Chuyên đề Phương pháp Động lực học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THỪA THIÊN HUẾ KHOA VẬT LÝ
Chuyên đề: Phương pháp Động lực học ((( Môn học: Cơ học 1 Sinh viên: Huỳnh Thị Tám Lớp: Lý 1B Khóa học: 2011-2015 Giáo viên hướng dẫn: Đoàn Tử Nghĩa Huế, 1/2012 MỤC LỤC ((( Mở đầu 03 Phần A: Cơ sở lý thuyết I. Các định luật Newton 04 1. Định luật I Newton 04 2. Định luật II Newton 04 3. Định luật II Newton 06 II. Nguyên lý tương đối Galileo 06 1. Phép biến đổi Galileo 06 2. Định lý cộng vận tốc 07 3. Nguyên lý tương đối Galileo 07 III. Phương pháp động lực học 07 1. Phương pháp động lực học-các nguyên tắc cơ bản 08 2. Trình tự giải các bài toán bằng phương pháp động lực học 08 IV. Các bài toán động lực học 09 1. Các bài toán thuận của động lực học 09 2. Các bài toán ngược của động lực học 09 Phần B: Một số bài tập ví dụ Bài 1 10 Bài 2 11 Bài 3 12 Bài 4 13 Bài 5 14 Bài 6 16 Bài 7 17 Bài 8 19 Bài 9 20 Bài 10 22 Kết luận 23 Mở đầu - Cơ học lý thuyết là một môn khoa học nghiên cứu quy luật chung nhất về chuyển động, nghiên cứu chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên nhân gây ra chuyển động., sự tương tác của các lực trong không gian theo thời gian. Tất cả các nguyên lý của các ngành cơ học ứng dụng khác đều dựa trên phương pháp và kết quả của cơ học lý thuyết. Trong đó động lực học nói chung và động lực học chất điểm nói riêng là một nhánh quan trọng của cơ học. Chuyên nghiên cứu về chuyển động và nguyên nhân gây ra những chuyển động đó. - Bằng cách sử dụng các phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng và ứng dụng một số các nguyên lý, định lý, định luật như: nguyên lý Galileo, các định luật Newton, các định luật bảo toàn năng lượng,…. Chúng ta xác định được các hiện tượng cơ học của chuyển động đó và một số đại lượng có liên quan. - Bản thân là sinh viên Sư phạm,chuyên nghành sư pham Vật Lý nên không chỉ dừng lại ở việc học tập và nghiên cứu chương trình phổ thông mà cần phải đi sâu vào nghiên cứu cá hiện tượng cơ học của chuyển động, đồng thời khám phá ra nội dung quan trọng của phần “động lực học chất điểm”, mở rộng sự hiểu biết và tiếp cận những vấn đề mới. Hiểu rõ được tầm quan trọng cũng như sự cần thiết của phần động lực học chất điểm với sinh viên khoa Vật Lý nên tôi chọn vào việc đi sâu nghiên cứu lý thuyết và phương pháp giải bài tập động lực học chất điểm. Phần A: Cơ sở lý thuyết: Động lực học nghiên cứu mối quan hệ giữa sự biến đổi trạng thái chuyển động của vật và nguyên nhân làm biến đổi trạng thái của chuỵển động đó. Phần này nghiên cứu đến mối quan hệ giữa gia tốc hướng tâm của chất điểm, hệ chất điểm với các lực tác dụng lên nó. Các phương pháp động lực học rút ra chỉ được áp dụng lên nó. Vì thế, khi nói “vật”, ta hiểu vật đó là chất điểm. Cơ sở của động lực học vĩ mô là các định luật Newton và nguyên lí Galileo. I. Các định luật Newtơn: Cơ sở của động lực học là 3 định luật Newtơn của Issac Newtơn-nhà Vật lý người Anh (1642-1727). Trong công trình “Các tiên đề toán học của triết học tự nhiên” công bố năm 1687. ông đã phát biểu những định luật cơ bản của vật lý cổ điển, thiết lập được định luật vạn vật hấp dẫn, nghiên cứu sự tán sắc ánh sáng và khởi thảo những cơ sở của các phép tính vi phân và tích phân 1. Định luật I Newtơn: Định luật: Khi một chất điểm cô lập (không chịu một tác động nào từ bên ngoài) nếu đang đứng yên, nó sẽ tiếp tục đứng yên, nếu đang chuyển động thì chuyển động của nó là thẳng đều. - Chất điểm đứng yên:
- Chất điểm chuyển động thẳng đều:
Cả hai trạng thái trên vận tốc của chất điểm đều không thay đổi. Tổng quát:
Ý nghĩa của định luật I Newton: Định luật I Newton cho ta cách tìm, xác định hệ quy chiếu quán tính-đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật I Newton được nghiệm đúng. Rõ ràng cách xác định hệ quy chiếu theo cách này đơn giản hơn là dựa vào các định luật cơ bản về năng lượng. Do đó, định luật I Newton còn được gọi là định luật quán tính. Còn xu hướng bảo toàn vận tốc của vật được gọi là quán tính. 2. Định luật II Newtơn: a) Khái niệm về lực: Trong cuộc sống ta thấy rõ hiện tượng vật này tác dụng và vật kia. Chẳng hạn như: khi nâng một vật lên cao, tay ta đã tác dụng vào vật và vật đã đè lên tay ta; khi ta để nam châm gần dinh sát thì nó sẽ hút đinh sắt;… Để đặc trung cho các tác dụng đó, người ta đưa ra khái niệm về lực. Lực là đại lượng vật lý đặc trung cho tác dụng của vật này vào vật khác, là số đo của tác động cơ học do các đối tượng khác tác động vào vật. Số đo ấy đặc trung cho hướng và độ lớn của lực tác dụng. Lực được kí hiệu là F (Force). Trong hệ SI, lực có đơn vị là Newtơn (N). Lực là một đại lượng vectơ
và là một khái niệm cơ bản của động lực học. -Công thức định nghĩa lực:
- Phương của lực
: cho biết phương tác dụng. -Chiều của lực
: cho biết chiều tác dụng. -Độ lớn của
: cho biết độ anh yếu (cường độ) tác dụng. -Điểm đặt
: cho biết vị trí (điểm) chịu tác dụng. Dưới tác dụng của lực, vật có thế thu gia tốc hoặc bị biến dạng. Phần này không nghiên cứu sự biến dạng của vật, chỉ nghiên cứu quan hệ giữa gia tốc của chất điểm với các lực tác dụng vào nó. Nếu tổng vecto của hai lực đặt vào chất điểm bằng không thì sự có mặt của các tác động đo bởi các lực đó không được phản ánh trong chuyển động của chất điểm. hai lực như vậy gọi hai lực cân bằng. Trong cơ học, ta phân biệt ba loại lực: +Các lực hút tương hỗ giữa các vật gọi là lực hấp dẫn. +Các lực xuất hiện khi các vật tiếp xúc trực tiếp tác dụng lên nhau, các lực này có chung bản chất là lực đàn hồi. +Các lực là kết quả của của sự tương tác giữa hai vật tiếp xúc nhau, chuyển động tương đối với nhau, các lực này gọi là lực ma sát. b) Khái niệm về khối lượng Mọi vật đều có xu hướng bảo toàn trạng thái chuyển động ban đầu của mình. Thuộc tính đó gọi là quán tính của vật. Mức quán tính của vật được đặt trưng bởi một đại lượng vật lý, đó là khối lượng. Ta nói, khối lượng là số đo mức quán tính của vật. Quán tính của vật thể hiện ở gia tốc mà nó thu được khi có ngoại lực tác dụng và được định lượng bởi định luật II Newton: F=ma. Ta thấy, cùng với một lực tác dụng, trạng thái chuyển động biến đổi càng nhỏ (gia tốc cầng nhỏ) khi khối lượng (quán tính) của vật càng lớn, và ngược lại. Khối lượng còn là đại lượng đặc trung cho mức hấp dẫn giữa vật này và vật khác. Theo Newton, lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật là F=mg. Như vậy, đối với cùng một vật, ta có thể viết F=mia và F=mgg. Trường hợp thứ nhất, khối lượng là số đo quán tính của vật, nê gọi là khối lượng quán tính và được ks hiệu là mi. Trường hợp thứ hai, khối lượng là số đo tương tác hấp dẫn của vật với Trái Đất, nên gọi là khối lượng hấp dẫn và được kí hiệu là mg. Tuy nhiên, trong sự rơi tự do mọi vật đều có cùng gia tốc a=g, suy ra khối lượng quán tính và khói lượng hấp dẫn bằng nhau về trị số mi=mg=m. Hệ thức trên là một trong những kết luận vững chắc nhất của vật lý hiện đại. Trên cơ sở đó, ta đi đến khái niệm về khối lượng như sau: Khối lượng là số đo mức quán tính của vật và mức hấp dẫn của vật đối với vật khác. Trong hệ SI, đơn vị đo khối lượng là kilogam (kg) và là một trong 7 đơn vị cơ bản. c)Phát biểu định luật II Newton: Khi vật chịu tác dụng của ngoại lực
, nó sẽ thu một gia tốc
theo hướng của lực, tỉ lệ thuận với lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật.
Nếu vật chịu tác dụng bởi nhiều lực thì
chính là hợp lực của tất cả các lực thành phần. Khi đó phương trình trên trở thành:
Định luật II Newton được phát biểu ở trên được coi là cơ sở của động lực học chất điểm. Về phương diện logic, định luật II Newton bao quát cả định luật I Newton và coi rằng định luật 1 là một trương hợp riên của định luật 2. Thật vậy, xét trường hợp hợp lực tác dụng lên hạt bằng 0 thì từ phương trình trên suy ra
là vecto không hay
, nghĩa là hạt đứng yên hay chuyển động thẳng đều. Tuy nhiên, do vai trò quan trọng của định luật I Newton là giúp ta xác định các hệ quy chiếu quán tính nên định luạt I Newton có thể được coi là một dịnh luật riêng biệt. Trong vật lý, người ta coi phương trình định luạt II Newton là phương trình cơ bản của cơ học. Tính cơ bản của nó được thể hiện ở hai điểm sau: +Trước hết, vì nó mô tả mối quan hệ giữa tương tác (lực) và chuyển động (gia tốc). Từ phương trình này ta sẽ xác định được kết quả chuyển động (vị trí hạt, vận tốc, gia tốc,..) nếu tìn được lực tương tác đặt vào hai hạt. Nói cách khác nó cho ta xác định được nhiệm vụ cơ bản của mọi bài toán cơ học là xác định được kết quả của chuyển động trong mối tương quan động lực học. Cho nên người ta gọi phương trình này là phương trình động lực học chất điểm. +Một hệ dù phức tạp đều là tổng hợp của các hạt. Vận dụng phương trình định luật II Newton cho mỗi hạt trong hệ, ta sẽ tìm được quy luật chuyển động của hạt trong hệ từ đó xác định được các đặt tính của hệ. Đo đó, về nguyên tắc chỉ cần vận dụng phương trình đó cho mỗi hạt ta sẽ xác định được trạng thái tương lai của hệ nếu biết được trạng thái ban đầu và các lực đặt vào hệ. Từ đó, trong vật lý xuấ hiện một phương pháp rất cơ bản gọi là phương pháp độn lực học. 3. Định luật III Newtơn: Phát biểu: Lực tương tác lẫn nhau giữa hai vật là một cặp lực trực đối, nghĩa là chúng cùng giá, ngược chiều và bằng nhau về độ lớn. Định luật 3 Newton chỉ ra rằng lực không xuất hiện riêng lẻ mà xuất hiện theo từng cặp động lực-phản lực (cặp lực trực đối). Nói cách khác, lực chỉ xuất hiện khi có sự tương tác qua lại giữa hai hay nhiều vật với nhau. Trong tương tác giữa hai vật A và B. Nếu A tác dụng một lực
lên B, thì B cũng gây ra một lực
lên A và
Hơn nữa, trong tương tác, A làm thay đổi động lượng của B bao nhiêu thì động lượng của A cũng bị thay đổi bấy nhiêu theo chiều ngược lại. II. Nguyên lý tương đối Galileo 1. Phép biến đổi Galileo Cho hai hệ quy chiếu Oxyz và O'x'y'z' với các giả thiết: các trục Ox', Oy', Oz' theo thứ tự song song và cùng chiều với các trục Ox, Oy,Oz khi t=0, O' trùng với O. Hệ O' chuyển động với vận tốc
(đối với hệ O đứng yên) theo phương Ox. Với mỗi hệ tọa độ ta gắn vào một đồng hồ để chỉ thời gian. Xét một hệ chất điểm M bất kì: tại thời điểm t chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có tọa độ trong hệ O là x, y,z; các tọa độ thời gian và không gian tương ứng của M trong hệ O' là t', x', y', z'. Theo các quan điểm của Newton: *Thời gian có tính tương đối độc lập đối với mọi hệ quy chiếu: t=t' *Vị trí của M trong không gian được xác định tùy theo hệ quy chiếu. Từ hình vẽ, ta có:
Hay dưới dạng tọa độ:
;
;
và ngược lại:
;
;
;
Các công thức trên gọi là các phép biến đổi Galileo, chúng cho ta cách chuyển tọa độ trong không gian, thời gian từ hệ quy chiếu O' sang hệ quy chiếu O và ngược lại. Từ phép biến đổi Galileo, ta suy ra các tính chất sau đây: -Vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu, do đó chuyển động có tính tương đối phụ thuộc hệ quy chiếu. -Khoảng cách khong gian có tính tuyệt đối, khong phụ thuộc hệ quy chiếu. -Tính chất tuyệt đối của thời gian: khoảng thời gian mà mội sự kiện xảy ra khong thay đổi không phụ thuộc hệ quy chiếu. 2. Định lý cộng vận tốc Xét chuyển động của một hạt M đối với hai hệ quy chiếu O và O'. Vị trí của M đối với hai hệ quy chiếu O và O' được xác địn tương ứng bằng các vecto
và
ta có:
Nếu hệ O' chuyển động tịnh tiến đối với hệ O thì đạo hàm theo thời gian đẳng thức này, với chú ý rằng dt=dt' ta được:
Vậy:
Trong đó:
là vận tốc của M đối với O.
là vận tốc của M đối với O'.
là vận tốc của O' đói với hệ O. Định lý cộng vận tốc biểu thị mối quan hệ của vận tốc đối với hai hệ quy chiếu. 3. Nguyên lý tương đối Galileo Xét chuyển động của một chất điểm trong hai hệ quy chiếu O và O' đã nói ở trên. Giả thiết rằng hệ O là một hệ quán tính. Hệ quy chiếu O' chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu O với vận tốc
. Theo trên, trong hệ O' các định luật Newton được thỏa mãn. Vì vậy, ta viết phương trình dịnh luật II Newton trong hệ O:
Trong đó:
là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O.
là tổng hợp lực tác dugj lên chất điểm. Gọi
là gia tốc chuyển động của chất điểm đối với hệ O'. Từ định lý cộng vận tốc và từ t=t', ta có:
nghĩa là
Vậy:
Phương trình trên chính là phương trình động lực học của chất điểm trong hệ O'. Như vậy, định luật II Newton cũng thỏa mãn trong hệ O'. Điều đó chứng tỏ hệ O' cũng là hệ quán tính. Từ đó ta có thể phát biểu: Mọi hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với một hệ quy chiếu quán tính cũng là hệ quy chiếu quán tính. Hay: Các định luật cơ học đều được phát bêu như nhau trong mọi hệ quy chiếu. Đó là những phát biểu khác nhau trong nguyên lý tương đối Galileo. III.Phương pháp động lực học 1.Phương pháp động lực học - các nguyên tắc cơ bản Phương pháp động lực học là phương pháp sử dụng các phương trình động lực học để giải các bài toán chuyển động. Đối với chất điểm, trong hệ quy chiếu quán tính, đó chính là các định luật Newton. Khi sử dụng các phương pháp định luật Newton thì định luật II là phương trình cơ bản (định luật I coi là trường hợp riêng của định luật II), còn định luật III được sử dụng như những phương trình phụ giúp ta loại bỏ các cặp lực tương hỗ để đơn giản hóa cách giải. Nếu hệ gồm nhiều hạt, ta phải viết cho mỗi hạt một phương trình định luật II Newton và giải hệ phương trình đó. Vì phương trình định luật II Newton là phương trình vecto nên để thuận tiện cho tính toán ta phải biến các phương trình đó thành các phương trình vô hướng. Muốn vậy, ta chọn hệ trục tọa độ thích hợp (thông thường chọn hệ tọa độ Dercastes) rồi chiếu các phương trình vecto đó xuống các trục tọa độ. Do đó, thay cho việc giải hệ phương trình vecto, ta chỉ giải hệ phương trình vô hướng. 2. Trình tự giải bài toán bằng phương pháp động lực học Để giải bài toán động lực học ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đọc kỹ bài ra, phân tích hiện tượng cơ học xảy ra trong bài toán để thấy được mối liên hệ giữa các lực, để vẽ đúng chiều các lực (ví dụ nếu không biết được chiều trượt của vật, ta không biết được chiều của lực ma sát trượt) Xác định cá dữ kiện và ẩn số. Vẽ hình và biểu diễn đầy đủ các lực tác dụng lên từng hạt trên hình vẽ. Bước 2: Viết cho mỗi hạt một phương trình động lực học dạng vecto (tức là phương trình định luật 2 Newton). Trong mỗi phương trình phải viết đầy đủ các lực tác dụng lên hạt. Bước 3: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp rồi chiếu các phương trình vecto lên trục tọa độ, ta được hệ phương trình vô hướng. Việc chon hệ trục tọa độ về nguyên tắc là tùy ý, song nên chọn sa cho khi chiếu các phương trình vecto xuống các trục đã chọn có dạng đơn giản nhất. Nếu ẩn số nhiều hơn số phương trình vô hướng thu được thì ta phải tìm thêm các phương trình phụ. Đó là các phương trình liên hệ các lực hoặc các phương trình liên hệ giữa các đặc trưng động học như vận tốc, gia tốc, quãng đường,... giữa các hạt hoặc cùng một hạt. Việc tìm ra các phương trình phụ này sẽ dể dang nếu bước phân tíc các hiện tượng cơ học xảy ra tiến hành kỹ lưỡng. Bước 4: Khi tổng số phương trình vô hướng và các phương trình phụ bằng ẩn số của bài toán thì ta tiến hành giải các phương trình đó để tìm ẩn số. -Nếu biết các lực, ta xác đình được các đại lượng động học (bài toán thuận): Tính gia tốc rồi suy ra vận tốc và vị trí bằng phương pháp tích phân. -Nếu biết chuyển động, ta tính được các lực tác dụng (bài toán nghịch) Bước 5: Kiểm tra và biện luận. IV. Các bài toán động lực học: Trong động lực học, người ta chia làm hai loại bài toán sau đây: Bài toán thuận của động lực học là biết chuyển động của chất điểm, xác định lực gây ra chuyển động. Bài toán ngược của động lực học là biết các lực tác dụng lên chất điểm và những điều kiện ban đầu của chuyển động, xác định chuyển động của chất điểm. 1. Bài toán thuận của động lực học Để giải loại bài toán này, trước tiên cần phải xác định gia tốc của chất điểm, sau đó sẽ áp dụng công thức để tìm lực tác dụng lên chất điểm. 2. Bài toán ngược của động lực học Để giải bài toán ngược cần xác định cụ thể các lực tác động lên từng chất điểm, sau đó áp dụng tìm gia tốc mà chất điểm thu được. Nếu biết vận tốc và vị trí ban đầu của chất điểm thì bằng cách lấy tích phân của gia tốc a ta có thể xác định được vận tốc và tọa độ của chất điểm theo thời gian, nghĩa là có thể biết được phương trình chuyển động cũng như phương trình quĩ đạo của chất điểm. Phần B: Một số bài tập ví dụ: Bài 1 :Hai vật A và B có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang và được nối với nhau bằng dây không giãn, khối lượng không đáng kể. Khối lượng 2 vật là mA = 2kg, mB = 1kg, ta tác dụng vào vật A một lực F = 9N theo phương song song với mặt bàn. Hệ số ma sát giữa hai vật với mặt bàn là m= 0,2. Lấy g = 10m/s2. Hãy tính gia tốc chuyển động. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật được nối với nhau bằng dây không giãn và cùng trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật A: Trọng lực
, phản lực vuông góc
, lực căng dây
, lực ma sát
, lực tác dụng
. Vật B: Trọng lực
, phản lực vuông góc
, lực căng dây
, lực ma sát
, lực tác dụng
. Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây, nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau. Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật 1. Do đó, lực ma sát có chiều như hình vẽ. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật A ta có:
(1) * Đối với vật B:
(2) Bước 3: Chọn hệ trục như hình vẽ: T1 =T2 =T a1 = a2 = a fms =kN = kmg P = mg - Chiếu (1) lên Ox, ta được: F  T1  F1ms = m1a1
F- T - k1g = m1a (3) - Chiếu (1) lên Oy, ta được: -P1+N1 = 0
m1g + N1 = 0 (4) - Chiếu (2) lên Ox, ta có: T2  F2ms = m2a2
T- F2ms = m2a (5) - Chiếu (2) lên Oy, ta được: -P2 + N2 = 0
m2g + N2 = 0 (6) Bước 4: Cộng (3) và (5) ta được: F  k(m1 + m2)g = (m1+ m2)a
Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 2 :Hai vật cùng khối lượng m = 1kg được nối với nhau bằng sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể. Một trong 2 vật chịu tác động của lực kéo
hợp với phương ngang góc
= 300 . Hai vật có thể trượt trên mặt bàn nằm ngang góc
= 300 Hệ số ma sát giữa vật và bàn là 0,268. Biết rằng dây chỉ chịu được lực căng lớn nhất là 10 N. Tính lực kéo lớn nhất để dây không đứt. Lấy
= 1,732. Bài giải: Bước 1: Hiện tượng cơ học: Hai vật được nối với nhau bằng dây không giãn và có thể cùng trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Các lực tác dụng lên từng vật: Vật 1: Trọng lực
, phản lực vuông góc
, lực căng dây
, lực ma sát
, lực tác dụng
hợp với phương ngang góc
Vật 2: Trọng lực
, phản lực vuông góc
, lực căng
, lực ma sát
, lực tác dụng
hợp với phương ngang góc
Vì dây không giãn, nên 2 vật chuyển động cùng gia tốc. Bỏ qua khối lượng dây, nên các lực căng tác dụng lên 2 vật bằng nhau. Chiều chuyển động là chiều mà lực F tác dụng lên vật. Do đó, lực ma sát có chiều như hình vẽ. Bước 2: Viết các phương trình động lực học dạng vecto: *Đối với vật 1 ta có:
(1) *Đối với vật 2 ta có:
(2) Bước 3: Ta có: T1 = T2 = T a1 = a2 = a m1 = m2 = m Chiếu (1) lên Oy, ta được: Fsin 300  P1 + N1 = 0 Chiếu (1) xuống Ox, ta được: F.cos 300  T1  F1ms = m1a1 Mà F1ms = k N1 = k(mg  Fsin 300)  F.cos 300 T1=k(mg  Fsin 300) = m1a1
(3) Chiếu (2) lên Oy, ta được: P2 + N2 = 0 Chiếu (2) xuống Ox, ta được: T  F2ms = m2a2 Mà F2ms = k N2 = km2g  T2  k m2g = m2a2 (4) Bước 4: Từ (3) và (4), suy ra : :

Vậy Fmax = 20 N Bước 5: Kiểm tra thứ nguyên, các công thức, kết quả ta thấy hoàn toàn phù hợp. Bài toán cho hằng số, kết quả không có gì đặc biệt nên không cần phải chứng minh. Bài 3 :Cần tác dụng lên vật m =3kg trên mặt phẳng nghiêng góc  một lực F bằng bao nhiêu để vật nằm yên, hệ số ma sát giữa vật và mặt phẳng n