Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 174 Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị Nguyễn Thu Hiền 1Phòng TTr & KĐCL, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: [email protected] Mobile: 0862078861 Tóm tắt Từ khóa: Ánh xạ Dirichet-Neumann; Bài toánCalderón; Tính dẫn  ; Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán Calderón có duy nhất nghiệm hay không? Cụ thể ta xét bài toán sau: Xét vật thể dẫn điện hình tròn B với tính dẫn ( )x . Ta đặt một điện áp f lên B sẽ sinh ra một điện thế u trong B , thỏa mãn bài toán biên Dirichet .( ) 0 trong , trên . u B u f B       (1) Bài toán (1) có duy nhất nghiệm 1( )u H B với mỗi   1 2f H B  . Khi đó ta định nghĩa ánh xạ Dirichlet – Neumann     1 1 2 2: H B H B      được xác định bởi v Bf u     . f biểu thị dòng điện đi ra theo hướng pháp tuyến trên B . Ánh xạ Dirichlet-Neumann hoàn toàn được xác định bằng phép đo đạc trên biên. 1. GIỚI THIỆU Xét bài toán Dirichlet trong hình tròn đơn vị (0,1)B B .( ) 0 trong , trên . u B u f B       (1.1) Trong đó   0 0 ( ) , 0 , 1 , 1 a r r a r x x a r               (1.2) với 0 1, 0 .M Ne a a£ £ £ £ Ký hiệu các tính dẫn như trên là 0( , , , )a M Nm e . Trong bài báo này tôi chỉ ra cách tính toán để tính được tường minh ánh xạ Dirichlet - Neumann, từ đó khôi phục lại được tính dẫn của vật . Khi đó tôi chỉ ra rằng ánh xạ g gL a là Lipschitz. Cụ thể hơn, kết quả chính mà tôi đưa ra như sau: Định lý 1.1. Cho (0,1)B B và ( )0,1 ,a Î 0e , M>0, N 0³ . Khi đó tồn tại 0C=C(a, , , )M Ne sao cho ( )0 0 1 1* ,Ca b a b a bL - L ³ - + - với ( )0, , , ,a M Na bg g m e" Î . 2. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 1.1 Xét bài toán biên Dirichlet (1.1) với các lớp tính dẫn được xác định tại (1.2) Trong tọa độ cực, nếu ( ) ( ) ( )1 ,inn n u x u r e H Bq Î = Îå ¢ thì phương trình trong (1.1) là: ( ) ( )( ) ( )( ) 2 ' ' 2 ' ' ' 0, , lim u ( ) lim u ( ), lim lim n n n n n r a r a n n r a r a n u u u n r r r r u r u r a a a g g g g g - + - + ® ® ® ® ìïï + - = " Îïïïïï =í ïïïï =ïïïî ¢ (2.1) Giải hệ phương trình ta được: + Khi 0n = , 0 0( ) , 0 1.u r c r= £ < ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 175 +Khi 0n ¹ ,   , n n n n k n k k n b r c r , a r<1, u r a r 0<r<a,           trong đó với 1,2,...m    2 1 122 0 1 ( 1)( ) 1 n m m n n m n m n a a a n m n                   1 2 10 1 2 1 1 2 m m n k n k k k a a k n k                . Từ đó ta tính được   ,' 2 , 2 1 1 2 1 2 1( ) 1 1 2 1 2 1 m m n mn mn m n m n n m b b h n nau a n nn u a b b h n n                   1 , 2 1 , 2 1 1 , 12 1 1 1 2 1 m m n m m m n m mb h b nn b b h n                     trong đó 1 , 2 2 0 1 (2 1) ( 1) , 2 m m n k k n k k a h b ak n k           . (2.2) Khi đó ánh xạ Dirichlet – Neumann     1 1 2 2: H B H B      được xác định bởi ( ) ( ) in n f f n e       trong đó     1 2ˆ ( ) in n f f n e H B     , và 0 1 ˆ( ) lim ( ) ' ( ) ( ) ,n nn r n n b c f n r u r n f n b c             2 2 0 2 2 1 1 ( ) ˆ ( ) , 1 1 ( ) n n n n n n a a B b n f n a a B b         ( ) 1 2 1 n b B b n     1 , 2 1 , 2 1 , 1 1 2 1 m m n m m m n m mb h n b b h n                   (2.2) , ,m nh b được xác định bởi công thức (1.4). Chú ý rằng: 0 0 0 1 aN b b aN      . Mệnh đề 2.1. Ta có một số tính chất của ( )nB b : a)   0 03 2 0 1 ( ) 1 1 n b B b d b      . b) lim ( ) 1n n B b   . c)   lim 2 1 ( ) 1 1 n n b n B b b     . d) 1 ( ) 1 lim 1 ( ) 1 n n n B b B b     . e) 0 1 ' ( ) 2 1 n b B b n    . Chứng minh. (a) Từ (2.2), dễ thấy ( ) 1nB b  . Ta sẽ chứng minh rằng:   0 3 2 0 ( ) 1 1 n b B b b    Thật vậy , 2 , 2 1 1 2 1 2 1 ( ) 1 2 1 2 1 m m n m n m m n m n n m b b h n n B b n n b b h n n                    0 3 2 2 0 1 1 1 m m b b mb b          . (b) Dễ thấy lim ( ) 1n n B b   . (c) Ta có    1 , 2 1 , 2 1 2 1 ( ) 1 1 1 2 1 m m n m n m m n m b mb h n B b n b b h n                         1 1 , 2 2 1 2 1 lim 1 1 2 m m m m n n m m k j mb h mb j                      3 21 b    . ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 176 1 1 2 , 2 lim 1 1 (1 ) 2 1 m m n n m n b b h b n                     . Khi đó    3 2 1 2 (1 ) lim 2 1 ( ) 1 1 (1 ) n n b b b n B b b b           . (d) Ta cần chứng minh rằng 1 ( ) 1 lim 1 ( ) 1 n n n B b B b     . Thật vậy          11 2 1 ( ) 1 ( ) 1 lim lim 1 ( ) 12 3 ( ) 1 n n n n nn n B b B b B bn B b          . (e) Ta đặt tử số và mẫu số của '( )nB b lần lượt  nM b và  nN b . Bằng tính toán ta tinh được:       2 ,2 2 11 2 1 2 1 m n m n m n m M b b h n n          2 1 , 2 ( ), 2 1 m m n n m m b h I b n        (2.3) trong đó 2 1 , , 2 2 ( ) 2 1 2 1 kl n l n k n l k n bl b I b h h n n                   1 , , 2 22 1 2 1 l k l n k n l k l n b kb h h n n                  . Hệ số của mb trong ( )nI b là:     2 , ,2 2 1 2 1 2 1 l n k n k l m l n l n k h h n n                 , ,2 1 2 1 l n k n k l m l n l k h h n               2 , ,2 1 1 . 2 2 1 l n k n k l m n k l h h n           Từ đó ta thấy rằng   1 2 1 nM b n   . Mặt khác ta lại có  1 nN b  2 , 2 1 2 1 2 1 m m n m n n b b h n n            0 1 1 1 1b b     ( 2.4) Từ đó suy ra 01'( ) . 2 1 n b B b n    Bây giờ tôi sẽ khôi phục lại tính dẫn. Lấy inf e  ta được       2 2 0 2 2 1 1 ( ) . . 1 1 ( ) n n nin in n n n a a B b e n e a a B b             Lấy  in n in e C n e      , khi đó     2 2 0 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) n n n n n n a a B b a a B b        . Mệnh đề 2.2. 1) 0 lim n n C   2) 2 0 1 0 lim n n n C a C         3) 1 0a D  , trong đó         2 2 0 0 2 2 0 0 2 1 lim 2 1 1 . 2 1 n n n n nn n a C a D n a C a                   Chứng minh. 1) Từ (b) trong mệnh đề 2.1 ta có lim ( ) 1n n B b   . Khi đó 0lim .n n C    2) Ta có     2 0 2 2 1 0 1 2 ( ) 1 lim lim 2 ( ) 1 n nn nn n n n a B bC C a B b               2 2 2 2 1 2 2 1 1 ( ) . 1 1 ( ) n n n n n n a a B b a a B b          Từ (b) và (d) của mệnh đề 3.1 ta có 20 1 0 lim n n n C a C         . 3) Ta cần tính 1 . Từ     2 0 0 2 2 2 ( ) 1 . 1 1 ( ) n n n n n n a B b C a a B b         Ta tính được: ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 177       2 2 0 0 2 2 0 0 2 1 ( ) 2 1 n n n n n n n a C a B b a C a            Khi đó ta có:         2 2 0 0 2 2 0 0 2 1 lim 2 1 1 2 1 n n n n nn n a C a D n a C a                     lim 2 1 ( ) 1 1 n n b n B b b      , trong đó 1 0 1 . a b a      Từ đó suy ra: 0 1 D a    . Bây giờ, tôi sẽ đi chứng minh Định lý 1.1. Chứng minh . Với mọi  0, , , ,a M N     ta có:        1 2 2 22 2 1 2 2 ˆ ( ) , 1 n n H B n n f A B f n n            trong đó     2 2 0 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) n n n n n n n a a B b A a a B b         ,     2 2 0 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) n n n n n n n a a B c B a a B c         , với 1 0 1 a b a      , 1 0 1 a c a      . Đặt tử số và mẫu số của n nA B là nK và nH thì   2 02 .nH d  Ta có:     1 2 11 22 ( ) * ( )0, sup H B H Bf f H B f f                 2 0 sup sup 2 2 2 n n n nn K K H d    , và 2 0 0 02 8 . n nK Md a    Khi 0 0  . Với mọi n đủ lớn ta có: 2 0 0 08 n Md a    . Vì thế   2 0 0 0* 2 d          . (2.5) Khi 0 0  ta cũng được (2.6). Tiếp theo, ta thấy rằng 2 2 0 0 0 0 04 ( ) ( ) 1 4 . n n n nK a B b B c d d        Từ (2.6) ta có: 2 1 0* 4 ( ) ( ) , n n nC a B b B c      (2.6) trong đó  1 1 0, ,C C a M là hằng số.    ( ) ( ) 'n n nB b B c b c B          0 1 1 0 1 0 1 'na B a a             +       1 0 0 0 1 0 1 'na B a a             . Ta có *              2 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 4 ' . n nC a B a a                         2 1 0 1 10 1 0 0 1 0 1 1 4 . 2 1 n b C a n a a                      1 0 0 0 1 0 1a a                  2 1 0 1 1 0 00 1 0 2 2 1 4 2 1 n Nb C a n M aN M aN                   . Chọn 1n  . Kết hợp với (2.6) ta có: 2 1 1* .C       (2.7) Từ (2.5) và (2.7), chọn   23 0 2min 2 ,C d C  , ta suy ra điều phải chứng minh. 3. KẾT QUẢ Xuât phát từ kết quả của Alessandrini trong [2], bằng các phép tính toán tôi đã chỉ ra được tường minh ánh xạ Drichlet-Neumann, cũng như chứng minh được tính ổn định Lipschitz ( Định lý 1.1) và khôi phục được tính dẫn của vật từ ánh xạ Dirichlet - Neumann (Mệnh đề 2.2). 4. THẢO LUẬN Xoay quanh bài toán Calderón, người ta thường nghiên cứu về các ứng dụng trong trong lĩnh vực y học hay thăm dò địa chất. Theo ngôn ngữ toán học, giả thiết trên miền  vật thể không có nguồn hoặc tụ, bài toán Calderón đi xác định hàm  khi biết thông tin về ánh xạ  , tức là nếu như ta đo được dòng trên biên ,f ∀   1 2f H  thì ta sẽ xác định ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH * HNKHCN Lần VI tháng 05/2020 178 được . Cụ thể hơn trong bài báo này tôi xét cụ thể miền  là hình tròn B , với tính dẫn được xác định ở (1.2). Khi đó bài toán Calderón được nghiên cứu bao gồm: + Nếu 1 2     thì có suy ra được 1 2  hay không? + Cho biết dòng trên biên f ,   1 2f H   , ta có thể xây dựng lại hàm γ? + Trong thực tế, quá trình đo các dòng trên biên, vì những lý do khác nhau sẽ xảy ra những sai số nhất định. Một câu hỏi đặt ra, với sai số cho phép đó liệu có thể giúp chúng ta biết được gần đúng thông tin về vật dẫn hay không? + Nếu     1 1 2 2: H H      bé liệu có thể suy ra được  1 2 L     bé hay không? Trong bài báo, khi  là hình tròn , tôi đã chỉ ra bài toán Calderón ổn định. (Định lý 1.1). Bài toán Calderón có thể xét trong hình trụ như trong bài báo của Mai Thị Kim Dung và TS. Đặng Anh Tuấn được đăng trên tạp chí “Acta Mathematica Vietnamica”, năm 2019. Hướng nghiên cứu tiếp theo, bài toán Calderón có thể xét trong hình cầu đơn vị. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đặng Anh Tuấn (2016), Lý thuyết hàm suy rộng và không gian Sobolev, Đại học Quốc gia Hà Nội. [2].G.Alessandrini(1988),Stable Determination of Conductivity by Boundary Measurement, Applicable Analysis, Vol.27. pp. 153-172. [3]. G. Alessandrini, M. V. de Hoop, R. Gaburro, E. Sincich, Lipschitz stability for the electrostatic inverse boundary value problem with piecewise linear conductivities, J. De Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 107, No. 5 (2017), 638-664. [4]. J. A. Barcelo, T. Barcelo, A. Ruiz, Stability of Calderón inverse conductivity problem in the plane for less regular conductivities, J. Differential Equations, 173 (2001), 231-270. [5]. J. Feldman. M. Salo and G. Uhlmann, The Calderón Problem – An Introduction to Inverse Problems (draft) [6]. K. Astala, L. P¨aiv¨arinta, Calderón’s inverse conductivity problem in the plane, Ann. of Math., 163 (2006), 265-299. [7]. T. Barcelo, D. Faraco, A. Ruiz, Stability of Calderón inverse conductivity problem in the plane, J. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees, 88, No. 6 (2007), 552-556. [8]. P. Caro, K. Rogers, Global uniqueness for the Calderón problem with Lipschitz conductivities, Forum Math. Pi 4 (2016), e2.