Các bài toán hình không gian

CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH CHÓP CÂU 1) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , , . Gọi M là trung điểm SA , chứng minh . Tính GIẢI Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = , , . Gọi M là trung điểm SA , chứng minh . Tính Theo định lí côsin ta có: Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a. Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC). Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng có MN ^ SA. . Do đó (đvtt) CÂU 2) Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B, AB = a; các cạnh , (a > 0). Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy điểm M, N sao cho SM = BN = a. Tính thể tích khối chóp C.ABNM theo a. GIẢI * Chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh S là trung điểm H của cạnh AC * Tính được * CM được Câu V. (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AD = BC = b, AC = BD = c. Tính thể tích của tứ diện ABCD GIẢI Qua B, C, D lần lượt dựng các đường thẳng Song song với CD, BD, BC cắt nhau tại M, N, P Ta có MN = 2BD, MP = 2CD, NP = 2BC từ đó ta có các tam giác AMN, APM, ANP vuông tại A Đặt x = AM, y = AN, AP = z ta có Vậy V = CÂU 3 ) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó. G Gọi O là giao điểm AC và BD Ta có: . . Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN. Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp là bán kính cần tìm. CÂU 4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. GIẢI Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó Hay tam giác ABD đều. S A B K H C O I D a Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ Diện tích đáy ; đường cao của hình chóp . Thể tích khối chóp S.ABCD: CÂU 5) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là các điểm lần lượt di động trên các cạnh AB, AC sao cho . Đặt AM = x, AN = y. Tính thể tích tứ diện DAMN theo x và y. Chứng minh rằng: GIẢI Dựng Do mà là tứ diện đều nên là tâm tam giác đều . Trong tam giác vuông DHA: Diện tích tam giác là Thể tích tứ diện là Ta có: Û Trước hết ta có: (biến đổi tương đương) Đặt x + y + z = a. Khi đó (với t = , ) Xét hàm số f(t) = (1 – t)3 + 64t3 với t. Có Lập bảng biến thiên GTNN của P là đạt được khi x = y = 4z > 0 CÂU 6) Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao là H trùng với tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC và AB = AC = 5a , BC = 6a . Góc giữa mặt bên (SBC) với mặt đáy là .Tính theo a thể tích và diện tích xung quanh của khối chóp S.ABC. GIẢI Gọi M là trung điểm BC A , M , H thẳng hàng . AM=4a =MH . . Hạ HN , HP vuông góc với AB và AC HM = HN = HP. CÂU 7) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=. Đáy là tam giác ABC cân , cạnh BC=2a Tính thể tích của khối chóp S.ABC.Gọi M là trung điểm của SA.Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC). * Áp dụng định lí cosin trong ABC có AB = AC = = AB.AC.sin1200 = . Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), theo gt: SA = SB = SC HA = HB = HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC. * Theo định lí sin trong ABC ta có: = 2R R = = HA SHA vuông tại H SH = = = .SH = * Gọi hA, hM lần lượt là khoảng cách từ A, M tới mp(SBC) hM = hA . SBC vuông tại S = a2 * Lại có: = .hA hA = = Vậy hM = d(M;(SBC)) = CÂU 8) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt đáy (ABC) thỏa mãn: , góc giữa SC và mặt đáy (ABC) bằng .Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ trung điểm K của SB tới (SAH). •Ta có H thuộc tia đối của tia IA và IA = 2IH BC = AB ; AI= ; IH= = AH = AI + IH = •Ta có Vì • • Ta có S A B K H C O I D a CÂU 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ A M I E O H K M C D Diện tích đáy ; đường cao của hình chóp . Thể tích khối chóp S.ABCD: CÂU 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với ®¸y hình chóp.Cho AB = a, SA = a. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vu«ng gãc của A lên SB, SD. Chứng minh SC ^ (AHK) và tính thể tích khèi chóp OAHK. +BC vuông góc với (SAB) BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB AH vuông góc với (SBC) AH vuông góc SC (1) + Tương tự AK vuông góc SC (2) và (2) SC vuông góc với (AHK ) SB = AH.SB = SA.AB AH=SH= SK= (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A) Ta có HK song song với BD nên . kÎ OE// SC suy ra OE lµ ®­êng cao cña h×nh chãp OAHK vµ OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có AM= (®vtt) S CÂU 11) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Giải: Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên . Ta có Hạ tính được ; Trong tam giác vuông SIH có . (E là trung điểm của AB). . Câu V. (1.0 điểm) CÂU 12) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi. SA = x (0 < x < ) các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x Ta có Tương tự ta có SO = OA vậy tam giác SCA vuông tại S. Mặt khác ta có Gọi H là hình chiếu của S xuống (CAB) Vì SB = SD nên HB = HD H CO Mà Vậy V = CÂU 13) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 600 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao A S B C M N D Ta có SA = AB tan600 = a , Suy ra MN = . BM = Diện tích hình thang BCMN là : S = Hạ AH BM . Ta có SHBM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) SH là đường cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , = . Vậy BM là phân giác của góc SBA SH = SB.sin300 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = = CÂU 14)Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , . Tính thể tích khối chóp S.ABC. Do đó Theo định lí côsin ta có: S A B C M N Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a. Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC). Ta có Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng có MN ^ SA. . Câu 14 ) Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h. SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D : ; ; Câu 15 ) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Cạnh bên SA vuông góc với mp (ABCD) và SA = a; M là trung điểm cạnh SD. a) Mặt phẳng (a) đi qua OM và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a. b) Gọi H là trung điểm của CM; I là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh OH ^ (SCD); và hình chiếu của O trên CI thuộc đường tròn cố định. a. Kẻ MQ//SA => Thiết diện là hình thang vuông MNPQ (MN//PQ) (đvdt) b. Gọi K là hình chiếu của O trên CI Trong mp(SCD) : H, K cố định, góc HKC vuông => K thuộc đường tròn đg kính HC Câu 16) Cho tø diÖn ABCD cã ba c¹nh AB, BC, CD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau vµ . Gäi C’ vµ D’ lÇn l­ît lµ h×nh chiÕu cña ®iÓm B trªn AC vµ AD. TÝnh thÓ tÝch tÝch tø diÖn ABC’D’. C¢U 4. V× nªn vµ do ®ã .V× nªn . Suy ra nÕu V lµ thÓ tÝch tø diÖn ABC’D’ th× . V× tam gi¸c ABC vu«ng c©n nªn . Ta cã nªn . V× BD’ lµ ®­êng cao cña tam gi¸c vu«ng ABD nªn , VËy . Ta cã . VËy Câu 17 ) Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng của hình vuông ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a . Gọi B’, D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’ ) cắt SC tại C’ . Tính thể tích khối đa diện ABCDD’ C’ B’. + Trong tam giác SAB hạ . Trong tam giác SAD hạ . O A D B C S C' B' D' Dễ có: Suy ra: , mà . Từ đó có . Tương tự ta có: . Từ (1) và (2) suy ra: . Từ đó suy ra: + Ta có: , . Suy ra: ; Lại có B’D’ // BD (cùng thuộc mp(SBD) và cùng vuông góc với SC) nên (vì dễ có nên ). Xét hai tam giác đồng dạng SB’D’ và SBD suy ra: . Ta có: + Ta có: . . Suy ra thể tích đa diện cần tìm là: . Câu 18 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC = , BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Từ giả thiết AC = ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = ; BO = a , do đó Hay tam giác ABD đều. Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ^ (ABCD). Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có và DH = ; OK // DH và Þ OK ^ AB Þ AB ^ (SOK) Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ^ SK; AB ^ OI Þ OI ^ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB). S A B K H C O I D a Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao Þ Diện tích đáy ; đường cao của hình chóp . Thể tích khối chóp S.ABCD: Câu 19 ) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a. +) Vậy S C B A K H a 2a a Chú ý : có thể tính theo công thức tỷ số thể tích. +) Theo bài ra ta có Và nên +) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông ta có , +) Ta có Câu 20 ) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A'.ABC là h.chóp tam giác đều cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC). Tính tan và thể tích của khối chóp A'.BB'C'C. Gọi E là trung điểm của BC, H là trọng tâm của D ABC. Vì A'.ABC là hình chóp đều nên góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'BC) là j = . Tá có : Þ . Do đó: ; . Do đó: . (đvtt) Câu 21)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 600.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh được góc DMB = 1200 và D DMB cân tại M Tính được: DM2 = a2 D SCD vuông tại D và DM là đường cao nên Suy ra DS = a. Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a. Vậy thể tích S.ABCD bằng a3 Câu 22 ) Cho h×nh hép ®øng ABCD.A'B'C'D' cã c¸c c¹nh AB = AD = a, AA' = vµ gãc BAD = 600. Gäi M vµ N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh A'D' vµ A'B'. Chøng minh AC' vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BDMN). TÝnh thÓ tÝch khèi chãp A.BDMN. Chứng tỏ AC’ BD C/m AC’ PQ, với P,Q là trung điểm của BD, MN. Suy ra AC’ (BDMN) Tính đúng chiều cao AH , với H là giao của PQ và AC’. Nếu dùng cách hiệu các thể tích thì phải chỉ ra cách tính. Tính đúng diện tích hình thang BDMN . Suy ra thể tích cần tìm là: . Câu 23 ) Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh CD, A¢D¢. Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD¢ = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc với (A¢AM) và tính thể tích của khối tứ diện A¢AMP. Gọi Q là giao điểm của NP và AD. Do PD¢ = 2PD nên D¢N = 2DQ (đpcm). Ta có: (1). Thay vào (1), ta được: . Câu 24 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D. Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ diện ASBC theo a. Ta có SABC = SABCD – SADC = . VASBC = SABC.SA = Câu 25 ) C C’ B’ B A’ m D 1 1 Cho hình lăng trụ tam giác đều có Tìm biết rằng góc giữa hai đường thẳng và bằng . - KÎ hoÆc - NÕu V× l¨ng trô ®Òu nªn ¸p dông ®Þnh lý Pitago vµ ®Þnh lý cosin ta cã vµ KÕt hîp ta suy ra ®Òu. Do ®ã - NÕu ¸p dông ®Þnh lý cosin cho suy ra (lo¹i). VËy * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt tr­êng hîp gãc th× chØ cho 0,5® khi gi¶i ®óng. - HS cã thÓ gi¶i b»ng ph­¬ng ph¸p vect¬ hoÆc to¹ ®é víi nhËn xÐt: . CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH THỂ TÍCH CHÓP Câu 26 ) Cho khối tứ diện ABCD. Trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho và . Mặt phẳng (MNP) chia khối tứ diện ABCD làm hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. G Gọi T là giao điểm của MN với CD; Q là giao điểm của PT với AD. Vẽ DD’ // BC, ta có: DD’=BM . Mà: . Nên: (1) Và (2). Từ (1) và (2), suy ra : . KL tỉ số thể tích cần tìm là hoặc . Câu 27 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,góc A=1200, BD = a >0. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 600. Một mặt phẳng (α) đi qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp. * Hình thoi ABCD có góc A=1200 và tâm O nên tam giác ABC đều : và Đặt I là trung điểm BC thì Mà . Do đó là góc giữa 2 mp(SBC) và mp(ABCD) vì vuông tại A : * Kẻ tại K thì mp(BD;OK) là mp(α). Khi đó : (1) Lại do , nên Trong đó H là hình chiếu của K trên mp(ABCD) và H thuộc AC. * Ký hiệu V, V1, và V2 là thể tích của hình chóp S.ABCD, K.BCD và phần còn lại của hình chóp S.ABCD: * Ta được: CÁC BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP NỘI TIẾP CHÓP Câu 28 ) Cho h×nh chãp S.ABC cã SB^(ABC), DABC vu«ng t¹i A, c¹nh AB=a, AC=b, SB=c. TÝnh b¸n kÝnh mÆt cÇu néi tiÕp h×nh chãp S.ABC. Ta có các tam giác SBA, SBC lần lượt vuông tại B. Gọi I, r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC . Do Ta có : Câu 29 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Do SA = SB = AB (= a) nên SAB là tam giác đều. Gọi G và I tương ứng là tâm của tam giác đều SAB và tâm của hình vuông ABCD. Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD. Ta có OG ^ (SAB) và OI ^ (ABCD). Suy ra: + OG = IH = , trong đó H là trung điểm của AB. + Tam giác OGA vuông tại G. Kí hiệu R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD, ta có: Câu 30 ) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại C ; M,N là hình chiếu của A trên SB, SC. Biết MN cắt BC tại T. Chứng minh rằng tam giác AMN vuông và AT tiếp xúc với mặt cầu đường kính AB. 1.Theo định lý ba đường vuông góc BC ^ (SAC) Þ AN ^ BC và AN ^ SC ÞAN ^ (SBC) Þ AN ^ MN Ta có: SA2 = SM.SB = SN.SC Vây DMSN ~ DCSB TM là đường cao của tam giác STB BN là đường cao của tam giác STB Theo định lý ba đường vuông góc, ta có AB ^ ST ÞAB ^ (SAT) hay AB^ AT (đpcm) CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH CHÓPĐẠT GIÁ TRỊ LN VÀ NN Câu 31 ) . Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a).Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). b) Kẻ MH vuông góc với AC tại H . Tìm vị trí của M để thể tích khối chóp SMCH lớn nhất GIẢI Do Lai có Ta có Từ biểu thức trên ta có: M trùng với D Câu 32 ) Trong mÆt ph¼ng (P) cho ®­êng trßn (C) t©m O ®­êng kÝnh AB = 2R.Trªn ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi (P) t¹i O lÊy ®iÓm S sao cho OS = R. I lµ ®iÓm thuéc ®o¹n OS víi SI = . M lµ mét ®iÓm thuéc (C). H lµ h×nh chiÕu cña I trªn SM. T×m vÞ trÝ cña M trªn (C) ®Ó tø diÖn ABHM cã thÓ tÝch lín nhÊt.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. Tø gi¸c IHMO néi tiÕp nªn SH.SM = SI.SO mµ OS = R, SI = , SM = SH = R hay H lµ trung ®iÓm cña SM Gäi K lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña H lªn mp(MAB) th× HK = SO=R , (kh«ng ®æi) VBAHM lín nhÊt khi dt(MAB) lín nhÊt M lµ ®iÓm gi÷a cña cung AB Khi ®ã VBAHM=(®vtt) Câu 33 ) Khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SC = a . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất . Gọi là góc giữa hai mp (SCB) và (ABC) . Ta có : ; BC = AC = a.cos ; SA = a.sin Vậy Xét hàm số : f(x) = x – x3 trên khoảng ( 0; 1) Ta có : f’(x) = 1 – 3x2 . Từ đó ta thấy trên khoảng (0;1) hàm số f(x) liên tục và có một điểm cực trị là điểm cực đại, nên tại đó hàm số đạt GTLN hay Vậy MaxVSABC = , đạt được khi sin = hay ( với 0 < ) Câu 34 ) Hình chóp tứ giác đều SABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng 2. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của chóp thì thể tích của chóp nhỏ nhất? Gọi M, N là trung điểm BC, AD, gọi H là hình chiếu vuông góc từ N xuống SM. Ta có: Câu 35 ) Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x (0 < x £ a).Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho SA = 2a. a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). b) KÎ MH vu«ng gãc víi AC t¹i H . T×m vÞ trÝ cña M ®Ó thÓ tÝch khèi chãp SMCH lín nhÊt Do Lai cã Ta cã A M D S H B C Tõ biÓu thøc trªn ta cã: M trïng víi D CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Câu 36 ) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC C I M B H C/ Ta coù (đvtt) Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B Neân SA’BC= Xeùt 2 tam giaùc A’BC vaø IBC, Ñaùy Vaäy d(A,IBC) Câu 37 ) Cho tứ diện ABCD có AC = AD = a2, BC = BD = a, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng a3 . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD). Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng a31527. a3 a2 a α H D E C B A Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE Ta có △ACD cân tại A nên CD ⊥ AE Tương tự △BCD cân tại B nên CD ⊥ BE Suy ra CD ⊥(ABE) ⇒ CD ⊥ BH Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD) Do đó BH = a3 và góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là α Thể tích của khối tứ diện ABCD là V=13BH.SACD=a31527 ⇒SACD=a253⇒AE.DE=a253⇒AE2DE2=a459 Mà AE2+ED2=2a2 Khi đó :AE2,DE2 là 2 nghiệm của pt: x2 - 2a2x + a459 = 0 ⇒AE2=a23DE2=5a23 hoặcAE2=5a23DE2=a23 trường hợp DE2=5a23 loại vì DE<a Xét △BED vuông tại E nên BE = BD2-DE2=a2-a23=a23 Xét △BHE vuông tạ