Bài tập lớn Đại số tuyến tính - Đề tài: Bài toán bình phương cực tiểu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ---------------o0o--------------- BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh Nguyễn Xuân Mỹ Nhóm 5 TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021 ~ 1 ~ ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ BỘ MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ---------------o0o--------------- BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh Nguyễn Xuân Mỹ NHÓM 5 TP. HỒ CHÍ MINH, THÁNG 1 NĂM 2021 ~ 2 ~ Thành Viên Nhóm BTL:  Trần Hữu Nghĩa 2013877  Nguyễn Quang Minh 2013774  Nguyễn Phạm Bình Minh 2013773  Trần Hữu Tôn Hoàng Phi Long 2013671  La Nghĩa 2013867  Nguyễn Hải Nam 2013821  Phan Tiến Lộc 2013694  Võ Thành Lộc 2013701  Trương Minh Mẫn 2013746  Phạm Thanh Minh 2013784  Nguyễn Vũ Doãn Mạnh 2013739  Nguyễn Đặng Nhật Minh 2013769 ~ 3 ~ ~ 4 ~ MỤC LỤC I. Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương cực tiểu ..............................................................................6 1. Lịch sử ra đời, mục đích, khái niệm6 2. Giải phương trình hồi quy dạng y=ax+b bằng phương pháp bình phương cực tiểu...7 3. Giải phương trình hồi quy dạng y=a x2+bx+c bằng phương pháp bình phương cực tiểu..7 II. Chương trình Matlab 1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b, y=a x 2+bx+c.8 2) Một số ví dụ minh hoạ 10 III. Ứng dụng của bài toán bình phương cực tiểu 15 ~ 5 ~ Bảng chú thích Câu lệnh Giải thích câu lệnh Zeros (o,p) Tạo ma trận 0 có o hàng p cột For..end Vòng lặp chạy giá trị Disp(a) Xuất giá trị của a Sym Định nghĩa hàm pinv Hàm nghịch đảo linspace Khoảng giá trị của biến Grid on Kẻ ô cho đồ thị plot Vẽ đồ thị Xlabel, ylabel Gán tên cho trục hoành, trục tung I. Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương cực tiểu ~ 6 ~ 1. Lịch sử ra đời, mục đích, khái niệm  Sự ra đời Bình phương cực tiểu bắt nguồn từ công trình tiên phong của Gauss và Legender vào năm 1975 sau khi thưc nghiệm tương đối chính xác vị trí các thiên thể, tạo nền móng cho các bài toán tuyến tính sau này.  Mục đích Làm giảm bớt sai số phép đo, sai số hệ thống, tối ưu hóa sao cho giá trị sai số ấy là nhỏ nhất. Được sử dụng trong các bài toán giải hệ phương trình, tìm đường cong, phương trình hồi quy trong thống kê.  Khái niệm Trong toán học, phương pháp bình phương cực tiểu, là một phương pháp tối ưu hóa để lựa chọn một đường khớp nhất cho một dải dữ liệu ứng với cực trị của tổng các sai số thống kê giữa đường khớp và dữ liệu.  Phương pháp bình phương cực tiểu Phương pháp bình phương bé nhất thường được dùng để lập công thức thực nghiệm Ví dụ như mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu trong các bài toán thực tế có dạng: a) y = ax + b b) y = ax2 + bx + c 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y= AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. ~ 7 ~ Giả sử tập hợp điểm D={( t1 ;b1 ) , (tm;bm )}. Tìm hàm f=f(t) cho đồ thị đi qua tất cả các điểm D Xét hàm f(t)=α + βgg( t). Tìm α ,βg để G (t )=∑ i=1 m (α+βgg( ti)−bi) 2=∑ i=1 m Gi 2 nhỏ nhất. Ta tìm cực trị của hàm G(t) có hai biến α , βg Ký hiệu: g(t i)=gi. { ∂G(t ) ∂ α =0 ∂G(t ) ∂ βg =0 ↔ { 2∑i=1 m (α+βg gi−bi )=0 2∑ i=1 m (α+βg gi−bi )gi=0 ¿ 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX2 +BX+C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. Hàm hồi quy có dạng Y = ax2 + bx + c Sai số : vi = (ax2 + bx + c ) – yi với i = 1, 2 ,, n Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là: 2 2 2 1 1 ( ) min n n i i i i i i S v ax bx c y          Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 00 0 2 ( ) 0 0 2 ( ) 0 n i i i i i n i i i i i n i i i i SS ax bx c y x aa S S ax bx c y x b b S S ax bx c y c c                                      Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau: ~ 8 ~ 4 3 2 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n n i i i i i i i i i n n n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i a x b x c x x y a x b x c x x y a x b x nc y                                      Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c II. Chương trình Matlab 1) Viết chương trình dùng phương pháp bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy y=ax+b, y=a x2+bx+c ~ 9 ~ 2) Ví dụ minh hoạ  VD: Tìm phương trình hồi quy bậc 2: y=a x2+bx+c với tập hợp D={(2;2 ) , (3 ;2 ) , (−2 ;3 ) } Bài giải ~ 10 ~ ~ 11 ~ ~ 12 ~  VD: cho bảng dữ liệu (7;5), (14;6.5), (21;8.2), (28;9.1) trong đó hoành độ cho biết số giờ mà bạn Phú học trong 1 tuần trước khi thi Đại số tuyến tính còn tung độ cho biết số điểm mà bạn Phú đạt được tương ứng với số giờ học Xấp xỉ bảng dữ liệu trên bởi một hàm bậc nhất Bài Giải Tương tự VD trên nhập các giá trị của ma trận A Tiếp tục nhập ma trận B Đi giải hệ aT .a .X=aT .b ta được nghiệm X ~ 13 ~ Suy ra hàm số bậc nhất y=3.7+0.2 t Hình vẽ III. Ứng dụng của bài toán bình phương cực tiểu Bài toán 1: Tìm hàm tuyến tính và hàm bậc hai khớp nhất với các dữ liệu về độ lệch nhiệt độ trung bình toàn cầu từ năm 1991-2000 được cho như bảng sau ~ 14 ~ Calendar year Computational year Temperature deviation 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,29 0,14 0,19 0,26 0,28 0,22 0,43 0,59 0,33 0,29 Dùng phương pháp đạo hàm. (ti,yi) là dữ liệu cho trước. g1(t) =0,123+0,034t.g2(t)=-0,4078+0,2997t-0,024t2. ~ 15 ~ Bài toán 2: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu có chu kì về nhiệt độ ghi nhận được ở Washington ngày 1/1/2001 được cho như bảng sau. Time of day T Temp(C) 12 mid. 3 am 6 am 9 am 12noon 3 pm 6 pm 9 pm 0 1/8 ¼ 3/8 ½ 5/8 ¾ 7/8 -2,2 -2,8 -6,1 -3,9 0,0 1,1 -0,6 -1,1 ~ 16 ~ Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mô hình g(xj,t)=x1+x2cos2πt−¿x3sin2πt. Kết quả thu được g(t)=−¿1,95−¿0,7445cost2πt−¿2,5594 sin2πt Bài toán 3: Tìm đường cong khớp nhất với dải dữ liệu về chiều cao và trọng lượng trung bình của bé trai từ 2-11 tuổi được ghi nhân bởi trung tâm kiểm soát dịch bệnh năm 2002 như sau age(yrs) height(m) weight(kg) 2 3 4 0,912 0,986 1,06 13,7 15,9 18,5 ~ 17 ~ 56 7 8 9 10 11 1,13 1,19 1,26 1,32 1,38 1,41 1,49 21,3 23,5 27,3 32,7 36 38,6 43,7 Dùng phương pháp giải hệ Ax=b với mô hình +Mô hình 1:g1(xj,t)=α eβgt.Kết quả thu được g1(t)=2,0907e2,0553t +Mô hình 2:g2(xj,t)=α t βg. Kết quả thu được g2(t)=16,3044t2,4199 LỜI CẢM ƠN ~ 18 ~ Chân thành cảm ơn cô Nguyễn Xuân Mỹ đã chấm cho bài báo cáo bài tập lớn của nhóm em. ~ 19 ~