Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân - Ngô Thu Lương
Cho phương trình vi phân cấp1 y '(x) = f (x, y(x)) với điều kiện ban đầu y(x0) = y0 . Tính gần đúng giá trị y(b) với b bất kỳ cho trước 11)) PPhhưươơnngg pphhaáppp EEuulleerr :: Ngơ Thu Lương – Phương Php Tính 1 aa))NNoộiii dduunngg : Chia đoạn [a ,b] thành n phần đều nhau , bởi các điểm chia x0 = a < x1 = x0 + h< x2 = x0 + 2h < x b a nh
Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Phương pháp tính - Chương 5: Giải gần đúng phương trình vi phân - Ngô Thu Lương, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 5 :Giảûûi gầàà n đúùùng phương trình vi phââân
Cho phương trình vi phân cấp1
))(,()(' xyxfxy =
với điều kiện ban đầu 00 )( yxy = .
Tính gần đúng giá trị )(by với b bất kỳ cho trước
1) Phương pháùù p Euler :
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 1
a)Nộääi dung : Chia đoạn ],[ ba thành n phần đều
nhau , bởi các điểm chia
<+=<+=<= hxxhxxax 202010
nhabxn +==<< ...
=+1iy kyi + ),( ii yxfhk =
b) Sai sốáá : )
(2) (( ) ( ) [ 1]
2gd d
L b ah My b y b e
L
−
− ≤ −
( , )fL Max x y
y
∂
= ∂
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 2
Ví dụïï : Phương trình 2)(1)(' yxxy −+=
với điều kiện ban đầu 1)2( =y .
Tính gần đúng nghiệm )6.2(y với bước 2.0=h
2) Phương pháùù p Euler cảûûi tiếáán
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 3
a) Nộääi dung :
2
211
kkyy ii
+
+=+
),(1 ii yxhfk =
),( 112 kyxhfk ii += +
Ví dụïï : Giải phương trình 2)(1)(' yxxy −+= với
điều kiện ban đầu 1)2( =y trong ví dụ trước theo
phương pháp Euler cải tiến , kết quả như sau :
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 4
3) Côââng thứùùc Runge – Kutta bậääc 4 :
a) Côââng thứùùc
( )43211 226
1)()( kkkkxyxy ii ++++=+
),(1 ii yxhfk =
),( 1kyhxhfk ++=
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 5
222 ii
)
2
,
2
( 23
kyhxhfk ii ++=
),( 314 kyxfhk ii += +
Ví dụïï : Giải phương trình 2)(1)(' yxxy −+= với
điều kiện ban đầu 1)2( =y trong ví dụ trước theo
phương pháp Runge-Kutta , kết quả như sau :
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 6
4) Giảûûi hệää phương trình vi phâââ n cấááp 1 :
Giả sử ta cần giải hệ :
=
=
),,('
),,('
zyxGz
zyxFy
trong đó
)(xyy = , )(xzz = là những hàm phải tìm và thỏa
điều kiện ban đầu 00)( yxy = , 00 )( zxz =
Phương pháùùp Euler
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 7
),,(1 iiiii zyxFhyy +=+
),,(1 iiiii zyxGhzz +=+
Ví dụïï : Cho hệ
+−=
=
xxyxzxz
xzxy
)()(2)('
)()('
với điều kiện 1)0( =y , 0)0( =z .
Tìm )1(y và )1(z nếu số bước chia là 4=n
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 8
5) Giảûûi phương trình vi phâââ n cấáá p cao :
Giải phương trình vi phân cấp 2
)()()()(')()('' xfxyxqxyxpxy =++
với điềààu kiệää n đầàà u 00)( yxy = , /00 )(' yxy =
Đưa vềàà hệää phương trình vi phâââ n cấááp 1 bằng phép
đổi biến ,
Ngơ Thu Lương – Phương Pháp Tính 9
)()(' xzxy = )(')('' xzxy =
Hệ
+−−=
=
)()()('
'
xfyxqzxpz
zy
với điều kiện
ban đầu 00)( yxy = và 0/00 )( zyxz == .
Hệ này đã biết cách giải
