Đại số tuyến tính - Ma trận hệ phương trình tuyến tính

MA TRẬN HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Định nghĩa ma trận • Một ma trận A cấp mxn là một bảng số hình chữ nhật gồm mxn phần tử, gồm m hàng và n cột. 11 12 1 21 22 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn n n m m mn a a a a a a A a a a a a a a a a hay A a a a æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø é ù ê ú ê ú ê ú= ê ú ê ú ê ú ê úë û K L M M O M L K L M M O M L Định nghĩa ma trận • Ký hiệu ma trận: • Ví dụ: ij m n A a ´ é ù= ê úë û 1 2 7 0 4 5 7 1 0 2 8 9 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø Ma trận vuông • Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n. • Đường chéo chính gồm các phần tử: 11 12 1 21 22 2 ij 1 2 n n n n nn n n a a a a a a A a a a a ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç é ù÷= =ç ÷ ê úç ÷ ë û÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø K L M M O M L 11 22 , , ..., nn a a a Các dạng ma trận đặc biệt 1. Ma trận không: 2. Ma trận hàng 3. Ma trận cột 4. Ma trận tam giác trên 5. Ma trận tam giác dưới 6. Ma trận chéo 7. Ma trận đơn vị 8. Ma trận bậc thang Ma trận không • Tất cả các phần tử đều bằng 0. • Ký hiệu: 0 hay 0mxn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m n´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø L L M MO M L Ma trận hàng, cột • Ma trận hàng: chỉ có một hàng • Ma trận cột: chỉ có một cột ( ) 1 2 1 2 3 4 5 4 5 A B æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - = ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø Ma trận tam giác trên 1 2 3 4 1 2 3 0 0 2 1 0 4 5 0 0 8 9 0 0 6 0 0 0 4 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø • Ma trận vuông • Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0 Ma trận tam giác dưới 1 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 3 4 0 0 6 8 0 5 0 6 9 3 1 4 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø • Ma trận vuông • Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 Ma trận chéo 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 8 0 0 0 0 6 0 0 0 4 a A B C b æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çç ç÷ ÷ ÷çç= = =ç÷ ÷ ÷çç ÷ ç ÷ ÷çç ÷÷ ÷ç è øç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø • Ma trận vuông • Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0 • Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0 Ma trận đơn vị 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I I I æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç çæ ö ÷ ÷ç ç÷ ÷÷ç ç ç÷ ÷÷ç ç= = = ç÷ ÷÷ç ç ÷ ç ÷÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø ç ÷ ÷ç÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø • Ma trận chéo • Các phần tử chéo đều bằng 1. • Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n Ma trận bậc thang • Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tử bên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó. • Ma trận bậc thang: – Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằm dưới cùng. – Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải (không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàng trên. Ví dụ 1 2 1 0 0 0 0 7 1 0 4 8 9 0 0 0 9 3 1 0 0 3 0 0 0 1 2 0 0 0 9 1 A B æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø Không là bậc thang Không là bậc thang Ví dụ 2 2 1 0 0 0 4 8 9 0 0 7 1 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 0 3 1 2 0 0 0 9 1 C D æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- ÷çè ø bậc thang bậc thang Các dạng phép toán trên ma trận 1. Ma trận bằng nhau 2. Cộng hai ma trận cùng cấp 3. Nhân một số với ma trận 4. Nhân hai ma trận 5. Ma trận chuyển vị 6. Lũy thừa của một ma trận Hai ma trận bằng nhau • Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau. 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø ìï = -ïïï =ïï= Û í ï =ïïï =ïïî Cộng hai ma trận • Cộng các phần tử tương ứng với nhau • Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp 1 2 4 5 2 1 4 5 a d A B b c a d A B b c æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö- + ÷ç ÷ç+ = ÷ç ÷+ +ç ÷è ø Nhân một số với ma trận • Nhân số đó vào tất cả các phần tử 1 2 6 4 5 2 2 2 2 2 2 6 4 5 a d A B b c f a A b c k dk k kB k k fk æ ö æ ö-÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø æ ö- ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷è ø Ví dụ 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 ) ) 2 3 1 2 ) 3 7 A B a A B b A B c A B æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø + - + Phép nhân hai ma trận • Cho 2 ma trận: • Khi này ma trận A nhân được với ma trận B • Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòng ma trận sau. ; m n n k A B ´ ´ . m k kn mn A B C ´ ´ ´ = Qui tắc nhân • Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằng hàng i của ma trận đầu nhân với cột j của ma trận sau. ( )( )h ang cotijc i j C A B = Ví dụ • Các ma trận nào nhân được với nhau? 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 1 2 2 4 1 2 3 0 1 2 4 1 3 7 A B C D æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç æ ö÷ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç= =ç ÷ ÷çç ÷ ÷- -ç ÷÷ç è ø÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø Định thức • Cho ma trận A vuông, cấp n. • Định thức của ma trận A, ký hiệu: • Đây là một số thực, được xác định như sau: ( )det A hay A ( ) ( ) ( ) 11 111 1 11 12 11 22 21 12 21 22 2 2 det det . . A a thì A a a a A thì A a a a a a a ´ ´ = = æ ö÷ç ÷ç= = -÷ç ÷ç ÷è ø Định thức cấp n≥3 • Dùng phần bù đại số • Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j. 11 12 1 21 22 2 1 2 ...... ...... ............................. ...... n n n n nn n n a a a a a a A a a a ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø 4 4 3 21 0 9 1 7 1 2 2 14 0 6 6 42 1 13 A ´ æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø Ví dụ • Cho ma trận: ( )23 23 3 21 9 2 14 6 6 42 13 M M æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= Þ = ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø boûhaøng 2 vaø coät 3 M23=??? Phần bù đại số • Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xác định như sau: ( ) ( )ij ij1 det i j A M + = - ( )ij ij1 i j A M + = - Khai triển định thức • Định thức của ma trận vuông cấp n: • Đây là khai triển theo dòng 1. • Ta có thể khai triển dòng bất kỳ. ( ) 11 11 12 12 1 1d et . . ... n nA a A a A a A= + + + ( ) 1 1 2 2d et . . ...i i i i in inA a A a A a A= + + + Ví dụ • Tính định thức ma trận sau: 1 2 3 4 1 2 3 0 5 7 6 0 5 7 1 2 8 5 1 2 8 0 0 0 2 A B æ ö÷çæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç= = ç÷ ÷ç ÷ ç ÷-ç ÷ ÷çç ÷ ÷ç- ÷ ÷ç çè ø ÷ç ÷çè ø Định thức cấp 3 • Ta dùng qui tắc sau: 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ( ) ( ) ( ) 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 d et . . . . . . . . . . . . A a a a a a a a a a a a a a a a a a a = + + - + + Ví dụ • Tính lại định thức ma trận sau: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 0 5 7 0 1 0 1 2 8 2 2 2 5 7 6 0 1 1 1 2 5 1 2 2 0 3 9 3 3 A C m m m B D m æ öæ ö ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷- ç÷ -ç ÷çè ø è ø æ ö æ ö+÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç çè ø è ø Tính chất của định thức 1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳ để tính định thức. 2. det(A)=det(AT) 3. det(AB)=det(A). det(B) 4. det(kA)=kndet(A) 5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì định thức đổi dấu. 6. Nhân một dòng, một cột với số k khác không thì định thức tăng lên k lần. Tính chất của định thức 7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thì định thức không thay đổi. 8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0 thì định thức bằng 0. 9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0. 10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. 11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức Tính chất 11 Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai số hạng thì tách tổng 2 định thức 1 3 1 3 1 3 0 7 0 7 0 7 1 8 1 8 1 8 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 6 5 7 10 12 2 2 5 5 2 5 10 12 5 1 6 6 1 2 2 4 5 4 14 16 16 3 6 7 0 12 5 + + = + - + - - + + + = + Ma trận nghịch đảo • Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho: • Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A. Ký hiệu: A-1 . . n n A B I B A I ìï =ï í ï =ïî Tính chất ( ) 1 1 1 1 1 . . n A A A A A I A - - - - - Û = = = i ) khaûnghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A ii) i i i) M a traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù) thì duy nhaát, vaø: A Tính chất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ; 1 det det T T T A B B A A BC C B A A A A A - - - - - - - - - - = = = = iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì: v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch: vi) Điều kiện để ma trận khả nghịch • Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có: ( ) ( ) ( ) det 0 det 0 n A A I A r A n A A A A Û Û = Û ¹ Û = :i ) khaûnghòch ii) khaûnghòch ii i) khaûnghòch iv) khoâng khaûnghòch Cách tìm ma trận nghịch đảo • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Định thức Ma trận nghịch đảo_1 • Ta có: • Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A. • Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A 1 1 det TA C A - = ( )i j i j1 det i j ij c A M + = = - Ví dụ 1 • Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø ( )det ???A = Ví dụ 1 • Tìm ma trận phụ hợp của A: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 1 0 1 0 1 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 3 4 2 4 2 3 4 6 3 6 3 4 1 1 0 1 0 1 c c c c c c c c c = + = = - = = + = - - - - - - = - = = + = = - = - - - - - - = + = = - = = + = Giải phương trình ma trận a) Xét phương trình: A.X=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B b) Xét phương trình: X.A=B Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1 c) Xét phương trình: A.X.C=B Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1 Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình. Kiểm tra 30’ • 1) Thực hiện phép tính 1 2 3 4 0 2 10 4 8 7 5 3 1 7 6 0 2 3 0 1 2 3 2 4 1 2 ) ) 2 3 ) 3 7 A B a A B b A B c A B æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷- -÷ ÷ç çè ø è ø + - + Kiểm tra 30’ • 2. Tính định thức • 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có): ( )0 1 1 1 2 2 3 3 m D m æ ö+ ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø 3 4 6 0 1 1 2 3 4 A æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷çè ø Ví dụ • Giải các phương trình sau: 1 2 3 5 ) . 3 4 5 9 3 10 5 6 4 16 ) . . 5 2 7 8 9 10 a X b X æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç=÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç=÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷è ø è ø è ø Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1. Đổi chỗ hai dòng với nhau 2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0 3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhân với một số. 4. Tổng hợp: i j d d« . i i d k d® . i i j d d d® + l . . i i j d k d d® + l Ví dụ • Thực hiện phép biến đổi ma trận: • Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng với ma trận A. Ký hiệu: A’ ~ A 2 2 1 3 3 1 3 3 29 2 3 2 8 1 2 3 4 8 7 5 3 ? ?? 2 3 0 1 ?? ' d d d d d d d d d d d A A + ® - ® - ® - « æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ¾ ¾ ¾ ¾® ¾ ¾ ¾ ¾ ¾®÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ® Hạng của ma trận • Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A. • Ký hiệu: r(A) hay rank(A) • Ma trận bậc thang của A: A→..bdsc theo dòng →A’ (có dạng bậc thang) Ví dụ • Tìm hạng của ma trận 3 21 0 9 0 1 7 1 2 1 2 14 0 6 1 6 42 1 13 0 A æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷- - -ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç - ÷çè ø Tính chất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ) ) m in , T ij m n i r A r A ii A B thì r A r B iii A a thì r A m n ´ = = é ù= £ê úë û : Hệ phương trình tuyến tính • Dạng tổng quát 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................................... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ìï + + + =ïïï + + + =ïïí ïïïï + + + =ïïî Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n m m mn n m a a a x b a a a x b a a a x b æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø A X B´ = Hệ phương trình tuyến tính • Dạng ma trận • Ma trận A gọi là ma trận hệ số. • X: ma trận cột các ẩn số • B: ma trận cột các hệ số tự do • Nghiệm của phương trình là một bộ số: Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đều thỏa mãn. A X B´ = ( ) ( )1 2 1 2, , ..., , , ...,n nx x x c c c= Định lý Cronecker – Capeli ( ) Cho phöông trình: Ñaët ma traän boå sung cuûa ma traän A Tìm haïng cuûa ma traän : : ; A X B A A B A A ´ = = Định lý Cronecker – Capeli ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i ) Heä pt coù nghieäm duy nhaát i i) Heä pt coù voâ soá nghieäm ii i ) Heä pt voâ nghieäm iv) Heä pt coù nghieäm r A r A n r A r A n r A r A r A r A Û = = Û = < Û ¹ Û = Ví dụ • Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 2 4 1 3 4 0 2 4 1 x x x x x x x x x x x x ìï - + =ïïï + - = -ïïí ï - - =ïïï + + =ïïî Cách giải hpt tuyến tính • Phương pháp Gauss – Jordan • Phương pháp Cramer • Phương pháp ma trận nghịch đảo Phương pháp Gauss – Jordan ( ) ( ) ( ) i ) Laäp ma traän boå sung . i i) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng. i i i ) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu. iv) Giaûi n bdsc dong r r A A B A A B A A B = ¢= ¾ ¾ ¾ ¾® = ghieäm töø döôùi leân treân. Ví dụ • Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 4 8 2 4 1 2 4 5 11 ) ) 3 4 0 4 3 2 1 2 4 1 6 7 10 x x x x y z x x x x y z a b x x x x y z x x x x y z ì ìï ï- + = + - =ï ïï ïï ï+ - = - + - =ï ïï ïí í ï ï- - = - + =ï ïï ïï ï+ + = + - =ï ïï ïî î Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình: • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ( ) 3 2 3 0 3 2 7 x y z x y z m R x y mz m ìï + + =ïïï + - = Îí ïï - + =ïïî Phương pháp Cramer • Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình • Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do. 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ... ... ...................... ... ... ... n n n n nn m n a a a x b a a a x b a a a x b æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø Phương pháp Cramer • Ví dụ: A1 • Thay cột 1 bằng cột hệ số tự do 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 12 1 22 2 1 1 2 2 ... ... ...................... ... ... ... ... ...................... ... n n n n nn n n n n nn n a a a b a a a b A B a a a b a a a a A a a b b b æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø æ ççççç= ççççççè ö÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷ç ø Phương pháp Cramer ( ) ( ) ( ) Ñaët: Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát: Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm. Neáu thì heä voâ nghieäm hoaëc voâ soá nghieäm. Ta giaûi tieáp 1 1 1 det ; d et ; ... ; det ) 0 ) 0 0 ) ... 0 n n i i i n A A A i x ii ii D = D = D = D ¹ D = D D = D ¹ D = D = = D = baèng phöông phaùp Gauss. Ví dụ • Giải và biện luận hệ phương trình sau 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 1 4 ) ) 8 2 4 mx x x ax y z a x mx x m b x by z x by zx x mx m ì ìï ï+ + = + + =ï ïï ïï ï+ + = + + =í í ï ïï ï + + =+ + =ï ïï ïîî Đề thi mẫu • Câu 5. Cho hệ phương trình: • a) Giải hpt với m=1 • b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. ( ) 3 2 3 0 3 2 7 x y z x y z m R x y mz m ìï + + =ïïï + - = Îí ïï - + =ïïî Phương pháp ma trận nghịch đảo • Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số ẩn. • Nếu ma trận A khả nghịch thì: .A X B= 1. .A X B X A B-= Û = Ví dụ • Giải phương trình sau 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 6 1 7 x x x x x x x x x m ìï + + =ïïï + + =í ïï - + =ïïî Hệ pt tuyến tính thuần nhất • Dạng: 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ............................................... ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ìï + + + =ïïï + + + =ïïí ïïïï + + + =ïïî Hệ pt tuyến tính thuần nhất • Dạng: 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... 0 ... 0 ...................... ... ... ... 0 n n m m mn m a a a x a a a x a a a x æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷´ =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø 0A X´ = Định lý • Hệ luôn có 1 nghiệm dạng: • Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ. • Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường. • Nếu r(A)<n thì hệ có vô số nghiệm. ( ) ( )1 2, , ..., 0, 0, ..., 0nx x x = Định lý • Nếu m=n thì: • Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường. • Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm. Ôn thi • Tìm ma trận X biết 1 2 52 2 0 1 1 5 0 7 6 1 2 3 2 1 3 X                   Bài 1 • Cho hai ma trận: • Tìm ma trận nghịch đảo của A. • Tìm X biết: X.A=3B 1 2 3 1 2 1 3 2 4 3 1 0 2 1 0 2 1 1 A B                        Bài 2 • Giải hệ phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 x x x x 0 3x x x 2x 5 5x x x 4 7x x x 3x 10                   Bài 2 • Giải hệ phương trình sau 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2x y 3z 9 x y z 6 a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21 4x 7y z 5 7x y 3z 6 2x 2x x x 4 4x 3x x 2x 6 c) 8x 5x 3x 4x 12 3x 3x 11x 5x 6                                            Bài 3 • Tìm m để ma trận sau khả nghịch 1 1 1 1 1 1 1 m A m m m           • Tìm m để hệ là hệ Crammer • Giải nghiệm của hệ Bài 4 1 1 1 mx y z x my z x y mz            Bài 5 • Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm không tầm thường. 22x y z 0 a x 3y 2z 0 a) x y 2z 0 b) ax y z 0 5x y az 0 8x y 4z 0                       Bài 6 • Giải và biện luận theo m mx y z 1 mx y z m a) x my z 1 b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1 x y mz 1 x y mz 1                            Bài 7 • Tìm để hệ có nghiệm duy nhất • Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m x y mz 1 x my z a x (m 1)y (m 1)z b              Bài 2 • Giải và biện luận   1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 4 3 3 3 x x mx m mx x m x x x x m m                