Đáp án Toán cao học năm 2000

135 ðáp án ñề thi 2000. Câu 1. a/ ' 2 2 53 3 3y x y x x+ = + . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( )( ) ( )2 2 3 3 33 2 5 3 3 3 33 3x dx x dx x x xy e x x e dx C e e dx x e dx C− −∫ ∫= + + = + +∫ ∫ ∫ ( )3 3 33 3.x x xy e e x C x Ce− −= + = + Nghiệm của phương trình 33 xy x Ce−= + . b/ Phương trình ñặc trưng: 2 1 23 2 0 1 2k k k k+ + = ⇔ = − ∨ = − Nghiệm của phương trình thuần nhất: 20 1 2 x xy C e C e− −= + . Tìm nghiệm riêng: ( ) ( ) 1 2( ) 2 3 6 ( ) ( )xf x x e f x f x= + + = + , 1 2r r ry y y= + Tìm 1r y là nghiệm riêng của phương trình '' '3 2 2 3 (1)y y y x+ + = + 1 0 0 0( ) ( )s x xry x e Ax B x e Ax B= + = + , 0s = vì 0α = không là nghiệm của phương trình ñặc trưng. Thay vào phương trình (1), ñồng nhất, ta ñược 1, 0A B= = . Tìm 2r y là nghiệm riêng của phương trình '' '3 2 6 (2)xy y y e+ + = 2 0s x x ry x e A Ax e= = , 0s = vì 1α = không là nghiệm của phương trình ñặc trưng. Thay vào phương trình (2), ñồng nhất, ta ñược 1A = . x ry x e= + . Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: 2 0 1 2 x x x tq ry y y C e C e x e − − = + = + + + Câu 2. a/ 1 1 1 ( 1) 3 . ! ( 1) 1 11 33 .( 1)! 3 nn n n n n n n n a n n n a nn n n + + + + +   = ⋅ = = +  +   1 1 1lim lim 1 1 3 3 n n n n n a e a n + →∞ →∞   = + = <    . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. b/ ðặt ( )21 0X x= + ≥ . Xét chuỗi 1 4 2 1 n n n n X n ∞ = +  ∑  +  . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 2 n n n a →∞ = =ρ 2R⇒ = . Xét tại 2X = . Có chuỗi số: 1 2 8 2 1 n n n n ∞ = +  ∑  +  . Số hạng tổng quát của chuỗi số này: 7 / 22 8 71 0. 2 1 2 1 n n n n n a e n n →∞+    = = + → ≠   + +    Vậy chuỗi phân kỳ theo ñịnh lý ñiều kiện cần. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: ( )2 22 2 4 2 0 2 2 2 2x x x x+ < ⇔ + + < ⇔ − − < < − + . Câu 3. a/ ( ) ( ) ( ) ( )1 0 sin cos 1 .0 0 0 cos0 1 0x x x x C I e y y dx e y dy e e dy= − + − = − + − =∫ ∫ . b/ C là nửa trên ñường tròn 2 2x y x+ = . ( ) ( )sin cos 1x x C C OA OA I e y y dx e y dy + = − + − = −∫ ∫ ∫ ( ) 1 0 cos cos 1 0 1 8 x x D D D I e y e y dxdy dx dxdy S pi= − + − = = =∫∫ ∫ ∫∫ Câu 4. Chia miền D bởi ñường thẳng y x= làm hai miền 1D và 2D ( 1D là phần ứng với y x≥ ) 1 2 1 2 ( ) ( ) D D D D D I x y dxdy x y dxdy x y dxdy y x dxdy x y dxdy= − = − + − = − + −∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ 136 ( ) ( )5 / 4 1 / 4 1 / 4 0 3 / 4 0 2 2 2 2 4 2 sin cos cos sin 3 3 3 I d r r rdr d r r rdr pi pi pi − pi = ϕ ϕ − ϕ + ϕ ϕ − ϕ = + =∫ ∫ ∫ ∫ Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 3 ' 2 2 4 4 0 2 2 3 0 x y z x xy z x y y  = − =  = − + − = , có 2 ñiểm dừng 1 2(0,0); (0,2 / 3)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 212 4xxz x y= − ; '' ''4 ; 2 6xy yyz x z y= − = − Xét tại ñiểm dừng. '' '' ''1 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yyP A z P B z P C z P= = = = = = ⇒ ∆ = . Không thể kết luận ñược. Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát. 4 2 2 3 2 2 3( , ) ( , ) (0,0) 2 ( )z x y z x y z x x y y y x y y= − = − + − = − −∆ Xét dãy ñiểm ( ) 1, ,0 (0,0)nn nx y n →+∞  = →    . Khi ñó ( ) 41 1, ,0 0n nz x y z n n   = = >    ∆ ∆ . Xét dãy ñiểm ( )' ' 21 1, , (0,0)nn nx y n n →+∞ = →   . Khi ñó ( )' ' 2 6 1 1 1 , , 0n nz x y z n n n   = = − <    ∆ ∆ . Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà 0z >∆ và những ñiểm mà 0z <∆ . Suy ra hàm không có cực trị tại 1(0,0)P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(0, 2 / 3) : ( ) 8 / 3, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = − = = = = − ⇒  < . Hàm ñạt cực ñại tại 2P , (0, 2 / 3) 4 / 27cdz z= = . Câu 5b. a/ Ta có 10 sin | || |x xx≤ ≤ . Sử dụng ñịnh lý kẹp ñể tính giới hạn, ta có: 0 0 1lim ( ) lim sin 0| |x xf x x x→ →   = =    . Hàm liên tục tại 0x = , nếu 0 lim ( ) (0) x f x f → = 0a⇔ = . b/ ( )1/ 55 31 3 1 3 1 ( ) 5 x x x o x+ = + = + + ; ( )1/ 44 1 2 1 2 1 ( ) 2 x x x o x+ = + = + + 5 4 111 3 1 2 1 ( ) 10 x x x o x⇒ + ⋅ + − = + ( )2 2 2 2cos 2 1 2 ( ) ( )x x x x x o x x x o x− = − + − = + . Vậy 5 4 20 0 0 11 11( )1 3 1 2 1 1110 10lim lim lim( ) 10cos 2x x x x x o x x x x o x xx x x→ → → ++ ⋅ + − = = = + − . ðáp án ñề thi 2001. Câu 1. a/ ' 22 xy y x e x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )2 / 2 2 / 2 2.xdx x xdx x xy e x e e dx C x e dx C x e C−∫ ∫= + = + = +∫ ∫ Nghiệm của phương trình ( )2 xy x e C= + . b/ Phương trình ñặc trưng: 2 1 24 3 0 1 3k k k k− + = ⇔ = ∨ = Nghiệm của phương trình thuần nhất: 30 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 2 ( )s xry x e Ax B= + , s = 0 vì 2=α không là nghiệm của PTðT. ( ) 2xry Ax B e= + .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: 4, 0A B= − = . 137 Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: 3 20 1 2 4 x x x tq ry y y C e C e xe= + = + − Câu 2. a/ 1 4.7.10...(3 1)(3 4) 2.6.10...(4 2) 3 4 2.6.10...(4 2)(4 2) 4.7.10...(3 1) 4 2 n n a n n n n a n n n n + + + − + = ⋅ = − + + + 1 3 4 3lim lim 1 4 2 4 n n n n a n a n + →∞ →∞ + = = < + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. b/ ðặt 1X x= + . Xét chuỗi 1 .2 1 n n n X n n ∞ = ∑ ⋅ + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 2 n n n a →∞ = =ρ 2R⇒ = . Xét tại 2X = . Có chuỗi số: 1 1 . 1n n n ∞ = ∑ + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Xét tại 2X = − . Có chuỗi số: 1 ( 1) . 1 n n n n ∞ = − ∑ + , chuỗi hội tụ tuyệt ñối. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 2 1 2 3 1x x− ≤ + ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin 0 1 x r y r r = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  ϕ ϕ pi ϕ . Khi ñó 22 1 1 0 0 0 2 ( 1)rI d e rdr dr e= = = −∫ ∫ ∫ pi ϕ pi pi 2/ 2 4 2 2 0 2( ) (4 3) 4 4 x C OAB x I x y dx y dy ydxdy dx ydy − = + + + = − = −∫ ∫∫ ∫ ∫ ∆
( )42 22 2 2 0 0 2 2 (4 ) 32 x x I y dx x x dx − = − = − − − = −∫ ∫ Câu 4. a/ ( )0 0 1 tan 1 tan 2 tanlim lim 1 tan 1 tanx x x x xI x x x x→ → + − − = = + + − ( )0 tan 2 2lim 1 1 21 tan 1 tanx xI x x x→ = = ⋅ = + + − b/ 3 3 3 2 20 0 0 0 1 1 arctan ( / 3 ( ) / 3lim lim lim lim 0 arctan arctanx x x x x x x x x o x x x x x x x x→ → → → − − − +  − = = = =    Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 3 ' 2 2 4 4 0 2 2 3 0 x y z x xy z x y y  = − =  = − + − = , có 2 ñiểm dừng 1 2(0,0); (0,2 / 3)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 212 4xxz x y= − ; '' ''4 ; 2 6xy yyz x z y= − = − Xét tại ñiểm dừng. '' '' ''1 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yyP A z P B z P C z P= = = = = = ⇒ ∆ = . Không thể kết luận ñược. Dùng ñịnh nghĩa ñể khảo sát. 4 2 2 3 2 2 3( , ) ( , ) (0,0) 2 ( )z x y z x y z x x y y y x y y= − = − + − = − −∆ Xét dãy ñiểm ( ) 1, ,0 (0,0)nn nx y n →+∞  = →    . Khi ñó ( ) 41 1, ,0 0n nz x y z n n   = = >    ∆ ∆ . Xét dãy ñiểm ( )' ' 21 1, , (0,0)nn nx y n n →+∞ = →   . Khi ñó ( )' ' 2 6 1 1 1 , , 0n nz x y z n n n   = = − <    ∆ ∆ . Trong mọi lân cận của (0,0), ñều tồn tại những ñiểm mà 0z >∆ và những ñiểm mà 0z <∆ . Suy ra hàm không có cực trị tại 1(0,0)P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(0, 2 / 3) : ( ) 8 / 3, ( ) 0, ( ) 2 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = − = = = = − ⇒  < . Hàm ñạt cực ñại tại 2P , (0, 2 / 3) 4 / 27cdz z= = . 138 Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ ]0,3 . ' 2 1/ 3 4( 1) 0 3( 2 ) xy x x − = = − 1⇔ =x . Không tồn tại ñạo hàm khi 2x = và 0x = Có một ñiểm dừng 1x = và một ñiểm tới hạn 2x = trong khoảng (0,3). 30 0 1 1 2 0 3 9( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )= = = =y y y y . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 3 9 tại 3x = ; giá trị nhỏ nhất là 0 tại 0 2x x= ∨ = . ðáp án ñề thi 2002. Câu 1. 1/ '( , ) 1 x x x xyP x y e y xe y P e xe= + + ⇒ = + , '( , ) 2x x xxQ x y xe Q e xe= + ⇒ = + . ' ' x yQ P⇒ = . Phương trình vi phân ñã cho là phương trình vi phân toàn phần. Nghiệm của phương trình: ( , )u x y C= . ( ) 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 2 y yx x x x y x u x y Q x y dy P x y dx xe dy dx xye y x= + = + + = + +∫ ∫ ∫ ∫ Kết luận: nghiệm của phương trình 2xxye y x C+ + = . 2/ Phương trình ñặc trưng: 2 1 25 6 0 2 3k k k k− + = ⇔ = ∨ = . Nghiệm của phương trình thuần nhất: 2 30 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 0 0 ( cos 2 sin 2 )xry x e A x B x= + vì 2i i+ =α β không là nghiệm của PTðT nên 0s = . Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: 5 25, 52 52 A B= = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: 2 30 1 2 5 25 cos 2 sin 2 52 52 x x tq ry y y C e C e x x= + = + + − Câu 2. 1/ 1 1 5 ( 3)! (2 )! 5( 3) (2 2)! (2 1)(2 2)5 .( 2)! n n n n a n n n a n n nn + + ⋅ + + = ⋅ = + + ++ ( ) 1 5( 3)lim lim 0 1 2 1 (2 2) n n n n a n a n n + →∞ →∞ + = = < + + . Chuỗi 1 na ∞ ∑ hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert. 2/ ðặt 5X x= − . Xét chuỗi 1 1 0 ( 1) .2 . ( 1) ln( 1) n n n n X n n + + ∞ = − ∑ + + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với lim 2n n n aρ →∞ = = 1/ 2R⇒ = . Xét tại 1/ 2X = . Có chuỗi số: 1 0 ( 1) .2 ( 1) ln( 1) n n n n + ∞ = − ∑ + + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Xét tại 1/ 2X = − . Có chuỗi số: 1 0 0 ( 1) .2( 1) 2 ( 1) ln( 1) ( 1) ln( 1) n n n nn n n n + ∞ ∞ = = − − = −∑ ∑ + + + + Chuỗi 0 2 ( 1) ln( 1)n n n ∞ = ∑ + + phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh với chuỗi 2 1 lnn n ∞ α β∑ hội tụ trong hai trường hợp: 1α > hoặc 1 1 α = β > Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 9 111/ 2 5 1/ 2 2 2 x x− < − ≤ ⇔ − < ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 2 sin / 6 / 3 x r y r r ϕ ϕ pi ϕ pi pi = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . 139 Khi ñó ( )/ 32 / 3 2 2 0 / 6 0 0/ 6 3 1 cos sin 3 1 2 I d rdr r d d pipi pi pi pi pi pi ϕ ϕ ϕ pi−= = = = −∫ ∫ ∫ ∫ . 2/ ðặt 2 2( , )u x y x y= − . ðiều kiện: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )' '' ' 3 2 2 3. . ( ). ( ).y x x yh P h Q h u x xy h u x y y= ⇔ + = − − ' 3 2 2 2 ' 2 3 2 22 ( ) (3 ) 2 .( ) ( 3 )xh x xy h x y yh x y y h x y⇔ + + + = − − − + − − . 2 2 ' 4 4 ' 2 2(4 4 ) 2 ( ) 0 2 ( ) 0h x y h x y h h x y⇔ + + − = ⇔ + − = ' 2 / 2 2 0 udu Ch h h Ce u u − ∫⇒ + = ⇒ = = . Từ (1) 1 1h C= ⇒ = . Vậy ( ) 2 2 22 2 1( )h x y x y − = − . Câu 4. 1/ ( ) 2 2 ' ' 3 3 3 3 3 3 3 ; (1,1) 2 22 2 x y x y z z dz dx dy x y x y = = ⇒ = + + + . 2/ 2 4 3 42 4 3 2 4cos sin 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 3! 2 x x x xx x x e o x x x o x x o x−     − − = − + − − + − − + + =        4 45 ( ) 6 x o x− + 4 4 4 4 40 0 5 5( ) 56 6lim lim 6x x x x o x K x x→ → − − + = = = − Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' ' 2 2 2 0 2 4 2 0 x y f x y f x y  = − − =  = − + + = , có 1 ñiểm dừng 1(1,0)P ðạo hàm riêng cấp hai: '' '' ''2, 2, 4xx xy yyf f f= = − = . Xét tại ñiểm dừng. 2 '' '' '' 1 1 1 1 4 0(1,0) : ( ) 2, ( ) 2, ( ) 4 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − = > = = = = − = = ⇒  > . Hàm ñạt cực tiểu tại 1P , (1,0) 3ctf f= = 2/ 3 2 3 1 2 1 1 2 I I I= = + = +∫ ∫ ∫ Xét 1I ( ) 1 1/ 32 3 3 3 1 1 1 1( ) 2 2 1(4 3) ( 1) (3 ) x f x xx x x x → + = = − − − − −
Tích phân 1I hội tụ. Xét 2I ( ) 3 1/ 32 3 3 3 1 1 1 1( ) 2 2 3(4 3) ( 1) (3 ) x f x xx x x x → − = = − − − − −
Tích phân 2I hội tụ. Vậy tích phân ñã cho hội tụ. Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ ]1,1− . ( ) ' 2 2 2 1 0 1/ 2 1 1 xf x x x + = = ⇔ = − + + 2 3 21 1 1 2 5 2 2 ( ) ; ( ) ; ( / )= − − = − − = −y y y . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 2 2 − tại 1x = ; giá trị nhỏ nhất là 5− tại 1/ 2x = − . 140 2/ Ta có tích phân 0 xe dx +∞ ∫ phân kỳ. Dùng qui tắc Lôpital ta ñược 0 2lim lim lim lim2 44 x t x x t x x x t e dt e e eI x tx x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ = = = = = +∞ ðáp án ñề thi 2003. Câu 1. 1/ ' 1 siny y x x x − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )1/ 1/sin . sin cosxdx xdxy e x x e dx C x xdx C x C x−∫ ∫= + = + = −∫ ∫ ( ) 2 2 ( cos ) 1y C Cpi = pi ⇔ pi = pi − pi ⇔ = ⇒ Nghiệm của phương trình ( )1 cosy x x= − . 2/ Phương trình ñặc trưng: 2 1 27 6 0 1 6k k k k− + = ⇔ = ∨ = Nghiệm của phương trình thuần nhất: 60 1 2 x xy C e C e= + . Tìm nghiệm riêng: 0 2( )s xry x e Ax Bx C= + + , s = 0 vì 0α = không là nghiệm của PTðT. 2 ry Ax Bx C= + + .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: 1, 1, 1A B C= = − = − . Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: 6 20 1 2 1 x x tq ry y y C e C e x x= + = + + − − Câu 2. 1/ ( ) 22 1 2lim lim lim 1 1 8 88. n n n n nn n n n e a nn→∞ →∞ →∞ +   = = + = <    1 na ∞ ⇒∑ hội tụ theo Côsi. 2/ ðặt 2X x= − . Xét chuỗi 31 4 20 ( 1) 3 1 n n nn X n n ∞ + = − ∑ ⋅ + + . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 3 n n n aρ →∞ = = 3R⇒ = . Xét tại 3X = . Có chuỗi số: 3 4 20 ( 1) 3 1 n n n n ∞ = − ∑ ⋅ + + , chuỗi hội tụ tuyệt ñối. Xét tại 3X = − . Có chuỗi số: 3 4 20 1 3 1n n n ∞ = ∑ ⋅ + + , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 3 2 3 1 5x x− ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ ðổi biến: cos 0 / 4 sin 2cos 6cos x r y r r ϕ ϕ pi ϕ ϕ ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi ñó 6cos26cos/ 4 / 4 / 4 2 0 2cos 0 02cos 16cos 2 rI d rdr d d ϕϕpi pi pi ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= = =∫ ∫ ∫ ∫ / 4 / 4 0 0 8(1 cos 2 ) 8 4sin 2 2 4d pi piϕ ϕ ϕ ϕ pi= + = + = +∫ 2/ Vì tích phân trên ñường tròn 2 2 1x y+ = , nên ta có thể thay 2 2( ) 1x ye e− + −= . Ta có ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ( ) 1 1 12 (1 4 ) 2 (1 4 ) 2 ( 4)x y C C x y I e xdy y dx e xdy y dx dxdy e − + − + ≤ = − + = − + = − −∫ ∫ ∫∫

2 2 1 6 6 6 + ≤ pi = = ⋅ =∫∫ hình troøn x y I dxdy S e e e Chú ý: 1/ Nếu ñể nguyên tích phân mà sử dụng công thức Green thì việc tính toán rất khó khăn. 2/ Có thể viết phương trình tham số của C: 1 2 cos , 0, 2 sin x t t t y t = = = pi = . Thay vào tích phân ñã cho: ( ) ( )2 22 2(sin cos ) 2 2 0 0 1 62cos .cos (1 4sin )( sin ) 2cos 4sin sint tI e t tdt t t dt t t t dt e e pi pi − + pi = − + − = + + =∫ ∫ 141 Câu 4. 1/ ' 2 2 ' 2 '' '' ''3 2 ; 4 9 ; 6 ; 4 ; 4 18x y xx xy yyz x y z xy y z x z y z x y= − = − + = = − = − + . ( ) ( ) ( ) ( )2 '' 2 '' '' 21,1 1,1 2 1,1 1,1xx xy yyd z z dx z dxdy z dy⇒ = + + = 2 26 8 14dx dxdy dy= − + . 2/ Miền xác ñịnh: 3 3x x≤ − ∨ ≥ . Vậy không có tiệm cận ñứng ( ) ( )3 33 2 3 23 3 2 2 1 2 / | | 1 3 / 2 1 2 / 1 3/2 2 3lim lim lim 1 x x x x x x x x x x x x x x x→+∞ →+∞ →+∞ + − − + − −+ − − = = ( ) ( )3 33 2 3 23 3 2 2 1 2 / | | 1 3 / 2 1 2 / 1 3/2 2 3lim lim lim 3 x x x x x x x x x x x x x x x→−∞ →−∞ →−∞ + − − + + −+ − − = = = Có hai tiệm cận ngang: 1y = và 3y = . Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: ' 4 ' 4 5 5 0 5 5 0 x y z x y z y x  = − =  = − = , có 2 ñiểm dừng 1 2(0,0); (1,1)P P ðạo hàm riêng cấp hai: '' 320xxz x= ; '' '' 35; 20xy yyz z y= − = Xét tại ñiểm dừng. '' '' '' 21 1 1 1(0,0) : ( ) 0, ( ) 5, ( ) 0 25 0xx xy yyP A z P B z P C z P AC B= = = = − = = ⇒ ∆ = − = − < . Vậy hàm không ñạt cực trị tại 1P . 2 '' '' '' 2 2 2 2 0(1,1) : ( ) 20, ( ) 5, ( ) 20 0xx xy yy AC BP A z P B z P C z P A ∆ = − > = = = = − = = ⇒  > .Hàm ñạt cực tiểu tại 2P . 2/. 1( ) xef x x x = > . Vì tích phân 1 dx x +∞ ∫ phân kỳ nên tích phân 1 xe dx x +∞ ∫ phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 1. Lopital, / 1 1lim lim lim 0 t xx x xx x x e edt t xJ xe e ∞ ∞ →+∞ →+∞ →+∞ ∫ = = = = . Câu 5b. 1/ Miền xác ñịnh R. y liên tục trên [ ]1/ 3, 2− . 3 2 ' 2 2 3(6 6 ) 0x xy x x e −= − = 0 1⇔ = ∨ =x x 1 4 11 270 1 1 2 1 3 /( ) ; ( ) ; ( ) ; ( / )− −= = = − =y y e y e y e . Kết luận: Giá trị lớn nhất là 4e tại 2x = ; giá trị nhỏ nhất là 1e− tại 1x = . 2/ 2 21 / 2 ( )ln(1 ) / 2 ( ) 0 0 0 .lim lim lim x x o x x x o xx x x x x e e e e e e eI x x x − + + − + → → → − − − = = = / 2 ( ) 0 0 0 1 ( / 2 ( )) / 2lim lim lim 2 x o x x x x e x o x x eI e e e x x x − + → → → − − − + = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ðáp án ñề thi 2004. Câu 1. 1/ Chia hai vế cho xdx : '1 13 sin 3 sindy y x x y y x x dx x x − = ⇔ − = . Nghiệm tổng quát ( )( )pdx pdxy e q x e dx C−∫ ∫= ⋅ +∫ ( ) ( ) ( )1/ 1/3 sin . 3sin 3cosxdx xdxy e x x e dx C x xdx C x C x−∫ ∫= + = + = −∫ ∫ 2/ Phương trình ñặc trưng: 2 14 5 0 2k k k i− + = ⇔ = ± Nghiệm của phương trình thuần nhất: ( )20 1 2cos sinxy e C x C x= + . Tìm nghiệm riêng: 0 ( sin cos )s xry x e A x B x= + , s = 0 vì i iα β+ = không là nghiệm của PTðT. 142 0 0 ( sin cos )xry x e A x B x= + .Thay vào phương trình ñã cho, ñồng nhất hai vế, ta ñược: 1, 3A B= − = . Nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu: ( )20 1 2cos sin 3cos sinxtq ry y y e C x C x x x= + = + + − Câu 2. 1a/ ( ) 2 2 2 1/ 2lim lim 1 1 2 / n n nn n n u n v en→∞ →∞ + = = < + 1 n n u v ∞ ⇒∑ hội tụ theo Côsi. 2/ ðặt 2 0X x= ≥ . Xét chuỗi 1 0 ( 1) 4 (3 1) n n n n X n − ∞ = − ∑ − . Bán kính hội tụ: 1R ρ = , với 1lim 4 n n n aρ →∞ = = 4R⇒ = . Xét tại 4X = . Có chuỗi số: 1 0 ( 1) 3 1 n n n − ∞ = − ∑ − , chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz. Kết luận: Miền hội tụ của chuỗi ñã cho: 2 4 2 2x x≤ ⇔ − ≤ ≤ . Câu 3. 1/ Hàm xác ñịnh với mọi 1x > . ( ) ( ) 5 3 4 2 ' 2 22 2 2 2 2 3 2 (2 3 2) . 2 1 1 2 1 1 x x x x x xy x x x x − + − + = = − + − + Xét 4 2 ' 3 2( ) 2 3 2 ( ) 8 6 (8 6) 0, 1g x x x g x x x x x x= − + ⇒ = − = − > ∀ > Hàm ( )g x ñồng biến, 1x∀ > . Suy ra ( ) (1) 1g x g> = ' 0y g⇒ = > . Vậy hàm ñã cho ñồng biến với 1x∀ > Tiệm cận ñứng không có, vì xét 1x > . 2 2 1 1lim lim 22 1x x y x x a x x→+∞ →+∞ − = = = − , ( ) ( )6 4 32 22 24 4 21lim lim lim 022 1 2 1x x x x x x xx x xb y ax x x→+∞ →+∞ →+∞    − − − −   = − = − = =    − −     , nhân liên hiệp của tử. Có một tiệm cận xiên: 2 xy = . 2/ ( ) 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 ' ' '' 2 2 2 2 32 2 2 2 1 3 3 2 3 2 ; ; 1 1 1 x y xy y x y y x xy x x y x x y y z z z x y x y x y − − − − − − + + + = = = − − − − − − . ( ) ( )''0,0 0 0 ; 0,0 1xxdz dx dy z⇒ = + = . Câu 4. 1/ ðổi biến: cos / 3 / 2 sin 0 4cos x r y r r ϕ pi ϕ pi ϕ ϕ = ≤ ≤  ⇒  = ≤ ≤  . Khi ñó 4cos/ 2 / 3 0 I d rdr ϕpi pi ϕ= =∫ ∫ 2 3 3 − pi . 2/ ðiều kiện: ' ' ' ' 2 2 2 22 2y x y x ax y bx yP Q x y x y     − + = ⇔ =    + +    ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 x y axy bx by xy x y axy bx by xy x y x y − + − − + − ⇔ = ⇔ − + − = − + − + + 1 , 1 2 a b⇒ = = . Tích phân không phụ thuộc ñường ñi. Tuy nhiên không thể tính theo cung AO và OB, vì ( , )P x y và ( , )Q x y không xác ñịnh tại gốc toạ ñộ. C AC CB I = = +∫ ∫ ∫ , với 2 ,1 2 C        . 2 / 2 0 2 2 0 1 1 / 2 2 / 2 2 41 2 1 y xI dy dx y x + − = + =∫ ∫ + + pi Chú ý: Có thể tính tích phân bằng cách viết phương trình tham số của cung C, sử dụng toạ ñộ cực mở rộng. 143 ðổi biển 2 2 cos 1 , 2 1 1 sin 2 / 2 x r t x y r y r t  = + = ⇒ =  =  Phương trình tham số của C: 1 2 cos , 0, / 22 sin 2 x t t t y t =  = = =  pi / 2 0 1 2 2 2 cos sin ( sin ) cos sin cos 2 2 2 2 I t t t dt t t tdt pi     = − − + +   ∫         / 2 2 2 0 2 2 2 sin cos 2 2 4 I t t dt pi   pi = + = ∫     Câu 5a. 1/ ðiểm dừng: 2 2 ' 2 ' 2 ( 2 2 1) 0 (1 2 2 ) 0 y x x y x y z e x x xy z e x y − −  = − + + − =  = − + + = , có 2 ñiểm dừng 1( 1/ 2,0)P − ðạo hàm riêng cấp hai: 2 '' 2 3 22 (1 6 2 2 4 4 )y xxxz e x y x x x y−= − − − − + + ; 2 2 '' 2 ''2 ( 2 2 1); (3 2 2 )y x y xxy xyyz e x x xy z e x y− −= + + − = − + + Xét tại ñiểm dừng. 2 1/ 2 '' 1/ 4 '' 1/ 4 '' 1/ 4 1 1 1 1 8 0( 1/ 2,0) : ( ) 6 , ( ) 2 , ( ) 2 0xx xy yy AC B eP A z P e B z P e C z P e A − − − − ∆ = − = > − = = − = = − = = − ⇒  < . Hàm có cực ñại tại 1P 2/. 22