Bài giảng Toán V Xác suất thống kê

MATHEDUCARE.COM 1 PHẠM XUÂN ðỒNG TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V XÁC SUẤT THỐNG KÊ Hà Nội, 2011− 2012 MATHEDUCARE.COM 2 MỤC LỤC Trang $1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 3 $2. CÁC ðỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT 9 $3. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 13 $4. BIẾN NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ðỒNG THỜI 17 $5. KỲ VỌNG VÀ PHƯƠNG SAI 21 $6. COVARIANCE VÀ HỆ SỐ TƯƠNG QUAN NỘI DUNG KIỂM TRA GIỮA KỲ 25 $7. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 29 $8. MẪU NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI MẪU CỦA CÁC THỐNG KÊ THƯỜNG GẶP 33 $9. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH 37 $10. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ 41 $11. KIỂM ðỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TRUNG BÌNH 45 $12. KIỂM ðỊNH GIẢ THUYẾT VỀ TỶ LỆ 51 $13. HỒI QUY TUYẾN TÍNH ðƠN 55 $14. KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM ðỊNH GIẢ THIẾT CÁC HỆ SỐ ðƯỜNG HỒI QUY – BÀI TOÁN DỰ ðOÁN 58 $15. TỔNG KẾT VÀ CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP 63 $16. BÀI TẬP THEO 14 MỤC CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN V (XSTK) 67 $17. PHỤ LỤC 1: TÍNH BẰNG MÁY TÍNH CASIO 68 $18. PHỤ LỤC 2: BẢNG TRA THƯỜNG SỬ DỤNG. 69 MATHEDUCARE.COM 3 TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Thống kê là khoa học và cách thức quen thuộc ñể trình bày sự hiểu biết của con người bằng dữ liệu thực nghiệm. Trong lý thuyết thống kê, tính ngẫu nhiên và sự không chắc chắn ñược lấy từ các mô hình của lý thuyết xác suất. Vì mục ñích của khoa học thống kê là ñể tìm ra thông tin "ñúng nhất" theo dữ liệu có sẵn nên có thể thấy thống kê ñược ứng dụng thực tế rất rộng trong nhiều lĩnh vực xã hội, sản suất, Giáo trình “Xác suất và Thống kê dành cho kỹ sư và các nhà khoa học” của nhóm tác giả Ronal, Raymond, Sharon trình bày các ñặc tính của lý thuyết thống kê và phân tích dữ liệu trên nền tảng những vấn ñề cơ bản của xác suất và các phân phối xác suất, ñể dẫn ñến những kết luận về thống kê. Những yếu tố xác suất cho phép chúng ta xác ñịnh ñược sự “tin cậy” trong những kết luận của mình. ðó cũng là lý do học xác suất trước khi học thống kê suy luận. Sử dụng các phương pháp thống kê ñòi hỏi phải thu thập dữ liệu như là “nguồn vật liệu” ban ñầu. Tuy nhiên từ ñó ñể ñưa ra những kết luận còn có một khoảng cách khá lớn. Chính vì thế, thống kê suy luận tạo ra những công cụ phân tích, vượt qua khỏi việc chỉ ñưa thông tin mô tả về dữ liệu, ñã rút ra các kết luận hoặc các suy luận về hệ thống sinh ra dữ liệu ñó. Từ ñó mới có thể hiểu ñược bản chất của dữ liệu, ước lượng và dự ñoán dữ liệu có thể sinh ra. 1.1 PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ. I. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU. + Phép thử ngẫu nhiên là một quá trình sinh ra một tập dữ liệu mà không thể dự báo trước ñược sự xẩy ra của mỗi dữ liệu (mặc dù có thể biết toàn bộ tập dữ liệu ñó). + Tập hợp tất cả kết quả có thể của một phép thử ñược gọi là không gian mẫu, ký hiệu S hoặc Ω. + Mỗi kết quả trong không gian mẫu gọi là một phần tử của không gian mẫu, hoặc là một ñiểm mẫu. + Mô tả không gian mẫu bằng liệt kê (nếu hữu hạn phần tử) hoặc bằng một mệnh ñề, quy tắc (nếu có thuộc tính chung hoặc vô hạn). Có thể dùng sơ ñồ cây liệt kê những phần tử của không gian mẫu ñể có nhiều thông tin hơn. Ví dụ 1 Tìm không gian mẫu S của phép thử là tung một ñồng xu. Giải: Những kết quả không gian mẫu là S = {ngửa, sấp} Ví dụ 2 Tìm không gian mẫu của phép thử là tung một xúc xắc. Giải: Nếu ta quan tâm ñến số chấm xuất hiện của mặt trên, không gian mẫu là S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Nếu ta chỉ quan tâm tới số chấm xuất hiện chẵn hoặc lẻ, không gian mẫu ñơn giản là S2 = {chẵn, lẻ}. MATHEDUCARE.COM 4 Ví dụ 3 Tìm không gian mẫu của một phép thử là tung một ñồng xu. Nếu xuất hiện mặt sấp thì tung nó lần thứ hai, còn xuất hiện mặt ngửa, thì tung một con xúc xắc lên. Giải: Không gian mẫu liệt kê theo sơ ñồ cây như sau: Ω = {SS, SN, N1, N2, N3, N4, N5, N6} Ví dụ 4 Một lô hàng có 6 sản phẩm, trong ñó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 sản phẩm. Tìm không gian mẫu của phép thử. Giải: Cách 1: Gọi T = ”thành phẩm” , X = ”phế phẩm”. không gian mẫu là: S1 = {TTT, TTX, TXX} (quan tâm ñến kết quả cuối cùng, không xét quá trình lấy: 3 ñiểm mẫu) Cách 2: Gọi Ti = ”lần thứ i lấy ñược thành phẩm”, Xi = ” lần thứ i lấy ñược phế phẩm ” với i =1, 2, 3. Không gian mẫu: S2={T1T2T3, T1T2X3, T1X2T3, X1T2T3, T1X2X3, X1T2X3, X1X2T3} (quan tâm ñến quá trình nên xét ñến thứ tự xẩy ra kết quả: 7 ñiểm mẫu) Chú ý 1: Có nhiều hơn một không gian mẫu mô tả kết quả của một phép thử. ðiều mong muốn là sử dụng một không gian mẫu cho thông tin nhiều nhất. Cách tìm không gian mẫu: ðặt tên các loại phần tử có mặt hoặc các bước hình thành phép thử. Sau ñó mô tả ñiểm mẫu theo kết quả xẩy ra trong phép thử. II. BIẾN CỐ + Biến cố là một tập con của không gian mẫu. + Dùng A, B, C, A1 , A2, ñể ký hiệu cho biến cố. + Một tập con của S không chứa bất kỳ một phần tử nào gọi là biến cố không thể, ký hiệu ∅. + Tập hợp là toàn bộ không gian mẫu S gọi là biến cố chắc chắc. 1.2 PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ CÁC BIẾN CỐ Phép toán các biến cố giúp ta nhận ñược thông tin về biến cố mới thông qua các biến cố trong một phép thử, tức là một biến cố phức hợp ñược biểu diễn qua các biến cố ñơn giản hơn, ñã có trong S. Giả sử A và B là hai biến cố trong một phép thử, hay là tập con của không gian mẫu S. 1. Phần bù của một biến cố A trong S là tập con gồm tất cả những phần tử của S mà không nằm trong A. Ký hiệu phần bù của A là A hoặc A' . 2. Giao của hai biến cố A và B, ký hiệu A B∩ hoặc AB, là biến cố chứa tất cả những phần tử chung của A và B . (hay ñồng thời trong A và B) 3. Hợp của hai biến cố A và B, ký hiệu A B∪ hoặc A B+ , là biến cố chứa tất cả những phần tử mà thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả hai. (hay ít nhất trong A hoặc B) 4. Hai biến cố A và B là xung khắc, hay rời nhau nếu A B∩ = ∅ , tức là A và B không có phần tử chung Ví dụ 5 Cho không gian mẫu S ={1,2,3,4,5,6} và A ={2,4,6}, B ={4,5,6} là các tập con của S. Tìm A , A∪B , A B∩ Chú ý 2: 1) Biểu ñồ Venn ñể mô tả các phép toán và quan hệ giữa 2 biến cố. MATHEDUCARE.COM 5 2) Hằng ñẳng thức: * A∪A=A, A∪S=S, A∪∅=A, A A A∩ = , A S A∩ = , A∩ ∅ = ∅ , AA = , SAA =∪ , A A∩ = ∅ 3) Tính chất : * Giao hoán A B B A∪ = ∪ , A B B A∩ = ∩ . * Kết hợp: (A∪B)∪C = A∪(B∪C), ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ . * Phân phối: ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ , ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ 4) ðịnh lý De Morgan: nn AAAA ∪∪=∩∩ ...... 11 , nn AAAA ∩∩=∪∪ ...... 11 Ví dụ 6 Dùng biểu ñồ Venn gạch chéo miền chứa biến cố (a) A B∩ (b) A B∩ (c) BA ∪ (d) BA ∪ Ví dụ 7 Dùng biểu ñồ Venn gạch chéo miền chứa biến cố (a) ( )A B C∩ ∪ (b) ( )A B C∩ ∪ (c) A B C∩ ∩ (d) CBA ∪∪ Ví dụ 8 Lấy ra 4 sản phẩm trong kho có nhiều phế phẩm. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mẫu. A = ”có nhiều nhất một phế phẩm”. B = ”có ít nhất 1 phế phẩm”. Giải: Gọi biến cố =iC ”có i phế phẩm trong 4 sản phẩm lấy ra” với i = 0, 1 , 2, 3, 4. Ta có: 10 CCA ∪= , 04321 CCCCCB =∪∪∪= Ví dụ 9 Hai xạ thủ BA, cùng bắn vào một mục tiêu mỗi người 1 viên ñạn. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mẫu. M = ”mục tiêu bắn trúng”, N = ”mục tiêu bắn trượt”, H = ”chỉ một viên bắn trúng”. Giải: Gọi biến cố A = ”Xạ thủ A bắn trúng”, B = ”Xạ thủ B bắn trúng”. ABABBABAM ∪∪=∪= , BABAN =∪= , ABBAH ∪= Ví dụ 10 Hai cầu thủ bóng rổ A, B mỗi người lần lượt ném 2 quả bóng vào rổ. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau qua các ñiểm mấu. X = ”số bóng trúng rổ của 2 cầu thủ bằng nhau”, Y = ”số bóng trúng rổ của 2 cầu thủ bằng 3” Giải: Cách 1: Gọi biến cố =*iA ”người A ném i quả bóng trúng rổ”, =*iB ”người B ném i quả bóng trúng rổ” với i = 0,1,2 thì *2*2*1*1*0*0 BABABAX ∪∪= , *1*2*2*1 BABAY ∪= Cách 2: Gọi biến cố Ai = ”người A ném quả bóng thứ i trúng rổ”, Bi = ”người B ném quả bóng thứ i trúng rổ” với i = 1,2. 2121 BBAAX = 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ 2121 BBAAY = 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ 2121 BBAA∪ MATHEDUCARE.COM 6 Ví dụ 11 Ba xạ thủ A, B, C cùng bắn vào một mục tiêu. Hãy ñặt tên các ñiểm mẫu và biểu diễn các biến cố sau : H = ”có ñúng hai xạ thủ bắn trúng” , T = ”ít nhất một xạ thủ bắn trúng” , D = ”cả ba xạ thủ bắn trượt” (ðS: BCACBACABH ∪∪= , CBAT ∪∪= , CBATD ..== ) Chú ý 3: 1) Có nhiều cách chọn các ñiểm mẫu của phép thử như sau: + Chọn số viên trúng của từng người : Ai = ” có i viên bắn trúng” với i = 0, 1, 2. + Chọn lần bắn trúng của từng người : Ai = ” lần bắn thứ i trúng” với i = 1, 2. + Chọn thuộc tính bắn trúng, trượt chung của hai người : BABABAAB .,,, + Chọn thuộc tính bắn trúng, trượt của từng người : BBAA ,,, + Chọn thuộc tính bắn trúng của từng người : BA, và suy ra thuộc tính bắn trượt BA, 2) Khi phép thử có nhiều bước thực hiện thì dùng sơ ñồ cây sẽ cho ñiểm mẫu nhiều thông tin hơn thì mô tả biến cố mới sẽ ñơn giản hơn, nhưng cũng có thể dài hơn. 1.3 ðẾM CÁC ðIỂM MẪU I. QUY TẮC NHÂN: Nếu một công việc chia ra k giai ñoạn, giai ñoạn 1 có n1 cách , giai ñoạn 2 có n2 cách ,..., giai ñoạn k có nk cách thực hiện, thì có n1n2nk cách thực hiện xong công việc. II. QUY TẮC CỘNG: Nếu một công việc ñược chia ra k trường hợp ñể thực hiện, trường hợp 1 có n1 cách, trường hợp 2 có n2 cách ,..., trường hợp k có nk cách thực hiện và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với cách thực hiện ở trường hợp khác, thì có n1 + n2 ++ nk cách thực hiện xong công việc. Ví dụ 12 Một thiết bị ñược tạo bởi 2 bộ phận. Bộ phận 1 có 3 loại, bộ phận 2 có 5 loại. Hỏi thiết bị trên có bao nhiêu loại. (ðS: 15) Ví dụ 13 Có bao nhiêu số có 3 chữ số có tổng bằng 4. Giải: Số cần tìm là abc + Nếu 4=a : có 1 số 400 . + Nếu 3=a : có 2 số 301,310 . + Nếu 2=a : có 3 số 220,202,211 . + Nếu 1=a : có 4 số 103, 112, 121, 130. Vậy có 1+2+3+4=10 số. III. HOÁN VỊ Ta thường quan tâm ñến không gian mẫu mà các phần tử là tất cả những cách sắp thứ tự hoặc chỉ sắp xếp của một nhóm ñối tượng. Những sắp xếp khác nhau ñược gọi là các hoán vị. Những hoán vị xuất hiện khi sắp xếp các phần tử theo một vòng tròn ñược gọi là những hoán vị vòng quanh. Hai hoán vị vòng quanh ñược coi là khác nhau nếu các phần tử ñứng trước hoặc ñứng sau một phần tử trong hai cách sắp xếp theo chiều kim ñồng hồ là khác nhau. 1. ðịnh nghĩa: Một hoán vị là một sắp xếp toàn bộ hoặc một bộ phận của một tập phần tử. 2. ðịnh lý 1.1 : (a) Số những hoán vị của n phần tử phân biệt là . !1.2)...1.( nnnPn =−= . (b) Số những hoán vị của k phần tử phân biệt trong n phần tử (gọi là chỉnh hợp chập k của n) là . )!( !)1)....(1.( kn nknnnAkn − =+−−= . MATHEDUCARE.COM 7 (c) Số những hoán vị của n phần tử phân biệt ñược sắp xếp theo một vòng tròn là )!1( −n (d) Số những hoán vị phân biệt của n phần tử mà trong ñó n1 phần tử thuộc kiểu thứ nhất, n2 phần tử thuộc kiểu thứ hai, ... , nk phần tử thuộc kiểu thứ k là . !!! ! 21 knnn n ⋯ . Ví dụ 14 Có 5 người xin làm 2 việc A, B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp mỗi người một việc? (ðS: 2025 =A ) Ví dụ 15 Có bao nhiêu xếp sắp 4 người vào một bàn ăn có 4 chỗ ngồi? (ðS: 4!) Ví dụ 16 Có bao nhiêu cách sắp khác nhau ñể tạo thành một xâu ñèn của cây thông Noel có 3 bóng ñèn ñỏ, 4 bóng ñèn vàng, và 2 bóng ñèn xanh vào 9 ñui ñèn? (ðS: 1260)!2!4!3/(!9 = ) IV. PHÂN HOẠCH Ta thường quan tâm ñến số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r tập con (nhóm) ñược gọi là các ngăn. Một phân hoạch ñược hoàn thành khi giao của mọi cặp trong r tập con là tập rỗng ∅ và hợp của tất cả những tập con là tập ban ñầu. Thứ tự của các phần tử bên trong một ngăn là không quan trọng. Nếu ta quan tâm ñến số cách chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan tâm ñến thứ tự, gọi là các tổ hợp. Một tổ hợp thực chất là một phân hoạch có hai ngăn, một ngăn chứa k phần tử ñược chọn còn ngăn kia chứa (n − k) phần tử còn lại. ðịnh lý 1.2: (a) Số cách phân hoạch một tập gồm n phần tử thành r ngăn mà có n1 phần tử trong ngăn thứ nhất, n2 phần tử trong ngăn thứ hai,..., là . 1 2, ,..., 1 2 ! ! ! ! rn n n n r nC n n n = = ⋯ , trong ñó 1 2 ... rn n n n+ + + = . (b) Số các tổ hợp ñược tạo ra khi lấy k phần tử cùng một lúc từ n phần tử phân biệt là . ! !( )! k n nC k n k = − . Ví dụ 17 Có bao nhiêu ñường chéo trong thập giác lồi ? (ðS: 35104510210 =−=−C ) Ví dụ 18 Một ñồn có 9 người, bố trí 2 người trực, 3 người chốt ở ñiểm A, 4 người chốt ở ñiểm B. Hỏi có bao nhiêu cách phân công. (ðS: 1260.. 4437294,3,29 == CCCC ) 1.4. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ. Ta chỉ xét những phép thử mà không gian mẫu có hữu hạn phần tử. ðối với mọi ñiểm trong không gian mẫu, ta gán một xác suất sao cho tổng tất cả các xác suất bằng 1. ðể tìm xác suất của một biến cố A, ta lấy tổng tất cả những xác suất ñược gán cho các ñiểm mẫu trong A. Tổng này ñược gọi là xác suất của A và ký hiệu là P(A). 1. ðịnh nghĩa: Xác suất của một biến cố A là tổng của khối lượng của toàn bộ ñiểm mẫu trong A. Bởi vậy: 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(S) = 1. MATHEDUCARE.COM 8 Ví dụ 19 Một con súc sắc ñược ñổ chì sao cho khả năng xuất hiện một chấm chẵn gấp 2 lần khả năng xuất hiện một chấm lẻ. Nếu E là biến cố số chấm nhỏ hơn 4 xuất hiện trong một lần tung xúc xắc, hãy tìm P(E)? Giải: Không gian mẫu là S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Ta gán một xác suất w cho mỗi số chấm lẻ và một xác suất 2w cho mỗi số chấm chẵn. Do tổng của các xác suất phải bằng 1, ta có 9w = 1 hay w = 1/9. Từ ñó, các xác suất 1/9 và 2/9 ñược gán cho mỗi số chấm chẵn và lẻ tương ứng. Do ñó: E = {1, 2, 3} và 9 4 9 1 9 2 9 1)( =++=EP . Ví dụ 20 Trong Ví dụ 20 cho A là biến cố ñể xuất hiện số chấm chẵn và cho B là biến cố ñể xuất hiện số chấm chia hết cho 3. Hãy tìm P(A∪B) và P(AB). Giải: ðối với các biến cố A = {2, 4, 6} và B = {3, 6}, ta có A∪B = {2, 3, 4, 6} và AB = {6}. Bằng cách gán xác suất 1/9 cho mỗi số chấm lẻ và 2/9 cho mỗi số chấm chẵn, ta có 9 7 9 2 9 2 9 1 9 2)( =+++=∪ BAP và 9 2)( =ABP . 2. ðịnh lý 1.3 Nếu một phép thử có thể dẫn ñến bất kỳ một trong N kết quả phân biệt ñồng khả năng, và trong ñó có ñúng n kết quả thuận lợi cho biến cố A, thì xác suất của biến cố A là . N nAP =)( . Ví dụ 21 Trong tay cầm 5 cây bài, hãy tìm xác suất ñể trong ñó có 2 cây Át và 3 cây J. (ðS:9,23.10-6) Ví dụ 22 Xếp ngẫu nhiên 5 người vào 5 chỗ. Tính xác suất ñể hai người A, B ngồi cạnh nhau (a) trong một bàn dài. (b) trong một bàn tròn. (ðS: (a): 0,4 (b): 0,5) Giải: (a) Gọi X = ”A,B ngồi cạnh nhau trong một bàn dài”. Số ñiểm mẫu xếp 5 người vào 5 chỗ là: N = 5!=120. Xếp 5 người có A,B ngồi cạnh nhau qua 2 bước: + Coi A,B cạnh nhau là chỗ kép thì xếp 5 người có 4! cách. + Xếp A,B trong chỗ kép có 2! cách. Số ñiểm mẫu thuận lợi cho X là: nX = 4!.2!=48. nên P(X) = 48/120 = 0,4. (b) Y = ”A,B ngồi cạnh nhau trong một bàn tròn”. Số trường hợp có thể xếp 5 người vào 5 chỗ là 5!=120. Xếp 5 người có A, B ngồi cạnh nhau qua 3 bước: + Xếp A có 5 cách. + Xếp B theo A có 2 cách + Xếp 3 người còn lại 3!=6 cách. Số ñiểm mẫu thuận lợi cho Y là: nY = 5.2.6=60 nên P(Y)=60/120=0,5. Ví dụ 23 Một bình có 10 viên bi, trong ñó 6 bi ñỏ, 4 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất của biến cố: (a) A = ”Không có quá 1 viên bi xanh” , (b) B = ”Có ít nhất 1 xanh, 1 ñỏ”. ðS: (a) 6666,0/).()( 31026143604 =+= CCCCCAP (b) 8,0/)..()( 31014262416 =+= CCCCCBP MATHEDUCARE.COM 9 TÓM TẮT BÀI GIẢNG TOÁN V ( XÁC SUẤT THỐNG KÊ ) $2. CÁC ðỊNH LÝ VỀ PHÉP TOÁN XÁC SUẤT PHẠM XUÂN ðỒNG MỞ ðẦU Từ quan hệ giữa các biến cố qua các phép toán hợp, giao, phần bù, chúng ta tìm quy tắc tính xác suất của những biến cố phức hợp. ðiều này rất có ích, giúp cho chúng ta tính ñược xác suất của một biến cố chưa biết thông qua các biến cố ñã biết. 2.1 QUY TẮC CỘNG. 1. ðịnh lý 2.1 Nếu A và B là hai biến cố tùy ý thì . . ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P AB+ = + − . . Hệ quả 1 Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì . ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + . .. Hệ qủa 2 Nếu A1, An xung khắc với nhau thì . 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nP A A A P A P A P A+ + + = + + + . Hệ quả 3 Nếu A1, An là một phân hoạch của không gian mẫu S, thì: . 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1n nP A A A P A P A P A P S+ + + = + + + = = . 2. ðịnh lý 2.2 Với 3 biến cố A, B, C ta có: . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC+ + = + + − − − + . . 3. ðịnh lý 2.3 Nếu A và A là hai biến cố phần bù của nhau thì . 1)()( =+ APAP . Ví dụ 1 Trong kỳ thi 2 môn Toán và tiếng Anh, xác suất ñể Paula thi ñỗ môn toán là 2/3 và xác suất ñể cô ta thi ñỗ môn tiếng Anh là 4/9, xác xuất ñể thi ñỗ cả 2 môn là 1/4. Tính xác suất ñể Paula (a) thi ñỗ ít nhất một môn. (b) không ñỗ môn nào. (c) thi trượt ít nhất một môn. (d) thi ñỗ ñúng một môn. Giải: * Gọi tên biến cố ñã biết (hay các ñiểm mẫu): Gọi M = “thi ñỗ môn toán” , E = “thi ñỗ môn tiếng Anh”⇒ Biến cố ñỗ cả 2 môn là ME * Gọi tên biến cố cần tìm: A = “thi ñỗ ít nhất một môn” B = “không ñỗ môn nào” C = “thi trượt ít nhất một môn”. D = “thi ñỗ ñúng một môn”. * Xác ñịnh các xác suất ñã biết: 4 1)(, 9 4)(, 3 2)( === MEPEPMP * Thiết lập phép toán giữa biến cố cần tìm với các biến cố ñã biết: A M E= + , B M E A= = , C M E ME= + = , D M E M E= + * Áp dụng công thức tính xác suất : 2 4 1 31( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 9 4 36 P A P M E P M P E P ME= + = + − = + − = ( ) 1 ( ) 5 / 36P B P A= − = , ( ) 1 ( ) 3 / 4P C P ME= − = Do A D ME= + và D, ME xung khắc nhau nên )()()( MEPDPAP += ( ) 11 /18P D⇒ = Chú ý 1: S = {ít nhất một} ∪ {không có} MATHEDUCARE.COM 10 2.2 XÁC SUẤT CÓ ðIỀU KIỆN. Xác suất của biến cố B xẩy ra khi biết biến cố A nào ñó ñã xảy ra ñược gọi là xác suất có ñiều kiện , ký hiệu là P(B|A), thường ñược ñọc là “ xác suất ñể B xảy ra với ñiều kiện A ñã xảy ra” hoặc ñơn giản là “xác suất của B với ñiều kiện A”. 1. ðịnh nghĩa Xác suất có ñiều kiện của B với ñiều kiện A, ký hiệu P(B|A), ñược xác ñịnh như sau: . ( )( | ) ( ) P ABP B A P A = nếu P(A) > 0 . 2. ðịnh nghĩa Hai biến cố A và B ñược gọi là ñộc lập với nhau khi và chỉ khi )()|( BPABP = hoặc )()|( APBAP = . Trong trường hợp ngược lại ta nói A và B phụ thuộc nhau. Ví dụ 2 Xác suất ñể một chuyến bay khởi hành ñúng giờ là P(A) = 0,83, xác suất ñể nó ñến ñúng giờ là P(B) = 0,82, xác suất ñể nó khởi hành và ñến ñều ñúng giờ là 78,0)( =ABP . Tính xác suất ñể một chiếc máy bay: (a) ñến ñúng giờ biết rằng nó ñã khởi hành ñúng giờ; (b) khởi hành ñúng giờ biết rằng nó ñã ñến ñúng giờ. (c) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ, biết rằng nó ñã khởi hành không ñúng giờ Giải: (a) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ biết rằng nó ñã khởi hành ñúng giờ là: 94,0 83,0 78,0 )( )()|( === AP ABPABP (b) Xác suất ñể một máy bay khởi hành ñúng giờ biết rằng nó ñã ñến ñúng giờ là: 95,0 82,0 78,0 )( )()|( === BP ABPBAP (c) Xác suất ñể một máy bay ñến ñúng giờ, biết rằng nó ñã khởi hành không ñúng giờ là: )( )()|( AP BAPABP = Ta có: 17,083,01)(1)( =−=−= APAP và ( ) ( ) ( )AB AB A A B SB B+ = + = = . Vậy )()()( BPABPBAP =+ 04,078,082,0)( =−=⇒ BAP nên 235,0 17,0 04,0)|( ==ABP Chú ý 2: )()()( ABPBPBAP −= Ví dụ 3 Trong một thí nghiệm nhằm nghiên cứu mối liên hệ giữa bệnh cao huyết áp với thói quen hút thuốc lá, số liệu thu thập ñược từ 180 người như sau: Không hút thuốc Hút thuốc nhưng không nghiện Nghiện thuốc Huyết áp cao 21 36 30 Bình thường 48 26 19 Nếu chọn ngẫu nhiên một trong những người này, hãy tìm xác suất ñể người ñó bị cao huyết áp, biết rằng người ñó nghiện thuốc; Giải: Gọi A = “huyết áp cao” , B = “nghiện thuốc” , C = “không hút thuốc”. 4833,0 180 87 192648303621 303621)( == +++++ ++ =AP , 2722,0 180 49)( ==BP 180 30)( =ABP nên 49 30 )( )()|( == BP ABPBAP MATHEDUCARE.COM 11 2.3 QUY TẮC NHÂN 1. ðịnh lý 2.4 Nếu trong một phép thử, các biến cố A và B có thể cùng xảy ra thì )|().()( AB