải tích: giới hạn, đạo hàm, tích phân, § Lượng giác: hàm lượng giác, tuần hoàn, § Hình học: Phép biến hình • Tương quan hàm xuất hiện trong nhiều môn học: vật lí, hoá học, 4/27/17 Tăng Minh Dũng 6 Nội dung trình bày • Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Các định nghĩa khác nhau về quan niệm hàm • Lịch sử xuất hiện và tiến triển của các biểu trưng hàm số • Dạy học đồ thị hàm số 4/27/17 Tăng Minh Dũng 7 Định nghĩa hàm theo quan niệm “cổ điển” • Xem hàm như một đại lượng biến thiên § [Đại số 10 – Sách bổ túc văn hoá, 1975]: § “Đại lượng y được gọi là hàm số của đại lượng x nếu với mỗi giá trị của x trong khoảng biến thiên của nó thì tương ứng một giá trị của đại lượng y. Đại lượng x được gọi là đối số.” • Xem hàm như một quy tắc § [Mưskit, Bài giảng về toán học cao cấp, NXB Mátxcơva, 1964]: “Quy tắc theo đó các giá trị của đại lượng biến thiên y phụ thuộc tương ứng với các giá trị của đại lượng biến thiên x độc lập được gọi là hàm.” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 8 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic • Dựa vào lý thuyết tập hợp • Chia làm 2 loại: § Loại đầy đủ § Loại rút gọn 4/27/17 Tăng Minh Dũng 9 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [đầy đủ] • Kiểu 1: không định nghĩa bản thân khái niệm hàm mà chỉ định nghĩa tình huống hàm, tức là tình huống cho phép nói rằng có một hàm • [Hình học 10, 1987]: “Ta nói rằng có 1 ánh xạ (hàm) f từ tập A đến tập B nếu ứng với mỗi phần tử a thuộc A có một phần tử xác định (duy nhất) b thuộc B” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 10 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [đầy đủ] • Kiểu 2: xem hàm như một quy tắc tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp. • [Đại số 7, 1987]: “Giả sử X, Y là hai tập hợp số. Một hàm số f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi giá trị x thuộc X một và chỉ một giá trị y thuộc Y mà ta kí hiệu là f(x).” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 11 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [đầy đủ] • Kiểu 3: xem hàm như một sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp. • [Đại số và giải tích 11, 1991]: “Cho hai tập hợp không rỗng X và Y. Một ánh xạ (hàm) f từ tập hợp X đến tập hợp Y là một sự tương ứng giữa X và Y sao cho mỗi phần tử x thuộc X có một và chỉ một ảnh y thuộc tập hợp Y.” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 12 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [đầy đủ] • Kiểu 4: xem hàm như một dạng đặc biệt của khái niệm quan hệ trong toán học, đó là quan hệ hàm. • [HêLêNaRaSiowa, Cơ sở toán học hiện đại, 1978]: “Cho X và Y là hai tập hợp bất kì không rỗng. Nếu một quan hệ hai ngôi F trên tập tích Đề Các X×Y thoả mãn điều kiện, với mọi x thuộc X có đúng một y thuộc Y sao cho xFy thì F gọi là một ánh xạ (hàm) X vào Y.” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 13 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [rút gọn] • [Vilenkin, Đại số và mở đầu giải tích- Sách giáo khoa thử nghiệm lớp 9-10,1981]: § Quan hệ hai ngôi là tập hợp những cặp. Tập hợp các phần tử thứ nhất của các cặp được gọi là miền xác định của quan hệ. Tập hợp các phần tử thứ hai của các cặp được gọi là miền giá trị của quan hệ. § Quan hệ hai ngôi F được gọi là quan hệ giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y nếu miền xác định của F là một tập con của X, còn miền giá trị của F là tập con của Y. § Một quan hệ được gọi là hàm ánh xạ nếu nó không chứa các cặp với phần tử thứ nhất giống nhau 4/27/17 Tăng Minh Dũng 14 Định nghĩa hàm theo quan niệm logic [rút gọn] • [CônmôGôRốp, Những cơ sở hiện đại của Toán học phổ thông,1980]: “Một hàm là tập hợp những cặp (x,y) sao cho đối với mỗi x bất kỳ, trong tập hợp đó không có quá một cặp (x,y) với phần tử thứ nhất x cho trước.” 4/27/17 Tăng Minh Dũng 15 Cấu trúc khái niệm hàm 4/27/17 Tăng Minh Dũng 16 Bộ ba (F,X,Y) xác định một hàm nếu thoả 2 điều kiện: • Tính phổ dụng: • Tính duy nhất: F : X ! Y x 7! y = F (x) 8x 2 X, 9y 2 Y, y = F (x) 8x1, x2 2 X, (x1 = x2 ) F (x1) = F (x2)) Ưu điểm của quan niệm logic khi nghiên cứu khái niệm hàm • Tính khái quát cao: Do tập nguồn X và tập đích Y gồm các đối tượng bất kì nên có thể mở rộng nhóm các hàm được xem xét § Đại số: hàm số § Hình học: phép biến hình § Đời sống àTăng cường tính thống nhất, hệ thống của môn toán (xoá bỏ ranh giới giả tạo của các phân môn toán học), đảm bảo tính liên môn, nối kết thực tiễn. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 17 Ưu điểm của quan niệm logic khi nghiên cứu khái niệm hàm • Tính chặt chẽ, rõ ràng: dễ tách biệt các khái niệm tập xác định, tập giá trị, các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm, khái niệm đồ thị, 4/27/17 Tăng Minh Dũng 18 Lựa chọn cách giới thiệu • Quan niệm “cổ điển”? • Quan niệm logic? àPhối hợp 4/27/17 Tăng Minh Dũng 19 Nội dung trình bày • Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Các định nghĩa khác nhau về quan niệm hàm • Lịch sử xuất hiện và tiến triển của các biểu trưng hàm số • Dạy học đồ thị hàm số 4/27/17 Tăng Minh Dũng 20 Thời cổ đại • Chưa hiện diện, chỉ xuất hiện ngầm ẩn trong việc giải quyết các bài toán trong lĩnh vực đời sống và khoa học (thiên văn học, toán học,). • Bị giới hạn trong việc lấy các giá trị của hai đại lượng phụ thuộc lẫn nhau trong một tập hợp hữu hạn và rời rạc. • Được thể hiện trong các bảng số [Người Babylon: bảng bình phương, lập phương, căn bậc hai,] 4/27/17 Tăng Minh Dũng 21 Thời trung đại • Người ta bắt đầu quan tâm đến các đại lượng thể hiện yếu tố “chuyển động” (vận tốc, thời gian,) • Yếu tố liên tục được thể hiện bằng các hình hình học. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 22 N.Oresme (1323-1382) Vận tốc Thời gian Thời trung đại • Những nghiên cứu rõ nét về đặc trưng biến thiên, được biểu diễn bằng các hình hình học. • Thuật ngữ “biến thiên” và khái niệm “biến” chưa xuất hiện 1 cách rõ ràng. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 23 Thế kỉ 16-17 • Các phép tính toán học phát triển mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của các kí hiệu chữ-đóng vai trò quyết định đối với sự phát triển của lý thuyết các hàm số sau này. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 24 Thế kỉ 16-17 • René Decartes (1596-1650) quan tâm đến việc gắn việc biểu diễn sự phụ thuộc của hai đại lượng với đường cong: “Bằng cách lấy lần lượt và vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường y, ta cũng có vô hạn các đại lượng khác nhau đối với đường x, và như vậy ta có vô hạn các điểm khác nhau, như là điểm được đánh dấu C, nhờ vào đó, ta mô tả được đường cong mong muốn”. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 25 Thế kỉ 16-17 • Thuật ngữ “hàm số” (fonction) xuất hiện lần đầu tiên trong các công trình của Leibnitz (1646- 1716). Nhưng một định nghĩa tường minh về khái niệm hàm số vẫn chưa xuất hiện, và cách hiểu của Leibnitz về đối tượng này cũng không giống như ngày nay. “Leibnitz vẫn chưa sử dụng từ hàm để chỉ mối quan hệ hình thức giữa tung độ của một điểm của một đường cong và hoành độ của nó [] Ở thời điểm mà ông giải quyết vấn đề nghịch đảo của hàm số tiếp tuyến, người ta không thể nói rằng ông đã dùng từ hàm trong nghĩa mà các nhà toán học đương đại đã dùng.” (Mahnke, 1926) 4/27/17 Tăng Minh Dũng 26 Thế kỉ 16-17 • Đầu thế kỉ 17, khái niệm hàm luôn gắn liền với biểu diễn hình học của một hàm số bằng một đường. • Cuối thế kỉ 17, đặc trưng biến thiên được nhấn mạnh, hàm số mất dần đặc tính cơ học và hình học; đặc trưng tương ứng hiện diện ngầm ẩn. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 27 Thế kỉ 18 • Quan niệm “cực đoan”: Hàm số là một biểu thức giải tích “Một hàm số của một đại lượng biến thiên là một biểu thức giải tích được tạo thành, theo một cách thức nào đó, từ chính đại lượng biến thiên này và các số hay các đại lượng không đổi.” (Euler, 1707-1783) à “thu hẹp nghĩa”: chỉ thừa nhận những tương ứng có thể viết được dưới dạng công thức mới là hàm số. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 28 Nửa đầu thế kỉ 19 • Sự phát triển mạnh mẽ của giải tích toán đã đòi hỏi phải mở rộng khái niệm hàm số. • Người ta bắt đầu nhận ra: biểu thức giải tích không phải là biểu trưng tổng quát của hàm số mà là sự tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên. “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tương ứng đó được xác định bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng” (Dirichlet, 1805-1859) 4/27/17 Tăng Minh Dũng 29 Nửa đầu thế kỉ 19 • Khái niệm hàm số không còn đồng nhất với biểu thức giải tích. • Khái niệm hàm số trở nên trừu tượng và tổng quát hơn, với cách hiểu “tương ứng”. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 30 Cuối thế kỉ 19 – đầu thế kỉ 20 • Lý thuyết “Tập hợp” của Cantor (1845-1918) ra đời: Biến đổi sâu sắc toán học. • Hàm số được định nghĩa dựa trên lý thuyết tập hợp: Hàm số là một quy tắc tương ứng (hoặc một quan hệ). “Giả sử E và F là hai tập hợp, phân biệt hoặc không. Quan hệ giữa một biến x của E và một biến y của F được gọi là quan hệ hàm, nếu với mỗi x thuộc E, tồn tại một và chỉ một phần tử y của F có quan hệ với x. Ta gán từ “hàm” cho thao tác kết hợp mỗi phần tử x thuộc E với phần tử y thuộc F có quan hệ với x. Ta nói y là giá trị của hàm đối với phần tử x và hàm được xác định bởi quan hệ hàm đã cho” (Bourbaki) 4/27/17 Tăng Minh Dũng 31 Lược sử • Hàm số xuất hiện ngầm ẩn trong nhiều công trình từ thời cổ đại. • Định nghĩa chính xác của khái niệm này mãi chỉ xuất hiện ở TK19-20, với sự ra đời của lý thuyết tập hợp. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 32 3 biểu trưng của hàm số • Biểu trưng “đồ thị và hình học”: Hàm số được đồng nhất cùng với đường biểu diễn của nó (TK 17). • Biểu trưng “tính toán”: hàm số được định nghĩa bằng công thức (TK 18). • Biểu trưng “trực giác-nhân quả”: hàm số được xem như một tương ứng, một đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (TK 19). 4/27/17 Tăng Minh Dũng 33 3 biểu trưng của hàm số • SGK (hiện hành): § Phần lý thuyết: 3 biểu trưng này xuất hiện như thế nào? (cấp lớp? ở đâu?) § Phần bài tập: biểu trưng nào được huy động? (dạng bài tập? bao nhiêu bài mỗi biểu trưng?) [thực hành] 4/27/17 Tăng Minh Dũng 34 Nội dung trình bày • Tầm quan trọng của khái niệm tương quan hàm • Các định nghĩa khác nhau về quan niệm hàm • Lịch sử xuất hiện và tiến triển của các biểu trưng hàm số • Dạy học đồ thị hàm số 4/27/17 Tăng Minh Dũng 35 Dạy học Đồ thị hàm số SGK hiện hành • Định nghĩa hàm số? đồ thị hàm số? • Phân tích chuyển đổi biểu trưng: “tính toán” ßà “đồ thị và hình học” § Phần lý thuyết: trình bày ở đâu? ra sao? § Phần bài tập: Các dạng toán? Cách giải? Cơ sở lý thuyết? [thực hành] 4/27/17 ThS. Tăng Minh Dũng 36 Tài liệu tham khảo • Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thuỵ. (1998). Phương Pháp dạy học môn toán (Tập II). Thành Phố Hồ Chí Minh: Nhà xuất bản Giáo dục. • Đinh Quốc Khánh. (2010). Hàm số và đồ thị trong dạy học toán ở trường phổ thông. Thành phố Hồ Chí Minh: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. • Đinh Quang Minh. (2005). Quan điểm hàm trong dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam. Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Toán-Tin. Thành phố Hồ Chí Minh: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. • Nguyễn Thị Nga. (2003). Dạy học hàm số ở trường phổ thông. Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Khoa Toán- Tin. Thành phố Hồ Chí Minh: Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 37 Tài liệu tham khảo • Nguyễn Thị Nga, Lê Văn Tiến. (2003). Một phần thực trạng về quan niệm hàm của học sinh trung học phổ thông. Tạp chí Khoa học - Khoa học Tự nhiên, 34, 55-60. • Đỗ Thị Thuý Vân. (2010). Phần mềm Casyopée và dạy học khái niệm hàm số trong môi trường tích hợp nhiều cách biểu diễn hàm số. Thành phố Hồ Chí Minh: Luận văn thạc sĩ Giáo dục học, trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. • Nguyễn Văn Vĩnh. (2008). Các vấn đề về phương pháp dạy học các chủ đề cơ bản trong chương trình đại số-giải tích. Thành Phố Hồ Chí Minh: Tài liệu nội bộ Bộ môn Phương Pháp giảng dạy, Khoa Toán- Tin, trường Đại học Sư phạm Tp.HCM. 4/27/17 Tăng Minh Dũng 38