Đại cương về dao động điều hòa - Phần 1

Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 - I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ DAO ĐỘNG 1) Dao động cơ học Dao động cơ học là sự chuyển động của một vật quanh một vị trí xác định gọi là vị trí cân bằng. 2) Dao động tuần hoàn Dao động tuần hoàn là dao động mà trạng thái của vật được lặp lại như cũ, theo hướng cũ sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (được gọi là chu kì dao động). 3) Dao động điều hòa Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian. II. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1. Bổ sung kiến thức
Giá trị lượng giác của một số góc lượng giác đặc biệt x – pi/2 – pi/4 – pi/3 – pi/6 0 pi/6 pi/4 pi/3 pi/2 sinx –1 1 2 − 3 2 − 1 2 − 0 1 2 1 2 3 2 1 cosx 0 1 2 1 2 3 2 1 3 2 1 2 1 2 0
Đạo hàm của hàm lượng giác Với hàm hợp sin u u cosu u u(x) cosu u sin u ′= = → ′= − Ví dụ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2y 4sin x y 4. x cos x cos x x y 3cos sin x y 3. sin x sin sin x 3. x cos(x ).sin sin x 6x.cos(x ).sin sin x ′ ′= → = = ′ ′ ′= → = − = − = −
Cách chuyển đổi qua lại giữa các hàm lượng giác  Để chuyển từ sin x cos x→ thì ta áp dụng pisin x cos x 2   = −    , hay chuyển từ sin sang cosin ta bớt đi pi/2.  Để chuyển từ cos x sin x→ thì ta áp dụng picosx sin x 2   = +    , hay chuyển từ cosin sang sin ta thêm vào pi/2.  Để chuyển từ cos x cos x− → thì ta áp dụng ( )cosx cos x pi− = + , hay chuyển từ –cosin sang cosin ta thêm vào pi.  Để chuyển từ sin x sin x− → thì ta áp dụng ( )sin x sin x pi− = + , hay chuyển từ –sin sang sin ta thêm vào pi. Ví dụ: pi pi 5piy 4sin x 4sin x pi 4sin x 6 6 6 pi pi pi 3piy 3sin x 3cos x 3cos x 4 4 2 4 pi pi 2piy 2cos x 2cos x pi 2cos x 3 3 3       = − − = − + = +                  = − = − − = −                  = − − = − + = +           
Nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản  Phương trình x α k2pi sin x sinα x pi α k2pi = + = ⇔  = − + ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA - PHẦN 1 (TÀI LIỆU BÀI GIẢNG) Giáo viên: ĐẶNG VIỆT HÙNG Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -  Phương trình x α k2pi cos x cosα x α k2pi = + = ⇔  = − + Ví dụ: pi pi pi x k2pi x k2pi pi 1 pi pi 3 6 2 sin x sin x sin 5pipi 7pi3 2 3 6 x k2pix k2pi 63 6 pi pi pi2x k2pi x kpi pi 1 pi pi 3 4 24 cos 2x cos 2x cos pi pi 7pi3 3 42 2x k2pi x kpi 3 4 24   + = − + = − +       + = − ⇔ + = − → ←→               = ++ = +     + = + = − +    + = ⇔ + = → ←→         + = − + = − +       2) Phương trình li độ dao động Phương trình li độ dao động có dạng x = Acos(ωt + φ). Các đại lượng đặc trưng cho dao động điều hòa : x : li độ dao động hay độ lệch khỏi vị trí cân bằng. Đơn vị tính: cm, m.. A : Biên độ dao động hay li độ cực đại. Đơn vị tính: cm, m.. ω : tần số góc của dao động, đại lượng trung gian cho phép xác định chu kỳ và tần số dao động. Đơn vị tính: rad/s. φ: pha ban đầu của dao động (t = 0), giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm ban đầu. Đơn vị tính rad (ωt + φ): pha dao động tại thời điểm t, giúp xác định trạng thái dao động của vật ở thời điểm bất kỳ t. Đơn vị tính rad Chú ý: Biên độ dao động A luôn là hằng số dương. Ví dụ 1: Xác định biên độ dao động A, tần số góc ω và pha ban đầu của các dao động có phương trình sau: a)  = +    pi x 3cos 10pit cm. 3 b)  = − −    pi x 2sin pit cm. 4 c)  = − +    pi x cos 4pit cm. 6 Hướng dẫn giải: Bằng thao tác chuyển đổi phương trình lượng giác kết hợp với phương trình dao động điều hòa ta được a) A 3cm pi x 3cos 10pit cm ω 10pi rad/s 3 pi φ rad 3   =   = + → =      =  b) A 2cm pi pi 3pi x 2sin pit cm 2sin pit pi cm 2sin pit cm ω pi rad/s 4 4 4 3pi φ rad 4   =       = − − = − + = + → =              =  c) A 1cm pi pi 5pi x cos 4pit cm cos 4pit pi cm cos 4pit cm ω 4pi rad/s 6 6 6 5pi φ rad 6   =       = − − = − + = + → =              =  Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2pit + pi/6) cm. a) Xác định li độ của vật khi pha dao động bằng pi/3. b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s). c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm. Hướng dẫn giải: a) Khi pha dao động bằng pi/3 tức ta có pi pi pi2pit x 10cos 5cm. 6 3 3 + = → = = b) Xác định li độ của vật ở các thời điểm t = 1 (s); t = 0,25 (s). Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -  Khi pi pit 1(s) x 10cos 2pi.1 10cos 5 3 cm. 6 6   = → = + = =     Khi pi 7pit 0,25(s) x 10cos 2pi.0,25 10cos 5cm. 6 6   = → = + = = −    c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x = –5 cm và x = 10 cm. Các thời điểm mà vật qua li độ x = xo phải thỏa mãn phương trình ( ) ( ) oo o xx x Acos ωt φ x cos ωt φ A= ⇔ + = ⇔ + =  pi 2pi2pit k2pi pi pi 1 2pi 6 3 x 5cm x 10cos 2pit 5 cos 2pit cos pi 2pi6 6 2 3 2pit k2pi 6 3  + = +    = − ⇔ = + = − ⇔ + = − = →         + = − +  1 t k ; k 0;1;2... 4 5 t k ; k 1;2;3.. 12  = + = ←→   = − + =  (do t không thể âm)  pi pi pi 1 x 10cm x 10cos 2pit 10 cos 2pit 1 cos(k2pi) 2pit k2pi t k ; k 1;2... 6 6 6 12     = ⇔ = + = ⇔ + = = ⇔ + = ⇔ = − + =        3) Phương trình vận tốc Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) pi x Acos ωt φ v ωAsin ωt φ ωAcos ωt φ . 2 v x pi x Asin ωt φ v ωAcos ωt φ ωAsin ωt φ . 2   = + → = − + = + +    ′= →   = + → = + = + +    Nhận xét : + Vận tốc nhanh pha hơn li độ góc pi/2 hay φv = φx + pi/2. + Véc tơ vận tốc
v luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo chiều âm thì v < 0). + Độ lớn của vận tốc được gọi là tốc độ, và luôn có giá trị dương. + Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì tốc độ vật đạt giá trị cực đại là vmax = ωA, còn khi vật qua các vị trí biên (tức x =±A) thì vận tốc bị triệt tiêu (tức là v = 0)→ vật chuyển động chậm dần khi ra biên. Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(4pit − pi/3) cm. a) Viết phương trình vận tốc của vật. b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s). c) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 2 cm. Hướng dẫn giải: a) Từ phương trình dao động pi pix 4cos 4pit cm v x 16pisin 4pit cm/s. 3 3     ′= − → = = − −        b) Xác định vận tốc của vật ở các thời điểm t = 0,5 (s) ; t = 1,25 (s).  Khi pi pi pit 0,5(s) v 16pisin 4pi.0,5 16pisin 2pi 16pisin 8pi 3 cm/s. 3 3 3       = → = − − = − − = − − =             Khi pi 9pi pi pit 1,125(s) v 16pisin 4pi.1,125 16pisin 16picos 8picm/s. 3 2 3 3       = → = − − = − − = − = −            c) Khi vật qua li độ pi pi 1 pi 1 3x 2cm 4cos 4pit 2 cos 4pit sin 4pit 1 3 3 2 3 4 2       = → − = ⇔ − = → − = ± − = ±            Khi đó, pi 3v 16pisin 4pit 16pi. 8pi 3 cm/s. 3 2    = − − = − ± =        ∓ Vậy khi vật qua li độ x = 2 cm thì tốc độ của vật đạt được là v 8pi 3 cm/s.= Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(2pit − pi/6) cm. a) Viết phương trình vận tốc của vật. b) Tính tốc độ của vật khi vật qua li độ x = 5 cm. Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 - c) Tìm những thời điểm vật qua li độ −5 cm theo chiều âm của trục tọa độ. Hướng dẫn giải: a) Từ phương trình dao động pi pix 10cos 2pit cm v x 20pisin 2pit cm/s. 6 6     ′= − → = = − −        b) Khi vật qua li độ x = 5 cm thì ta có pi pi 1 pi 1 310cos 2pit cm 5 cos 2pit sin 2pit 1 6 6 2 6 4 2       − = ⇔ − = → − = ± − = ±            Tốc độ của vật có giá trị là pi 3v 20pisin 2pit 20pi. 10pi 3 cm/s. 6 2   = − − = =    c) Những thời điểm vật qua li độ x = −5 cm theo chiều âm thỏa mãn hệ thức pi pi 1 2pi pi 2pi10cos 2pit 5 cos 2pit cos 2pit k2pi x 5 6 6 2 3 6 3 piv 0 pi pi sin 2pit 020pisin 2pit 0 sin 2pit 0 66 6       − = − − = − = − = ± +      = −        ⇔ ⇔ ⇔    <         − > − −              pi 2pi 5pi 52pit k2pi 2pit k2pi t k; k 0 6 3 6 12 → − = + ⇔ = + ⇔ = + ≥ 4) Phương trình gia tốc Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x A cos ωt φ v ωAsin ωt φ a ω A cos ωt φ ω x. a v x x Asin ωt φ v ωAcos ωt φ a ω Asin ωt φ ω x. = + → = − + → = − + = − ′ ′′= = → = + → = + → = − + = − Vậy trong cả hai trường hợp thiết lập ta đều có a = –ω2x. Nhận xét: + Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc góc pi/2, nhanh pha hơn li độ góc pi, tức là 2 = + = +a v x pi φ φ φ pi. + Véc tơ gia tốc
a luôn hướng về vị trí cân bằng. + Khi vật qua vị trí cân bằng (tức x = 0) thì gia tốc bị triệt tiêu (tức là a = 0), còn khi vật qua các vị trí biên (tức x =±A) thì gia tốc đạt độ lớn cực đại amax = ω2A. Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 2cos(pit + pi/6) cm. Lấy pi2 = 10. a) Viết phương trình vận tốc, gia tốc của vật. b) Xác định vận tốc, gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5 (s). c) Tính tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật. Hướng dẫn giải: a) Từ phương trình dao động 2 2 2 pi v x 2pisin pit cm/s 6pi x 2cos pit cm . 6 pi pi a ω x pi .2cos pit 20cos pit cm/s 6 6   ′= = − +     = + →        = − = − + = − +        b) Thay t = 0,5 (s) vào các phương trình vận tốc, gia tốc ta được:  pi pi pi pi v 2pisin pit 2pisin 2picos pi 3 cm/s. 6 2 6 6       = − + = − + = − = −             2pi pi pi pia 20cos pit = 20cos 20sin 10 cm/s . 6 2 6 6     = − + − + = =        c) Từ các biểu thức tính vmax và amax ta được max 2 2 2 max v ωA 2pi (cm/s). a ω A 2pi 20 (cm/s ). = =  = = = Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 2cos(10pit + pi/4) cm. a) Viết phương trình vận tốc, phương trình gia tốc của vật. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… b) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật ở các thời điểm t = 0 và t = 0,5 (s). Khóa học LTĐH môn Vật lí – Thầy ĐặngViệt Hùng Bài giảng Dao động cơ học Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 - …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… c) Xác định các thời điểm vật qua li độ x 2 cm= theo chiều âm và x = −1 cm theo chiều dương. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(4pit + pi/3) cm. a) Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc của vật. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… b) Tính vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 0,5 (s) và t = 2 (s). …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… c) Khi vật có li độ x = 4 cm thì vật có tốc độ là bao nhiêu? …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… d) Tìm những thời điểm vật qua li độ x 5 3 cm.= …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Giáo viên : Đặng Việt Hùng Nguồn : Hocmai.vn