Bài giảng môn học Giải tích 1

Đại học Quốc gia TP.HCM Trường Đại học Bách Khoa Bộ môn Toán Ứng dụng . Bài Giảng Giải Tích 1 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn Ngày 8 tháng 9 năm 2014 Mục tiêu môn học • Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản về vi tích phân hàm một biến và phương trình vi phân. • Giúp học viên hiễu lý thuyết, nắm vững các kỹ năng tính toán, biết vận dụng giải các bài toán cụ thể. • Biết vận dụng các phương pháp và tư duy sáng tạo vào khoa học kỹ thuật. Tài liệu tham khảo 1) Nguyễn Đình Huy, Nguyễn Quốc Lân,. . . Phép tính vi phân hàmmột biến. NXBGD, 2005 2) Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng. Bài tập toán cao cấp 1. 3) Đỗ Công Khanh. Giải tích một biến. NXB Đại học quốc gia MỤC LỤC 1 Giới hạn và liên tục 5 1.1 Giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4 Hàm y = lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Hàm Hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.7 Hàm Hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.8 Hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.9 Hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Các giới hạn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Vô cùng bé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.4 Vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Đạo hàm và vi phân 33 2.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.2 Đạo hàm hàm ngược và hàm tham số hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.3 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4 Công thức H’Lopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Công thức taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.6 Khảo sát và vẽ đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.1 Tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6.2 Chiều biến thiên và cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.3 Lồi, lõm và điểm uốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6.4 Khảo sát hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.5 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3 Tích phân 65 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3 MỤC LỤC MỤC LỤC 3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.1.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1.3 Nguyên hàm hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.1.4 Nguyên hàm hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.1.5 Nguyên hàm hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3 Ứng dụng hình học của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.1 Diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.3.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.3 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.4 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4 Phương trình vi phân 83 4.1 Phương trình vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.1 Phương trình vi phân tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.2 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.5 Phương trình vi phân Bernulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1.6 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.2 Phương trình vi phân cấp 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.1 PTVP cấp 2 thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.2 PTVP cấp 2 - dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.2.3 PTVP cấp 2 - Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.4 PTVP cấp 2 - dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.3 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.1 Ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.3.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.4 Bài tập ôn tập cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5 Đề thi cuối kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 4 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1 (Sup-Inf của tập hợp) Cho tập A ⊂ R. • Cận trên nhỏ nhất của tập A gọi là Supremum, ký hiệu sup(A). • Cận dưới lớn nhất của A gọi là infimum, ký hiệu inf(A). Ví dụ 1.1 a) A = [0, 1) thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. Chú ý tập max(A) = 0 nhưng min(A) không tồn tại. Khái niệm sup và inf là mở rộng của max và min. b) A = { 1 n |n ∈ N} thì sup(A) = 1 và inf(A) = 0. c) A = (−∞, 3) thì sup(A) = 3 nhưng không có inf Định nghĩa 1.2 (Dãy số) Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. u : N −→ R n 7→ u(n) := un. Ký hiệu 1 dãy số (un) +∞ n=1 hay đơn giản (un). un gọi là số hạng thứ n của dãy. Ví dụ 1.2 a) Cho dãy số dạng liệt kê (un) = {1;−2; 1; 4; 0;−5, 8;−3; √ 3,−1 3 , ...}. Số hạng thứ 5 là u5 = 0. b) Cho dãy số dạng số hạng tổng quát (un) : un = (−1)n + n n2 + 1 . Số hạng thứ 7 là u7 = (−1)7 + 7 72 + 1 = 3 25 . c) Cho dãy số dạng truy hồi (un) : { u1 = 1 un+1 = 2un + 3, n ≥ 1. Ta có u2 = 2u1 + 3 = 5, u3 = 2u2 + 3 = 13, ... Định nghĩa 1.3 (Dãy số đơn điệu) . Dãy số (xn) gọi là tăng nếu xn ≤ xn+1,∀n ∈ N Dãy số (xn) gọi là giảm nếu xn ≥ xn+1, ∀n ∈ N Bỏ dấu "=" trong đẳng thức, ta có dãy số tăng ngặt (giảm ngặt). Dãy số tăng hoặc giảm gọi chung là đơn điệu. Ví dụ 1.3 Xét tính đơn điệu của dãy số (xn) : xn = n+ 1 n+ 2 . Ta có xn+1 − xn = (n+ 1) + 1 (n+ 1) + 2 − n+ 1 n+ 2 = (n+ 2)2 − (n+ 1)(n+ 3) (n+ 3)(n+ 2) = 1 (n+ 3)(n+ 2) > 0, ∀n. =⇒ xn+1 > xn suy ra (xn) là dãy tăng. 5 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Cách khác Xét f(x) = x+ 1 x+ 2 , x ≥ 1 =⇒ f ′(x) = 1 (x+ 2)2 > 0. Vậy f(x) đồng biến nên (un) là dãy tăng. Định nghĩa 1.4 (Dãy số bị chặn) . Dãy (xn) gọi là bị chặn trên nếu ∃M : xn ≤M, ∀n. Dãy (xn) gọi là bị chặn dưới nếu ∃m : xn ≥ m,∀n. Dãy (xn) bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Dãy (xn) bị chặn khi và chỉ khi (|xn|) bị chặn trên. Ví dụ 1.4 Xét tính bị chặn của dãy số (xn) : xn = n n+ 1 . Ta có 0 < n n+ 1 < 1,∀n ∈ N . Suy ra (xn) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới do đó bị chặn. Định nghĩa 1.5 (Dãy con) . Cho dãy (xn). Dãy con của (xn) là một dãy (xnk)k mà các phần tử của nó được lấy tùy ý từ (xn) theo thứ tự tăng dần của chỉ số. Ví dụ 1.5 Cho dãy (xn) : xn = n n2 − 2 = { −1, 1, 3 7 , 2 7 , 5 23 , 3 17 , . . . } . Dãy vn = { −1, 3 7 , 5 23 , 3 17 , . . . } là một dãy con của xn. Dãy x2n = 2n (2n)2 − 2 = { 1, 2 7 , 3 17 . . . } là dãy con các chỉ số chẵn của xn. Dãy x2n+1 = 2n+ 1 (2n+ 1)2 − 2 = { −1, 3 7 , 5 23 , . . . } là dãy con các chỉ số lẻ của xn. Định nghĩa 1.6 (Giới hạn dãy số) Ký hiệu lim n→+∞ un = a hay un n→+∞−−−−→ a được định nghĩa ∀ε > 0,∃n0 : n ≥ n0 =⇒ |un − a| < ε Ta nói dãy (un) hội tụ về a. Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ. Định nghĩa 1.7 ( dãy số dần ra vô cùng) Ký hiệu lim n→+∞ un = +∞ hay un n→+∞−−−−→ +∞ được định nghĩa ∀A > 0,∃n0 : n ≥ n0 =⇒ un > A. Ta nói dãy (un) hội tụ về a. Nếu (un) không hội tụ thì ta nói (un) phần kỳ. Tượng tự cho giới hạn dần ra −∞. Tính chất Cho xn −→ a, yn −→ b; a, b ∈ R ta có i) lim n→+∞ (xn ± yn) = a± b. ii) lim n→+∞ (xn.yn) = ab. iii) lim n→+∞ xn yn = a b , b 6= 0. iv) lim n→+∞ |xn| = |a|. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 6 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ Định lý 1. Giới hạn dãy nếu tồn tại là duy nhất. 2. Dãy hội tụ thì bị chặn. 3. Cho xn ≤ yn ≤ zn,∀n ≥ n0.{ xn −→ a zn −→ a =⇒ yn −→ a. 4. Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. 5. xn → a⇐⇒ { x2n → a x2n+1 → a. Số e. Người ta chứng minh được dãy số xn = ( 1 + 1 n )n là dãy tăng và bị chặn trên do đó hội tụ. Ký hiệu lim n→∞ ( 1 + 1 n )n = e Số e là số vô tỷ có giá trị gần đúng là e = 2.718281828... Các giới hạn cơ bản i) lim n→∞ 1 nα = 0, α > 0. ii) lim n→∞ 1 lnα n = 0, α > 0. iii) lim n→∞ qn = 0, |q| < 0. iv) lim n→∞ n √ nα = 1, ∀α. v) lim n→∞ ( 1 + a n )n = ea, ∀a. Các dạng vô định 0 0 , ∞ ∞ , 0.∞,∞−∞, 1 ∞,+∞0, 00+ Khi tính giới hạn dạng vô định, ta dùng công thức hoặc biến đổi đại số để khử dạng vô định. Nếu giới hạn không phải dạng vô định, ta tính bình thường. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 7 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Quy tắc 1 0 =∞, 1∞ = 0. lnα n nβ(β > 0) an(a > 1) n! nn Dấu chỉ mang tính hình thức theo nghĩa: hàm nhỏ chia hàm lớn dần về 0 và hàm lớn chia hàm nhỏ dần về vô cùng. Ví dụ 1.6 a) lim n→∞ ln5 n√ n = 0. b) lim n→∞ 3n n! = 0. c) lim n→∞ 2n n100 = +∞. d) lim n→∞ log52 n 3n = 0. Ví dụ 1.7 Tính các giới hạn sau a) I = lim n→∞ 2n3 − 3n 4n+ 3n2 . Dạng ∞ ∞ . Đại lượng n 3 lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho n3. I = lim n→∞ 2− 3 n2 4 n2 + 3 n = +∞ (vì tử dần về 2, mẫu dần về 0). b) I = lim n→∞ 2n3 − 4n+1 3n − 22n−1 + 5n7 . Dạng ∞ ∞ . Đại lượng 4 n = 22n lớn nhất nên chia cả tử và mẫu cho 4n. I = lim n→∞ 2 n3 4n − 4 ( 3 4 )n − 1 2 + 5 n7 4n = 0− 4 0− 1 2 + 0 = 8. c) I = lim n→∞ √ n2 + 4n− n+ 1. Dạng∞−∞. Nhân lượng liên hợp. I = lim n→∞ ( √ n2 + 4n− n)(√n2 + 4n+ n)√ n2 + 4n+ n + 1 lim n→∞ 6n2 +4n− 6n2√ n2 + 4n+ n + 1. Dạng ∞ ∞ . Chia cả tử và mẫu cho n. I = lim n→∞ 4√ 1 + 4 n + 1 + 1 = 4√ 1 + 0 + 1 + 1 = 3. d) I = lim n→∞ n √ 3n4 − 4n3 = lim n→∞ n √ n4(3− 4 1 n ) = lim n→∞ n √ n 4 (3− 4 1 n ) 1 n = 1.30 = 1. Tương tự, ta có thể chứng minh n √ Pm → 1 với mọi đa thức Pm. e) I = lim n→∞ n √ 2n+1 − 4n 3n + 5n3 = lim n→∞ 2 3 n √√√√√√ 2− 4n 2n 1 + 5n3 3n = 2 3 . Vì lim n→∞ n √√√√√√ 2− 4n 2n 1 + 5n3 3n = lim n→∞  2− 4n2n 1 + 5n3 3n  1 n = 20 = 1. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 8 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ f) I = lim n→∞ ln2(2n) ln2 n = lim n→∞ (ln 2 + lnn)2 ln2 n = lim n→∞ ( ln 2 lnn + 1 )2 = (0 + 1)2 = 1. g) I = lim n→∞ √ n sinn! n+ 1 . Ta có 0 ≤ ∣∣∣∣√n sinn!n+ 1 ∣∣∣∣ ≤ √nn+ 1 . Vì lim n→+∞ 0 = lim n→∞ √ n n+ 1 = 0 nên lim n→∞ ∣∣∣∣√n sinn!n+ 1 ∣∣∣∣ = 0 =⇒ limn→∞ √ n sinn! n+ 1 = 0. h) I = lim n→∞ ( n− 1 n+ 1 )n+1 = lim n→∞ ( 1 + −2 n+ 1 )n+1 = e−2 = 1 e2 . i) I = lim n→∞ ( n2 + 2 n2 + 5 )3n2+1 = lim n→∞ ( 1 + −3 n2 + 5 )(n2+5) 3n2+1 n2+5 = lim n→∞ [( 1 + −3 n2 + 5 )(n2+5)] 3n2+1n2+5 = (e−3)3 = e−9 = 1 e9 . j) I = lim n→∞ ( 2n+ 3 3n+ 2 )n3+1 n+2 . Vì lim n→∞ 2n+ 3 3n+ 2 = 2 3 , lim n→∞ n3 + 1 n+ 2 = +∞ nên I = 0. Chú ý bài này không phải dạng vô định. Có dạng (2/3)+∞ = 0. k) I = lim n→∞ ( 2n2 + 3n 4n2 − 2n ) √n n2+2 . Vì lim n→∞ 2n2 + 3n 4n2 − 2n = 1 4 , lim n→∞ √ n n2 + 2 = 0 nên I = (1/4)0 = 1. Chú ý bài này cũng không phải dạng vô định. l) I = lim n→∞ ( 2n3 + 3n 4n2 − 2n ) n n2+2 . Bài này dạng vô định +∞0. Ta làm như sau:( 2n3 + 3n 4n2 − 2n ) n n2+2 = ( 2n3 + 3n 4n2 − 2n ) 1 n . n 2 n2+2 = ( n √ 2n3 + 3n n √ 4n2 − 2n ) n2 n2+2 n→∞−−−→ (1/1)1 = 1. Ví dụ 1.8 Tính các giới hạn sau a) I = lim n→∞ (−1)n. Đặt xn = (−1)n Ta có x2n = (−1)2n = 1 −→ 1, x2n+1 = (−1)2n+1 = −1 −→ −1. Vậy không tồn tại giới hạn. b) I = lim n→∞ ( 1− n 1 + n )n . Đặt xn = ( 1− n 1 + n )n = (−1)n ( n− 1 1 + n )n = (−1)n ( 1 + −2 1 + n )n . x2n = (−1)2n ( 1 + −2 1 + 2n )2n −→ 1.e−2 = 1 e2 . Đại học Bách khoa TPHCM Trang 9 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.1. GIỚI HẠN DÃY SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC x2n = (−1)2n+1 ( 1 + −2 2 + 2n )2n+1 −→ −1.e−2 = − 1 e2 . Vậy không tồn tại giới hạn. c) lim n→∞ xn, với xn = { x1 = √ 2 xn+1 = √ 2 + xn, n ≥ 1. Viết cách khác: xn = √ 2 + √ 2 + √ 2 + . . . (n dấu căn). Dùng quy nạp chứng minh được dãy xn tăng và bị chặn trên bởi 2 do đó hội tụ. Giả sử xn → a. Từ giả thiết ta có lim n→∞ xn+1 = lim n→∞ √ 2 + xn ⇐⇒ a = √ 2 + a⇐⇒ a = 2. Vậy lim n→∞ xn = 2. d) lim n→∞ xn, với xn = 1 1.2 + 1 2.3 + · · ·+ 1 n(n+ 1) . Ta có xn = ( 1− 1 2 ) + ( 1 2 − 1 3 ) + ( 1 3 − 1 4 ) + · · ·+ ( 1 n − 1 n+ 1 ) = 1− 1 n+ 1 −→ 1. 1.1.1 Bài tập Tính giới hạn 1. lim 4n − 5−n 3n − 22n − 5n6 2. lim ln(3n2 − 2n) n9 + 3n2 3. lim log210n log2n 4. lim( 1 + n n+ 2 ) 1 + n 2− n2 5. lim n √ n2 + 4n n+ 5n 6. lim( 2n− 3 2n+ 5 ) n2 + 1 n+ 1 7. lim n √ n+ (−1)n 8. lim n sinn! (1 + n) √ n− 2 9. lim n √ 5n+ 1 n10 + 2n 10. lim( 2n+ 1 n2 − 1 ) 1 n− 2 11. lim( n− 2 n+ 2 ) 1 + n 2−√n 12. lim( 2n− 1 5n+ 2 )n 13. lim n2 + 2n arctann! 3n3 + arcsinn 14. lim( n− 1 n2 + 1 )1−n 15. lim 1 n √ n! 16. lim n n √ n! Tìm limun biết: 17. un = 1 1.3 + 1 3.5 + · · ·+ 1 (2n− 1).(2n+ 1) 18. un = (1 + (−1)n n )n 19. u1 = √ 3, un+1 = √ 3 + un 20. un = sinn 21. un = 1√ n ( 1√ 1 + √ 3 + 1√ 3 + √ 5 · · ·+ 1√ 2n− 1 +√2n+ 1 ) ĐS: 1 2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 10 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ 22. un = 1 1.2.3 + 1 2.3.4 + · · ·+ 1 n(n+ 1)(n+ 2) ĐS: 1 4 23. u1 = √ 13, un+1 = √ 12 + un, n ≥ 1 ĐS:4 24. u1 = 3 √ 5, un+1 = 3 √ 5un, n ≥ 1 ĐS: √ 5. 25. u1 = 1 2 , un+1 = 4 3 un − u2n ĐS: 1 3 . 26. u1 = 1, un+1 = 1 + 1 un , ĐS: 1 + √ 5 2 . 1.2 Hàm số 1.2.1 Hàm lũy thừa y = xα n = 2 : y = x2 * TXD : D = R. * TGT : T = [0,∞). * Hàm số tăng trên khoảng (0,∞) và giảm trên khoảng (−∞, 0). * Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. 0 y = x2 y x n = −1 : y = 1 x * TXD : D = R \ {0}. * TGT : T = (−∞, 0) ∪ (0,∞). * Hàm số giảm trên khoảng (−∞, 0) và (0,+∞) * Hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). 0 y = 1 x y x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 11 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC n = −1 : y = √x * TXD : D = [0,∞). * TGT : T = [0,∞). * Hàm số tăng trên khoảng (−∞, 0) và (0,+∞) * Không có tính chẵn lẻ. 0 y = √ x y = −√x y x 1.2.2 Hàm lượng giác Hàm số y = sinx * TXD : D = R. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2pi : sin(x) = sin(x+ 2pi) * TGT : T = [−1, 1]. * Hàm số tăng trên khoảng (−pi 2 , pi 2 ). * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Công thức i) sin2 x+ cos2x = 1 ii) sin 2x = sinx cosx iii) sin 3x = 3 sin x− 4 sin3 x iv) sin2 x = 1− cos 2x 2 v) sin pi 2 = 0; sin(kpi) = 0, k ∈ Z. 0−6.28 −4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 −2 −1 1 2 y = sinx y x Đại học Bách khoa TPHCM Trang 12 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Hàm số y = cosx * TXD : D = R. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2pi : cos(x) = cos(x+ 2pi) * TGT : T = [−1, 1]. * Hàm số chẵn, đồ thị đối xứng qua Oy. Công thức i) cos 2x = cos2 x− sin2 x ii) cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 1− sin2 x iii) cos2 x = 1 + cos 2x 2 iv) cos 0 = 1; cospi = −1, cos(±pi 2 ) = 0. 0−6.28 −4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 6.28 7.85 −2 −1 1 2 y = cosx y x Hàm số y = tanx * TXD : D = R \ {pi 2 + kpi, k ∈ Z}. * Hàm số tuần hoàn với chu kỳ pi : tan(x) = tan(x+ pi) * TGT : T = R. * Hàm số tăng trên khoảng (−pi 2 , pi 2 ). * Hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua O(0, 0). Công thức i) tanx = sinx cosx ii) tan(pi − x) = tan(−x) = − tanx iii) tan(pi + x) = tan(x) iv) tan 0 = 0, tan(pi 2 ) không xác định. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 13 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 0−4.71 −3.14 −1.57 1.57 3.14 4.71 y = tanx y x 1.2.3 Hàm mũ - Hàm logarit Hàm số y = ax, (a > 1) * TXD : D = R. * TGT : T = (0,∞). * Hàm số tăng trên (−∞,∞) Công thức i) ax.ay = ax+y ii) (ax)y = axy iii) ax.bx = (ab)x iv) a−x = 1 ax 0 y = ax(a > 1) y x (0; 1) Đại học Bách khoa TPHCM Trang 14 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ Hàm số y = ax, (0 < a < 1) * TXD : D = R. * TGT : T = (0,∞). * Hàm số giảm trên (−∞,∞) Công thức i) ax ay = ax−y ii) ax bx = (a b )x iii) ax.y = (ax)y. 0 y = ax(0 < a < 1) y x (0; 1) 1.2.4 Hàm y = lnx y = lnx ⇐⇒ x = ey 0 < x <∞ −∞ < y <∞. 0 y x y = lnx Công thức • ln(x+y) = ln(x)+ln(y). • ln x y = lnx− ln y • ln 1 x = − lnx • lnxα = α lnx. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 15 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2.5 Hàm Hyperbolic Hàm số y = sinhx, coshx * Định nghĩa sinhx = ex − e−x 2 ∈ R coshx = ex + e−x 2 ≥ 1 * TXD : D = R. * y = sinhx là hàm lẻ và tăng trên R. * y = coshx là hàm chẵn. Công thức i) Các công thức của hàm Hyperbolic được suy từ công thức lượng giác bình thường bằng cách thay sin→ i sinh cos→ cosh, tan→ i tanh, cot→ −i cot ii) cosh2 x− sinh2 x = 1 iii) cosh2 x+ sinh2 x = cosh 2x 0 y = sinhx y x 0 y = coshx y x (0; 1) 1.2.6 Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arcsinx y = arcsinx ⇐⇒ x = sin y −1 ≤ x ≤ 1 −pi 2 ≤ y ≤ pi 2 Đại học Bách khoa TPHCM Trang 16 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.2. HÀM SỐ 0−1.57 1.57 −1.57 1.57 y = sinx y = arcsinx y x y = arccosx y = arccosx ⇐⇒ x = cos y −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ pi 0 1.57 3.14 1.57 3.14 y = arccosx y = arccosx y x Hàm y = arctanx y = arctanx ⇐⇒ x = tan y −∞ ≤ x ≤ ∞ −pi 2 ≤ y ≤ pi 2 1.2.7 Hàm Hợp Định nghĩa 1.8 (Hàm Hợp) Cho 2 hàm số z = g(y) và y = f(x). Hàm số z = g(f(x)) gọi là hàm hợp của f và g. Đại học Bách khoa TPHCM Trang 17 ThS.Nguyễn Hữu Hiệp 1.2. HÀM SỐ CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC Ví dụ Cho z = √ y, y = cosx. Hàm z = √ cosx là hàm hợp của 2 hàm đã cho. Ví dụ Cho z = sinu, u = √ y,