Chuyên đề Ứng dụng của đạo hàm tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề 11: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa Định nghĩa y f )(x: Cho hàm số = [ ] xác định trên khoảng (a;b) [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx <⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (tăng) biếnđồng • • [ ] [ ])2()1(21:);(2,1 f xfxfxxbaxx >⇒<∈∀⇔đnb)(a; trên (giảm) biếnnghịch 69 x y x y 1x 2x )( 1xf )( 2xf a bO )(f (f 2x )1x a b1x 2x )(:)( xfyC = 1. Điều kiện cần của tính đơn điệu: Định lý 1: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇒ b)(a;x 'f b)(a; khoảngtrên (tăng) biếnđồng f 0)(x • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇒ b)(a;x 0)('f xb)(a; khoảngtrên (giảm) biếnnghịch f 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu: Định lý 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) [ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀> ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • • [ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịchb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀< ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ • [ ]b)(a; trên đổi khôngb)(a;x 0(x)'f f ⇒∈∀= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ x a b )(' xf )(xf + x a b)(' xf )(xf − Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) [ ]b)(a; trên (tăng) biếnđồng b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ [ ]b)(a; trên (giảm) biếnnghịch b)(a; của điểm hạnhữu sốmột tại raxảy chỉ thức đẳng b)(a;x 0(x)'f f ⇒ ∈∀≤ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Minh họa định lý: Định lý 4 70 : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a;b) • [ ] f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≥⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (tăng) biếnđồng • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀≤⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên (giảm) biếnnghịch f • [ ] ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∈∀=⇔ b)(a;x 0(x)'fb)(a; trên đổi không f x a b )(' xf )(xf + 0x 0 + x a b )(' xf )(xf − 0x 0 − 3. Phương pháp xét chiều biến thiên của hàm số: y f )(x= ta có thể thực hiện như sau: Muốn xét chiều biến thiên của hàm số Bước 1: Tìm miền xác định của hàm số : D=? Bước 2: Tính và xét dấu )(' xf )(' xf Bước 3: Dựa vào định lý điều kiện đủ để kết luận. BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln2 2 1 −= 7) x xy ln = 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Bài 2: Cho hàm số 23)12(223 3 1)( +−+++−== axaxxxfy (1). Tìm a để hàm số nghịch biến trên R Bài 3: Tìm m để hàm số 4)3(2)1(3 3 1 −++−+−= xmxmxy đồng biến trên khoảng (0;3) Bài 4: Cho hàm số 3 2 )32(2)1(3 3 1 )( −−+−+== xmxmxxfy (1) a) Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên R b) Với giá trị nào của m, hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1;+∞) Bài 5: Cho hàm số 1 2)( − ++== x m xxfy (1) Tìm a để hàm số (1) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó Bài 6: Cho hàm số 1 13)2(22 )( − +−++−== x mxmx xfy (1) Tìm a để hàm số (1) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó Bài 7: Cho hàm số : mx mxmxy − ++−+−= 1)1(2 2 . Định m để hàm số đồng biến trong khoảng (1;+∞ ) Bài 8: Chứng minh rằng: với mọi xtgxx 3sin2 >+ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 2 ;0 πx Bài 9: Chứng minh rằng: 3 3x xtgx +> với mọi ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛∈ 2 ;0 πx Bài 10: Chứng minh rằng: xtgx π 4≤ với mọi ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡∈ 4 ;0 π x Bài 11: Cho hàm số 3 21 (2 1) 2 3 y x ax a x a= − + − − + Tìm a để hàm số nghịch biến trong khoảng (-2;0) Bài 12: Cho hàm số (1) 123 ++−= xmxxy Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (1;2) Bài 13: Cho hàm số 2 1 1 x mxy x + −= − Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-∞ ;1) và (1;+∞ ). Bài 14: Cho hàm số 2 2 2 x x my x − += − Xác định m để hàm số nghịch biến trên [-1;0]. Bài 15: Cho hàm số 2 25 6 3 x x my x + + += + Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞ ). Bài 16: Cho hàm số 2 (2 3) 1 ( 1) x m x my x m + − + −= − − Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞ ) 71 ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ******** Cơ sở để giải quyết vấn đề này là dùng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số và dựa vào chiều biến thiên của hàm số để kết luận về nghiệm của phương trình , bất phương trình, hệ phương trình . CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ---------- I. Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) xác định trong khoảng (a,b). a) f tăng ( hay đồng biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) b) f giảm ( hay nghịch biến ) trên khoảng (a,b) ⇔ ∀ x1, x2 ∈ (a,b) : x1 f(x2) II. Các tính chất : 1) Tính chất 1: Giả sử hàm số y = f(x) tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a,b) ta có : f(u) = f(v) u = v (với u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 72 2) Tính chất 2: Giả sử hàm số y = f(x) tăng trên khoảng (a,b) ta có : f(u) < f(v) u < v (với u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 3) Tính chất 3: Giả sử hàm số y = f(x) giảm trên khoảng (a,b) ta có : f(u) v (với u, v ⇔ ∈ (a,b) ) 4) Tính chất 4: Nếu y = f(x) tăng trên (a,b) và y = g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm số giảm trên (a,b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khỏang (a,b) *Dựa vào tính chất trên ta suy ra : Nếu có x0 ∈ (a,b) sao cho f(x0) = g(x0) thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên (a,b) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Giải các phương trình sau : 1) 11x41x4 2 =−+− 2) xxx 2)32()32( =++− 3) xlog)x1(log 7 3 2 =+ Bài 2 : Giải các phương trình sau: 1) 2xx1x )1x(22 2 −=− −− 2) 2x3x) 5x4x2 3xx(log 2 2 2 3 ++=++ ++ Bài 3 : Giải các hệ : 1) với x, y ⎩⎨ ⎧ π=+ −=− 2y8x5 yxgycotgxcot ∈ (0,π) 2) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ +−=− 2yx )2xy).(xy(22 22 yx Bài 4: Giải các bất phương trình sau. 1) 5x + 12x > 13x 2) x (x8 + x2 +16 ) > 6 ( 4 - x2 ) Bài 5 : Chứng minh các bất đẳng thức sau : 1) ex > 1+x với x > 0 2) ln (1 + x ) 0 3) sinx 0 4) 1 - 2 1 x2 < cosx với x 0 ≠ ------Hết------- 73 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa I. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0∈(a;b) 74 x y ( )a b0xO )( 0xf )(xf )(:)( xfyC = x ( ) x y O a b0xx )(xf )( 0xf )(:)( xfyC = • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀<⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) 0x đn f số hàmcủa ĐẠICỰC điểmlà • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ∈∀>⇔ 0x\Vx )0f(xf(x) n 0x đ f số hàmcủa TIỂU CỰC điểmlà II.Điều kiện cần của cực trị: Định lý Fermat : Giả sử y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và );(0 bax ∈ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ =⇒ 0)0('f x 0x tại trị cựcđạt f 0x tại hàmđạo có f Ý nghĩa hình học của định lý: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì tiếp tuyến của đường cong (C): ( )y f x= tại điểm M(x0,f(x0)) phải cùng phương với Ox III. Điều kiện đủ để hàm số có cưcï trị: 1) Định lý 1: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 ( có thể trừ tại điểm x0) • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ + 0 x tại ĐẠICỰCđạt f - sang từ dấu đổi'f mà0x qua đi x khiNếu )( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⇒ +− 0 x tại TIỂU CỰCđạt f sang từ dấu đổi'f mà0x qua đi x khiNếu )( x Bảng tóm tắt: x a b )(' xf )(xf + 0x 0− CT x a b )(' xf )(xf + 0x 0 − CD 2) Định lý 2: Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và f'(x0)=0, f''(x0)≠0 • ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒< 0x tại ĐẠICỰCđạt f''f Nếu 0)0( x • ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ ⇒> 0x tại TIỂU CỰCđạt f''f Nếu 0)0( x BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm cực trị của các hàm số: 1) xxy −= 4 2) 12 3 + += x xy 3) 12 2 − = x xy 4) 5) xxey +−= 2 x xey = 6) xxy ln22 1 −= 7) x xy ln= 8) xxy −+−= 42 9) 22 xxy −+= Bài 2: Cho hàm số . Tìm m để y đạt )12(2)142(2)1(23 +−+−+−+= mxmmxmxy cực đại, cực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn điều kiện )21(2 1 2 1 1 1 xxxx +=+ Bài 3: Cho hàm số 1 22 − −+= mx mxxy . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thỏa mãn 21421 xxxx =+ Bài 4: Tìm m để hàm số mx mxxy + ++= 12 đạt cực đại tại x = 2 Bài 5: Giả sử hàm số )( )()( xv xuxf = đạt cực trị tại x0. Chứng minh rằng nếu thì 0)0( ' ≠xv )0( ' )0( ' )0( xv xu xf = Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số: 2 532 + ++= x xxy Bài 6: Cho hàm số . Chia f(x) cho fdcxbxaxxf +++= 23)( '(x), ta được: βα +++= xBAxxfxf )).((')( Giả sử f(x) đạt cực trị tại x0 Chứng minh rằng : βα += 0)0( xxf Áp dụng : Tìm giá trị cực trị của hàm số: 23233 +−−= xxxy 75 Bài 7: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số xmxy 1+= (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng 2 1 Bài 8: Gọi (Cm) là đồ thị hàm số 1 1)1(2 + ++++= x mxmxy (1) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 Bài 9: Cho hàm số mx mxxy + ++= 1 2 . Tìm m sao cho hàm số đạt cực đại tại x = -1 Bài 10: Cho hàm số 2)12( 3 1 23 +−−+−= mxmmxxy Tìm m sao cho hàm số có hai cực trị có hoành độ dương Bài 11: Cho hàm số 1 2 + ++= x mxxy (1) Xác định m sao cho hàm số (1) có hai giá trị cực trị trái dấu nhau. Bài 12: Cho hàm số (1) 4)32(3 223 +−++−= xmmmxxy Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung Bài 13: Cho hàm số : 3( ) 3y x m x= − − Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. Bài 14: Cho hàm số : 4 2 2( 9) 1y mx m x= + − + 0 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị. Bài 15: Cho hàm số : 3 2 2 33 3(1 ) 2y x mx m x m m= − + + − + − Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số . Bài 16: Cho hàm số 2 1 x mxy x += − Tìm m để hàm số có cực đại ,cực tiểu . Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10. Bài 17: Cho hàm số 2 2 1 x mxy mx + −= − Xác định m để hàm số có cực đại , cực tiểu với hoàng độ thoả mãn 1 2 14 . 2x x x x+ = 76 GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ Tóm tắt giáo khoa 1. Định nghĩa: Cho hàm số y f )(x= xác định trên D • Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≤ MD Mxf ) Dx )( 0f(x cho sao0x tại Tồn Ký hiệu: y Dx MaxM ∈= • Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =∈ ∈∀≥ mD xf ) Dx m)( 0f(x cho sao0x tại Tồn Ký hiệu: y Dx m ∈= min 0x O M )(xf x x y 0x )(:)( xfyC = m D Minh họa: 2. Các phương pháp tìm GTLN & GTNN của hàm số )(xfy = trên D a) Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức Ví dụ 1: Tìm GTLN và nhỏ nhất của hàm số : x xy 2+= với x > 0 Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : xxy −+−= 42 b) Phương pháp 2: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt hoặc hệ phương trình Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 22 32 ++ += xx xy b) Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm, lập BBT của hàm số f trên D rồi suy ra kết qua Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số : 4334 xxy −= Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số : x xy 22 += với x > 0 77 Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxy −+−= 42 Ví dụ 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : x-2xsin=y trên ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Ví dụ 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : cosx2 sinx +=y trên [ ]π;0 Ví dụ 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 22 xxy −+= Ví dụ 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 2 12cossin +−= xxy Ví dụ 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : )8cos4(cos 2 1)4cos.2sin1(2 xxxxy −−+= BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: với xxxxy 922334 +−−= ]2;2[−∈x Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxy −= 2sin trên ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 2;2 ππ Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xexy .2= trên ]2;3[− Bài 4: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : = −y 5cosx cos5x trên π π−[ ;4 4] Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 22 32 ++ += xx xy Bài 6: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 2312 xxy −+= Bài 7: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 24)2( xxy −+= Bài 8: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: 12)3( +−= xxy với ]2;0[∈x Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : + += + 22cos cos 1 cos 1 x xy x Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số π⎡ ⎤⎣ ⎦= − 4 32sin sin trên đoạn 0;3y x x Bài 11: Tìm GTNN của hàm số : 3 322 xxy −= trên đoạn ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− 3;2 1 78 Bài 12: Cho phương trình với . Tìm a để nghiệm lớn 013)62(2 =−+−+ axax 1≥a của phương trình đạt giá trị lớn nhất. Bài 13: Cho hàm số 1 242)1(2 − −+−+−= x mmxmxy (1) Xác định các giá trị của m để hàm số có cực trị. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất Bài 14: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : xxxxxf 2sin32)cos(sin222cos)( −++= Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số sau : = + +2 2y 4cos x 3 3sinx 7sin x Bài 16: Tìm GTLN và GTNN của hàm số : 1sin2sin 1sin ++ += xx xy Bài 17: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: = + − −12(1 sin2 cos4 ) (cos4 cos8 )2y x x x x Bài 18: Tìm GTLN và GTNN của hàm số: = + +3 32(sin cos ) 8sin .cosy x x x x Bài 19: Chứng minh các bất đẳng thức sau : 174sin4)sin1(8 1 ≤+−≤ xx Rx∈∀ --------------------------------Hết---------------------------------- 79