Bài giảng Phương pháp tính - Chương 4: Phương pháp tiếp tuyến giải phương trình f(x)=0 - Hà Thị Ngọc Yến

PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN GIẢI PT f(x)=0 Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 9/2018 Ý tưởng phương pháp Ý tưởng phương pháp • Thay thế đường cong trên [a,b] bằng TIẾP TUYẾN • Tìm giao điểm của dây cung với trục hoành thay cho giao điểm đường cong với trục hoành  y f x Xây dựng công thức Xét phương trình và k.c.l nghiệm (a,b). Gọi là điểm Fourie nếu Chọn điểm Fourie là điểm ban đầu, tức là Chọn và đặt Gọi là tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại   0f x    ,M x f x    " 0.f x f x     0 0 0: " 0x f x f x    0 0 0, .M x f x kd .kM Xây dựng công thức             0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 ,0 , ,0 , ......................... ,0 *n n n d Ox x M x f x d Ox x M x f x d Ox x x x           Xây dựng công thức • Phương trình đường thẳng • Vì nên ta có :kd       ' *k k ky f x x x f x    1,0k kd Ox x        1 ** ' k k k k f x x x f x    Sự hội tụ của phương pháp Điều kiện hội tụ: • (a,b) là khoảng cách ly nghiệm • liên tục, xác định dấu không đổi trên [a,b] • Chọn đúng ', ''f f    0 0 0: " 0.x f x f x  Tại sao x y ' 0f  x 1x 0d 1d Tại sao " 0f  Định lý về sự hội tụ Với các điều kiện đã nêu trên dãy lặp (**) hội tụ đến nghiệm đúng của phương trình theo đánh giá sau     1 * 1 n n f x x x m     22 1 1 * 2 2 n n n M x x x x m           1 2, ,min ' ; max "x a b x a bm f x M f x   CM Định lý về sự hội tụ • Các bước chứng minh: ➢ Dãy đơn điệu và bị chặn. ➢ Giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình. ➢ Chứng minh các công thức sai số  nx CM Định lý về sự hội tụ • Dãy đơn điệu : Trường hợp 1: Xét điểm bất kỳ. Khi đó  nx      ' 0; " 0 ;f x f x x a b                 00 ; , : ' t t f x h x x a b x x h x f t x t f t             , , ;M t f t t a b CM Định lý về sự hội tụ • Ta có • Mặt khác • Lý luận tương tự      0" 0 ; 0f x x a b f x                      0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 : ' 0 , 0 x x x x h x f x x x f x h x f x h x a x x f x h x               1 1 2 1 2: 0 , 0x f x a x x f x     CM Định lý về sự hội tụ • Giới hạn của dãy là nghiệm của phương trình • Gọi           1 1 1 : lim lim ' 0. ' n n n n n n f x x x f x f f f                          CT sai số mục tiêu • Ta có                1 ' ' n n n nn n f x f x f f c x f xf x x f c m            CT sai số theo hai xấp xỉ liên tiếp • Ta có:                  1 2 1 2 1 1 22 1 1 " 2! " ' 2! 2 nn x n n n n n n n n n f c f x h x x x f c f c x x x M x x x m                  Thuật toán • Input: • Bước 1: Kiểm tra điều kiện xác định dấu không đổi trên, gán biến dấu cho dấu của (Có thể làm thủ tục riêng cho bước này) • Bước 2: Chọn nếu trái lại chọn , , ,f a b  ', "f f  ;a b ".f 0x a  . 0f a sign  0 .x b Thuật toán • Bước 3: Tính (có thể làm gói riêng) • Bước 4: Tính • Bước 5: Kiểm tra nếu thỏa mãn thì dừng, nếu không quay lại B4     0 1 0 0' f x x x f x    1 1 f x m  1m