Bài giảng Phương pháp tính - Chương 12: Các phương pháp Runge – Kutta hiện giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường - Hà Thị Ngọc Yến

Các pp Runge – Kutta hiện giải bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường Bài toán Cauchy     0 1 0 0 ' ( , ), , , , ( ) k y f x y x I x X y C I R y x y       Phương trình tích phân               0 1 0 1 , , k k x x x k k x y x y x f t y t dt y x y x f t y t dt         • Euler forward (hiện) • Euler backward (ẩn) • Công thức hình thang 1 ( , )n n n ny y hf x y    1 1 1,n n n ny y hf x y        1 1 1, ,2n n n n n nhy y f x y f x y     R-K làm gì? • Tính tích phân trong phương trình tích phân qua s nấc trung gian • Đảm bảo việc tính thông qua các nấc trung gian có hiệu quả giống như khai triển Taylor hàm y(x) đến bậc cao                1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 ... , ... 0, 0,1 n n n n n s s n n n i n i n i ii i i y y rk r k rk k hf x h y k k                    Công thức R-K tổng quát R-K 1 nấc               1 1 1 1 2 1 1 1 , ' 1 n n n n n n n n n s y y r k k hf x y y x y x hy x O h r            R-K 2 nấc                        1 1 1 2 2 1 2 2 11 1 ' ' 2 2 2 , 11 1 , 2 ' ' 3 1 , , 2 , , ( ) . 2 n n n n n n n n n n n n n n n x n y n n n n x n y n n s y y rk rk k hf x y hf k hf x h y k k h f hf k f Oh hy x y x hf f f f O h                              R-K 2 nấc 1 2 2 2 2 11 1 2 2 11 1 2 2 11 1 2 2 11 1 11; ; 2 2 1 10; 1; ; 2 2 1 ; 1 2 1 2 3; ; 3 3 4 ..... r r r r r r r r r r                         R-K 3 nấc                       1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 11 1 3 3 21 1 22 2 , , , n n n n n n n n n n n n n n n n n y y rk r k r k k hf x y k hf x h y k k hf x h y k k                   R-K 3 nấc                          ' ' 2 , 11 , 2 22 2 " 2 '' 2 2 '' 3 2 , 2 21 , 11 , 2 ' ' 2 '' 3 , 21 1 22 2 , 3 3 2 '' '' 3 3 21 1 22 2 21 1 22 2 1 2 2 2 n x n n y n n x n n x y n y n n n n x n y n xxn n n n n xy yy n f hf hf f k h h hf h f f f f O h hf hf k k f f k h h k k f k k f O h y x y x                                                 2 ' ' , 3 '' '' '' 2 ' ' '2 4 . 2 6 nn n x n y n xx xy n yy n y x y n hhf f f f h f f f f f f f f f O h                    1 2 3 2 2 3 3 2 11 3 21 22 2 2 2 2 3 3 2 2 21 3 3 21 22 2 2 2 2 11 3 21 22 22 2 11 22 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 6 1 6 1 6 1 6 1 6 r r r r r r r r r r r r r                                      R-K3 thường dùng                       1 2 3 2 3 11 21 22 1 1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1; ; ; ; 1; ; 1; 2 6 3 6 2 2 1 4 6 , 1 1, 2 2 , 2 n n n n n n n n n n n n n n n n n r r r y y k k k k hf x y k hf x h y k k hf x h y k k                               R-K3 thường dùng (Heun)                  1 2 3 2 11 3 22 21 1 1 3 1 2 1 3 2 1 3 1 2; 0; ; ; ; 0 4 4 3 3 1 3 4 , 1 1, 3 3 2 2, 3 3 n n n n n n n n n n n n n n n r r r y y k k k hf x y k hf x h y k k hf x h y k                               R-K 4 thường dùng                           1 1 2 3 4 1 2 1 3 2 4 3 1 2 2 6 , 1 1, 2 2 1 1, 2 2 , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n y y k k k k k hf x y k hf x h y k k hf x h y k k hf x h y k                       Bậc cao nhất của các công thức R_K s nấc 766544321p 987654321s Ví dụ mô hình hệ thú mồi ' 1 ' nx rn ap K p p anp           