Biến động ẩn trong mô hình Black - Scholes với biến động trong mô hình GARCH

140 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tóm tắt Mô hình Black - Scholes (BS) là mô hình định giá quyền chọn và là công cụ thực hiện định giá ra quyết định đầu tư chứng khoán phái sinh. Mô hình biến động này là một hàm liên tục, quyền chọn giao dịch thực sự là rủi ro do các thành phần ngẫu nhiên như biến động. Các quan niệm về biến động không là hằng số được giới thiệu trong quá trình GARCH. Gần đây, mô hình BS với quá trình GARCH đã được giới thiệu (Gong, Thavaneswaran và Singh, 2010). Trong bài nghiên cứu này, các tác giả tính toán biến động ngụ ý cho mô hình BS với sự biến động trong quá trình GARCH. Trong phương pháp tiếp cận này, mô hình biến động ngụ ý là do sự va chạm với thị trường và nghiên cứu đưa ra các bằng chứng về phân phối tỷ suất lợi nhuận có đuôi dài và dày (fat tailed) so với tiền đề tranh luận tỷ suất lợi nhuận tuân theo phân phối Log - chuẩn trong mô hình BS (Black và Scholes, 1973). Từ khóa: Định giá quyền chọn, mô hình Black - Scholes, quá trình GARCH, biến động ẩn (Implied volatility) 1. Giới thiệu Nói đến quyền chọn (option), không thể không nói đến mô hình Black - Scholes. Cho tới nay, mô hình nổi tiếng nhất cũng như phổ biến nhất trong thế giới tài chính là mô hình định giá quyền chọn Black - Scholes. Nhà kinh tế học Steve Ross trong cuốn “Từ điển Kinh tế” Palgrave đã viết: “Lý thuyết định giá quyền chọn là lý thuyết thành công nhất không chỉ trong ngành Tài chính mà còn trong tất cả các ngành kinh tế”. Fischer Black và Myron Scholes đã công bố công thức định giá quyền chọn trong công trình nghiên cứu vào năm 1973 (Black và Scholes, 1973) mà ngày nay được gọi là mô hình BS. Trong mô hình này, lãi suất phi rủi ro r (không đổi) và biến động là một hằng số α (dường như phi thực tế). Giao dịch quyền chọn là rủi ro do các thành phần ngẫu nhiên có thể xem như là biến động. Mức biến động là đại lượng phản ánh sự dao động của giá trị tài sản cơ sở trong một khoảng thời gian nhất định. Nói cách khác, mức biến động giá trị tài sản là đại lượng có tính * Khoa Tài chính - Ngân hàng, Trường Đại học Tài chính - Marketing ** Sinh viên CLC-18DTC3 Ngành Tài chính - Ngân hàng, Trường Đại học Tài chính - Marketing BIẾN ĐỘNG ẨN TRONG MÔ HÌNH BLACK - SCHOLES VỚI BIẾN ĐỘNG TRONG MÔ HÌNH GARCH 17. NCS. Ngô Văn Toàn*, Sái Hoàng Phúc** 141 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC chất thống kê đo độ phân tán của tỷ suất lợi nhuận trong một khoảng thời gian nhất định. Nó thường được dùng để phản ánh mức độ rủi ro của tài sản cơ sở trong khoảng thời gian đó. Các tài sản có mức biến động lớn tức là khả năng giá trị tài sản cơ sở có thể bị thay đổi đột ngột chỉ trong một khoảng thời gian ngắn theo cả hai hướng (tăng đột ngột hoặc giảm đột ngột) là lớn, vì vậy sẽ có rủi ro cao. Ngược lại, các tài sản có mức biến động nhỏ nghĩa là tài sản đó có giá trị ổn định, do đó sẽ có rủi ro thấp. Khái niệm về biến động không là hằng số đã được giới thiệu bởi quá trình GARCH. Công trình nghiên cứu các mô hình giá cổ phiếu theo các quy trình này là một hướng nghiên cứu mới trong công cụ đầu tư phái sinh. Duan (1995) là người đầu tiên cung cấp lý thuyết nền tảng vững chắc về mô hình định giá. Gần đây, một phần mở rộng của mô hình (Black và Scholes, 1973) với biến động trong quá trình GARCH đã được giới thiệu (Gong et al., 2010). Đo lường biến động, sự biến động của giá cả của công cụ tài chính theo thời gian và biến động ngụ ý có thể được bắt nguồn từ giá thị trường của một giao dịch phái sinh. Năm 1986, quan niệm về biến động ngụ ý đã được sử dụng cho nghiên cứu thị trường tài chính (Latane và Rendleman, 1976). Chuỗi Taylor gần như thường xuyên được thực hiện định giá quyền chọn, trong quản lý rủi ro đặc biệt rất quan trọng. Mô hình BS đã được xem xét cho chuỗi xấp xỉ Taylor cho các mục đích khác nhau (Butler và Schachter, 1986; Latane và Rendleman, 1976). Mức biến động tài sản được rút ra từ việc giải phương trình định giá quyền chọn được gọi là mức biến động ngụ ý của tài sản (Implied asset volatility). Nói cách khác, mức biến động ngụ ý được xác định dựa trên giá của một sản phẩm phái sinh với giả thiết giá của nó được xác định dựa trên mô hình định giá phái sinh mà điển hình là Black và Scholes. Có thể coi mức biến động ngụ ý là chỉ báo về kỳ vọng của thị trường trong thời gian còn lại của quyền chọn. Nếu thị trường quyền chọn là hiệu quả thì mức biến động ngụ ý sẽ phản ánh chính xác mức biến động của tài sản trong thời gian còn lại của quyền chọn. Mức biến động ngụ ý của tài sản là thước đo kỳ vọng thị trường về mức biến động giá trị tài sản tại thời điểm đó trong tương lai. Chính vì vậy, các nhà đầu tư thường quan tâm đến mức biến động ngụ ý của tài sản hơn là mức biến động quá khứ vì không chắc chắn rằng, tương lai sẽ lặp lại những gì đã xảy ra trong quá khứ. Trong bài viết này, các tác giả sẽ xem xét các mô hình mới (Gong et al., 2010); phần 2 cung cấp lý thuyết và công cụ cơ bản; phần 3 trình bày công thức biến động ngụ ý cho quyền chọn mua (call option) mô hình BS (Gong et al., 2010) và so sánh các công thức với mô hình ban đầu (Black và Scholes, 1973); phần 4 trình bày một số nhận xét kết luận. 2. Mô hình BS và quá trình GARCH Cho ( , , )tF PΩ là không gian xác suất, khi đó, giá của tài sản tS tại thời gian t là Geometric Brownian Motion (GBM). 142 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC t t t tdS rS dt S Wσ= + (1) tW là chuyển động Brownian chuẩn và σ là độ biến động. Chúng ta biết rằng, điều này phù hợp với mô hình BS (Black và Scholes, 1973), quyền chọn mua kiểu châu Âu có thể viết như sau: 1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) log( ) ( ) 2 , r BSC S d Ke d S r Kd d d τφ φ σ τ σ τ σ τ − = − + + = = − (2) Trong đó: (.)φ là hàm phân phối chuẩn hóa cho biến ngẫu nhiên của của phân phối chuẩn tắc và T tτ = − , S là giá của tài sản, K là giá thực hiện, r là lãi suất và T là thời gian đến hạn. Nếu S giá của chứng khoán, r là lãi suất (phi rủi ro), khi đó, C là quyền chọn mua kiểu châu Âu, mang lại cho người sở hữu nó các quyền nhưng không phải là nghĩa vụ phải mua một trong những đơn vị tài sản cơ sở cho một mức giá định trước K ở thời hạn ngày T . Tương tự, một quyền chọn bán P mang lại cho người sở hữu nó các quyền, nhưng không phải là nghĩa vụ bán số lượng lý thuyết của tài sản cơ sở với giá K được xác định trước tại T ngày đáo hạn. Khi phương sai Log tỷ suất lợi nhuận của chứng khoán thay đổi theo thời gian tức là tθ σ τ= công thức mới vừa được trình bày (Gong et al., 2010). Mô hình BS với biến động GARCH cho chuỗi dữ liệu tài chính theo thời gian ( ty ) có thể viết từ (1) như sau (Gong et al., 2010): 1 1 log log t t t t t t t t t t t t t dS rS d S dW S S y E Z S S θ θ − − = +      = − =          Quyền chọn mua cho mô hình BS có thể viết như sau: 1 2 2 2 2 2 1 2 1 [ ( )] [ ( )] log( ) 2( ) , ( ) t t r t t t t t C SE d Ke E d S rT Kd f d g d τ θ θφ φ σ θ θ θ θ θ − = − + + = = = = − (3) tθ là tính dừng của quá trình GARCH có trung bình 0µ và phương sai 2θσ . Định giá quyền chọn dựa trên mô hình GARCH là một hướng nghiên cứu mới và hiện nay có rất nhiều nghiên cứu thực nghiệm. Một số mô hình có độ biến động ngẫu nhiên bao gồm: mô hình Heston, mô hình độ co giãn không đổi của phương sai hay mô hình độ biến động địa phương, mô hình độ biến động Alpha - Beta-Rho, mô hình GARCH, mô hình 3/2 và mô hình Chen. Trong nghiên cứu này sẽ xém xét đến mô hình GARCH để ước tính mức biến động. 143 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Biến động là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến việc định giá quyền chọn. Tuy nhiên, nó là một yếu tố cực kỳ khó dự báo. Do đó, vấn đề quan trọng nằm ở chỗ các ước tính chính xác cho độ bất ổn. Ước tính biến động có thể được sử dụng để xác định mức giá tương lai của cổ phiếu hay quyền chọn chứng khoán. Nghiên cứu thực nghiệm đã chỉ ra rằng, việc sử dụng biến động lịch sử trong mô hình định giá quyền chọn khác nhau dẫn đến những chênh lệch trong việc định giá. Mô hình GARCH (1,1) có thể là một giải pháp cho vấn đề này. Các nghiên cứu này áp dụng mô hình GARCH (1,1) để ước tính độ biến động, và áp dụng độ bất ổn ước tính được để tính toán giá quyền chọn bằng mô hình Black - Scholes (Bi, Yousuf và Dash, 2014). Nếu trường hợp là GARCH(1,1): 2 2 1 1 ( ) 1 ( ) t z E ωθ α σ β=  − +  Một quá trình sau đây được gọi là quá trình GARCH(p,q) (Christian và Jean, 2010): 2 2 2 1 1 1 2, (0, ), 0, 0, 0 p q t i t j t j i j t t t t i jz z N θ θ ω α ε β σ ε θ σ ω α β − − = = = + + = > ≥ ≥ ∑ ∑ � (4) Nếu chúng ta xem xét đến phương trình (3), sau đó chúng ta có kết quả (Gong et al., 2010): 2 2 1 12 2 2 2 2 22 2 1 1 log( ) ( ) log( ) ( ) 2 2[ ( )] ( ) ( ) 1 1 log( ) ( ) log( ) ( ) 2 2[ ( )] ( ) ( ) t t t t t t t t t t S S rT E rT E K KE d d E E S S rT E rT E K KE d d E E θ θ θ θ φ φ θ θ θ θ φ φ θ θ   + + + +  = ⇒ =      + − + −  = ⇒ =    (5) Đề xuất là dùng 1 2d d− . Chúng ta có: 2 1 2 ( )td d E θ− = ( , )tC K T là giá thị trường của quyền chọn mua kiểu châu Âu với giá thực hiện 0K > và ngày đến hạn T tại thời điểm [0, )t T∈ . Biến động ngụ ý ( , )t K Tσ được định nghĩa như là giá trị của tham số biến động, khi đó so sánh với giá thị trường của quyền chọn với giá được cho bởi công thức. ( , ) ( , , , , , ( , ))t BS t tC K T C t S K T r K Tσ= (6) 3. Biến động ngụ ẩn trong mô hình BS với biến động trong quá trình GARCH Cấu trúc của BS liên quan đến giá của quyền chọn đến thời điểm hiện tại t, giá chứng khoán tS ,σ là biến động của chứng khoán, lãi suất là r, ngày đến hạn T và giá thực hiện là K . Như chúng ta đã biết, mô hình cho rằng, biến động như là hàm hằng số trong suốt vòng đời của quyền chọn nhưng nghiên cứu thực nghiệm lại trái ngược với giả định của mô hình. Biến động ngụ ý bởi thị trường có thể tồn tại bởi sự đảo lộn công thức định giá quyền chọn. Trong phần này, chúng tôi sử dụng (Gong et al., 2010) và tồn tại biến động ngụ ý, thêm vào đó, các tác giả sử dụng như thủ tục cho mô hình BS nguyên thủy và so sánh với kết quả cho tính toán. 144 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Tình huống 1: Khi tσ θ= và tθ là quá trình GARCH. Chúng ta biết công thức quyền chọn mua của mô hình BS với quá trình GARCH (Gong et al., 2010). 1 2[ ( )] [ ( )]t t rC SE d Ke E dτθ θφ φ−= − Sử dụng phần mở rộng của hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ Taylor bậc hai được đề xuất bởi (Corrado và Miller, 1996). 3 31 1 ( ) ... 2 6 402 x x N x x   = + − +   (7) Sử dụng (7) cho quyền chọn mua của BS với biến động GARCH, chúng ta có 2 1 2 ( )td d E θ− = và rTX Ke−= . 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 22 2 1 1 1 1 ( ) ( ( )) 2 22 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 t t C S d X d C S d X d E S X S X X C d E θ θ π π     = + − +           = + − + −       − − = + + Để có một phương trình theo tθ và đơn giản hóa phương trình trên bằng cách thay thế 1d với các biểu thức tương đương. Ngoài ra, chúng ta phải giả định: log( ) S u rT K = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2( )[ ] 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2 ( ) 0 ( ) ( ) 2 [( ) 2 ] ( ) 2 ( ) 0 t t t t t t t t t t t t t E S X E S X u XE C E E S X E u S X S X E XE S X E S X E E C u S X S X E S X C E u S X θ π θ θ π θ π θ π θ θ θ θ π θ π θ θ π θ − + − + + = = − + − + − + + + − − + − = + + − − + − = Đặt: ( ), 2 [( ) 2 ]S X S X Cα β π= + = − − và 2 ( )u S Xγ = − , sau đó có thể viết lại công thức ở trên như sau: 2 2( ) ( ) 0t tE Eα θ β θ γ+ + = (8) Đặt: 2( )tE xθ = và 2 2( )tE xθ = , phương trình (8) có thể viết như sau: 2 0x xα β γ+ + = (9) Phương trình (9) là phương trình bậc hai đơn giản và nghiệm của phương trình có thể viết như sau: 2 4β αγ∆ = − và 2 x β α − ± ∆ = . Hơn nữa, trong tình huống này, nghiệm 145 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC không âm phương trình (9) dấu của hệ số ,α β và γ là rất quan trọng. Thêm vào đó, nếu 0, 0, 0α β γ> > luôn ngụ ý sự tồn tại ít nhất một nghiệm thực dương của phương trình (9). Tuy nhiên, dấu của hệ số phụ thuộc vào giá của chứng khoán, giá thực hiện. Nghiên cứu tình huống đặc biệt khi giá của chứng khoán S bằng với giá thực hiện K như là S K= , quyền chọn được gọi hòa vốn (At The Money). Nếu xét 0r = phương trình (9) hệ số 0γ = và chúng ta thấy tồn tại phương trình sau: 2 0x xα β+ = (10) Nghiệm của phương trình (10) là: 0,x x β α − = = , trong đó 2Sα = và 2 2 Cβ π= − . Nói cách khác, chúng ta có thể gọi tổng của nghiệm phương trình (9) là hòa vốn (At The Money). Quyền chọn mua (call option) của mô hình BS với biến động GARCH, tại trường hợp hòa vốn (at the money) giá trị của độ nhọn (kurtosis) là một tham số của mô hình như sau (Gong et al., 2010; Sheraz và Preda): 2 ( ) 2 2 2768( . 1 ( ) 3 ( ( ) 4)( ( ) 8) BS ty t t C E S k E E π θ θ θ − = + + − Trong đó, BSC là giá trị của quyền chọn mua của mô hình BS với độ biến động GARCH, S là giá chứng khoán và tθ là độ biến động của GARCH. Ví dụ 1: Xem xét dữ liệu sử dụng (Gong et al., 2010): 425.73S = , 25.33635043GARCHC = , 0r = quyền chọn tại hòa vốn (ATM) chúng ta có: 2 0.1491GARCH C x S πβ α −− = = = Tình huống 2: Sử dụng biến động theo giả định của BS. Trong tình huống này, công thức sử dụng cho quyền chọn mua là BSC và biết rằng: 1 2( ) ( ) r BSC S d Ke d τφ φ−= − Chúng ta sử dụng phần mở rộng của hàm phân phối chuẩn với phương pháp xấp xỉ Taylor bậc hai được đề xuất bởi (Corrado và Miller, 1996): 3 31 1 ( ) ... 2 6 402 x x N x x   = + − +   Sử dụng (7) cho quyền chọn mua của BS với biến động GARCH, chúng ta có: 1 2d d σ τ− = và rTX Ke−= 1 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 22 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 22 2 ( ) ( ) 2 2 2 BS BS BS C S d X d C S d X d S X S X X C d σ τ σ τ π π     = + − +           = + − + −       − − = + + 146 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Chúng ta muốn có một phương trình theo tθ và có thể đơn giản phương trình ở trên bằng cách thay thế 1d với biểu thức tương đương. Để đơn giản, chúng ta giả định như sau: log( ) S r K υ τ= + 2 2 2 2 ( ) 2( )[ ] 2 2 2 2 ( ) 2 [( ) 2 ] 2 ( ) 0 BS BS S X S X X C S X S X C S X σ τ π σ τ υ σ τ πσ τ σ τ π σ τ υ − + − + + = + + − − + − = Đặt: ( )S Xα = + , 2 [( ) 2 ]BSS X Cβ π= − − và 2 ( )S Xγ υ= − , phương trình trên có thể viết dưới dạng sau: 2 0ασ τ βσ τ γ+ + = (11) Đặt: yσ τ = và 2 2yσ τ = , chúng ta có thể viết phương trình (11) có thể viết như sau: 2 0y yα β γ+ + = (12) Phương trình (12) gần như phương trình (9), khi đó chúng ta có thể sử dụng cùng khái niệm cho nghiệm của phương trình (12) như đã thảo luận cho phương trình (9). Ví dụ 2: Biết rằng lãi suất ngắn hạn trên thị trường tiền tệ là 6,2%, tính giá trị lý thuyết của những quyền chọn sau đây: Call option kiểu châu Âu, giá thực hiện (strike) = 40 USD, thời gian hiệu lực là 6 tháng, phương sai của giá chứng khoán cơ sở là 0,25. Giá hiện hành của chứng khoán cơ sở là 28 USD. Tính mức biến động ngụ ẩn (implied volatility) khi giá Call option kiểu châu Âu = 1 USD. Call Option: 1 10,747 ( ) 0,22d N d= − ⇒ = ; 2 21,1 ( ) 0,1355d N d= − ⇒ = ; 1,1146BSC⇒ = Implied Volatility: 1 48%t impliedC σ= ⇒ ≈ 4. Kết luận Trong bài viết này, một số phần mở rộng của Black - Scholes với mô hình biến động GARCH cho thấy sự tương thích về mặt toán học. Các tác giả đã sử dụng phép tính xấp xỉ Taylor như đã thảo luận trong (Gong et al., 2010). Tuy nhiên, giá trị của biến động ngụ ý có thể phụ thuộc vào bản chất hệ số của phương trình bậc hai. Ngoài ra, sử dụng phương pháp các tác giả đề xuất trong mô hình BS với biến động trong quá trình GARCH, biến động ngụ ý của các cổ phiếu, trong đó, độ biến động trên có thể được xác định. Giá tài sản cơ sở là quá trình liên tục và phân phối có thể vượt qua trở thành phân phối bất đối xứng. Như vậy, trong tài chính, biến động ngụ ý (Implied volatility) của một hợp đồng quyền chọn là giá trị của các biến động của các công cụ cơ bản, đầu vào trong một mô hình định giá quyền chọn (chẳng hạn như mô hình BS) sẽ trả về một giá trị lý thuyết bằng với giá thị trường hiện tại của tùy chọn. Biến động ngụ ý, một biện pháp hướng tới tương lai và chủ quan, khác với biến động lịch sử (Historical volatility) bởi vì biến động lịch sử được tính từ các tỷ suất lợi nhuận đã biết quá khứ của một chứng khoán. 147 ĐỔI MỚI GIẢNG DẠY MÔN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ỨNG DỤNG CHO SINH VIÊN KHỐI NGÀNH KINH TẾ, QUẢN TRỊ KINH DOANH VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Bi, Z., Yousuf, A., & Dash, M. (2014), A Study on Options Pricing Using GARCH and Black-Scholes-Merton Model. Asian Journal of Finance & Accounting, 6(1), pp. 423 - 439. 2. Black, F., & Scholes, M. (1973), The pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, pp. 637 - 654. 3. Butler, J. S., & Schachter, B. (1986), Unbiased estimation of the Black/Scholes formula. Journal of Financial Economics, 15(3), pp. 341 - 357. 4. Christian, F., & Jean, Z. (2010), GARCH models: John Wiley and sons. 5. Corrado, C. J., & Miller, T. W. (1996), A note on a simple, accurate formula to compute implied standard deviations. Journal of Banking & Finance, 20(3), pp. 595 - 603. 6. Duan, J. C. (1995), The GARCH option pricing model. Mathematical Finance, 5(1), pp. 13 - 32. 7. Gong, H., Thavaneswaran, A., & Singh, J. (2010), A Black-Scholes model with GARCH Volatility, Mathematical Scientist, 35(1). 8. Latane, H. A., & Rendleman, R. J. (1976), Standard deviations of stock price ratios implied in option prices. The Journal of Finance, 31(2), pp. 369 - 381. 9. Sheraz, M., & Preda, V. Kurtosis in Black-scholes Model with GARCH Volatility.