Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Chương 1: Đại cương về đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn

LÝ THUYẾT ĐỒ THỊntsonptnk@gmail.comNỘI DUNGĐại cương về đồ thịCâyCác bài toán đường điĐồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thịMạng và bài toán luồng trên mạng, bài toán cặp ghépGV: Döông Anh Ñöùc2TÀI LIỆU THAM KHẢOGiáo trình Lý Thuyết Đồ Thị - Dương Anh Đức, Trần Đan ThưToán rời rạc – Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa...GV: Döông Anh Ñöùc3ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ ĐỊNH NGHĨAMột đồ thị có hướng G=(X, U) được định nghĩa bởi:Tập hợp X   được gọi là tập các đỉnh của đồ thị;Tập hợp U là tập các cạnh của đồ thị;Mỗi cạnh uU được liên kết với một cặp đỉnh (i, j)X2.GV: Döông Anh Ñöùc5ĐỊNH NGHĨAMột đồ thị vô hướng G=(X, E) được định nghĩa bởi:Tập hợp X   được gọi là tập các đỉnh của đồ thị;Tập hợp E là tập các cạnh của đồ thị;Mỗi cạnh eE được liên kết với một cặp đỉnh {i, j}X2, không phân biệt thứ tựGV: Döông Anh Ñöùc6ĐỒ THỊ HỮU HẠNĐồ thị có tập đỉnh và tập cạnh hữu hạn được gọi là ĐỒ THỊ HỮU HẠNHọc phần này chỉ làm việc các ĐỒ THỊ HỮU HẠN, tuy nhiên để ngắn gọn chúng ta chỉ dùng thuật ngữ ĐỒ THỊ và hiểu ngầm đó là đồ thị hữu hạn.GV: Döông Anh Ñöùc7ĐỈNH KỀTrên đồ thị có hướng, xét cạnh u được liên kết với cặp đỉnh (i, j):Cạnh u kề với đỉnh i và đỉnh j (hay đỉnh i và đỉnh j kề với cạnh u); có thể viết tắt u=(i, j). Cạnh u đi ra khỏi đỉnh i và đi vào đỉnh jĐỉnh j được gọi là đỉnh kề của đỉnh iGV: Döông Anh Ñöùc8ĐỈNH KỀTrên đồ thị vô hướng, xét cạnh e được liên kết với cặp đỉnh (i, j):Cạnh e kề với đỉnh i và đỉnh j (hay đỉnh i và đỉnh j kề với cạnh e); có thể viết tắt e=(i, j). Đỉnh i và đỉnh j được gọi là 2 đỉnh kề nhau (hay đỉnh i kề với đỉnh j và ngược lại, đỉnh j kề với đỉnh i)GV: Döông Anh Ñöùc9MỘT SỐ KHÁI NIỆMCạnh song songKhuyênĐỉnh treoĐỉnh cô lậpGV: Döông Anh Ñöùc10CÁC DẠNG ĐỒ THỊĐồ thị RỖNG: tập cạnh là tập rỗngĐồ thị ĐƠN: không có khuyên và cạnh song songĐồ thị ĐỦ: đồ thị vô hướng, đơn, giữa hai đỉnh bất kỳ đều có đúng một cạnh. Đồ thị đủ N đỉnh ký hiệu là KN.KN có N(N-1)/2 cạnh.GV: Döông Anh Ñöùc11CABCÁC DẠNG ĐỒ THỊĐồ thị LƯỠNG PHÂN: đồ thị G=(X, E) được gọi là đồ thị lưỡng phân nếu tập X được chia thành hai tập X1 và X2 thỏa: X1 và X2 phân hoạch X;Cạnh chỉ nối giữa X1 và X2.Đồ thị LƯỠNG PHÂN ĐỦ: là đồ thị lưỡng phân đơn, vô hướng thỏa với (i, j)/iX1 và jX2 có đúng một cạnh i và j.X1=N và X2=M, ký hiệu KM, N.GV: Döông Anh Ñöùc12CABDEVÍ DỤ: ĐỒ THỊ ĐỦGV: Döông Anh Ñöùc13K4K4K3, 3K2, 3K2  K1, 1K3BẬC CỦA ĐỈNHXét đồ thị vô hướng GBậc của đỉnh x trong đồ thị G là số các cạnh kề với đỉnh x, mỗi khuyên được tính hai lần, ký hiệu là dG(x) (hay d(x) nếu đang xét một đồ thị nào đó).GV: Döông Anh Ñöùc14BẬC CỦA ĐỒ THỊXét đồ thị có hướng GNửa bậc ngoài của đỉnh x là số các cạnh đi ra khỏi đỉnh x, ký hiệu d+(x).Nửa bậc trong của đỉnh x là số các cạnh đi vào đỉnh x, ký hiệu d-(x).Bậc của đỉnh x: d(x)=d+(x)+d-(x)GV: Döông Anh Ñöùc15BẬC CỦA ĐỈNHĐỉnh TREO là đỉnh có bậc bằng 1.Đỉnh CÔ LẬP là đỉnh có bậc bằng 0.GV: Döông Anh Ñöùc16CABDMỐI LIÊN HỆ BẬC - SỐ CẠNHĐịnh lý:Xét đồ thị có hướng G=(X, U). Ta có: Xét đồ thị vô hướng G=(X, E). Ta có:Hệ quả: số lượng các đỉnh có bậc lẻ trong một đồ thị là một số chẳn.GV: Döông Anh Ñöùc17ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊHai đồ thị vô hướng G1 =(X1, E1) và G2=(X2, E2) được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại hai song ánh  và  thỏa mãn điều kiện:: X1  X2 và : E1  E2Nếu cạnh e  E1 kề với cặp đỉnh {x, y}  X1 trong G1 thì cạnh (e) sẽ kề với cặp đỉnh {(x), (y)} trong G2 (sự tương ứng cạnh).GV: Döông Anh Ñöùc18u1u5u4u2u3u61243ae4e2e1e6e5e3dcbG1G2ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊHai đồ thị có hướng G1=(X1, U1) và G2=(X2, U2) được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại hai song ánh  và  thỏa mãn điều kiện:: X1  X2 và : U1  U2Nếu cạnh u  U1 liên kết với cặp đỉnh (x, y)  X1 trong G1 thì cạnh (u) sẽ liên kết với cặp đỉnh ((x), (y)) trong G2 (sự tương ứng cạnh).GV: Döông Anh Ñöùc19123G3123G4ĐỒ THỊ CONXét hai đồ thị G=(X, U) và G1=(X1, U1). G1 được gọi là đồ thị con của G và ký hiệu G1  G nếu:X1  X; U1  Uu=(i, j)  U của G, nếu u  U1 thì i, j  X1GV: Döông Anh Ñöùc20u1u5u4u2u3u61243Gu1u3124u2G1ĐỒ THỊ BỘ PHẬNĐồ thị con G1=(X1, U1) của đồ thị G=(X, U) được gọi là đồ thị bộ phận của G nếu X=X1.GV: Döông Anh Ñöùc21u1u5u4u2u3u61243Gu1u4u2u31243G1ĐỒ THỊ CON SINH BỞI TẬP ĐỈNHCho đồ thị G=(X, U) và A  X. Đồ thị con sinh bởi tập đỉnh A, ký hiệu (A, V), trong đó:(i) tập cạnh V  U(ii) Gọi u=(i, j)  U là một cạnh của G, nếu i, j  A thì u  VGV: Döông Anh Ñöùc22u1u5u4u2u3u61243Gu1u3124u2A={1, 2, 4}DÂY CHUYỀN, CHU TRÌNHMột dây chuyền trong G=(X, U) là một đồ thị con C=(V, E) của G với:V = {x1, x2, , xM}E = {u1, u2, , uM-1} với u1=x1x2, u2=x2x3, , uM-1=xM-1xM; liên kết xixi+1 không phân biệt thứ tự.Khi đó, x1 và xM được nối với nhau bằng dây chuyền C. x1 là đỉnh đầu và xM là đỉnh cuối của C.Số cạnh của C được gọi là độ dài của C.Khi các cạnh hoàn toàn xác định bởi cặp đỉnh kề, dây chuyền có thể viết gọn (x1, x2, , xM)GV: Döông Anh Ñöùc23DÂY CHUYỀN, CHU TRÌNHDây chuyền SƠ CẤP: dây chuyền không có đỉnh lặp lại.CHU TRÌNH: là một dây chuyền có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau. GV: Döông Anh Ñöùc24ĐƯỜNG ĐI, MẠCHMột ĐƯỜNG ĐI trong G=(X, U) là một đồ thị con P=(V, E) của G với:V = {x1, x2, , xM}E = {u1, u2, , uM-1} với u1=x1x2, u2=x2x3, , uM-1=xM-1xM; liên kết xixi+1 theo đúng thứ tự.Khi đó, có đường đi P nối từ x1 đến xM. x1 là đỉnh đầu và xM là đỉnh cuối của P.Số cạnh của P được gọi là độ dài của P.Khi các cạnh hoàn toàn xác định bởi cặp đỉnh kề, đường đi có thể viết gọn (x1, x2, , xM)GV: Döông Anh Ñöùc25Đường đi SƠ CẤP: đường đi không có đỉnh lặp lại.MẠCH: là một đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuốiVới đồ thị vô hướng:Dây chuyền  đường đi, chu trình  mạch.Do đó, thuật ngữ đường đi cũng được dùng cho đồ thị vô hướng. Mạch trong đồ thị có hướng còn được gọi là “chu trình có hướng”. Đường đi trong đồ thị có hướng cũng được gọi là “đường đi có hướng” để nhấn mạnh.GV: Döông Anh Ñöùc26ĐƯỜNG ĐI, MẠCHTHÀNH PHẦN LIÊN THÔNGCho đồ thị G=(X, U). Ta định nghĩa một quan hệ LIÊN KẾT  như sau trên tập đỉnh X: i, jX, i  j  (ij hoặc có dây chuyền nối i với j).Quan hệ nầy có ba tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu nên nó là một quan hệ tương đương. Do đó tập X được phân hoạch thành các lớp tương đương.GV: Döông Anh Ñöùc27THÀNH PHẦN LIÊN THÔNGĐịnh nghĩa:Một thành phần liên thông của đồ thị là một lớp tương đương được xác định bởi quan hệ LIÊN KẾT ;Số thành phần liên thông của đồ thị là số lượng các lớp tương đương;Đồ thị liên thông là đồ thị chỉ có một thành phần liên thông.Khi một đồ G gồm p thành phần liên thông G1, G2, , Gp thì các đồ thị Gi cũng là các đồ thị con của G và dG(x) = dGi(x), x của Gi. Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn28THÀNH PHẦN LIÊN THÔNGG gồm 2 thành phần liên thông, H là đồ thị liên thôngGV: Döông Anh Ñöùc29GHTHÀNH PHẦN LIÊN THÔNGThuật toán xác định các thành phần liên thôngInput: đồ thị G=(X, E), tập X gồm N đỉnh 1, 2, , NOutput: các đỉnh của G được gán nhãn là số hiệu của thành phần liên thông tương ứngKhởi tạo biến label=0 và gắn nhãn 0 cho tất cả các đỉnhDuyệt qua tất cả các đỉnh iXNếu nhãn của i là 0label = label + 1Gán nhãn cho tất cả các đỉnh cùng thuộc thành phần liên thông với i là labelGV: Döông Anh Ñöùc30THÀNH PHẦN LIÊN THÔNGThuật toán gán nhãn các đỉnh cùng thuộc thành phần liên thông với đỉnh i – Visit(i, label)Input: đồ thị G=(X, E), đỉnh i, nhãn labelOutput: các đỉnh cùng thuộc thành phần liên thông với i được gắn nhãn labelGắn nhãn label cho đỉnh iDuyệt qua tất cả các đỉnh jX và có cạnh nối với i Nếu nhãn của j là 0 Visit(j, label)GV: Döông Anh Ñöùc31BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG HÌNH VẼLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn32ABCDu1u2u3u4u5u6ABCDe1e2e3e4e5e6GHBIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬNMa trận KỀ:Xét đồ thị G=(X, U), giả sử tập X gồm N đỉnh và được sắp thứ tự X={x1, x2, , xN}, tập U gồm M cạnh và được sắp thứ tự U={u1, u2, , uM}.Ma trận kề của đồ thị G, ký hiệu B(G), là một ma trận nhị phân cấp NxN B=(Bij) với Bij được định nghĩa:Bij=1 nếu có cạnh nối xi tới xj, Bij=0 trong trường hợp ngược lại.Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn33BIỂU DIỄN ĐỒ THỊBẰNG MA TRẬN KỀLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn341234GBIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN KỀLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn351234GBIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬNMa trận LIÊN THUỘC của đồ thị vô hướng:Xét đồ thị G=(X, U) vô hướng, giả sử tập X gồm N đỉnh và được sắp thứ tự X={x1, x2, , xN}, tập U gồm M cạnh và được sắp thứ tự U={u1, u2, , uM}.Ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) của G, ký hiệu A(G), là ma trận nhị phân cấp NxM A=(Aij) với Aij được định nghĩa:Aij=1 nếu đỉnh xi kề với cạnh uj, Aij=0 nếu ngược lại.Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn36BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN LIÊN THUỘCLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn37G1234e1e2e3e4e5e6BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬNMa trận LIÊN THUỘC của đồ thị có hướng:Xét đồ thị G=(X, U) có hướng, giả sử tập X gồm N đỉnh và được sắp thứ tự X={x1, x2, , xN}, tập U gồm M cạnh và được sắp thứ tự U={u1, u2, , uM}.Ma trận liên thuộc (hay liên kết đỉnh cạnh) của G, ký hiệu A(G), là ma trận nhị phân cấp NxM A=(Aij) với Aij được định nghĩa:Aij=1 nếu cạnh uj đi ra khỏi đỉnh xi, Aij=-1 nếu cạnh uj đi vào đỉnh xi,Aij=0 trong các trường hợp khác.Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn38BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN LIÊN THUỘCLý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn39G1234u1u2u3u4u5u6BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG NNLT C++#define MAX 100class Graph{ protected: int nVertex; //số đỉnh của đồ thị, các đỉnh được //đánh số từ 0 int labels[MAX]; //nhãn của các đỉnh int degrees[MAX]; //bậc các đỉnh unsigned char B[MAX][MAX]; //ma trận kề void Visit(int i, int label); public: void GetData(const char *filename); int FindConnected(); }Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn40Source code: nhập dữ liệu từ textfilevoid Graph::GetData(const char *filename){ //nhập dữ liệu từ tập tin văn bản ifstream fin; fin.open(filename); fin >> nVertex; for (int i = 0; i > B[i][j]; fin.close();}Lý thuyết đồ thị - Nguyễn Thanh Sơn41Source code: xác định bậc của đỉnhvoid Graph::CountDegree(){ //xác định bậc của các đỉnh, đồ thị vô hướng for(int i=0;i3. Chứng minh G có chứa 2 đỉnh cùng bậc.Đồ thị G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ. Chứng minh tồn tại một dây chuyền nối hai đỉnh đó với nhau.Xét đồ thị G đơn, vô hướng gồm N đỉnh, M cạnh và P thành phần liên thông.Chứng minh: M  (N-P)(N-P+1)/2, suy ra nếu M > (N-1)(N-2)/2 thì G liên thông.Một đồ thị đơn có 10 đỉnh, 37 cạnh thì có chắc liên thông hay không?GV: Döông Anh Ñöùc45BÀI TẬPĐồ thị G đơn, vô hướng gồm N đỉnh và d(x)(N-1)/2 với mọi đỉnh x. Chứng minh G liên thông.Đồ thị vô hướng G liên thông gồm N đỉnh. Chứng minh số cạnh của G  N-1.Xét đồ thị G vô hướng đơn. Gọi x là đỉnh có bậc nhỏ nhất của G. Giả sử d(x)k2 với k nguyên dương. Chứng minh G chứa một chu trình sơ cấp có chiều dài lớn hơn hay bằng k+1.GV: Döông Anh Ñöùc46BÀI TẬPCho G là đồ thị vô hướng liên thông. Giả sử C1 và C2 là 2 dây chuyền sơ cấp trong G có số cạnh nhiều nhất. Chứng minh C1 và C2 có đỉnh chung.G là đồ thị vô hướng không khuyên và d(x) 3 với mọi đỉnh x. Chứng minh G có chứa chu trình với số cạnh chẵn.GV: Döông Anh Ñöùc47