Bài giảng Phương pháp tính - Chương 7: Phương pháp lặp đơn – Lặp Jacobi giải phương trình Ax=b - Hà Thị Ngọc Yến

PP LẶP ĐƠN – LẶP JACOBI GIẢI PT Ax = b Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 2/2017 Ý tưởng phương pháp - Đưa về phương trình tương đương - Lập dãy số - Nếu dãy hội tụ thì giới hạn là nghiệm của phương trình Ax b x Bx d    1 0, m n nx Bx d x   Chuẩn của véctơ • Định nghĩa: chuẩn là một ánh xạ thỏa mãn các tính chất sau: . : 0, " " 0 m m u u ku k u k u u v u v                   Chuẩn véctơ • Các chuẩn thường gặp   1, 1 1 2 2 1 max i i m m i i m i i x x x x x x          Sự hội tụ của dãy véctơ • Định nghĩa: • Chuẩn tương đương: Hai chuẩn p và q được gọi là tương đương nếu * * 0 * 1, n n n n n ni i x x x x x x i m            1 2 1 2, 0, p q pC C C x x C x    Sự hội tụ của dãy véctơ • Nếu hai chuẩn p và q tương đương thì dãy véctơ hội tụ theo chuẩn p khi và chỉ khi nó hội tụ theo chuẩn q • Mọi chuẩn trong không gian véctơ hữu hạn chiều đều tương đương Chuẩn của ma trận   0 1 1, 1 1 1, 1 2 sup sup max max max p p p p x xp m ij i m j m ij j m i T i Ax A Ax x A a A a A A A               Sự hội tụ của PP lặp đơn • Nếu thì dãy hội tụ tới nghiệm đúng duy nhất của phương trình theo đánh giá 1B  1 0,n nx Bx d x   x Bx d  1 0 1 * 1 * 1 n n n n n B x x x x B B x x x x B        Các bước cm sự hội tụ của PP • Dãy là dãy Cauchy nên hội tụ • Giới hạn của dãy là nghiệm duy nhất của phương trình • Cm hai công thức sai số  nx Phương pháp lặp Jacobi • Ma trận chéo trội hàng • Ma trận chéo trội cột 1 m ii ij j j i a a   1 m ii ji j j i a a   PP lặp Jacobi • A là ma trận chéo trội hàng: 112 1 11 11 11 2 221 2222 22 1 2 0 0 ; 0 m m mm m mmmm mm aa b a a a a ba aa aB d ba a aa a                                           PP lặp Jacobi • A là ma trận chéo trội cột: 11 1 1 2 2 22 1 0 0 10 0 10 0 m m mm a x y x y a x y a                                        Lặp Jacobi • A là ma trận chéo trội cột: 112 22 1 221 2 11 1 2 11 22 0 0 ; 0 m mm m mm m m m aa a a b aa b a aB d b a a a a                                 