Bài giảng Phương pháp tính - Lê Thị Thu

PHƢƠNG PHÁP TÍNH 1 GV: LÊ THỊ THU KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT NỘI DUNG MÔN HỌC 2 Chương 0: Nhập môn Chương 1: Số gần đúng và sai số Chương 2: Tính giá trị đa thức Chương 3: Phép nội suy và áp dụng Chương 4: Giải gần đúng phương trình phi tuyến Chương 5: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân thường 3 NHẬP MÔN CHƯƠNG 0 p Phƣơng pháp tính là gì? PPT là một nhánh của ngành Toán học ứng dụng, nghiên cứu các phƣơng pháp và giải thuật để giải một cách gần đúng các phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ và các bài toán tối ƣu. p Đặc trƣng của phƣơng pháp tính Ø Chính xác Ø Thiết thực Ø Tốc độ (số vòng lặp) 4 Chƣơng 0: Nhập môn p Định hƣớng chung của PPT Bài toán gốc Bài toán gần đúng Vô hạn à Hữu hạn Vi phân à Đại số Phi tuyến à Tuyến tính Phức tạp à Đơn giản 5 Chƣơng 0: Nhập môn p Các lĩnh vực nghiên cứu của môn học ü Tính giá trị các hàm: ü Phép nội suy, ngoại suy. ü Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định. ü Giải gần đúng phƣơng trình phi tuyến ü Giải gần đúng hệ phƣơng trình đại số tuyến tính. ü Giải gần đúng phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng. 6 Chƣơng 0: Nhập môn 7 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ CHƯƠNG 1 p Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a* nhiều. p Giả sử một đại lƣợng có giá trị chính xác là a*, giá trị gần đúng là a. Khi đó: P Đại lƣợng r:= |a – a*| đƣợc gọi là sai số thật sự của a. Do không biết a* => không biết r. P Đại lƣợng ra thõa mãn: đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của a => ra càng nhỏ càng tốt P Sai số tƣơng đối: 8 Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối a a a D = p Ví dụ 1: Giả sử Do lấy Mặt khác, lấy p Nhận xét: Sai số tƣơng đối rất quan trọng vì nó phản ánh độ chính xác của phép đo, và phép đo này chính xác hơn phép đo kia hay không. F Ví dụ 2: Đo độ dài 2 vật A=1m, B=10m với cùng sai số tuyệt đối là 0,1m; sai số tƣơng đối lần lƣợt là => phép đo vật B chính xác hơn phép đo vật A 10 lần, mặc dù sai số tuyệt đối bằng nhau. 9 Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối ( 2,718281828...); 2,71a e a* = » = 2,71 2,72 2,71 0,01 0,01*< < = + = + Þa a 2,71 2,719 2,71 0,009 0,009*< < = + = + Þa a 0,1 0,1 10%, 1% 1 10 a b= = = = p Một số thập phân a có dạng tổng quát: • Nếu là số nguyên. • Nếu có phần lẻ gồm m chữ số. • Nếu là số thập phân vô hạn. Ví dụ: p Thu gọn một số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải a để đƣợc một số mới ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất. 10 Bài 1.2: Sai số thu gọn s a= +¥ Þ 1 0 1 2 312,345 1.10 2.10 3.10 4.10 5.10a a - - -= Þ = + + + + p Quy tắc thu gọn: ü Giả sử Ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần bỏ đi là . Đặt Trong đó ü Trong trƣờng hợp : ü Nếu chẵn ü Nếu lẻ 11 Bài 1.2: Sai số thu gọn 1 1.10 .10 .10 .10 p p j p s p p j p sa - - - -= + + + + + 1 1.10 .10 .10 p p j p p ja - -= + + + , 0 0,5.10 1, 0,5.10 10 j j j j j j ì £ <ï = í + < <ïî 0,5.10 j= j jÞ = 1j jÞ = + p Ví dụ: p Mọi số thỏa mãn đƣợc gọi là sai số thu gọn của a. Nhận xét: Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lƣợng bằng => Chứng minh???? 12 Bài 1.2: Sai số thu gọn 1) 1, 23567 1,2357 1,236 1,24 1,2 1 2) 1,2354 1, 235 1,24 1, 2 1 3) 1,2452 1,245 1,24 1,2 1 a b c = » » » » » = » » » » = » » » » aG a a a- £ G aG 13 Bài 1.3: Chữ số chắc (chữ số đáng tin) 14 Bài 1.3: Chữ số chắc 15 Bài 1.3: Chữ số chắc p Trong tính toán ta thƣờng gặp 4 loại sai số sau: P Sai số giả thiết: Do lí tƣởng hóa, mô hình hóa bài toán thực tế. Sai số này không trừ đƣợc. P Sai số phương pháp: Do các phƣơng pháp giải gần đúng nên trong tính toán luôn có các sai số do phƣơng pháp đem lại. Mỗi phƣơng pháp có các sai số đặc trƣng của nó. P Sai số do số liệu: xuất hiện do đo đạc và việc cung cấp giá trị đầu vào không chính xác. P Sai số tính toán: xuất hiện do làm tròn các thông số trong quá trình tính toán. 16 Bài 1.4: Sai số tính toán p Bài toán thuận về sai số: là bài toán tìm sai số của kết quả khi biết sai số của các số liệu ban đầu. p Giả sử cần tìm hàm . Gọi và là các giá trị đúng và gần đúng của đối số và số. Giả sử hàm f khả vi liên tục. Khi đó Ø Sai số tuyệt đối: Ø Sai số tƣơng đối: 17 Bài 1.4: Sai số tính toán 1 2( , ,..., )ny f x x x= ,i ix y * * , , 1,i ix y i n= ' 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n n i i i i y y f x x f x x f x x* * * * = - = - = -å 1 n i i i f y x x= ¶ D = D ¶ å 1 ln n i i i y y f x y x= D ¶ = = D ¶ å 18 Bài 1.4: Sai số tính toán 19 Bài 1.4: Sai số tính toán 20 Bài 1.4: Sai số tính toán 21 BÀI TẬP CHƢƠNG I 22 TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC CHƯƠNG 2 p Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát Tính giá trị đa thức tại x = c, tức là cần tính P(c), với c là giá trị cho trƣớc. 23 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 1 0 1 1 0( ) ( 0) n n n nP x a x a x a x a a - -= + + + + ¹ p Phương pháp: Phân tích P(x) dƣới dạng 24 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Ví dụ 1: Cho . Áp dụng sơ đồ Horner, tính P(-2) Giải: Lập sơ đồ Horner: p Ví dụ 2: Cho . Tính P(-2) Đ/s: P(-2) = -23 25 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 6 4 3( ) 5 2 1P x x x x x= - + - - 26 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Horner Input ai, c, n P=0 i = 0,1,2,...,n P = P*c + ai Print P End p Sơ đồ Horner tổng quát Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát Xác định P(y+c), với y là biến mới, c là giá trị cho trƣớc. Phương pháp: Giả sử => Ta cần xác định các hệ số 27 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 1 0 1 1 0( ) ( 0) n n n nP x a x a x a x a a - -= + + + + ¹ 1 0 1 1 0( 0)( ) n n n ny y b y b bP y c b b - -+ + + + ¹+ = , 0,ib i n= ü Xác định bn: ü Xác định bn-1 Ta có (*) Trong đó, Pn-1(x) là đa thức bậc n-1. Mặt khác Đặt (2*) Từ (*) và (2*) ta suy ra . Tƣơng tự, 28 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 1 2 0 1 2 1)( ) ( n n n n ny y b y b bP y c y b b - - - -+ + + + ++ = 1 2 0 1 2 1( ) ( )( ) n n n n nx y c P x x c b y b y b y b b - - - -= + Þ = - + + + + + 1 2 1 1 0 1 2 1( ) ( ) n n n nP x P y c b y b y b y b - - - -= + = + + + + ( )n i ib P c- = p Sơ đồ Horner tổng quát 29 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Đạo hàm đến cấp n tại điểm x=c: Theo công thức Taylor: 30 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 1 0 1 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n i n n n i i P y c b y b y b y b P x b x c b x c b x c b b x c - - - - - = + = + + + + Þ = - + - + + - + = -å ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! in i i P c P x x c i= = -å ( ) ( ) ! i n i P c b i -Þ = Û ( ) ( ) !i n iP c i b -= p Ví dụ 3: Cho . Xác định Giải: Ta có c = -1. Lập sơ đồ Horner tổng quát: 31 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng 6 5 2( ) 2 4 2P x x x x x= + - + + ( 1)P y - (4) (5) (6) D.hàm: ( 1) 2; '( 1) 1!*11 11; ''( 1) 2!*( 11) 22; '''( 1) 3!*0 0; ( 1) 4!*10; ( 1) 5!*( 8); ( 1) 6!*2. P P P P P P P - = - - = = - = - = - - = = - = - = - - = p Tỷ sai phân: Xét hàm y=f(x) trên [a, b] và cho trƣớc bảng giá trị ­ Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f: ­ Tỷ sai phân cấp 2 của hàm f: ­ Tỷ sai phân cấp n của hàm f: 32 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực , , 0,i ix y i n= 1 1 1 ( ) ( ) , , 1,i ii i i i f x f x f x x i n x x - - - - = = - 1 1 1 1 1 1 , , , , , 1, 1i i i ii i i i i f x x f x x f x x x i n x x + - + - + - - = = - - 1 1 1 1 0 1 1 0 0 , ,..., ,..., , , ,..., , n n nn n n f x x x f x x x f x x x x x x - - - - = - Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực 33 p Các tính chất của tỷ sai phân: ­ Tính chất tuyến tính ­ Tính chất đối xứng ­ Tỷ sai phân của hằng số = 0. 34 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực 0 0 0,..., ,..., ,...,k k kf g x x f x x g x x+ = + 1 1 1 1 1 1 , , , , , , i i i i i i i i i i f x x f x x f x x x f x x x - - + - - + = = p Sai phân Giả sử hàm là hàm cho trƣớc và các điểm cách đều nhau khoảng h, tức . Khi đó: ­ Sai phân cấp 1 của hàm f: ­ Sai phân cấp 2 của hàm f: ­ Sai phân cấp n của hàm f: Quy ước: 35 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực :f R R® 1i ix x h+ = + 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i if x f x f x f x h f x+D = - = + - 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i if x f x f x f x f x h f x+D = D D = D -D = D + -D 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) n n n n i i i if x f x f x f x - - - + é ùD = D D = D - Dë û Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực 36 p Các tính chất của sai phân: ­ Tính chất tuyến tính ­ Nếu ­ Giả sử Pn(x) là đa thức bậc n. Khi đó: 37 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực ( )f g f gD + = D + D 0c const c= ÞD = 0 1( ) ( ) ( ) 0 n n n n m n P x P x const P x m n D = D = = D = " > p Liên hệ giữa tỷ sai phân và sai phân trong trƣờng hợp các điểm cách đều nhau khoảng h: 38 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1! , , ( ) ( ) ( ) , , 2 2! ( ) , ,..., , ! i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k f x f x f x f x f x x x x h h f x x f x x f x f x f x f x x x x x h h f x f x x x x k h - - - - - + - - - + - + - - - D D = = = - - D - D D = = = - D = p Ứng dụng sai phân tính giá trị đa thức 39 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực p Bài 1: Cho . Xác định: p Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: Lập bảng tỷ sai phân các cấp của f p Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: Lập bảng sai phân các cấp của f 40 BÀI TẬP CHƢƠNG II 5 3 2( ) 2 4 2P x x x x= + - + x -4 -1 0 2 y=f(x) 45 33 5 9 x 1 2 3 4 5 y=f(x) 12 8 5 10 25 41 PHÉP NỘI SUY VÀ ÁP DỤNG CHƯƠNG 3 Phép nội suy p Bài toán: Xét hàm trên [a, b] và giả sử đã biết n+1 mốc Cần tính f(c) với c bất kỳ thuộc [a,b]. Ø Ta xây dựng đa thức Pn(x) có bậc không quá n sao cho: Ø Khi đó ta có thể coi 42 ( )y f x= , , ( ), 0, .i i ix a b y f x i nÎ = = ( ) ( ), 0,n i i iP x y f x i n= = = ( ) ( ) , , .n iP x f x x a b x x» " Î ¹ Phép nội suy 43 Ø Bài toán xây dựng hàm Pn(x) đƣợc gọi là bài toán nội suy. Ø Hàm Pn(x) đƣợc gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]. Ø Các điểm đƣợc gọi là các mốc nội suy. p Định lý: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) đƣợc xây dựng từ các mốc nội suy trên (nếu có) là duy nhất. , 0,ix i n= Ý nghĩa hình học 44 Pn(x) Pn(c) c f(x) x0 x1 x2 xn · · · · · Xấp xỉ đƣờng cong f(x) bởi đa thức Pn(x) (với Pn(xi)=f(xi)). Ƣớc lƣợng f(c) bởi Pn(c): f(c) » Pn(c) với sai số Rn(c) Rn(c) f(c) Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange p Cho trƣớc n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),, (xn,yn) p Đa thức nội suy Lagrange là đa thức Pn (x) có bậc không quá n và nhận các giá trị y0, y1, y2, ,yn theo công thức p Với n=1 (có 2 mốc nội suy) p Với n=2 45 0 1 1 1 0 0 1 1 1 ( )( )...( )( )...( ) ( ) ( )( )...( )( )...( ) n i i n n i i i i i i i i i n x x x x x x x x x x P x y x x x x x x x x x x - + = - + - - - - - = - - - - - å 01 1 0 1 0 1 1 0 ( ) x xx x P x y y x x x x -- = + - - 0 2 0 11 2 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) x x x x x x x xx x x x P x y y y x x x x x x x x x x x x - - - -- - = + + - - - - - - Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange Ví dụ 3.1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(px) rồi tính gần đúng sin(p/5) với các mốc nội suy cho trong bảng: x 0 1/6 1/2 y=sin(px) 0 1/2 1 46 Giải: Đa thức nội suy Lagrange: 2 2 1 1 11 ( )( ) ( 0)( )( 0)( ) 1 76 2 62( ) 0 1 3 1 1 1 1 1 1 1 12 2(0 )(0 ) ( 0)( ) ( 0)( ) 6 2 6 6 2 2 2 6 x x x xx x P x x x - - - -- - = ´ + ´ + ´ = - + - - - - - - Thay x=1/5 vào P2(x) tìm được , ta có sin( /5) P2(1/5)=0,58 Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange § Ví dụ 3.2: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x) đƣợc cho nhƣ trong bảng ĐS 47 Tính gần đúng f(0,2)? 3 2 3 0 125 91 ( ) 30 0,5 3 12 n n i i i P x y l x x x = = = = - + -å Ta có: f(0,2) » P3(0,2)=0,15 Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange p Ví dụ 3.3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau: Đs: p Ví dụ 3.4: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau: => Nhận xét??? 48 x 0 2 3 y 1 3 2 x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange FNhược điểm của đa thức nội suy Lagrange: Khi thêm vào một mốc nội suy, ta phải tính lại từ đầu!!! 49 Bài 3.2 Đa thức nội suy Newton Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange: n Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức n Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này 50 3.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ ],...,,[))...()((... ],,[))((],[)()()( 10110 210101000 nn n xxxfxxxxxx xxxfxxxxxxfxxxfxP ----++ --+-+= 51 Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 là: Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần và tỷ sai phân các cấp của hàm f(x) 0 1 na x x x b= < < < = Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn là: ],...,,[))...()((... ],,[))((],[)()()( 0111 2111 xxxfxxxxxx xxxfxxxxxxfxxxfxP nnnn nnnnnnnnnn -- ---- ---++ --+-+= Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ 52 q Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy Lagrange chỉ khác về cách trình bày. p Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập điểm mốc mới đƣợc tính theo Pn(x) nhƣ sau: ],...,,[))...()(()()( 110101 ++ ---+= nnnn xxxfxxxxxxxPxP Nhận xét: Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ 0 1 1 2 0 1 2 1 2 0 0 1/ 6 1/ 2 [ , ] 3 1/ 2 1 [ , ] 3 / 2 [ , , ] 3 i ix y TSPC TSPC f x x f x x f x x x 53 § Ví dụ 3.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phƣơng pháp newton cho hàm y=sin(px) với các mốc nội suy cho trong bảng: x 0 1/6 1/2 y=sin(px) 0 1/2 1 Giải: Lập bảng tỷ hiệu 2 0 0 0 1 0 1 0 1 2 2 ( ) ( ) ( ) [ , ] ( )( ) [ , , ] 7 0 3 (-3) ( -1/ 6) -3 2 P x f x x x f x x x x x x f x x x x x x x x Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ Ví dụ 3.6: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu sau: Đs: Ví dụ 3.7: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu sau: 54 x 0 2 3 y 1 3 2 x 0 2 3 5 y 1 3 2 5 3.2.2 Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều xi+1-xi = h (hằng số) Þ xi = x0 + ih 55 x0 xi xi+1 h ih h 2h x1 x2 Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều 2 0 0 0 0 0 0 1 0 1 12 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ... ( )( )...( ) 1!. 2!. !. n n nn y y y P x f x x x x x x x x x x x x x h h n h 56 Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 với các mốc cách đều là: Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần, cách đều nhau khoảng h và sai phân các cấp của hàm f(x) Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn với các mốc cách đều là: 2 1 2 12 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1!. 2!. ... ( )( )...( ) !. n n n n n n n n n nn y y P x f x x x x x x x h h y x x x x x x n h Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều Ví dụ 3.8: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng: 57 Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton Giải: Nhận thấy các mốc nội suy cách đều nhau khoảng h=1 2 2 2 5 2 ( ) 2 ( 1) ( 1)( 2) 2 1 1!.1 2!.1 P x x x x x x= + - + - - = + - => Đa thức nội suy Newton: 4 31 3 9 f æ ö Þ »ç ÷ è ø Bảng sai phân x y ry r2y 1 2 2 7 5 3 14 7 2 3.2.3. Sai số của đa thức nội suy 58 p Giả sử Pn (x) là đa thức nội suy của hàm f(x) với các mốc nội suy (x0,y0),(x1,y1),, (xn,yn). Khi đó, hiệu gọi là sai số của phép nội suy. Để đánh giá sai số này, giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp n+1 trên [a,b] Gọi . Khi đó, công thức đánh giá sai số: Với ( ) ( ) ( )nR x f x P x= - ( 1)n a x b M Max f x+ £ £ = 1( ) ( ) ( 1)! n M R x x n +£ + 1 0 1( ) ( )( ) ( )n nx x x x x x x+ = - - - 3.2.3. Sai số của đa thức nội suy 59 x 0 1/6 1/2 y=sin(px) 0 1/2 1 Ví dụ 3.9: Cho hàm y=sin(px), dùng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng sin(p/5), đánh giá sai số. Biết các mốc nội suy: Giải: Đa thức nội suy Lagrange tìm đƣợc: xxxP 2 7 3)( 22 +-= 2 2 1 7 1 sin( / 5) (1/ 5) 3.( ) . 0,58 5 2 5 P Sai số: 3 0 1 2( ) ( )( )( ) 3! M R x x x x x x x (3) 3 3max sin ( ) max cos( )M x x 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ( ) | ( )( ) | (1/ 5) ( )( ) 0,010335 6 6 2 6 5 5 6 5 2 R x x x x R 3.2.4 Ứng dụng công thức nội suy Newton tính tổng 60 Xét ví dụ: Tính tổng 2 2 21 2nS n= + + + Giải: Ta có 2 1 2 22 1 3 2 2 1 1 2 1 2 3 2( 1) 3 (2 1) 2 n n n n n n n n n S S S n S S S n n n S S S n n const - + + D = - = + D = D - D = + - + = + D = D - D = + + - + = = Lập bảng sai phân 1 1 2 5 4 3 14 9 5 2 nS nSD 2 nS 3 Áp dụng công thức nội suy Newton tiến với t=n-1 5 2 1 4( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3) 2! 3! 1 ( 1)(2 1) 6 nS n n n n n n n n n = + - + - - + - - - = = - + Bài 3.3 Chọn mốc nội suy tối ƣu p Với công thức đánh giá sai số 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! n n i i M M R x f x P x x x x n n= = - £ - = + + Õ [ ; ] max ( ) min x a b x Î ® 61 Cần chọn các xi Î[a;b] để Nhận xét: Với phép biến đổi )](2[ 1 bax ab t +- - = Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1] Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1] Chọn mốc nội suy tối ƣu 1|)(max ]1;1[ = -Î xTn x 1,...,2,1,0,) 2 12 cos( -= + = ni n i xi 62 Tn(x) = cos(n.arccosx) với |x| £1, nÎN * Tn+1(x) = 2x.Tn(x)-Tn-1(x) Tn(x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất là 2 n-1 Tính chất: Nhận xét: Tn(x) có đúng n nghiệm: Mọi nghiệm của Tn(x) đều thuộc [-1;1] khi x=xi= nin i ,...,2,1,0),cos( = Đa thức Chebyshev: Chọn mốc nội suy tối ƣu Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội suy đƣợc chọn là nghiệm của Tn+1(x) : ni n i xi ,..,1,0, )1(2 )12( cos = + + = 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 nn n x T x+= £ 63 Khi đó ( ) ( ) ( 1)! 2 ( 1)!n M M R x x n n £ = + + Chọn mốc nội suy tối ƣu Trường hợp 2: Trƣờng hợp các mốc nội suy đƣợc chọn trong [a, b] bất kỳ. Đặt: (2 ) 1 1 ( ) x a b t t b a - - = Þ - £ £ - 64 Chọn các mốc ti theo trƣờng hợp 1, suy ra các mốc xi 1 2 1 ( )cos ( ) , 0, 2 2( 1) i i x b a b a i n n æ ö+ = - + - =ç ÷ +è ø Khi đó, ƣớc lƣợng tốt nhất của phép nội suy: 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)! ( 1)! 2 n n M M b a R x f x P x x n n + + - = - £ £ + + 65 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Đặt vấn đề p Trong toán học, đã có phƣơng pháp tính đạo hàm và tính phân xác định p Thực tế, thƣờng gặp các trƣờng hợp : n Hàm y=f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng, công thức tƣờng minh của y là chƣa biết. n Hàm f(x) đã biết, nhƣng phức tạp n Hoặc viết chƣơng trình máy tính để tính tích phân xác định. Þ Chọn giải pháp: “Tính gần đúng” Bài 3.5 Tính gần đúng đạo hàm p Áp dụng công thức Taylor: 2 0 '' 000 )( 2 )( ))((')()( xx f xxxfxfxf -+-+= 2 '' 000 2 )( )(')()( h f hxfxfhxf ++=+ Đặt h = x-x0 Þ x=x0+h: h xfhxf xf )()( )( 000 ' -+= Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h2. Khi đó (1) Có thể lấy công thức (1) để tính gần đúng f’(x0) khi |h| khá bé 3.5 Tính gần đúng đạo hàm Sai số: h M h f xR 22 )( )( '' 0 £= 01,9 001,0 2009,2 001,0 )1()001,01( )1(' = - = -+ » ff f Với |f’’(x)|<=M, "x Î[x0,x0+h] Ví dụ 1: Cho f(x)=2x4+x-1. Tính f’(1)? Giải: Chọn h=0.001, ta có: Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05 "xÎ[1;1,001] 012,0001,0. 2 05,24 |)1(| =£R 3.5. Tính gần đúng đạo hàm p Áp dụng đa thức nội suy n Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc a=x0<x1<x2<<xn=b n f’(x) » Pn’(x) với xÎ[a,b] n Sai số: ' 0 )1( )( )!1( )( )(' ÷÷ ø ö çç è æ - + = Õ = + n i i n xx n cf xR )(')()(' ' xRxPxf n +=Þ )()()( xRxPxf n += 3.5. Tính gần đúng đạo hàm Ví dụ 2: Cho hàm y=f(x) dƣới dạng bảng x 0 2 3 y 1 3 2 Tính gần đúng f’(1)=? Giải: Áp dụng công thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội suy Newton, ta thu đƣợc đa thức nội suy bảng dữ liệu trên: 2 2 2 2 7 4 7 ( ) 1 '( ) '( ) 3 3 3 3 P x x x f x P x x= - + + Þ » = - + Vậy 2 4 7 '(1) '(1) 1 3 3 f P» = - + = Bài 3.6 Tính gần đúng tích phân q Cần tính p Nế