Bài tập Lý thuyết dao động

Bài tập Lý thuyết dao động Bμi tập ch−ơng I Dao động tuyến tính của hệ một bậc tự do 1. Xác định chu kỳ dao động của tải trọng Q gắn vào các lò xo và tìm hệ số cứng t−ơng đ−ơng của hệ mô tả trên hình vẽ. Các tải trọng dịch chuyển theo ph−ơng thẳng đứng. M Q Trả lời: 1a) T 22 π=π= += CCC; 21 C + 21 )CC(g Q 1b) T 2π= += CCC; 21 + 21 )CC(g + )CC(Q C.C 1c) T 2π= 21 C; = 21 21 )C.C(g + CC 21 3 + 48 )EJCL(Q C.C 1d) T 2π= C; = 21 48gCEJ + CC 21 QL3 48EJ 1e) T 2π= CC; += 3 + 48 )EJCL(g 1 L3 L L C1 C 1 C1 C1 C2 EJ EJ Q C Q C2 1 C2 L L Q Q Q a) b) c) d) c) Hình vẽ bt 1 2. Một tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào thanh không trọng l−ợng cứng tuyệt đối, dài 3L. Thanh đ−ợc gắn vào mặt phẳng cố định bằng hai lò xo có cùng độ cứng C. Tính tần số dao động riêng của con lắc khi: a) Thanh thẳng đứng (hình 2a). b) Thanh nằm ngang (hình 2b). 5 C 1 g 5 C Trả lời: a) k += b) k = 9 m 3 L 9 m 143 L C L L L L C m C C L m a) b) Hình vẽ bt 2 3. Tìm tần số dao động riêng của con lắc thẳng đứng, giả thiết thanh tuyệt đối cứng. C g Trả lời: k = m m 22 L m m C C L L C C C C L L L m Hình vẽ bt 3 Hình vẽ bt 4 4. Hãy xác định chu kỳ dao động nhỏ của con lắc dùng trong một số máy ghi động đất. Con lắc gồm thanh cứng chiều dài L, một đầu mang khối l−ợng m bị ép giữa hai lò xo nằm ngang có độ cứng C, đầu ngoài lò xo gắn chặt. Bỏ qua khối l−ợng thanh và coi lò xo ở vị trí cân bằng ch−a bị dãn. 2π Trả lời: T = 2C g − m L 5. Ng−ời ta gắn tải trọng khối l−ợng m lên cột chống mềm bằng thép độ cứng C1, tiết diện ngang hình chữ nhật. Cột đ−ợc giữ thẳng đứng nhờ hai lò xo với độ cứng C2. Tìm tần số dao động riêng của tải trọng, biết khối l−ợng của cột chống và lò xo là nhỏ so với khối l−ợng của tải trọng; ảnh h−ởng của trọng l−ợng của tải trọng lên độ uốn của cột chống bỏ qua. 144 2 − mgLaC2 Trả lời: k = 2 ⎡ 2 − )aL(a 2 ⎤ ⎢ + C2LmL 2 ⎥ ⎣ EJ3 ⎦ 6. Trong bộ ghi rung dùng để ghi các dao động của móng, các bộ phận máy,..., lò xo xoắn có độ cứng C giữ con lắc trọng l−ợng Q lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng góc α. Mô men quán tính của con lắc đối với trục quay bằng J. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của bộ ghi rung. J Trả lời: T 2π= +α CcosQs m EJ L C C 2 2 s α a Q hình vẽ bt 5 hình vẽ bt 6 7. Hãy xác định chu kỳ dao động tự do của móng máy đặt trên nền đất đàn hồi và bị lệch khỏi vị trí cân bằng. Trọng l−ợng của móng và máy Q =1470KN, diện tích đế móng S = 50m2; độ cứng riêng của đất =λ 30 cm/N 3 (Hệ số cứng của đất bằng λ= SC ). Q Trả lời: T =π= 102862 −2 s/rad., gC x Q Q x hình vẽ bt 7 hình vẽ bt 8 8. Lồng thang máy có trọng l−ợng Q = 30KN hạ xuống giếng mỏ với vận tốc u = 3m/s, đột nhiên hãm chặt đầu trên của dây cáp lại, lồng không hạ xuống nữa. Hãy xác định chuyển 145 động tiếp sau của lồng, nếu hệ số cứng của dây là C = 27,5 KN/cm. Bỏ qua khối l−ợng dây cáp. Trả lời: x =0,1sin(30t) cm. 9. Một đĩa khối l−ợng m, mômen quán tính của khối l−ợng bằng Jo, đ−ợc gắn vào may ơ bán kính r. May ơ của đĩa đ−ợc đặt lên một thiết bị dẫn h−ớng cong tròn bán kính R. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của đĩa với giả thiết khi đĩa chuyển động may ơ không tr−ợt trên cơ cấu dẫn h−ớng. •• r 2 Trả lời: ()2 +ϕ+ mgJmr sin =ϕ 0 o − rR •• r 2 Dao động nhỏ: ()2 +ϕ+ mgJmr =ϕ 0 o − rR C R r R α hình vẽ bt 9 hình vẽ bt 10 10. Một xe goòng khối l−ợng m đ−ợc đặt trên một mặt nhám nằm nghiêng, xe goòng đ−ợc giữ trên mặt nghiêng bởi lò xo có độ cứng C. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ của xe goòng, biết mỗi cặp bánh xe goòng có mô men quán tính của khối l−ợng bằng J; bán kính bánh xe bằng R và bánh xe lăn không tr−ợt trên mặt nghiêng. •• Trả lời: 2 2 =ϕ+ϕ+ ;0CR)J2mR( ϕ - góc quay của bánh xe. 11. Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của khối l−ợng m ở hệ mô tả trên • hình vẽ, biết lực cản dao động tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động: F.α= y ⎧ ⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ ⎪ 11 ⎜−δ= ymy ⎟ 12 ⎜ α−δ+ y k ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Trả lời: ⎨ ⎪ ⎛ •• ⎞ ⎛ • ⎞ y k 21 ⎜−δ= ym ⎟ 22 ⎜ α−δ+ y k ⎟ ⎩⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 12. Ng−ời ta gắn tải trọng có trọng l−ợng P vào một thanh cứng tuyệt đối không quán tính dài L. Thanh đ−ợc giữ ở vị trí cân bằng nhờ lò xo và một bộ giảm chấn. Bộ giảm chấn • có đặc tr−ng ma sát tuyến tính F.α= x 146 Tính tần số dao động riêng của hệ và độ suy giảm tắt dần Logarít Λ của dao động. Biết P = 100N; L = 50cm; a = 20cm; đ−ờng kính lò xo D = 5cm; đ−ờng kính dây lò xo d = 0,5cm; số vòng lò xo i = 5; môđun đàn hồi G = 8.106N/cm2; hệ số cản chuyển động của bộ giảm chấn α = 3NS/cm. Trả lời: 1 = 511 s/rad,K ; Λ = 1,29. P y L EJ C K α m a L/2 L/2 hình vẽ bt 11 hình vẽ bt 12 13. Gắn một khối l−ợng m vào đầu thanh. Gắn vào thanh các phần tử cản đàn hồi. Bỏ qua khối l−ợng thanh. a) Phải chọn độ lớn hệ số cản b thế nào để hệ có thể dao động nhỏ; 1 b) Xác định độ cản Lehr D cần thiết để sau 10 dao động biên độ giảm còn biên độ 10 của chu kỳ đầu; sau đó xác định chu kỳ dao động. n b D (Độ cản Lehr: D == ; Độ suy giảm tắt dần Logarit: T 2π=δ=Λ ) k 2 mC 1 − D 2 gm 2 2am Trả lời: a) Cmb +< b) = T;,D 20370 π= 2a 2 + gmaC 14. Hệ cho trên hình vẽ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng. Vị trí cân bằng tĩnh của hệ ứng với vị trí cân bằng tĩnh OM. ở thời điểm đầu thanh lệch khỏi vị trí cân bằng tĩnh ng−ợc chiều kim đồng hồ một góc ϕ0 và không có vận tốc ban đầu. Xác định dao động nhỏ của hệ. Khối l−ợng lò xo, thanh, bộ giảm chấn ma sát ở bản lề bỏ qua. Lấy trọng l−ợng của tải trọng 0 M là P = 200N, L = 90cm, L1 = 40cm, L2 = 20cm, ϕ0 = 6 , C = 20N/cm, μ = 15NS/cm. Trả lời: =ϕ 120 − 257 t, ( ,t,sine, 28078 π+ ) 147 O L1 μ a A ϕ b L2 L C C a B m C M hình vẽ bt 13 hình vẽ bt 14 15. Cho biết cơ cấu gồm tải trọng khối l−ợng m đ−ợc gắn vào hai lò xo cùng độ cứng C. Tải trọng đ−ợc ngâm trong ống đầy chất lỏng. Lực cản chuyển động của tải trọng trong ống có thể đ−ợc điều chỉnh nhờ thay đổi khe hở giữa tải trọng và ống hoặc độ nhớt chất lỏng. a) Lập ph−ơng trình vi phân dao động nhỏ tự do của tải trọng. b) Tính thời gian để biên độ dao động tự do của tải trọng giảm đi 100 lần, biết khi t • = 0: x(0) = x0, x.)( = 00 Khi giải giả thiết lực cản chuyển động của tải trọng tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển động; = 50 2 = 10 =α 5 /NS;cm/NC;cm/NS,m cm . ⎧ −nt 22 α 2 C2 = 0 [ ] n,t.nkcosexx =− k, = ⎪ m2 m Trả lời : ⎨ 1 ⎪t == s92,0100Ln ⎩⎪ 1 n C C H m d m C D hình vẽ bt 15 hình vẽ bt 16 148 16. Bộ phận cản thuỷ lực (hoàn xung hay giảm chấn thuỷ lực) là một píttông khối l−ợng m chuyển động trong chất lỏng. Hãy khảo sát chuyển động của píttông biết tại t = 0 píttông lệch với vị trí cân bằng một khoảng y0 = 0,5cm. Tìm thời gian để độ lệch của píttông đối với vị trí cân bằng giảm đi hai lần. Cho biết: độ cứng lò xo C=30N/cm; đ−ờng kính hình trụ D = 10cm; đ−ờng kính lỗ hở píttông d = 1cm; số lỗ hở z = 25; trọng l−ợng pittông Q = 27,3N; chiều cao píttông H = 5cm. Hệ 8 số nhớt động lực chất lỏng μ = 6.10 NS/cm; khi tính lực cản nhớt lấy β theo công thức: 128 Hσμ 2 πD 2 =β ; =σ diện tích ngang píttông. π 4 zd 4 ⎧ −nt 22 β = 0 [ ] n,t.nkcoseyy =− = 42,5 ⎪ m2 Trả lời: ⎨ C ⎪k 2 == = s03,0t;s/rad1080 ⎩⎪ m 1 17. Tìm biểu thức phụ thuộc giữa tần số dao động xoắn riêng của trục máy trộn và độ nhớt chất lỏng đem trộn cũng nh− thời gian để biên độ trục máy trộn giảm đi 10 lần sau khi môtơ dừng lại đột ngột, biết vận tốc quay tr−ớc lúc môtơ dừng lại đều bằng Ω. Khi tính giả thiết khối l−ợng trục nhỏ so với khối l−ợng các cánh, mômen quán tính khối l−ợng cánh J = 50 Ncms2, đ−ờng kính trục d = 5mm; độ dài trục L = 0,5m; hệ số cản 6 2 nhớt α =120N cms; môđun tr−ợt vật liệu trục G = 8.10 N/cm . αΩ Trả lời: −=ϕ − 21 t, = 91254 .s,t;t,cose C 1 d L Q Q O1 O2 C hình vẽ bt 17 hình vẽ bt 18 18. Máy rung dùng để tạo ra các dao động gồm hai đĩa mắc lệch tâm trên hai trục song song, trọng l−ợng mỗi đĩa là Q, trọng l−ợng toàn máy bằng P, tâm sai cả hai đĩa bằng nhau và bằng r. Khi lắp ráp ban đầu các đĩa tạo với ph−ơng nằm ngang những góc α1, α2. 149 Hai đĩa quay ng−ợc chiều nhau với vận tốc góc ω. Máy gắn bu lông trên bệ đàn hồi độ cứng C. Hãy xác định biên độ dao động c−ỡng bức của máy, bỏ qua trọng l−ợng của nó. Qr2 α + α Trả lời: A = sin 21 Cg 2 +− )QP( ω2 19. Hệ tạo từ tải trọng M trọng l−ợng P1 = 80 N, các thanh không trọng l−ợng và lò xo có độ cứng C = 5N/cm nằm trong mặt phẳng đứng. Thanh OA chuyển động theo rãnh thẳng đứng với quy luật y0 = Lsinpt (L = 1,6 cm; p = 8 rad/s). Vị trí nằm ngang của BM t−ơng ứng với vị trí cân bằng tĩnh khi y = 0. Xác định dao động nhỏ của tải trọng ở h−ớng thẳng đứng. Biết L1 = 90 cm; L2 = 60 cm. Tại thời điểm đầu (t = 0) hệ ở vị trí cân bằng tĩnh, vận tốc góc của BM cũng nh− vận tốc của tải trọng M bằng 0; y = 0; bỏ qua ma sát. Trả lời: ϕ = 0,0785sin5,2t − 0,0505sin8t 20. Cơ cấu dẫn động cho van có sơ đồ hoá d−ới dạng khối l−ợng m mắc giữa hai lò xo: Lò xo trên có độ cứng C gắn vào một điểm cố định, Lò xo d−ới có độ cứng C1 gắn vào cam chuyển động tịnh tiến. Trên mặt cắt của cam phải định tr−ớc để cho chuyển động thẳng đứng xác định bởi công thức: 2π x = a(1 − cosωt) khi 0 ≤ t ≤ 1 ω 2π x = 0 khi t > 1 ω Hãy xác định chuyển động của khối l−ợng m. aC ⎡ 1 1 ⎤ 2π Trả lời: x = 1 )ktcos1( +− ω− )tcoskt(cos khi 0 ≤ t ≤ ⎢ 2 22 ⎥ m ⎣k k ω− ⎦ ω aC ⎡ 11 ⎤ ⎡ π ⎤ 2π x = 1 − −− )t(kcosktcos. khi t > ⎢ 222 ⎥ ⎢ ⎥ m ⎣ ω− kk ⎦ ⎣ 2ω ⎦ ω y M C B 0 x O m C C 1 A L L 2 1 hình vẽ bt 19 hình vẽ bt 20 150 21. Một động cơ có trọng l−ợng Q đặt thẳng đứng trên bệ máy có diện tích đáy bằng S; độ cứng của đất bằng λ; độ dài tay quay động cơ là L; vận tốc góc của trục là ω. Píttông và các phần không cân bằng thực hiện các chuyển động tịnh tiến qua lại có trọng l−ợng P. Trọng l−ợng của móng máy bằng G tay quay coi nh− cân bằng nhờ đối trọng. Hãy xác định dao động c−ỡng bức của móng máy, bỏ qua khối l−ợng của thanh truyền. Pr ω2 r Pr ω2 Trả lời: =ξ tcos +ω 2ωtcos ω−+ 22 )k)(GQ( L 4ω−+ 22 )k)(GQ( P η Q L m x1(t) C α ξ ω r ζ G O hình vẽ bt 21 hình vẽ bt 22 22. Bánh xe lăn trên đ−ờng gồ ghề có vận tốc của trục bánh xe không đổi và bằng V. Tải trọng khối l−ợng m gắn với trục bánh xe bằng lò xo độ cứng C. Trong lò xo có ma sát nhớt, hệ số cản α và lực cản tỉ lệ với vận tốc t−ơng đối. Bỏ qua biến dạng của bánh xe và mặt đ−ờng. Viết ph−ơng trình dao động t−ơng đối thẳng đứng của tải trọng. Biết ph−ơng ⎛ π ⎞ trình mặt đ−ờng: η=η sin 2 ⎜ ξ ⎟ với L - chiều dài sóng. max ⎜ ⎟ ⎝ L ⎠ −nt 1 Trả lời: = 1tkcos.[cosBey 1 ε−−ε+ε+ε )ptcos(B]tksin)sinpcosn( k1 2 πV2 np2 P0 p p = =ε arctg; B; = P; 0 η= max L − pk 22 22 −− pn4)pk( 22 2 23. Cho biết ở thời điểm ban đầu khối l−ợng m lệch khỏi vị trí cân bằng một khoảng x0. Nó đ−ợc thả tự do không có vận tốc ban đầu. Khi khối l−ợng tr−ợt trên mặt, giữa chúng • xuất hiện lực ma sát khô (ma sát Culông). Sự phụ thuộc giữa lực ma sát Ft với vận tốc x của khối l−ợng m đ−ợc mô tả trong hình vẽ. Tìm quy luật chuyển động của khối l−ợng m. ⎡ − F)1n2( ⎤ F C Trả lời: xx −= t −+ )1(ktcos −1n t k, = m ⎢ 0 2 ⎥ 2 ⎣ mk ⎦ mk m 151 24. Giả sử lực kích động biến đổi theo quy luật: F(t) = F0⏐sinωt⏐ tác dụng lên khối l−ợng m. Lập ph−ơng trình dao động c−ỡng bức của tải trọng và cho biết với tần số ω nào của lực kích động trong hệ sẽ xảy ra cộng h−ởng (bỏ qua ma sát). ∞ F2 0 F4 0 ωtn2cos k Trả lời: x = − ∑ 2 22 ; =ω ; n = 1, 2, 3 ... πC πm =1n ω−+− )n4k)(1n2)(1n2( n2 x m C m C/2 C F(t) Ft F(t) • x F0 t π/ω 2π/ω hình vẽ bt 23 hình vẽ bt 24 25. Hãy khảo sát chuyển động của khối l−ợng m khi có lực ngoài không đổi Q đột ngột tác dụng lên nó (tức giả thiết F(t) = Q). Q Trả lời: y(t) = (1 – cos pt); y = 2δ . mp 2 max t F(t) ω r m L α F(t) m C C t δt hình vẽ bt 25 hình vẽ bt 26 26. Ng−ời ta đặt khối l−ợng m lên hai lò xo, mỗi lò xo có độ cứng C và nối với cơ cấu tay quay then truyền qua bộ giản chấn có hệ số cản nhớt α. Viết ph−ơng trình vi phân chuyển động của khối l−ợng m. Tìm ứng suất xuất hiện trong lò xo, biết đ−ờng kính lò xo D, đ−ờng kính dây thép lò xo d, vận tốc góc của tay quay ω bằng tần số dao động riêng tắt dần của khối l−ợng m trên lò xo. 152 •• • ⎧ 2 α 2 C2 2 2 n2;tcosrn2xkxn2x =ωω=++ k; = ⎪ 2 m m ⎪ Trả lời: ⎨ ⎛ mg ⎞ ⎪ ⎜Cr8 + ⎟D ⎝ 2 ⎠ ⎪τ max = ⎩ πd 3 27. Để giảm ảnh h−ởng dao động của nền (hoặc dầm) tới chế độ làm việc của máy ng−ời ta th−ờng dùng ph−ơng pháp cách ly rung thụ động. Đó là việc đặt (hoặc treo) các máy trên các bộ giảm rung mềm. Tính hệ số động lực (tỷ số giữa biên độ dao động a của khối l−ợng m với biên độ dao động của nền (hoặc dầm) x0) đối với các sơ đồ mô tả trên hình vẽ. a 1 1 1 Trả lời: K == ; a) K = ; b) K = ; dl 2 dl 2 dl 2 x 0 ⎛ ω ⎞ mω 4mω 1− ⎜ ⎟ 1 − 1 − ⎝ k ⎠ C 3C L L m m C C x0sinωt x0sinωt a) b) hình vẽ bt 27 28. Để giảm tác dụng của lực quán tính gây ra bởi chi tiết mất cân bằng trong máy xuống nền (móng), ng−ời ta dùng ph−ơng pháp cách ly rung động cơ. Đó là việc đặt hoặc treo động cơ lên những gối mềm đàn hồi. Tính hệ số truyền động lực của lực quán tính xuống nền ở những chỗ gắn gối đàn hồi với độ cứng C. Dầm trên đó đặt động cơ đ−ợc xem nh− cứng tuyệt đối. R 1 1 1 1 Trả lời: K dl == ; a) K = ; b) K = ; c) K = dl R ω2 dl mω2 dl m4 ω2 dl m9 ω2 t 1− 1− 1− 1− k 2 C C C20 P0sinωt P0sinωt P0sinωt L1 C m m m L C C 1 L L C L L a) b) c) hình vẽ bt 28 153 29. Để cách ly rung động của máy và thiết bị tới giá đỡ đàn hồi ng−ời ta th−ờng đ−a vào các yếu tố hao tán. Đó là bộ giảm chấn có ma sát nhớt. Hãy tính hệ số động lực đối với sơ đồ mô tả trên hình vẽ. Khi tính lấy các giá trị nh− sau: = 2 cm/NS1m ; =ω s/rad100 ; EJ =α cm/NS60 ; = cm/N200 L 1 Trả lời: =η =η ,; 3160 2 2 ⎛ ω2 ⎞ ⎛ 2nω⎞ ⎜1− ⎟ + ⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ k ⎠ ⎝ k ⎠ 30. Khảo sát dao động c−ỡng bức của khối l−ợng m khi có xung lực tuần hoàn cùng dấu trong khoảng hữu hạn t1 và độ cao h tác dụng lên nó. ⎡ ⎛ − tT 1 ⎞ ⎤ ⎢ 0 ⎜ tpcos + ⎟ ⎥ ⎛ tp 10 ⎞ ⎝ 2 ⎠ ⎛ t 1 ⎞ Trả lời: = sinh)t(y ⎜ ⎟⎢ + ⎜ tpsin2 − ⎟⎥ 2 ⎢ T 0 2 ⎥ ⎝ ⎠ sin p ⎝ ⎠ ⎢ 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦ Trong khoảng: T t ∞<≤ nghiệm này đ−ợc thác triển tuần hoàn với chu kỳ T. C m P0sinωt F(t) EJ m EJ F(t) α h t L L T T T Hình vẽ bt 29 Hình vẽ bt 30 154 Bμi tập ch−ơng II Dao động tuyến tính của hệ nhiều bậc tự do. 31. Hai tải trọng khối l−ợng m1, m2 treo vào các lò xo có độ cứng C1, C2 t−ơng ứng. Xác định các tần số dao động chính của hệ khi: a) C1 = C2 = C và b) C1 = C2 = C và m1 = m2 = m. 22 2 2 + 21 C)mm( 2 + 12 C)mm( C Trả lời: a) k ,21 = m 2 2 − 2 mm 21 4 1 mm 2 mm 21 1 C b) k ,21 = ( m 53 ) 2 m C1 m1 C2 m2 hình vẽ bt 31 hình vẽ bt 32 32. Một móng máy nặng Q = 1000KN đặt trên nền đất đàn hồi. Diện tích đáy móng S =17m2; độ cứng riêng của đất bằng: Λ = 60000KN/cm3. Để khử các dao động cộng h−ởng phát sinh khi máy làm việc ng−ời ta đặt máy trên một bệ nặng liên kết với móng bằng các lò xo đàn hồi có độ cứng tổng cộng là: = 00050 /KN.C m . Trọng l−ợng của máy và bệ P = 49 KN. Hãy xác định tần số dao động của hệ (móng và bộ giảm rung). Trả lời: 1 = 589 2 = 7111 s/rad,k;s/rad,k 33. Hãy xác định tần số dao động xoắn chính của hệ gồm một trục và ba đĩa đồng chất nh− nhau lắp trên trục. Hai đĩa lắp chặt vào hai đầu, còn đĩa thứ ba lắp chặt vào giữa. Mômen quán tính của mỗi đĩa đối với đ−ờng tâm của trục bằng J; độ cứng khi xoắn của các phần trục C1 = C2 = C. Bỏ qua khối l−ợng của trục. C 3C Trả lời: k = k, = 1 J 2 J 34. Hai con lắc nh− nhau có độ dài L và khối l−ợng m nối với nhau ở khoảng h bằng lò xo có động cứng C. Các đầu lò xo gắn chặt vào các thanh của chúng. Hãy xác định dao động nhỏ của hệ trong mặt phẳng chứa vị trí cân bằng của con lắc, sau khi làm cho một con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc α. Vận tốc ban đầu của chúng bằng 0. Bỏ qua khối l−ợng của các thanh và lò xo. ⎛ + kk 21 ⎞ ⎛ − kk 21 ⎞ ⎛ + kk 21 ⎞ ⎛ − kk 21 ⎞ Trả lời: 1 α=ϕ cos⎜ ⎟cost ⎜ t ⎟ ; 2 α=ϕ sin⎜ ⎟ sint ⎜ t⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 155 g g 2Ch2 Trong đó: k = ; k += 1 L 2 L mL2 h C C M L ϕ m m m hình vẽ bt 34 hình vẽ bt 35 35. Con lắc gồm con chạy khối l−ợng M tr−ợt không ma sát trên mặt phẳng nằm ngang và quả cầu nhỏ có khối l−ợng m nối với con chạy bằng một thanh dài L, thanh này có thể quay quanh một trục gắn liền với con chạy. Lò xo có độ cứng C, một đầu gắn với con chạy còn đầu kia gắn cố định. Hãy xác định tần số dao động nhỏ của hệ. Trả lời: Tần số phải tìm là nghiệm của ph−ơng trình: ⎛ C + )mM(g ⎞ Cg k 4 ⎜ +− ⎟k 2 =+ 0 ⎝ M ML ⎠ ML 36. Thanh đồng chất có độ dài L treo vào một điểm cố định nhờ sợi dây dài l = 0,5 L. Hãy xác định tần số dao động chính của hệ và tìm tỷ số các độ lệch khỏi đ−ờng thẳng đứng của thanh và dây ứng với dao động chính thứ nhất và thứ hai. Bỏ qua khối l−ợng dây. g g Trả lời: 1 = ,k 6770 2 = ,k; 5582 l l ϕ1 = 0,847ϕ2 trong dao động chính thứ nhất. ϕ1 = −1,180ϕ2 trong dao động chính thứ hai. l l b ϕ C 1 a L L ϕ2 m=P/g m=P/g hình vẽ bt 36 hình vẽ bt 37 156 37. Hai con lắc vật lý nh− nhau treo vào hai trục song song đặt trong mặt phẳng nằm ngang và nối với nhau bằng một lò xo có độ dài ở trạng thái ch−a bị căng bằng khoảng cách giữa hai trục của con lắc. Hãy xác định tần số, tỷ số biên độ các dao động chính của hệ khi các góc lệch khỏi vị trí cân bằng là nhỏ. Trọng l−ợng của mỗi con lắc bằng P, bán kính quán tính của nó đối với trục đi qua trọng tâm song song với trục treo bằng ρ, độ cứng của lò xo bằng C, khoảng cách từ trọng tâm của con lắc và từ điểm gắn lò xo vào con lắc đến trục treo t−ơng ứng bằng a và b. Bỏ qua sức cản chuyển động và khối l−ợng của lò xo. 2 1)( 2)( 2 ga 2 + 2 g)CbPa( A 1 A 1 Trả lời: k1 = 22 k; 2 = 22 ; 1)( 1; 2)( −=+= 1 +ρ a +ρ )a(P A 2 A 2 38. Hãy nghiên cứu dao động của toa xe lửa trong mặt phẳng giữa thẳng đứng của nó, nếu trọng l−ợng của phần trên lò xo của toa xe bằng Q. Khoảng cách từ trọng tâm đến các mặt phẳng thẳng đứng đi qua các trục là L1 = L2 = L, bán kính quán tính đối với trục trung tâm song song với các trục của toa xe bằng ρ, độ cứng của các lò xo ở cả hai trục là nh− nhau C1 = C2 = C. Trả lời: x = Asin(k1t+α); ϕ = Bsin(k2t+β). Trong đó: x là dịch chuyển thẳng đứng của trọng tâm toa xe; ϕ là góc tạo bởi sàn toa xe với mặt phẳng nằm ngang; A, B, α, β là các 2Cg 2CgL2 hằng số tích phân; k= k; = 1 Q 2 Qρ2 O L C L1 L2 R A m hình vẽ bt 38 hình vẽ bt 39 39. Một đĩa tròn đồng chất bán kính R khối l−ợng M nối khớp với thanh OA = L, thanh này có thể quay quanh trục cố định nằm ngang. Chất điểm khối l−ợng m gắn chặt vào vành đĩa. Hãy xác định tần số dao động tự do của hệ, bỏ qua khối l−ợng thanh. Đĩa có thể quay trong mặt phẳng dao động của thanh OA. Trả lời: Tần số dao động tự do là nghiệm của ph−ơng trình: + mM ⎛ 2 + )LR(m ⎞ g 2 2 + )mM(mg k 4 − ⎜1+ ⎟ k 2 + = 0 + 3mM ⎝ MR ⎠ L − 3 )mM(MRL 157 40. Hãy xác định tần số dao động xoắn tự do của hệ gồm hai trục liên kết với nhau bằng các bánh răng truyền động. Mômen quán tính của các khối l−ợng lắp trên trục và 2 mômen quán tính của các bánh răng đối với đ−ờng tâm các trục bằng: J1 = 87500 kgcms ; 2 2 2 J2 = 56000 kgcms ; J1z = 302 kgcms ; J2z = 10,5 kgcms ; Tỷ số truyền λ = Z1/Z2 = 5; Độ 6 6 cứng của các trục khi xoắn: C1 = 316.10 Kgcm; C2 = 115.10 Kgcm. Bỏ qua khối l−ợng của các trục. 3 Trả lời: k1 = 54,8 rad/s; k2 =