Bài giảng môn học: Sức bền vật liệu

Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆUSức bền vật liệu là một môn học nghiên cứu các phương pháp tính toán về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ. Ở môn học Cơ học lý thuyết, ta mới xét sự cân bằng của vật thể (xem là rắn tuyệt đối) dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Nhưng thực tế,các vật thể mà ta khảo sát, nghiên cứu đều là vật rắn thực, điều đó bắt buộc ta phải xét đến sự biến dạng của vật thể trong quá trình chịu tác dụng của hệ lực (bên ngoài). Trong phạm vi môn học này, sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực. và các giả thiết nhằm đơn giản cho việc nghiên cứu và tính toán.

pdf95 trang | Chia sẻ: thuychi11 | Lượt xem: 652 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Bài giảng môn học: Sức bền vật liệu, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
TRƯỜNG TRUNG CẤP CẦU ĐƯỜNG VÀ DẠY NGHỀ KHOA CẦU ĐƯỜNG ---------- BÀI GIẢNG MÔN HỌC : SỨC BỀN VẬT LIỆU Giáo viên : Nguyễn Phú Bình Bộ môn : Cơ sở Hệ đào tạo : Trung cấp Cầu đường Thời gian : 24 tháng Số tiết : 40 tiết Chương 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ SỨC BỀN VẬT LIỆU Sức bền vật liệu là một môn học nghiên cứu các phương pháp tính toán về độ bền, độ cứng và độ ổn định của các bộ phận công trình hay chi tiết máy dưới tác dụng của ngoại lực, sự thay đổi nhiệt độ... Ở môn học Cơ học lý thuyết, ta mới xét sự cân bằng của vật thể (xem là rắn tuyệt đối) dưới tác dụng của hệ lực phẳng. Nhưng thực tế,các vật thể mà ta khảo sát, nghiên cứu đều là vật rắn thực, điều đó bắt buộc ta phải xét đến sự biến dạng của vật thể trong quá trình chịu tác dụng của hệ lực (bên ngoài). Trong phạm vi môn học này, sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực... và các giả thiết nhằm đơn giản cho việc nghiên cứu và tính toán. 1.1. Những khái niệm cơ bản về ngoại lực, nội lực, ứng suất, biến dạng 1.1.1. Các giả thiết đối với vật liệu Môn học Sức bền vật liệu, đối tượng mà ta nghiên cứu khảo sát vật rắn thực: đó là một thanh, một cấu kiện hay một bộ phận công trình nào đó. Thường hình dạng của vật rắn thực được nghiên cứu có dạng thanh thẳng, thanh cong hoặc thanh bất kỳ (hình 1.1). Vật liệu cấu tạo nên thanh có thể là thép, gang... Tuy vậy, khi nghiên cứu nếu xét đến mọi tính chất thực của vật thể sẽ phức tạp, do đó để đơn giản chúng ta chỉ những tính chất cơ bản và lược bỏ đi những tính chất thứ yếu không có ảnh hưởng lớn đến kết quả nghiên cứu và tính toán. Muốn vậy, chúng ta phải đề ra các giả thiết cơ bản, nêu lên một số tính chất chung cho vật liệu. Các giả thuyết về vật liệu là: a) Giả thiết 1: Vật liệu có tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng. Một vật liệu được xem là liên tục và đồng chất khi trong thể tích của vật thể đều có vật liệu (hoàn toàn không có khe hở) và tính chất của vật liệu ở mọi điểm trong vật thể đều như nhau. Tính đẳng hướng của vật liệu nghĩa là tính chất của vật liệu theo mọi phương đều như nhau. Giả thiết này phù hợp với thép, đồng còn với gạch, đá, gỗ thì không hoàn toàn phù hợp. b) Giả thiết 2: Giả thuyết vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi và tính đàn hồi của vật liệu xem là đàn hồi tuyệt đối. Trong thực tế, dù lực bé đến đâu, vật liệu cũng không có tính đàn hồi tuyệt đối. Song qua thực nghiệm cho thấy: khi lực chưa vượt quá một giới hạn nhất định thì biến dạng dư trong vật thể là bé nên có thể bỏ qua được và biến dạng của vật thể được xem là tỷ lệ thuận với lực gây ra biến dạng đó. Giả thuyết này chính là nội dung định luật Húc. Thực tế giả thuyết này chỉ phù hợp với vật liệu là thép, đồng c) Giả thiết 3: Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra được xem là bé. Giả thiết này thừa nhận được vì trong thực tế biến dạng của vật thể so với kích thước của chúng nói chung là rất nhỏ. Từ giả thiết 3 này, trong quá trình chịu lực, trong nhiều trường hợp, ta có thể xem điểm đặt của ngoại lực là không thay đổi khi vật thể bị biến dạng. 1.1.2. Các khái niệm về ngoại lực, nội lực, phương pháp mặt cắt H×nh 1.1 a) Ngoại lực: Ngoại lực là lực tác động từ những vật thể khác hoặc môi trường xung quanh lên vật thể đang xét. Ngoại lực bao gồm: Lực tác động (còn gọi là tải trọng) và phản lực liên kết (xem hình 1.2). Có thể phân loại ngoại lực theo nhiều cách, ở đây ta phân loại ngoại lực theo hai cách: - Theo cách tác dụng của các ngoại lực: có thể chia ngoại lực thành hai loại: tập trung và lực phân bố. + Lực tập trung: là lực tác dụng lên vật thể trên một diện tích truyền lực rất bé so với kích thước của vật thể, nên ta coi như một điểm trên vật. Ví dụ: Áp lực của bánh xe lửa trên đường ray là một lực tập trung. Lực tập trung có thể là lực đơn vị Niutơn (N), hoặc ngẫu lực (hay mômen tập trung), đơn vị của mômen tập trung là Niutơn mét (Nm). Cách biểu diễn lực tập trung và mômen tập trung (xem hình 1.3). + Lực phân bố: là lực tác dụng liên tục trên một đoạn dài hay trên một diện tích truyền lực nhất định trên vật thể. Ví dụ: Áp lực gió lên tường biên của nhà là phân bố theo diện tích. Lực phân bố theo chiều dài có đơn vị N/m. Lực phân bố theo diện tích có đơn vị N/m2. Lực phân bố có trị số bằng nhau tại mọi điểm (được gọi là lực phân bố đều – hình 1.4a) hoặc không bằng nhau (được gọi là lực phân bố không đều) (hình 1. 4b). - Theo tính chất tác dụng (về thời gian) của tải trọng có thể chia ngoại lực thành hai loại: tải trọng tĩnh và tải trọng động. + Tải trọng tĩnh là tải trọng khi tác dụng lên vật thể có trị số tăng dần từ không đến một giá trị nhất định và sau đó không thay đổi (hoặc thay đổi rất ít). Ví dụ: Trọng lượng của mái nhà, áp lực của nước lên thành bể. +Tải trọng động là loại tải trọng, hoặc có giá trị thay đổi trong thời gian rất ngắn từ giá trị không đến giá trị cuối cùng hoặc làm cho vật thể bị dao động. Ví dụ: Lực của búa máy đóng vào đầu cọc, động đất b) Nội lực: Trong một vật thể giữa các phân tử có các lực liên kết để giữ cho vật thể có hình dạng nhất định. Khi ngoại lực tác dụng, các lực liên kết đó sẽ tăng lên để chống lại sự biến dạng do ngoại lực gây ra. Độ tăng đó của lực liên kết được gọi là nội lực. Như vậy, nội lực chỉ xuất hiện khi có ngoại lực đó. Nhưng do tính chất cơ học của vật liệu, nội lực chỉ tăng đến một trị số nhất định nếu ngoại lực tăng quá lớn, nội lực không tăng được nữa, lúc này vật liệu bị biến dạng quá mức và bị phá hỏng. Vì vậy, việc xác định nội lực phát sinh trong vật thể khi chịu tác dụng của ngoại lực là một vấn đề cơ bản của SBVL. c) Phương pháp mặt cắt: Giả sử có một vật thể cân bằng dưới tác dụng ngoại lực, tưởng tượng dùng một mặt phẳng cắt vật thể đó ra hai phần A và B (hình 1.5a). Giả sử bỏ đi phần B, giữ lại phần A để xét. Rõ ràng để phần A được cân bằng, thì trên mặt cắt phải có hệ lực phân bố. Hệ lực này chính là những nội lực cần tìm (hình 1.5b). T¶i träng Ph¶n lùc P m q m P H×nh 1.2 M«men tËp trung Lùc tËp trung q=const q=f(z) a) b) H×nh 1.3 H×nh 1.4 Hệ nội lực đó chính là của phần B tác dụng lên phần A. Từ đây ta có thể suy rộng ý nghĩa của nội lực là: “Nội lực là lực tác động của bộ phận này lên bộ phận kia của vật thể”. A B a) 1P 2P 3P 6P 5P 4P P3 P2 P1 b) A P6 P5 P4 B c) H×nh 1.5 Dựa vào khái niệm đó và căn cứ vào nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, trên mặt cắt phần B cũng có nội lực: đó chính là lực tác dụng của phần A lên phần B. Nội lực trên mặt cắt phần A và phần B có trị số bằng nhau, cùng phương nhưng ngược chiều, vì vậy khi tính nội lực, tùy ý có thể xét một trong hai phần vật thể. Mặt khác, vì phần A (hoặc phần B) cân bằng nên nội lực và ngoại lực tác dụng lên phần đó tạo thành một hệ lực cân bằng. Căn cứ vào điều kiện cân bằng tĩnh học của phần đang xét ta có thể tính được nội lực đó. Trong trường hợp vật thể đàn hồi là một thanh, mặt cắt được xét là mặt cắt ngang thì khi ta thu gọn hợp lực của hệ nội lực về trọng tâm O của mặt cắt, sẽ cho ta một lực R và một mômen Mo. Nói chung R và Mo có phương, chiều bất kỳ trong không gian. Ta phân tích R thành ba thành phần (hình 1.6), thành phần trên trục z gọi là lực dọc và ký hiệu là Nz, các thành phần trên trục x và y gọi là lực cắt và ký hiệu là Qx, Qy; mômen MO cũng được phân tích thành ba thành phần quay chung quanh ba trục là Mx, My, Mz. Các mômen: Mx, My được gọi là mômen uốn và Mz được gọi là mômen xoắn. Sáu thành phần đó được gọi là sáu thành phần của nội lực. Dùng các phương trình cân bằng tĩnh học ta có thể xác định được các thành phần nội lực đó theo các ngoại lực. Với các phương trình hình chiếu lên các trục toạ độ: z = 0; y =0; x = 0  ta tìm được Nz , Qy, Qx. Với các phương trình mômen đối với các trục toạ độ: Mz = 0; Mx = 0; My = 0  ta tìm được Mz, Mx, My. Ta thường gặp tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng yOz. Khi đó các thành phần nội lực: Qx = 0, Mz = 0, My = 0. Như vậy trên các mặt cắt lúc này chỉ còn 3 thành phần nội lực Nz ,Qy và Mx. Như vậy phương pháp mặt cắt cho phép ta xác định được các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ của thanh khi thanh chịu tác dụng của ngoại lực. Cần chú ý rằng nếu ta xét sự cân bằng của một phần nào đó thì nội lực trên mặt cắt có thể coi như ngoại lực tác dụng lên phần đó. 1.1.3 Ứng suất Căn cứ vào giả thuyết cơ bản 1 về sự liên tục của vật liệu, ta có thể giả định nội lực phân bố liên tục trên toàn mặt cắt, để biết sự phân bố nội lực ta hãy đi tìm trị số của nội lực tại một điểm nào đó trong vật thể. P3 P2 P1 A P6 5P 4P B A 1P 2P 3P z y x Qy Qx Nz Mx My Mz a) b) H×nh 1.6 Giả sử tại điểm K chẳng hạn, xung quanh điểm K lấy một diện tích khá nhỏ F. Hợp lực của nội lực trên diện tích F là P. Ta có tỷ số: tbPΔF ΔP  Ptb được gọi là ứng suất trung bình tại K. Khi cho F  0 thì PPtb  và P được gọi là ứng suất tại K, còn gọi là ứng suất toàn phần. Như vậy: ứng suất toàn phần tại P tại điểm bất kỳ trên mặt cắt là tỷ số giữa trị số nội lực tác dụng trên phân tố diện tích bao quanh điểm K đó với chính diện tích đó. Đơn vị của ứng suất P là: N/m2; kN/m2; MN/m2. Từ định nghĩa trên ta có thể xem ứng suất toàn phần P là trị số nội lực trên một đơn vị diện tích. Biểu diễn ứng suất toàn phần P bằng một véc tơ đi qua điểm đang xét trên mặt cắt: - Phân ứng suất toàn phần P ra thành hai thành phần: ứng suất thành phần có phương tiếp tuyến với mặt cắt được gọi là ứng suất tiếp, ứng suất thành phần có phương vuông góc với mặt cắt được gọi là ứng suất pháp (hình 1.7). Ứng suất tiếp ký hiệu là  (đọc là tô). Ứng suất pháp ký hiệu là  (đọc là xích ma). Nếu  là góc hợp bởi ứng suất toàn phần P và phương pháp tuyến thì:  = P.cos ;  = P sin; 1.1.4. Các loại biến dạng: Vật thể khảo sát (dưới dạng thanh) là vật rắn thực. Dưới tác dụng của ngoại lực, vật rắn có biến dạng ít hay nhiều. Trong mục này ta xét các biến dạng của vật rắn thực (thanh) khi chịu tác dụng của lực. Khi thanh chịu tác dụng của những lực đặt dọc theo trục thanh thì thanh bị giãn ra hay co lại. Ta gọi thanh chịu kéo hay nén (hình 1.8). Trong quá trình biến dạng trục thanh vẫn thẳng (đường đứt nét biểu diễn hình dạng của thanh sau khi biến dạng). Khi thanh chịu tác dụng của các lực vuông góc với trục thanh, trục thanh bị uốn cong, ta gọi thanh chịu uốn (hình 1.9). Có trường hợp, dưới tác dụng của ngoại lực, một phần này của thanh có xu hướng trượt trên phần khác. Biến dạng trong trường hợp này gọi là biến dạng trượt. Ví dụ: Trường hợp chịu lực của đinh tán (hình 1.10). Khi ngoại lực nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục thanh và tạo thành các ngẫu lực trong mặt phẳng đó thì làm cho thanh bị xoắn (hình 1.11). Sau biến dạng các đường sinh ở bề mặt ngoài trở thành các đường xoắn ốc. Ngoài các trường đơn giản đó, trong thực tế còn gặp nhiều trường hợp chịu lực phức tạp. Biến dạng của thanh có thể vừa kéo đồng thời vừa uốn, vừa xoắn. Xét biến dạng một phân tố trên một thanh biến dạng, tách ra khỏi thanh một phân tố hình H×nh 1.7 P    m H×nh 1.11   a) b) dx dx+dx H×nh 1.12 PP P P P P P P H×nh 1.8 H×nh 1.9 P P a) b) a) b) H×nh 1.10 m hộp rất bé. Biến dạng của phân tố có thể ở một trong các dạng sau: - Nếu trong quá trình biến dạng mà góc vuông của phân tố không thay đổi, chỉ có các cạnh của phân tố bị co giãn, ta nói phân tố có biến dạng kéo hoặc nén (hình 1.12a). - Nếu trong quá trình biến dạng, các cạnh của phân tố không thay đổi nhưng các góc vuông của phân tố bị thay đổi không vuông góc nữa, ta nói phân tố có biến dạng trượt (hình 1.12b). Gọi  là độ thay đổi của góc vuông thì  được gọi là góc trượt. Với một vật thể bị biến dạng dưới tác dụng của ngoại lực, nói chung các điểm trong lòng vật thể không còn ở vị trí cũ nữa, mà chúng dời đến một vị trí mới nào đó. Độ chuyển dời đó gọi là chuyển vị. 1.2. Nguyên lý độc lập tác dụng Nội dung của nguyên lý độc lập tác dụng: “Kết quả tác dụng gây ra do một hệ lực thì bằng tổng kết quả gây ra do từng lực trong hệ đó tác dụng một cách riêng biệt”. Thí dụ: Xét dầm AB trên hình 1.13. Dưới tác dụng của lực P1, P2 điểm C có độ chuyển dời CC’. Sơ đồ chịu lực của dầm AB có thể phân thành hai sơ đồ chịu lực: - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P1 thì độ dịch chuyển của điểm C là CC1. - Với sơ đồ dầm chỉ chịu tác dụng của P2 thì độ dịch chuyển của điểm C là CC2. Theo nguyên lý độc lập tác dụng thì: CC’ = CC1 + CC2. * Chú ý: Nguyên lý độc lập tác dụng của các lực chỉ sử dụng được trong điều kiện vật liệu tuân theo giả thiết 2 và 3. CÂU HỎI CHƯƠNG 1 1. Nêu những giả thiết cơ bản về vật liệu của môn học SBVL? Nguyên lý độc lập tác dụng của lực? 2. Ngoại lực, nội lực là gì? Phân loại chúng như thế nào? 3. Ứng suất là gì? Có mấy loại ứng suất? Đơn vị của ứng suất? 4. Trình bày phương pháp mặt cắt để xác định nội lực? H×nh 1.13 P1 2P A B C a) C a b c Cb) C BA 1P Cc) C BA P2 1 2 Chương 2 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA TIẾT DIỆN 2.1. Khái niệm ban đầu Xét hai trường hợp chịu uốn của một thanh như trên hình vẽ (hình 2.1). Bằng trực giác ta dễ dàng nhận thấy rằng: nếu tác dụng lực như hình vẽ 2.1a thanh sẽ có khả năng chịu lực lớn hơn cách tác dụng lực như trường hợp trên hình vẽ 2.1b. Như vậy ở đây khả năng chịu lực của thanh còn tuỳ thuộc vào phương tác dụng của lực đối với mặt cắt.. Do vậy, ngoài đặc trưng hình học là diện tích mặt cắt F của thanh, còn có những đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang. Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các đặc trưng hình học nói trên. 2.2 Mômen tĩnh của hình phẳng Giả sử có một hình phẳng có diện tích F nằm trong mặt phẳng của hệ trục toạ độ xOy (hình 2.2). Xét một vi phân diện tích dF có toạ độ là x, y. Nếu lấy tích phân biểu thức ydF và xdF trên toàn bộ diện tích F ta được:        F y F x xdFS ydFS (2.1) Sx, Sy gọi là mômen tĩnh của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox, Oy. Nếu dùng đơn vị diện tích là m2, chiều dài là m thì đơn vị của mômen tĩnh là m3. Nếu biết được diện tích của hình và toạ độ trọng tâm của nó đối với hệ trục xOy ta có:        FxxdF FyydF c F F c (2.2) Trong đó: yc, xc là toạ độ trọng tâm C của hình phẳng hay khoảng cách (có mang dấu) từ trọng tâm C của hình đến các trục toạ độ Ox, Oy. F - là diện tích của hình. Do đó ta có thể viết:     FxS FyS Cy Cx (2.3) x P y z z x y P a) b) H×nh 2.1 x y x y dF O H×nh 2.2 F Từ (2.3) có thể rút ra công thức xác định toạ độ trọng tâm C của hình phẳng:      F Sy F S x x c y c (2.4) Khi xC = yC = 0 tức là trục x và trục y đi qua trọng tâm của hình thì Sx = Sy = 0. Cho nên mômen tĩnh của diện tích hình phẳng đối với trục bất kỳ đi qua trọng tâm của nó luôn bằng không. Người ta gọi trục đi qua trọng tâm của hình là trục trung tâm. Giao điểm của hai trục trung tâm thì được gọi là trọng tâm của mặt cắt. Mômen tĩnh của hình phẳng có thể có dấu (+) hoặc (-) tuỳ thuộc vào dấu của toạ độ trong các công thức (2.1), (2.4). Chú ý: Khi tính mômen tĩnh của hình phẳng có dạng phức tạp, ta chia hình đó ra thành nhiều hình đơn giản, sau đó lấy tổng đại số các mô men tĩnh của các hình đơn giản hợp thành. 2.3. Mômen quán tính của hình phẳng 2.3.1. Các định nghĩa về mômen quán tính Giả sử có một hình phẳng có diện tích F, một hệ trục Oxy đi qua trọng tâm của hình (hình 2.2). - Nếu lấy tích phân biểu thức y2dF, x2dF trên toàn bộ diện tích F của hình ta được:        F 2 y F 2 x dFxJ dFyJ (2.5) Jx, Jy gọi là mômen quán tính của hình phẳng có diện tích F đối với trục Ox và Oy. - Nếu lấy tích phân biểu thức x.y.dF trên toàn bộ diện tích của hình, ta có:   F xy dFyxJ (2. 6) Jxy gọi là mômen quán tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục Oxy. Gọi  là khoảng cách từ vi phân diện tích dF đến điểm O (gốc toạ độ) nằm trong mặt phẳng của hình (hình 2.2). Lấy tích phân biểu thức dFρ2 trên toàn bộ diện tích, ta được:   F 2 0 dFρJ (2 7) J0 gọi là mômen quán tính độc cực của hình phẳng đối với điểm O. Theo hình 2.2 ta có: 222 yxρ  (2.8) Thay 2.8 vào 2.7 ta có:     F F F F 22222 0 dFxdFy)dFy(xdFρJ Hay là: yx0 JJJ  (2.9) Vậy: Mômen quán tính độc cực của hình phẳng bằng tổng các mômen quán tính của hình phẳng đối với hai trục vuông góc giao nhau tại điểm đó. Đơn vị của các loại mômen quán tính kể trên là m4. Các loại mômen quán tính đối với một trục (Jx, Jy) hay đối với một điểm (J0) luôn luôn có dấu dương vì trong các biểu thức định nghĩa của chúng ta có các bình phương khoảng cách x, y và . Còn mômen quán tính ly tâm (Jxy) có thể có dấu dương hoặc âm tuỳ thuộc vào dấu các toạ độ x, y và do đó có thể bằng 0. Chú ý: Khi xác định mômen quán tính của các hình có dạng phức tạp, ta cũng chia hình thành các hình đơn giản để tính, sau đó cộng các mômen quán tính của hình đơn giản hợp thành. 2.3.2. Trục quán tính chính trung tâm Nếu mômen quán tính ly tâm của một hình đối với một hệ trục Oxy bằng không thì ta gọi hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính, gọi tắt là hệ trục chính: Jxy = 0 Người ta cũng chứng minh được rằng với hệ trục quán tính chính Oxy, mômen quán tính của hình phẳng đối với một trong hai trục đó là cực đại (Jmax) còn đối với trục kia là cực tiểu (Jmin) so với bất kỳ trục nào khác, đi qua gốc O của hệ trục. Nếu hệ trục chính có gốc trùng với trọng tâm hình phẳng thì được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục mômen tĩnh và mômen quán tính ly tâm luôn bằng không:     0J 0SS xy yx Mômen quán tính của hình phẳng đối với hệ trục chính trung tâm gọi là mômen quán tính chính trung tâm. Các hình phẳng có ít nhất một trục đối xứng thì rất dễ dàng xác định được hệ trục quán tính chính trung tâm. Hệ trục chính trung tâm đó gồm trục đối xứng và trục trung tâm vuông góc với trục đối xứng. Ta chứng minh điều này: Giả sử có hình chữ T (hình 2.3) có trục đối xứng y, trục trung tâm x vuông góc với y đi qua trọng tâm O của hình. Nếu xem hình đã cho ghép bởi hai hình A và B thì mômen quán tính ly tâm của toàn hình là: Bxy A xyxy JJJ  Trong đó: AxyJ , BxyJ là mômen quán tính ly tâm của hình A và B đối với hệ trục Oxy. Ta xét phân tố đối xứng dF. Trên mỗi phần A và B, tung độ y của phân tố có cùng trị số và dấu. Hoành độ x của phân tố có cùng trị số dấu nhưng ngược dấu. Do đó sau khi thực hiện tích phân x.y.dF theo công thức (2.6) trong mỗi phần A và B được: Bxy A xy JJ  . Vậy: 0JJJ AxyBxyxy  Mặt khác trọng tâm O của mặt cắt nằm trên trục đối xứng y nên từ O nếu vẽ trục x vuông góc với trục y, ta sẽ có hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của hình chữ T. Đó là điều phải chứng minh. Nếu một hình phẳng có hai hoặc nhiều trục đối xứng thì từ kết quả ta có thể suy ra rằng hai trục đối xứng vuông góc với nhau tạo thành một hệ trục quán tính chính trung tâm. Để giải quyết các bài toán sau này về chịu lực của thanh ta cần phải biết các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thanh. Trong thực tế thường gặp những mặt cắt có trục đối xứng, còn mặt cắt không trục đối xứng thì ít gặp, nên việc xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thường dễ dàng hơn. 2.3. 3. Mômen quán tính của một số hình đơn giản a. Hình chữ nhật: y x O dF dF A B FF H×nh 2.3 y x x A B Một hình chữ nhật có chiều dài là h, chiều rộng là b. Hệ trục quán tính chính trung tâm là Oxy, trong đó trục x song song với cạnh b, trục y song song với cạnh h (hình 2.4). Ta tính mômen quán tính trung tâm Jx. Theo công thức định nghĩa, ta có:  F