Bài giảng Vật lý đại cương

Bμi gi¶ng VËt lý ®¹i c−¬ng T¸c gi¶: PGS. TS §ç Ngäc UÊn ViÖn VËt lý kü thuËt Tr−êng §H B¸ch khoa Hμ néi Tμi liÖu tham khaá: 1. Physics Classical and modern Frederick J. Keller, W. Edward Gettys, Malcolm J. Skove McGraw-Hill, Inc. International Edition 1993. 2. R. P. Feymann Lectures on introductory Physics 3. I. V. Savelyev Physics. A general course, Mir Publishers 1981 4. VËt lý ®¹i c−¬ng c¸c nguyªn lý vμ øng dông, tËp I, II, III. Do TrÇn ngäc Hîi chñ biªn C¸c trang Web cã liªn quan: Bμigi¶ngcãtrongtrang: Vμo§μo t¹o ->Bμigi¶ngVL§CII load bμi gi¶ng vÒ in thμnh tμi liÖu cÇm tay, khi nghe gi¶ng ghi thªm vμo! •Tμi liÖu häc : VËt lý ®¹i c−¬ng: Dïng cho khèi c¸c tr−êng §H kü thuËt c«ng nghiÖp (LT&BT) TËp II: §iÖn, Tõ, Dao ®éng & sãng. ¾ C¸ch häc: Lªn líp LT; mang theo tμi liÖu cÇm tay, nghe gi¶ng, ghi thªm vμotμi liÖu. • VÒ nhμ: Xem l¹i bμi ghi, hiÖu chØnh l¹i cïng tμi liÖu -> LμmbμitËp. •LªnlípBT b¾t ®ÇutõtuÇn2: SV lªn b¶ng, thÇy kiÓm tra vë lμmbμiënhμ. • §iÓm QT hÖ sè 0,3 gåm ®iÓm kiÓm tra gi÷a kú + §iÓm chuyªn cÇn; NÕu nghØ 2,3 buæi trõ 1 ®iÓm, nghØ 4,5 buæi trõ 2 ®iÓm. • ThÝ nghiÖm: §äc tμi liÖu TN tr−íc, kiÓm tra xong míi ®−îc vμo phßng TN, Sau khi ®o ®−îc sè liÖu ph¶i tr×nh thÇy vμ ®−îc thÇy chÊp nhËn. • §ît 1: tõ tuÇn 3 (22/2/10) •Tμi liÖu: Liªn hÖ BM VLDC tÇng 2 nhμ D3.  Hoμn chØnh bμinμy míi ®−îc lμm tiÕp bμisau Cuèi cïng ph¶i b¶o vÖ TN £ NÕu SV kh«ng qua ®−îc TN, kh«ng ®−îc dù thi. • Thi: 15 c©u tr¾c nghiÖm (m¸y tÝnh chÊm) + 2 c©u tù luËn, räc ph¸ch (thÇy ngÉu nhiªn chÊm) Mçi ng−êi 1 ®Ò . §iÓm thi hs 0,7 • §iÓm qu¸ tr×nh hÖ sè 0,3. Ch−¬ng 1 Tr−êngtÜnh®iÖn 1. Nh÷ng kh¸i niÖm më ®Çu: •HiÖnt−îng nhiÔm ®iÖn do cä x¸t • §iÖn tÝch nguyªn tè: ®iÖn tö -e=-1,6.10-19C, -31 -27 me=9,1.10 kg; Proton: +e, mp=1,67.10 kg • MÊt ®iÖn tö nhiÔm ®iÖn d−¬ng: thuû tinh • NhËn ®iÖn tö nhiÔm ®iÖn ©m: lôa • §Þnh luËt b¶o toμn ®iÖn tÝch: Tæng ®¹i sè ®iÖn tÝch cña hÖ c« lËp lμ kh«ng ®æi. • Ph©n lo¹i vËt: DÉn ®iÖn, ®iÖn m«i, B¸n dÉn -> c¸c thuyÕt: KhÝ ®iÖn tö tù do ¸p dông cho kim lo¹i Lý thuyÕt vïng n¨ng l−îng ¸p dông cho TThÓ 2. §Þnh luËt Cul«ng 1 21 |qq| FF 21 == 2 4 0επε r r q rr 3. Kh¸i niÖm vÒ ®iÖn tr−êng, E = VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng πε r4 2 r n 0 Nguyªn lý chång chÊt rr = ∑ EE i ®iÖn tr−êng =1i r r •L−ìng cùc ®iÖn e = lqp r p2r r pe r e EM −= E N = 3 3 0επε r4 0επε r4 4.1. §−êng søc ®iÖn tr−êng §Æc ®iÓm: §−êng søc cña tr−êng tÜnh ®iÖn lμ c¸c ®−êng hë 2. §Þnh luËt Cul«ng 2.1. §Þnh luËt Cul«ng q q >0 trong ch©n kh«ng r rr 1 2 r r qq rr F10 12 F 21 12 20 20 = kF 2 q1 q2 r r r r r r F r21 r qq r 10 F20 21 21 10 = kF 2 q1 q2 r r qq kFF 21 r 2010 == 2 q1q2<0 r q r r q 1 Nm2 1 F10 F20 2 9 k = = 10.9 2 2 4πε0 C −12 C 0 =ε 10.86,8 1 |qq| Nm2 FF == 21 2010 4πε 2 H»ngsè®iÖnm«i 0 r  §L Cul«ng: Lùc t−¬ng t¸c gi÷a hai ®iÖn tÝch cã ph−¬ng n»m trªn ®−êng nèi hai ®iÖn tÝch, lμ lùc hót nhau nÕu hai ®iÖn tÝch tr¸i dÊu vμ ®Èy nhau nÕu cïng dÊu, cã ®é lín tû lÖ víi ®é lín tÝch gi÷a hai ®iÖn tÝch ®ã vμ tû lÖ nghÞch víi b×nh ph−¬ng kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÖn tÝch ®ã 2.2. §Þnh luËt Cul«ng trong m«i tr−êng 1 21 |qq| FF 21 == 2 4 0επε r ε- §é ®iÖn thÈm hay h»ng sè ®iÖn m«i tû ®èi  §é ®iÖn thÈm hay h»ng sè ®iÖn m«i tû ®èi ε cña mét sè chÊt: Ch©n kh«ng 1 Kh«ng khÝ 1,0006 Thuû tinh 5 ÷ 10 H2O 81 DÇuc¸ch®iÖn1000  Lùc Cul«ng do hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm q1, q2, ..., qn t¸c dông lªn ®iÖn tÝch ®iÓm q0 : n rrrrr 21 n =+++= ∑ FF...FFF i =1i 3. Kh¸i niÖm vÒ ®iÖn tr−êng, VÐc t¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng 3.1. Kh¸i niÖm vÒ ®iÖn tr−êng: T−¬ngt¸cgi÷ahai®iÖntÝch®iÓmx¶yranh− thÕ nμo? • ThuyÕt t¸c dông xa: Tøc thêi, kh«ng th«ng qua m«i tr−êng nμoc¶->Sai • ThuyÕt t¸c dông gÇn: Quanh ®iÖn tÝch cã m«i tr−êng ®Æc biÖt->®iÖn tr−êng lan truyÒn víi c-> vËn tèc t−¬ng t¸c giíi h¹n ->®iÖn tr−êng cña ®iÖn tÝch nμy t¸c dông lùc lªn®iªntÝchkia 3.2. VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng r F §Þnh nghÜa:VÐc t¬ c−êng ®é ®iÖn q0 tr−êng t¹i mét ®iÓm lμ ®¹i l−îng ⊕ q ⊕ r cã gi¸ trÞ b»ng lùc t¸c dông cña r F r E = ®iÖn tr−êng lªn mét ®¬n vÞ ®iÖn r q tÝch d−¬ng ®Æt t¹i ®iÓm ®ã 0 V M Thø nguyªn: ( ) r m E r VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng r q r E = 2 g©y ra bëi ®iÖn tÝch ®iÓm πε0r4 r r qq rr |q| 0 E = F = 2 2 πε0r4 r πε0r4 VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng g©y ra bëi hÖ ®iÖn tÝch ®iÓm r- q2 q ⊕ F2 n 1 M q ⊕ rrrrr r ⊕ i 21 n =+++= FF...FFF i q r ∑ Fi 0 =1i F1 n r F n r ∑ i n r n rr r F =1i Fi r = EE E ∑∑==== Ei ∑ i q0 q0 ==1i q0 1i =1i ...t¹i M b»ng tæng c¸c vÐc t¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng g©y ra bëi c¸c ®iÖn tÝch ®iÓm t¹i ®iÓm ®ã -> nguyªn lý chång chÊt ®iÖn tr−êng VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng g©y ra bëi vËt mang ®iÖn tÝch dq r rr dq r r EdE == dq r M r ∫∫ επε r4 2 r i Ed vËt bé Toμn bé vËt tbv 0 r r i ri Ed Trong tr−êng hîp cô thÓ ph¶i x¸c ®Þnh ph−¬ng vμ chiÒu b»ng h×nh vÏ, tÝch ph©n chØ x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña E D©y:λ(C/m) MÆt:σ(C/m2) Khèi:ρ(C/m3) dq= λdl dq= σdS dq= ρdV r r r λdl rr r σdS r r ρdV r E = E = E = ∫ 2 ∫ επε r4 2 r ∫ επε r4 2 r tbv 0επε r4 r tbv 0 tbv 0 r E 3.3. ThÝ dô r 2 α r r E r M •L−ìng cùc ®iÖn e = lqp E1 r r r r1 r r2 r += EEE 21 E=2E1cosα r - l α q l ql ⊕ q • N = 2E = -q 2 3 p2r επε r4 10 r2 1 επε r4 10 r e E N = 3 2 0επε r4 2 l rrlr ≈+=⇒>> r e = qlp 1 4 p pr E = e r e 3 EM −= 3 0επε r4 0επε r4 E ~ m«men l−ìng cùc ®iÖn pe •T¸c dông ®iÖn tr−êng ®Òu lªn l−ìng cùc ®iÖn +q r F θ r r r r r r r r 0 ×=×=×=μ ElqEqlFl 0 E r l 0 'F r r r -q ×=μ Ep 0e μ=qlE0sinθ •VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng g©y ra bëi d©y dÉn v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu λdx dEE == cos α n ∫∫ 22 + dq=λdx tbd tbd 0 +επε )rx(4 + M r 2222 rdα x α Ed +=α )rx/(rcos dx = n cos2 α + r r r π 2/ Ed // Ed λ λ || + E = ∫ dcos αα E = 0επε r4 π− 2/ 0επε r2 •VÐct¬c−êng®é®iÖntr−êng g©y ra bëi ®Üa trßn ph¼ng tÝch ®iÖn ®Òu dϕ r Ed ϕ r M 2 r E h Ed R r x dx x α Ed r h 1 dE=2dE1cosα cos =α + )xh( 2/122 σh xdxdϕ dq=σdS=σxdxdϕ E dE == ∫∫ 2/322 ®Üa ph¼ng v« h¹n tbd tbd 2 0επε + )xh( R π →∞ σh xdx R E = dϕ 2 επε 2/322 ∫∫ σ 0 0 + )xh( 0 E = σ 1 2 0εε E = 1( − 2/122 ) 2 0εε + )h/R1( 4. §iÖn th«ng 4.1. §−êng søc ®iÖn tr−êng lμ ®−êng cong mμ tiÕp tuyÕn t¹i mçi ®iÓm cña nã trïng víi ph−¬ng cña vÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng t¹i ®iÓm ®ã chiÒu cña ®−êng søc ®iÖn tr−êng lμ chiÒucñavÐct¬c−êng®é®iÖntr−êng r TËp hîp ®−êng søc cña E1 r r E2 ®iÖn tr−êng = ®iÖn phæ E3 r E4 ⊕ ⊕ ⊕ §Æc ®iÓm: §−êng søc cña tr−êng tÜnh ®iÖn lμ c¸c ®−êng hë 4.2. Sù gi¸n ®o¹n ®−êng søc cña ®iÖn tr−êng NÕu 2ε = ε gi¸n ®o¹n t¹i 1 2 ε ⊕ biªn giíi hai m«i tr−êng 1 ε =>VÐc t¬ c¶m øng ®iÖn 2 r r D = ε εE D = ε0εE 0 Thø nguyªn §iÖn tÝch ®iÓm C/m2 r q rr | q | D = D = 4πr 2 r 4πr 2 4.3. Th«ng l−îng c¶m øng ®iÖn dS r /®iÖn th«ng α D lμ ®¹i l−îng cã ®é lín b»ng sè r dSn ®−êng søc vÏ vu«ng gãc qua n r r diÖn tÝch dS = dS.n r r dΦe = DdS = DdScos α = DndS = DdSn qua diÖn tÝch S nr r r r n Φ = dΦ = DdS e ∫ e ∫ mÆt kÝn S S nr 5. §Þnh lý «xtr«gratxki-Gauox (¤-G) 5.1. Gãc khèi: gãc nh×n mét diÖn tÝch tõ mét ®iÓm r r dS = n.dSSd O rr dScosα dΩ rα dΩ = n r2 dScosα=dS Gãcnh×nmÆtcÇu(ph¸p tuyÕn ra): n r n dScosα dS n ' Ω = = n = 4π ∫ 2 ∫ 2 rr O S r S r n ' r n' Gãc nh×n mÆt cÇu r Ω’=-4π n nr (ph¸p tuyÕn vμo): 5.2. §iÖn th«ng xuÊt ph¸t tõ ®iÖn tÝch ®iÓm q r r §iÖn th«ng qua dS e cosDdSSdDd α==Φ |q| q q D = d e =Φ 2 cosdS =α dΩ πr4 2 πr4 4π §iÖn tÝch ®iÓm q trong mÆt kÝn S r q dS r e d e =Φ=Φ ∫∫ =Ω qd n S 4π S §iÖn tÝch ®iÓm q ngoμimÆtkÝnS q q e =Φ ∫∫Ω+Ω )dd( r 4π SS n r 12 n q q S = =ΔΣ−ΔΣ 0)( 2 S1 4π ΔΣ 5.3.§Þnh lý «xtr«gratxki-Gauox (¤-G) §iÖn th«ng qua mÆt kÝn bÊt kú b»ng tæng ®¹i sè c¸c ®iÖn tÝch chøa trong mÆt kÝn Êy: r r Σqi Tæng ®¹i sè (dÊu e ∫∫ ==Φ ∑qSdD i S i cña ®iÖn tÝch) 5.4. D¹ng vi ph©n ®Þnh lý «xtr«gratxki-Gauox r r r r ∂D ∂Dy ∂D = ∫∫∫∫∫ dVDdivSdD Ddiv = x + + z S V ∂x ∂y ∂z q ρ= dV r ∑ i ∫∫∫ =ρ Ddiv i V Ph−¬ng tr×nh Poisson (Po¸t X«ng) ø S1 5.5. ng dông: TÝnh D & E q 5.5.1 CÇu b¸n kÝnh R tÝch ®iÖn r’ R mÆt q r X¸c ®Þnh ®iÖn tr−êng t¹i ®iÓm: S2 •Ngoμi cÇu(r>R): r r e ∫∫ ∑ i ===Φ qqSdD i q S1 qD D4πr2=q D = E = = πr4 2 2 0εε 0επε r4 •TrªnmÆtcÇu(R): q q D = 2 E = 2 πR4 0επε R4 • Trong cÇu (r’<R): r r e ∫∫ ∑ i ===Φ 0qSdD D=0, E=0 i S2 5.5.2 MÆt ph¼ng v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu ΔS r r r r r r r r D Φ = DdS = DdS + DdS n e ∫∫ ∫∫ ∫∫ mÆt trô mÆt bªn 2d¸y r r r r σ>0 DdS = 0 DdS = D2ΔS ∫∫ ∫∫ σ σ mÆt bªn 2day D = E = r r Φ = DdS = ΔSσ 2 2ε0ε e ∫∫ 2d¸y 5.5.3 Gi÷a 2 mÆt ph¼ng v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu σ0 σ Gi÷a: E ®Òu E = ε0ε Ngoμi: E=0 D=0 D= σ D=0 5.5.4 MÆt trô v« h¹n tÝch ®iÖn ®Òu nr Δ VÏ mÆt trô: qua M, b¸n kÝnh r, cao l R r r r r r r r Φ = DdS = DdS + DdS l r r e ∫∫ ∫∫ ∫∫ D mÆt trô mÆt bªn 2d¸y r r r r M DdS = 0 ∫∫ DdS = D2πrl ∫∫ mÆt bªn 2d¸y r r Φ = DdS = Q = 2πRlσ = λl e ∫∫ mÆt bªn Q σR λ Q -§iÖntÝchtrªnmÆttrô D = = = 2πrl r 2πr trong, cao l Q σR λ σ -MËt ®é ®iÖn mÆt E = = = λ - MËt ®é ®iÖn dμi 2πε0εrl ε0εr 2πε0εr 6. §iÖn thÕ 6.1 C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn. TÝnh r F r chÊt thÕ cña tr−êngr tÜnh ®iÖnr M α sd r == rsdEqsdFdA q 0 r 0 rr r q M = qdA rr sdr 0 επε r4 3 q r 0 rN N 0qq 0qdrq ds.cosα=dr = 2 cosds =α 2 0επε r4 0επε r4 r Trong ®iÖn qq N dr qq 1 0 0 rN tr−êng cña q A MN = = (− |) ∫ 2 rM 4 0επε r 4 0επε r rM C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn 0qq 0qq A MN = − => TÝnh chÊt thÕ επε r4 M0 επε r4 N0 Trong®iÖntr−êng bÊt k× q0 ch ®éng trong ®iÖn tr−êng cña hÖ q1,q2,...qn n n rrr == EqFF n n i ∑∑ i0 qq i0 qq i0 =1i =1i AMN = − ∑∑ =1i επε r4 iM0 =1i επε r4 iN0 C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®iÖn tÝch q0 trong ®iÖn tr−êng bÊt k×: • Kh«ng phô thuéc vμo d¹ng cña ®−êng cong dÞch chuyÓn •ChØ phô thuéc vμo®iÓm®Çu vμ cuèi cña chuyÓn dêi r r •=> TÝnh chÊt thÕ: r r === 0sdEqsdFA 0 ∫∫  L−u sè vÐc t¬ c−êng ®é ®tr−êng r däc theo mét ®−êng cong kÝn b»ng r = 0sdE kh«ng: ∫ 6.2 ThÕ n¨ng cña mét ®iÖn tÝch trong ®iÖn tr−êng C«ng b»ng ®é gi¶m thÕ n¨ng dA=-dW N N qq A dA −=−== WWdW 0 MN ∫∫ M N WM = M M επε r4 M0 qq qq 0 0 0qq A MN = − W = επε r4 επε r4 N M0 N0 επε r4 N0 qq ∞ W = 0 + C r r W∞ = 0 =>C=0 M = 0 sdEqW 0επε r4 ∫ qq M W = 0  ThÕ n¨ng q t¹i M trong ®iÖn 0επε r4 0 W tr−êng lμ ®¹i l−îng vÒ trÞ sè q q>0 b»ng c«ng cña lùc tÜnh ®iÖn 0 0 r trong sù dÞch chuyÓn q0 tõ M ra xa v« cïng q q<0 6.3. §iÖn thÕ 0 6.3.1 §Þnh nghÜa: W/q0 kh«ng phô thuéc vμo ®iÖn tÝch q0 mμ chØ phô thuéc vμovÞtrÝtrong ®iÖn tr−êng vμ ®iÖn tÝch g©y ra ®iÖn tr−êng W §iÖn thÕ t¹i ®iÓm ®ang xÐt cña ®t V = q q0 §iÖn thÕ q g©y ra t¹i r V = 0επε r4 §iÖn thÕ hÖ qi qi VV i == ∑∑ g©y ra t¹i r i i επε r4 i0  §iÖn thÕ t¹i M trong ®iÖn tr−êng lμ ®¹i l−îng vÒ trÞ sè b»ng C«ng cña lùc tÜnh ®iÖn trong sù dÞch chuyÓn ®¬n vÞ ®iÖn tÝch d−¬ng tõ M ra ∞ ∞ r r C«ng dÞch chuyÓn q0 tõ M ->N: M = ∫ sdEV M AMN=WM-WN=q0(VM-VN) 6.3.2 ý nghÜa AMN VV NM =− q0=+1 => VM-VN=AMN q  HiÖu ®iÖn thÕ gi÷a 2 ®iÓm M,N = C«ng cña0 lùc ®iÖn tr−êng dÞch chuyÓn ®¬n vÞ ®iÖn tÝch d−¬ng tõ M->N. VM-V∞=AM∞ -> VM = AM∞  §iÖn thÕ t¹i ®iÓm M = C«ng dÞch chuyÓn ®¬n vÞ ®iÖn tÝch d−¬ng tõ M-> ∞. •§iÖnthÕt¹i 1 ®iÓm trong ®iÖn tr−êng cña hÖ ®iÖn tÝch: 1 dq dq dVV == ∫∫ rr M t hÖ C¶t hÖ C¶ hÖ d C¶t hÖ dt 4 0επε r thø nguyªn V lμ v«n dV 7. MÆt ®¼ng thÕ 7.1. §Þnh nghÜa: Quü tÝch cña nh÷ng ®iÓm cã cïng ®iÖn thÕ. V = C =const §iÖn tÝch ®iÓm: r = const ⊕ 7.2. TÝnh chÊt mÆt ®¼ng thÕ: x C«ng cña lùc ®iÖn tr−êng dÞch chuyÓn q0: AMN=q0(VM-VN)=0 (M,N trªn mÆt ®t) y VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng t¹i mét ®iÓm trªn mÆt ®t lu«nr vu«ng gãcr víi mÆt ®t t¹i ®iÓm ®ã E r == 0sdEqdA 0 z C¸c mÆt ®¼ng r r sd r = 0sdE thÕ kh«ng c¾t nhau 8. Liªn hÖ gi÷a vÐc t¬ c−êng ®é V V+dV ®iÖn tr−êng vμ ®iÖn thÕ r Es n dA=q0[V-(V+dV )]=-q0dV r α r r r r r E sd = 0 sdEqdA −= dVsdE Edscos 0dV 0dV →> Edscos α < 0 π VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng 0cos >α→<α 2 theo chiÒu gi¶m ®iÖn thÕ dV Edscosα = = −dVdsE Es −=→ s ds  H×nh chiÕu vÐc t¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng trªn mét ph−¬ng nμo ®ã cã trÞ sè b»ng ®é gi¶m ®iÖn thÕ trªn ®¬n vÞ dμicñaph−¬ng ®ã ∂V ∂V ∂V HÖ thøc Ex −= E; y −= E; z −= r r r r ∂x ∂y ∂z ++= EkEjEiE zyx r r ∂V r ∂V r ∂V r −= i(E + j + k ) −= VgradE ∂x ∂y ∂z  VÐc t¬ c−êng®é®iÖntr−êng t¹i mét ®iÓm b»ng vÒ gi¸ trÞ nh−ng ng−îc chiÒu víi gradien cña ®iÖn thÕ t¹i ®iÓm ®ã r En lμ h×nh chiÕu cñaE trªn ph¸p tuyÕn ®èi víi mÆt dV dV E =−= E Es cos.E α=−= ®¼ng thÕ: n dn ds dV dV §iÖn thÕ biÕn thiªn nhiÒu nhÊt | ≤|| | theo ph¸p tuyÕn víi mÆt ®¼ng thÕ ds dn øng dông V1 V2 a, HiÖu ®iÖn thÕ gi÷a hai mÆt + - ph¼ng song song tÝch ®iÖn ®Òu + - − VV 21 σ σd + - E = E = VV 21 =− d d 0εε 0εε d=1m, V1-V2=1v«n ->E=1V/m V/m lμ c−êng ®é ®iÖn tr−êng trong §T ®ång tÝnh mμ hiÖu ®iÖn thÕ trªn mçi m lμ 1v«n b,HiÖu ®iÖn thÕ gi÷a hai mÆt cÇu mang ®iÖn ®Òu qdr EdrdV ==− 2 R 0επε r4 2 qdr q 1 1 R1 R2 VV =− = ( − ) 21 ∫ 2 επε r4 4 επε R R 210 r R1 0 c, HiÖu ®iÖn thÕ gi÷a hai ®iÓm trong ®iÖn tr−êng cña mÆt trô tÝch ®iÖn ®Òu Q σR λ E = = = 0επε lr2 0εε 0επε r2r R 2 Q R 2 21 ∫ EdrVV ==− ln 0επε l2 R1 R1 σR R λ R = ln 2 = ln 2 0εε 1 2R 0επε R1 r d, VÐc t¬ c−êng ®é ®iÖn tr−êng dsr E E r g©y bëi l−ìng cùc ®iÖn α Er LÊy -q lμm gèc To¹ ®é cùc M ds r1 r r2 rr d =α r r lα - ⊕ r ph©n tÝch q l α r r r -q - ⊕ += EEE -q q r α − q q q − rr V = + = 21 επε r4 10 επε r4 20 4 0επε rr 21 2 r1 -r2=lcosα vμ r1r2≈r q cosl α e cosp α V = 2 = 2 4 0επε r 0επε r4 ∂V e cosp2 α Er −= = 3 ∂r 0επε r4 ∂V e sinp α Eα −= = 3 r α∂ 0επε r4 p EE 2 += E2 = e cos3 2 +α 1 r α 3 4 0επε r