Bài giảng Toán cao cấp A1 - Chương 1: Giới hạn và liên tục - Nguyễn Hoàng Anh Khoa

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP HUẾ    BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1 Th.S. NGUYỄN HOÀNG ANH KHOA Huế, tháng 09 năm 2015 Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 1 CHƯƠNG 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.1.1. Định nghĩa Cho X, Y là tập con khác rỗng của R. Ánh xạ f : X  Y, x  y = f(x) được gọi là hàm số. x được gọi là biến độc lập y = f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x X được gọi là tập xác định của hàm f. Quy ước Người ta thường viết gọn hàm số bởi đẳng thức y = f(x). Tập xác định D là tập các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa Tập giá trị T = f(D) = {f(x) | x  D} Hàm số ngược Cho hàm số f : X  Y, x  y = f(x) Nếu mỗi y thuộc Y đều tồn tại duy nhất x thuộc x sao cho f(x) = y. Khi đó hám số g : Y  X y  x = g(y) gọi là hàm số ngược của hàm f, kí hiệu g = f –1 Chú ý: Nếu f có hàm ngược thì:  f(x) = y  f – 1(y) = x  f – 1(f(x)) = x và f(f – 1(x))= x Định lí: Nếu f : D  T = f(D) đơn điệu trên D thì f có ánh xạ ngược f – 1 : T  D 1.1.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản 1) Hàm lũy thừa y = x (  R*) 2) Hàm mũ y = ax (a > 0, a  1) 3) Hàm logarit y = logax (a > 0, a  1) 4) Các hàm lượng giác 5) Các hàm lượng giác ngược a) Hàm số sin :  2;2   [–1; 1] tăng nên có hàm số ngược. Ký hiệu là y = arcsin x. Vậy hàm arcsin: [ 1;1] ;2 2 x y arcsinx        trong đó siny = x, gọi là hàm ắc-sin. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 2 b) Hàm số y = cos x Hàm ắc-cô-sin là hàm  arccos: [ 1;1] 0; x y arccosx    trong đó cosy = x c) Hàm số y = tanx Hàm ắc-tang là hàm arctan: R ;2 2 x y arctan x       trong đó tany = x d) Hàm số y = cotx Hàm ắc-cô-tang là hàm  arccot: R 0; x y arccotx   trong đó coty = x Ví dụ: 3arcsin 2 3       ; arctan1 4  ; 1 2arccos 2 3     1.2 Dãy số 1.2.1 Định nghĩa dãy số, dãy con, giới hạn. Cho X, Y là hai tập khác rỗng một quy tắc f đặt tương ứng mỗi phần tử x  X với một và chỉ một phần tử y  Y gọi là một ánh xạ. Ký hiệu f : X Y, x y f (x)  Hay f : X Y x y f (x)   Ánh xạ *u : N R , n u(n)  gọi là một dãy số Để đơn giản ta ký hiệu un = u(n). Dãy số có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n chẳng hạn: u1; u2; u3;...; un; ... Ký hiệu dãy số u là (un)n N * hoặc gọn hơn là (un)n hay (un). Dãy con Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 3 Giới hạn của dãy số Định nghĩa 1 Dãy số (un) gọi là dần về a (hay có giới hạn a hay hội tụ về a) nếu  > 0, n0  N sao cho n>n0 thì |un – a| < . Kí hiệu: nnlim u a  , limun = a hay un  a. Định nghĩa 2 (Giới hạn vô hạn) Cho dãy số (an)n . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an > M  n > n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn cộng vô cùng. Ký hiệu: liman = +  hay an + . – Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, tồn tại n0  N sao cho an n0 thì ta nói dãy (an)n có giới hạn trừ vô cùng. Ký hiệu: liman = –  hay an – . Chú ý:  limC = C (C là hằng số)  lim 1n = 0 (với  > 0)  limqn = 0 (với |q| < 1)  limun =  thì lim n 1 0u  1.2.2. Tính chất của dãy hội tụ Định lí 1 Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất Định lí 2 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn Định lí 3 Nếu (an)n là dãy tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ. Nếu (an)n là dãy giảm và bị chặn dưới thì nó hội tụ. Định lí 4 Cho (an)n và (bn)n là hai dãy hội tụ. Khi đó, ta có: i) lim(an  bn) = liman  limbn ii) lim(anbn) = liman.limbn iii) Nếu limbn  0 thì n n n n a limalim b limb iv) Nếu an ≤ bn với mọi n > n0 thì liman ≤ limbn Hệ quả: Nếu an ≤ bn  cn và liman = limcn = L thì limbn = L 1.3. Giới hạn của hàm số 1.3.1. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 (có thể trừ điểm x0). Số L được gọi là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn)n , xn  x0 sao cho khi limxn = x0 thì limf(xn) = L. Khi đó, ta viết . Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 4 Một số giới hạn cần nhớ 0x xlim C C  0 0x xlim x x  xlim arctan x 2   xx 0 x 0 x 0sinx e 1 ln(1 x)lim 1 ; lim 1 ; lim 1x x x       Tính chất Định lí 1: Giới hạn của hàm số y = f(x) khi x  x0 (nếu có) là duy nhất. Định lí 2: Nếu f(x)  g(x) x  U0 và 0x xlim f (x) L  , 0x xlim g(x) L'  thì L  L'. Định lí 3: (nguyên lý kẹp) Nếu h(x)  f(x)  g(x) x  U0 và 0 0x x x xlim h(x) lim g(x) L   thì 0x xlim f (x) L  Định lí 4: Giả sử 0x xlim f (x) a  ; 0x xlim g(x) b  . Khi đó: i)   0x xlim f (x) g(x)   a  b ii)   0x xlim f (x).g(x) a.b iii) Nếu b  0 thì 0x x f (x) alim g(x) b  1.2.2 Vô cùng bé, vô cùng lớn a) Vô cùng bé Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x0 nếu 0x xlim f (x) 0  . Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x  x0, khi đó: – Nếu 0x x f (x)lim 0g(x)  thì ta nói f(x) là VCB bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là VCB bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) = o(g(x)) – Nếu 0x x f (x)lim 1g(x)  thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi xx0 và ký hiệu là f(x) ~ g(x). – Nếu 0x x f (x)lim Ag(x)   R* thì ta nói f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi xx0 Ứng dụng VCB tương đương để khử dạng vô định 00    . i) Nếu f(x) là VCB khi xx0 thì f(x) + o(f(x)) ~ f(x) khi xx0. ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì 0 0x x x x f (x) F(x)lim limg(x) G(x)  . Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 5 b) Vô cùng lớn Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0. Hàm f gọi là một vô cùng lơn (VCL) khi x  x0 nếu 0x xlim | f (x) |   . Giả sử f(x) và g(x) là các VCL khi x  x0, khi đó: – Nếu 0x x f (x)lim g(x)   thì ta nói f(x) là VCL bậc cao hơn so với g(x) hay g(x) là VCL bậc thấp hơn so với f(x) khi x  x0. Kí hiệu f(x) >> g(x) – Nếu 0x x f (x)lim 1g(x)  ta nói f(x) và g(x) là hai VCL tương đương khi xx0 và ký hiệu là f(x) ~ g(x). Ứng dụng VCL tương đương để khử dạng vô định     . i) Nếu f(x) >> g(x) khi xx0 thì f(x) + g(x) ~ f(x) khi xx0. ii) Nếu f(x) ~ F(x) và g(x) ~ G(x) khi x  x0 thì 0 0x x x x f (x) F(x)lim limg(x) G(x)  . Chú ý: Khi x  +∞ ta có: ax >> xn >> lnx với a > 1, n > 0. 1.4 Hàm số liên tục 1.4.1 Định nghĩa f liên tục tại x0  0 0x xlim f (x) f (x )  f liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x  (a;b) f liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên (a;b) và x a x blim f (x) f (a); lim f (x) f (b)    1.4.2 Tính chất Định lí: Mọi hàm số sơ cấp đều liên trên từng khoảng xác định của nó. Định lí: Nếu f là hàm liên tục trên [a; b] thì f nhận mọi giá trị trung gian giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của nó trên [a; b]. Th.S. Nguyễn Hoàng Anh Khoa 6 Bài tập chương 1 1.1. Tính giới hạn của dãy (un) biết a) 3 2(n 1) n 3lim n 3n 10     b) 1 n 1 n u 0 u 2 u    1.2. Tính các giới hạn: a) A = 3x 2 x 2 x 6lim x 2    b) B = 3x 0 sinx t anxlim x  1.3. Xét tính liên tục các của hàm số: a) 2 1 cosx ,x 0xf (x) 1 ,x 02     b) 1x.sin ,x 0f (x) x0 ,x 0    