Bài giảng Thể tích khối chóp

Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - CHÓP TỔNG HỢP Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, BC, CD ñôi một vuông góc với nhau và AB BC CD a= = = . Gọi C’ và D’ lần lượt là hình chiếu của ñiểm B trên AC và AD. Tính thể tích tích tứ diện ABC’D’. Lời giải: Vì ,CD BC CD AB⊥ ⊥ nên ( )CD mp ABC⊥ và do ñó ( ) ( )mp ABC mp ACD⊥ .Vì 'BC AC⊥ nên ( )BC mp ACD⊥ . Suy ra nếu V là thể tích tứ diện ABC’D’ thì ' ' 1 . ' 3 AC D V S BC= △ . Vì tam giác ABC vuông cân nên 2 ' ' ' 2 a AC CC BC= = = . Ta có 2 2 2 2 2 2 23AD AB BD AB BC CD a= + = + + = ⇒ 3AD a= . Vì BD’ là ñường cao của tam giác vuông ABD nên 2'.AD AD AB= ⇒ ' 3 a AD = . Ta cã 2 ' ' 1 1 1 2 3 1 2ˆ'. 'sin '. '. 2 2 2 2 3 123 AC D CD a a a S AC AD CAD AC AD AD = = = ⋅ = △ . Vậy 21 2 2 . 3 12 2 a a V = = 3 36 a BÀI GIẢNG 04. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 4) HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 - Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < 3 ) các cạnh còn lại ñều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x Lời giải: Ta có ( . . )SBD DCB c c c SO CO∆ = ∆ ⇒ = . Tương tự ta có SO = OA Vậy tam giác SCA vuông tại S 21CA x⇒ = + Mặt khác ta có 2 2 2 2 2 2AC BD AB BC CD AD+ = + + + 23 ( 0 3)BD x do x⇒ = − < < 2 2 1 1 3 4ABCD S x x⇒ = + − Gọi H là hình chiếu của S xuống (CAB). Vì SB = SD nên HB = HD ⇒ H ∈ CO Mà 2 2 2 2 1 1 1 1 x SH SH SC SA x = + ⇒ = + Vậy V = 2 1 3 ( vtt) 6 x x d− Bài 3. Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các ñiểm lần lượt di ñộng trên các cạnh AB, AC sao cho ( ) ( )DMN ABC⊥ . ðặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: 3 .x y xy+ = Lời giải: Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 - Dựng DH MN H⊥ = Do ( ) ( ) ( )DMN ABC DH ABC⊥ ⇒ ⊥ mà .D ABC là tứ diện ñều nên H là tâm tam giác ñều ABC . Trong tam giác vuông DHA: 2 2 2 2 3 61 3 3 DH DA AH   = − = − =     Diện tích tam giác AMN là 0 1 3 . .sin 60 2 4AMN S AM AN xy= = Thể tích tứ diện .D AMN là 1 2 . 3 12AMN V S DH xy= = Ta có: AMN AMH AMHS S S= + 0 0 01 1 1.sin 60 . .sin 30 . .sin 30 2 2 2 xy x AH y AH⇔ = + ⇔ 3 .x y xy+ = Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = 2 a . 3SA a= ,   030SAB SAC= = . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải: Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - Theo ñịnh lí côsin ta có: 2 2 2 2 2 0 22 . .cos 3 2. 3. .cos30SB SA AB SA AB SAB a a a a a= + − = + − = Suy ra SB a= . Tương tự ta cũng có SC = a. Gọi M là trung ñiểm của SA, do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ⊥ SA, MC ⊥ SA. Suy ra SA ⊥ (MBC). Ta có . . . 1 1 1 . . . 3 3 3S ABC S MBC A MBC MBC MBC MBC V V V MAS SA S SA S= + = + = SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung ñiểm SB, S’D: . .S ABCD S AMNDV V V= − . . .S AMND S AMD S MNDV V V= + ; . . . . 1 1 ; . ; 2 4 S AMD S MND S ABD S BCD V VSM SM SN V SB V SB SC = = = = . . . 1 2S ABD S ACD S ABCD V V V= = ; . . . 3 5 8 8S AMND S ABCD S ABCD V V V V= ⇒ = 2 5 24 V a h⇒ = Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do ñó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung ñiểm của BC suy ra MN ⊥ BC. Tương tự ta cũng có MN ⊥ SA. 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 2 16 a a a MN AN AM AB BN AM a   = − = − − = − − =        3 4 a MN⇒ = . Do ñó 3 . 1 1 1 3 . . 3. . 3 2 6 4 2 16S ABC a a a V SA MN BC a= = = Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 3 4 a , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo. Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = 3a ; BO = a , do ñó  0A D 60B = hay tam giác ABD ñều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD) Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có DH AB⊥ và DH = 3a ; OK // DH và 1 3 2 2 a OK DH= = ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a SO OI OK SO = + ⇒ = Diện tích ñáy 2D 4S 2. . 2 3ABC ABOS OAOB a∆= = = ; ñường cao của hình chóp 2 a SO = . Thể tích khối chóp S.ABCD: 3 . D D 1 3 . 3 3S ABC ABC a V S SO= = Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung ñiểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Lời giải: Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên ( )SI ABCD⊥ . Ta có 5; 5; 2;IB a BC a IC a= = = Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 6 - Hạ IH BC⊥ tính ñược 3 5 5 a IH = ; Trong tam giác vuông SIH có 0 3 15 SI= IH tan 60 5 a = . 2 2 22 3ABCD AECD EBCS S S a a a= + = + = (E là trung ñiểm của AB). 3 21 1 3 15 3 153 3 3 5 5ABCD a a V S SI a= = = . Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A ( A = 90o), AB=AC=a. Mặt bên qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o. Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC. Lời giải: Kẻ SH vuông góc với BC. Suy ra SH ⊥ mp (ABC) Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC ⇒góc SIH=góc SJH = 60o ⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ ⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông ⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2 Trong tam giác vuông SHI ta có SH = a 3 2 Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 7 - V(SABC) = 31 a 3 SH.dt(ABC) 3 12 = (ñvtt) Bài 8. Hình chóp tứ giác ñều SABCD có khoảng cách từ A ñến mặt phẳng ( )SBC bằng 2. Với giá trị nào của góc α giữa mặt bên và mặt ñáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất? Lời giải: Gọi M, N là trung ñiểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có:  ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ; ; 2 2 4 sin sin sin tan 1 .tan sin os 1 4 1 4 3 sin os 3.sin . os sin sin 2 os 2 sin .sin .2 os 3 3 1 sin . os 3 min sin . os ax s ABCD SABCD SABCD SMN d A SBC d N SBC NH NH MN S MN SI MI c V c c c c c V c m α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α = = = = ⇒ = = ⇒ = = = = = ⇒ = ⋅ ⋅ = + + ≤ = ⇒ ≤ ⇔ ⇔ 2 2 1 in 2 os os 3 c cα α α= ⇔ = Bài 9. Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết: AB=a và AC AD BC BD CD 3a= = = = = . Lời giải: Gọi I, J theo thứ tự là trung ñiểm của CD, AB. Do ACD, CDB∆ ∆ ñều. ( )AI CD, CD CDBI ABI⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 8 - Suy ra CI là ñường cao của hình chóp C.ABI. Ta có: 1 3 . 3 3 a ABCD CABI DABI CD ABI ABIV V V S S= + = = . Vì : 2 2 2 2 3 3 IJ à IJ AJ 2 IJ 2 2 2 AD a AB BI AB v AI a a= = = ⇒ ⊥ = − = ⇒ = 33 3 1 6 . . 2 3 3 2 6 a a a ABCD ABI a aV S= = =⇒ Bài 10. Trên ñường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD cạnh a ta lấy ñiểm S với SA=2a. Gọi B’,D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’ Lời giải: Ta có: ' ' ' AB SB AB SC AB CB ⊥  ⇒ ⊥ ⊥  . Tương tự 'AD SC⊥ ( ' ' ') 'SC AB C D SC AC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Do tính ñối xứng ta có: . ' ' ' 2 . ' 'S AB C D S AB CV V= . Áp dụng tính chất tỷ số thể tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 . ' ' ' ' '. '. 4 4 8 . . . . 5 6 15. 1 8 8 16 à . . .2 . ' ' . . ' ' ' 3 2 3 15 3 45 45 S AB C SB SC SB SB SC SC SA SA a a SB SC SB SC SB SC a aS ABC a a a a a M S ABC a S AB C S AB C D V V V V V = = = = = = = ⇒ = = ⇒ = Bài 11. Trong mặt phẳng (P) cho ñường tròn (C) tâm O ñường kính AB = 2R.Trên ñường thẳng vuông góc với (P) tại O lấy ñiểm S sao cho OS = R 3 . I là ñiểm thuộc ñoạn OS với SI = 2 3 R . M là một ñiểm thuộc (C). H Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 9 - là hình chiếu của I trên SM. Tìm vị trí của M trên (C) ñể tứ diện ABHM có thể tích lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất ñó. Lời giải: S H I O B M A Tứ giác IHMO nội tiếp nên SH.SM = SI.SO mà OS = R 3 , SI = 2 3 R , SM = 2 2 2SO OM R+ = ⇒SH = R hay H là trung ñiểm của SM Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên mp(MAB) thì HK = 1 2 SO= 3 2 R , (không ñổi) ⇒VBAHM lớn nhất khi dt(∆MAB) lớn nhất ⇒M là ñiểm giữa của cung AB Khi ñó VBAHM= 33 6 R (ñvtt) Bài 12. Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh bằng a , và SH là ñường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung ñiểm I của SH ñến mặt bên (SDC) bằng b . Tìm thể tích hình chóp S.ABCD Lời giải: Khóa học LTðH ñảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương Chuyên ñề 01. Hình học không gian Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung ñiểm của CD, và G là trực tâm ∆SCD (1)HG CD⇒ ⊥ Mà ( ) BD AD BD SAC BD SC BD SH ⊥  ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥  và ( ) (2)SC DG SC BDG SC HG⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ Vì I là trung ñiểm của SH nên : ( ) ( ); ( ) 2 ; ( ) 2HG d H SCD d I SCD b= = = 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 4 à 4 3 16 4 4 ba ab a GM b v h V HG HM SH a a b b ⇒ = − = + ⇒ = ⇒ = − − Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn: Hocmai.vn