Đại số tuyến tính - Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân đối liên ngành • Tên khác: Mô hình Input-Output Leontief • Đặc điểm: • 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ cố định đó là một mặt hàng. • 2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Tổng cầu đối với sp mỗi ngành - Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất - Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm các hộ gia đình, nhà nước, các hàng xuất khẩu. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình I - O • Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành: ngành 1, ngành 2, , ngành n • Có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành kinh tế mở) chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành kinh tế này. • Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i được tính theo công thức: 1 2 ; 1,2, ,i i i in ix x x x b i n       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bảng I-O Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng x1 x11 x12 x1n b1 x2 x21 x22 x2n b2 xn xn1 xn2 xnn bn • Ta có: • Công thức: 1 2) ) ik i i i in i ik k x i x x x x b ii a x       Mua của ngành 1 Bán của ngành 1 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình I-O • xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i; • xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian); • bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng); • Biến đổi (1) 1 2 1 2 1 2 ; 1,2, ,      i i ini n i n x x x x x x x b i n x x x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình I-O • Đặt: • Ta có mô hình I-O: • Dạng ma trận:  ikik k x a ty le chi phi dau vao cua nganh k doi voi nganh i x  1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1 2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ... ........................................ ... n n n n n n nn n n nn n n n n nn x a x a x a x b a a ax x x a x a x a x b x a a a x hay xx a x a x a x b a a a                                        1 2 ... n n b b x b                          . .X A X B X A X B I A X B        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một số thuật ngữ • A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệ số kĩ thuật • X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất) • B là ma trận cầu cuối cùng • Chú ý:   1 2 1 1 ) ... 1 ) . n ik k k nk i i a a a a ii X A X B X I A B              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Dạng bài tập • Xác định ma trận tổng cầu X • Xác định tổng chi phí mỗi ngành • Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử • Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại • Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật, tổng cầu, cầu cuối Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ 1 • Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệ số kĩ thuật: • a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A • b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành 0,2 0,3 0,2 0,4 0,1 0,2 0,1 0,3 0,2          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $ hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$ hàng hóa của ngành 2 • b) Ta có:   1 0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,24 1 0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,24 0,384 0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60 I A I A                             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ma trận tổng cầu: • Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1 là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68; đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệu USD)   1 0,66 0,30 0,24 10 24,84 1 0,34 0,62 0,24 5 20,68 0,384 0,21 0,27 0,60 6 18,36                                  X I A B Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân bằng thị trường 1. Của 1 loại hàng hóa 2. Của n loại hàng hóa có liên quan Chú ý: Hàm cung Qs, hàm cầu Qd và giá P SQ ( , , , 0)D a bP Q c dP a b c d       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Một loại hàng hóa • Mô hình cân bằng thị trường: • Giá cân bằng: • Lượng cân bằng: SQ S S D D D Q a bP Q a bP Q c dP Q c dP Q a bP c dP                       a c P b d    S D cd ad Q Q b d     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhiều loại hàng hóa • Hàm cung và hàm cầu: • Trong đó Qsi, Qdi và Pi tương ứng là lượng cung, lượng cầu, giá hàng hóa i. • Mô hình cân bằng: 1,2, ,Si DiQ Q i n     1 1 2 2 1 1 2 2 1,2, , Si io i i in n Di io i i in n Q a a P a P a P Q b b P b P b P i n               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Nhiều loại hàng hóa • Chuyển vế ta có: • Giải hệ trên ta tìm được giá cân bằng của n hàng hóa, từ đó tìm được lượng cung và cầu cân bằng.   11 1 12 2 1 10 21 1 22 2 2 20 1 1 2 2 0 n n n n ik ik ik n n nn n n c P c P c P c c P c P c P c c a b c P c P c P c                         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ (đề 2012) • Cho mô hình cân bằng kinh tế: • Trong đó Y:thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng, C: tiêu dùng; M nhập khẩu; I0: đầu tư; G0: chi tiêu chính phủ; X0: xuất khẩu; t: thuế suất   0 0 0 0,8 0,2 1 d d d Y C I G X M C Y M Y Y t Y             Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ (đề 2012) • A. Khi I0, t không đổi, G0 tăng 1 đơn vị, x0 giảm một đơn vị thì thu nhập cân bằng Y* thay đổi như thế nào • B. Giả sử I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì nền kinh tế thặng dư hay thâm hụt ngân sách, thặng dư hay thâm hụt thương mại • C. Chi I0=270; X0=340; t=0,2 tìm G0 để thu nhập cân bằng là 2100 • D. Cho I0=340; X0=300; G0=400 tìm t để cân đối được ngân sách. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ta có: • Thay vào ta có mô hình:   0 0 0 0,8 0,2 1 d d d Y C I G X M C Y M Y Y t Y                     0 0 00,8 1 0,2 1 0,8 1 0,2 1 Y t Y I G X t Y C t Y M t Y              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Thay vào ta có mô hình:                   0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0,6 1 0,8 1 1 0,6 1 0,8 1 0,8 1 ; 1 0,6 1 1 0,6 1 Y t Y I G X C t Y t Y I G X C t Y t I G XI G X Y C t t                              Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Thu nhập cân bằng: • Ta có: • Vậy khi G0 tăng 1 đơn vị, X0 giảm một đơn vị thay đổi thì thu nhập quốc dân cân bằng không đổi.    0 0 0* 1 0,6 1 I G X Y Y t                0 0 1 1 * ' ; * ' 1 0,6 1 1 0,6 1 G XY Y t t       Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Mức thay đổi tính bằng vi phân toàn phần. • Cho • Ta có:  1 2 3, , ,..., nf f x x x x 1 21 2 ' ' ... ' nx x x n df f dx f dx f dx    Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • B) Khi I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì: • Ta có:    270 430 340 2000; 1280 1 0,6 1 0,2 Y C          0 0 0 30 0 0,2 0,2. 1 320 340d NS T G tY G tham hut ngan sach M Y t Y X co thang du                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • C) Ta có: • D) Ta có:      0 0 0 0 0 270 340 2100 482 1 0,6 1 1 0,6 1 0,2 I G X G Y G t                   0 0 0 0 400 1 0,6 1 340 400 300 400 0,2 1 0,6 1 I G X tY G t t t t t                Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Y: thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng • Ta có: Yd=Y-T; trong đó T: thuế • Ngân sách: NS=T-G • Cân đối ngân sách khi T=G • Khi • t: thuế suất hay mức tăng lên của thuế khi thu nhập tăng 1 đơn vị  1dY t Y Y tY Y T      Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Chú ý • Thâm hụt thương mại: (xuất – nhập) • Nền kinh tế có thặng dư: • Thâm hụt ngân sách: (thuế - chi tiêu CP) 0 0X M  0 0T G  0 0X M  Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số co giãn • Cho hàm số y=f(x) với x,y là các biến số kinh tế, gọi x0 là một điểm thuộc TXĐ của hàm số. • Giá trị được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại x0. Tại x0, khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm số f(x) thay đổi một lượng xấp xỉ là 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) y x y x x x y x    0( ) % y x x Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Xét hàm cầu của một loại hàng hóa D=D(p), tại mức giá p0. • Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p0: • Áp dụng với hàm cầu D= 6p-p2 tại mức giá p0=4 và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được. Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ thay đổi như thế nào?V 0 0 0 0 '( ) ( ) ( ) D p D p p p D p   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ta có: • Ý nghĩa: Tại mức giá p0=4, nếu giá tăng 1% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 1%. Còn nếu giá tăng 2% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 2.1%=2%. ( ) 6 2 (4) 2; (4) 8 (4) 2 .4 .4 1 (4) 8 D p D p p D D D D               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số co giãn riêng • Cho hàm số y=f(x1,x2,,xn) với xi, y là các biến số kinh tế • Tại điểm hệ số co giãn riêng của hàm f theo biến xi đo lượng thay đổi tính bằng % của f khi biến xi thay đổi 1% trong điều kiện các biến độc lập khác không đổi là: •  0 0 00 1 2, ,...., nM x x x     0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 , ,...., . , ,....,i nf i x i n f x x x x x f x x x     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Hệ số co giãn riêng • Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai hàng hóa có liên quan có dạng: • p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2. • Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1,p2) • Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2) • Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30). 2 2 1 1 2 5 6300 2 3 dQ p p   Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Ta có: • Tại điểm (20,30) ta có: • Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%. 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 10 4 . ; . 5 536300 2 6300 2 3 3 d dQ Q p p p p p p p p p p          1 1 1 2 0,4 ; 0,75d dQ Qp p     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân • Mô hình cho dưới dạng: • Trong đó: – Y: tổng thu nhập quốc dân – C: chi tiêu dùng dân cư – T: thuế; I: đầu tư – G: chi tiêu chính phủ 0 0 ( ) ( 0,0 1) ( 0,0 1) Y C I G C a b Y T a b T d tY d t                 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân • Mục tiêu: giải tìm Y, C, T • Biến đổi ta có hệ: • Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. 0 0Y C I G bY C bT a tY T d            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình CBTNQD _ không thuế • Dạng: • Mô hình cân bằng: • Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân bằng. 0 0 ( 0,0 1) Y C I G C a bY a b          0 0Y C I G bY C a        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình CBTNQD _ có XNK • Dạng: • Mô hình cân bằng: • Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng cân bằng.   0 0Y C I G X N C a b Y T T d tY             0 0Y C I G bY C a        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ • Mô hình IS-LM • Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụ thuộc vào lãi suất r. • Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùng dạng: 1 1 1 1 ( , 0)I a b r a b       0 1 1 1 1, 0 0,0 1 Y C I G I a b r a b C a bY a b               Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ • Thay thế I, C vào ta có phương trình IS: • Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụ thuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử • Giả sử lượng cung tiền cố định là . Điều kiện cân bằng thị trường tiền tệ là 1 1 0 1 1 0 (1 ) Y a bY a b r G b r a a G b Y            2 2 2 2( , 0)L a Y b r a b   0 2 2 2 2 0M a Y b r b r a Y M     Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Mô hình IS-LM • Phương trình IS: • Phương trình LM: • Hệ IS-LM: • Giải hệ này ta được mức thu nhập và lãi suất cân bằng 1 1 0 (1 )b r a a G b Y     2 2 0b r a Y M  1 1 0 2 2 0 (1 )b r a a G b Y b r a Y M         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Ví dụ • Cho • a) Lập phương trình IS. • b) Lập phương trình LM. • c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng của hai thị trường hàng hóa và tiền tệ. • 0 0250 ; 4500 ; 34 15 10 0,3 ; 22 200 . G M I r C Y L Y r         Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải • Phương trình IS. Ta có: • Phương trình LM • Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệm của hệ phương trình 0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250 15 294 0,7 Y C I G Y Y r r Y             0 22 200 4500 200 22 4500L M Y r r Y       15 294 0,7 268,72 ; 7,06. 200 22 4500 r Y Y r r Y        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải toán ma trận bằng FX570 ES 1. Nhập ma trận. • Nhấn Mode 6 (Matrix)  Chọn 1( matA)  Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cần tính toán. • Nhập kết quả vào bằng phím =, • Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêm ma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix)  1 (Dim) 2 (MatB) • Lập lại tương tự cho MatC. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Giải toán ma trận bằng FX570 ES 2. Tính định thức Thao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4 (Matrix)  7 (Det)  Shift 4 (Matrix)  3 (MatA)  = 3. Tìm ma trận nghịch đảo Thao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo của MatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA)  x-1 (x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode) 4. Giải phương trình: AX = B Thao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1  xMatB để cho kết quả của X. Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 1 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trận hệ số kỹ thuật: • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉ đồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành. 0,2 0,3 0,4 0,1 A        Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 2 • Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ số kỹ thuật: • Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từng ngành là 40, 40, 110 • Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx • Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, các ngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu của các ngành sx tương ứng. 0,4 0,1 0,2 0,2 0,3 0,2 0,1 0,4 0,3 A          Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài tập 3 • Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quan hệ trao đổi hàng hóa như sau: • Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành • Lập ma trận hệ số kỹ thuật A Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input) 1 2 3 B 1 20 60 10 50 2 50 10 80 10 3 40 30 20 40 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 4 • Cho biết hàm cung, cầu của thị trường 3 loại hàng hóa như sau: • Xác định điểm cân bằng thị trường. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8 2 10 2 14 2 2 5 4 2 4 1 4 . D D D S S S Q P P P Q P P P Q P P P Q P P P Q P P P Q P P P                            Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 5 • Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng C và mức thuế T xác định bởi: • trong đó I0=500 là mức đầu tư cố định; G0=20 là mức chi tiêu cố định. • Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêu dùng và mức thuế cân bằng. 15 0, 4( ) 36 0,1 o oY C I G C Y T T Y           Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 6 • Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hàng hòa • Để các nhà sx cung ứng hàng hóa cho thị trường thì mức giá 1,2 phải thỏa điều kiện nào. • Xác định giá và lượng cân bằng cho hàng hóa theo a • Khi a tăng thì giá cân bằng của hàng hóa 1 thay đổi như thế nào.  1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 18 3 12 2 ; 0 2 2 d d s s Q p p Q p p a Q p Q ap                 Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 7 (vd9/82) Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến Bài 8,9 (p85,86)