Đề cương ôn thi cao học môn giải tích

1 ĐỀ CƢƠNG ÔN THI CAO HỌC Môn: GIẢI TÍCH Chuyên ngành: KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phần A: PHÉP TÍNH VI PHÂN TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ I. Chuỗi số, chuỗi hàm 1.1. Định nghĩa và các tính chất của dãy số hội tụ Định nghĩa 1: Giả sử ( ) n n x là một dãy số. Ta lập một dãy mới kí hiệu là ( ) n n S được xác định bởi: 1 1 s x 1 1 2 s x x …………… 1 1 2 ............. n s x x x Khi đó dãy số ( ) n n S được gọi là chuỗi số. Kí hiệu: 1 n i i x hay 1 2 ...... n x x x + Ta gọi: n s là tổng riêng thứ n của chuỗi n x là số hạng tổng quát (thứ n) của chuỗi + Chuỗi số 1 n i i x được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng ( ) n n s hội tụ Lúc đó đặt lim n n s s và s là tổng của chuỗi: 1 n n s x Tính chất: 1. Nếu chỗi 1 n n x hội tụ thì lim 0 n n x 2 2. Điều kiện cần và đủ để chuỗi 1 n n x hội tụ là 0 0; n sao cho 0 1 ; m > n > n m i i n x (Tiêu chuẩn Cauchy) 3. Cho chuỗi hàm: 1 1 ; n n n n x y hội tụ và R . Khi đó: 1 ( ) n n n x y ; 1 1 n n n n x y hội tụ và 1 ( ) n n n x y 1 1 n n n n x y 1 1 ( ) n n n n x x 4. Cho chuỗi số 1 i i x . Ta viết 0 01 1 1 n i i i i i i n x x x khi đó chuỗi 1 i i x hội tụ 0 1 i i n x hội tụ. 5. Giả sử 1 n n x là chuỗi hội tụ và ( ) k k n là một dãy tăng thực sự các số nguyên. Khi đó chuỗi 1 k k y hội tụ và 1 1 k n k n y x trong đó: 11 1 ...... n y x x 1 22 1 ...... n n y x x 1 1 ...... k kk n n y x x 1.2. Dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dƣơng, chuỗi đan dấu Định nghĩa 1: Chuỗi 1 n n x (1) với *0, n x n được gọi là chuỗi dương (hay chuỗi không âm) 1. Chuỗi dương 1 n n x hội tụ ( ) n n S bị chặn trên 3 2. Cho hai chuỗi dương 1 1 ; n n n n x y Giả sử 0c sao cho: *. n n n x c y Khi đó: 1 n n x phân kỳ 1 n n y phân kỳ 1 n n y hội tụ 1 n n x hội tụ 3. Cho hai chuỗi dương 1 1 ; n n n n x y . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn: lim n n n y K x thì hai chuỗi đó đồng thời hữu hạn hoặc phân kỳ. 4. Chuỗi dương 1 n n x (1). Giả sử lim n n n x l . Khi đó: 1 (1)l hội tụ 1 (1)l phân kỳ 1l Chưa kết luận được gì 5. Chuỗi dương 1 n n x (1). Giả sử 1lim n n n x l x . Khi đó: 1 (1)l hội tụ 1 (1)l phân kỳ 1l Chưa kết luận được gì 6. Cho : ªn tôc, ®¬n ®iÖu gi¶m n ( ) n f f n x [1;+ ) (0;+ ) li Giả sử: lim ( ) x F x 1 lim ( ) x x f t dt l . 4 Khi đó: l hữu hạn 1 n n x hội tụ 1 n n l x phân kỳ Nói cách khác 1 ( )f t dt và 1 n n x cùng tính hội tụ. Định nghĩa 2: Ta gọi chuỗi 1 1 1 ( 1) ; ( 1)n n n n n n a a *( 0, ) n a n là chuỗi đan dấu. + Cho chuỗi 1 1 ( 1)n n n a (1); * 0, n a n . Nếu *( )n n Na giảm dàn tới 0: * 1 n lim 0 n n n n a a a thì (1) hội tụ 1.3. Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ Định nghĩa 1: Cho 1 n n a (1). Chuỗi (1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi dương 1 n n a hội tụ. Kí hiệu: 0 n X f f + Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ. Định nghĩa 2: Một chuỗi họi tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối gọi là chuỗi bán hội tụ. + Xét chuỗi 1 .n n n a b Giả sử 1 cã d·y tæng riªng bÞ chÆn 0 n n n a b (1) hội tụ. + Xét chuỗi 1 ( )n n n a b Giả sử * 1 héi tô ( ) ®¬n ®iÖu vµ bÞ chÆn n n n n N a b (1) hội tụ. 5 1.4. Chuỗi hàm 1 ( ) n n u t Định nghĩa 1: Điểm t0 được gọi là hội tụ của chuỗi hàm nếu 1 ( ) n n u t hội tụ. + Tập hợp tất cả các điểm hội tụ của chuỗi hàm được gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm. + Cho dãy hàm ( ( )) n n f x xác định trên X . Dãy hàm n f được gọi là hội tụ đều về hàm f trên 0 X X nếu: * 0 0; n sao cho: 0 0 ; n n x X thì ( ) ( ) n f x f x + Nếu n f hội tụ đều về f trên X0 thì n f hội tụ về 0 , xf X + Cho ( ( )) n f x là một dãy hàm xác định trên X. Điều kiện cần và đủ để ( ) ( ) n f x f x là: 0 0 ; :n 0 , ;m n n 0 x X : ( ) ( ) m n f x f x (Tiêu chuẩn Cauchy) + Cho chuỗi hàm 1 ( ) n n u t xác định trên X . Gỉa sử tồn tại dãy số dương ( ) n n a sao cho: 1 : ( ) héi tô n n n n x X u t a a . Khi đó, chuỗi hàm 1 ( ) n n u t hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên 0 X X (Tiêu chuẩn Weiers trass) 1.6. Chuỗi luỹ thừa Định nghĩa 1: Chuỗi luỹ thừa là chỗi hàm có dạng 1 0 1 (1) ( ) n n n n n n a x a x x Miền hội tụ: 6 1. Giả sử chuỗi (1) hội tụ tại 0 0x . Khi đó: (1) hội tụ tuyệt đối tại mọi x thoả mãn 0 x x 2. Đặt 1 sup héi tôn n n R x a x R: là bán kính hội tụ (-R,R): là khoảng hội tụ 3. Giả sử lim n n n x l Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi được xác định: 1 nÕu 0 0 nÕu nÕu 0 l l R l l 5. Giả sử 1lim n n n x l x 1 nÕu 0 0 nÕu nÕu 0 l l R l l Tính chất 1. Giả sử 0R là bán kính hội tụ của (1). Khi đó, 0 r R , chuỗi hàm (1) hội tụ đều [ , ]r r 2. Giả sử 0R là bán kính hội tụ của (1). Khi đó 1 ( ) n n n n u x a x là hàm liên tục trên [-R,R]. 7 3. Tổng ( )u x của chuỗi hàm (1) là một hàm khả vi vô hạn trên [-R,R] và với 1,2,......k ta có: ( ) ( 1)......( 1)k n k n n k u x n n n k a x (2) Hơn nữa, bán kính hội tụ của (2) cũng bằng R. Bài tập về chuỗi. Bài 1: Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm: 0 2 ( 2) n n n x (1) Giải + Đặt 1 2 X x (1) trở thành: 0 2 .n n n X (2) (2) là chuỗi luỹ thừa + Tìm miền hội tụ: Ta có 1 1 2 1lim lim 2 2 2 n n nn n n a R a Tại 1 2 X 0 0 0 1 2 2 1 2 n n n n n n n n X Phân kì Tại 1 2 X 0 0 0 1 2 2 ( 1) 2 n n n n n n n n X Phân kì Do vậy miền hội tụ của chuỗi (2) là 1 1 ( ; ) 2 2 Ta có 01 1 1 2 2 2 4 x x x Vậy miền hội tụ của (1) ( ; 4) (0; ) + Tính tổng: 8 Xét (2): 0 0 ( ) 2 (2 )n n n n n s x X X 1 1 1 (2 )( ) 1 (2 ) ... (2 ) = 1 2 n n n X s x X X X 11 (2 ) 1 ( ) lim ( ) lim 1 2 1 2 n n n n X s x s x X X (Vì 1 1 ( ; ) 2 2 X ) 2 21( ) 1 2 s x a b X (*) Xét (1): Thay 1 2 X x vào (*) 1 1 2 ( ) 11 2 1 2 2 x s x X x x Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm : 2 1 n n n n x n d (1) Giải Xét n n a n d Ta có: 1 1lim lim lim n n n n dn n n n a n d en d n d R e Tại: d x e 2 2 2 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) n n n n d n n d n n n n n n n x e e n d n d n d lim 1 0n n n a Vậy miền hội tụ của chuỗi: ( ; )d de e 9 Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm luỹ thừa : ( 1) 1 2 1 n n n n n x n (1) Giải Xét 11 1 1 n n n a n Ta có 11 lim lim 1 1 n n n n n a e n 1 R e Tại 1 x e ( 1) 1 2 1 1 nn n n n n e 1 1 1 1 1 ( 1) 1 n n n n n n e 11 1 1 lim lim 1 . . 1 0 1 n n n n n a e n e e Vậy miền hội tụ của chuỗi(1): 1 1 , e e Bài 4: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỷ thừa: 1 1 ( 2) 2 n n n n x n (1) Giải Đặt 2X x Ta được chuổi 1 1 3 2 n n n n X n (2) với 1 3 2 n n n a n Xét 1 1 lim lim 3 2 3 n n n n n a n 3R Tại 3X ta được 1 1 ( 3) 3 2 n n n n n 1 3 3 ( 1) 3 2 n n n n n 3 3 lim lim 1 0 3 2 n n n n n u n Nên tại 3X chuỗi không hội tụ Vậy miền hội tụ của chuỗi (2) là ( 3,3) Do đó miền hội tụ của chuỗi (1) là ( 1,5) 10 Bài 5: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 2 2 1 ( 1) (ln ) n n x n n (1) Giải Đặt 1X x ta được 2 2 1 (ln ) n n X n n (2) Xét 2 1 (ln ) n a n n 1 2 1 ( 1)(ln( 1)) n a n n Ta có: 2 1 2 (ln ) lim lim ( 1)[ ln( 1)] n n n n a n n a n n Tính 2 Lopi tan 2 1 2ln . (ln ) lim lim 1( 1)[ ln( 1)] 2ln( 1). 1 n n n n n n n n n n 1 ln lim ln( 1)n n n n n Tính Lopi tan 1 ln lim lim 1 1ln( 1) 1 n n n n n n Nên 1R Tại 1X ta được chuỗi 2 2 1 ( 1) (ln ) n n n n (*) Từ đó ta có 2 1 2 (ln ) lim lim 1 ( 1)[ ln( 1)] n n n n a n n a n n Chuỗi (*) phân kỳ Vậy miền hội tụ của (2) là (-1,1) Miền hội cụ của (1) là (-2,0). Bài 6: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa 2 0 1 ( 2) 2 3 n n n n x n (1) Giải Đặt 2( 2)X x Điều kiện 0X Ta tìm miền hội tụ của chuỗi: 0 1 2 3 n n n n X n Xét 1 2 3 n n a n 11 Ta có 1 1 lim lim 2 3 2 n n n n n a n 2R Xét tại: 2X Chuỗi trở thành 0 1 ( 1) 2 2 3 n n n n n n 0 2 2 ( 1) 2 3 n n n n n 2 2 lim lim 1 0 2 3 n n n n n a n Nên chuỗi phân kỳ Vậy miền hội tụ theo X là (-2,2) Miền hội tụ 2 2x 2 2 2x Bài 7: Cho chuỗi luỹ thừa 1 1 ( 1) ( 2) .2 n n n n x n (1) a. Tìm miền hội tụ của chuỗi (1) b. Tính tổng của chuỗi 1 n n nx trong MHT của nó. Giải a) Ta có 1( 1) ( 2) ( ) .2 n n n n x u x n Tính lim ( )n n n u x 1 2 lim 2nn x n 2 2 x C Theo tiêu chuẩn Cauchy nếu chuỗi hội tụ khi 0C tức là 2 1 4 0 2 x x Tại 2 2x ta có chuỗi 1 1 1 1 ( 1) .2 ( 1) .2 n n n n n nn n hội tụ Tại 2 2x ta có chuỗi 1 1 2 1 1 1 ( 1) .( 2) ( 1) ( 1) ( 1) .2 n n n n n n n n nn n n hội tụ Vậy Miền hội tụ là [-4;0] b) Tính tổng của chuỗi hàm 1 n n nx trong MHT của nó Ta tìm được khoảng hội tụ là (-1,1) 12 Ta có 1 1 1 1 ( ) n n n n S x nx nx x Đặt: 1 1 1 ( ) n n S x nx (1) Lấy tích phân 2 vế của (1) trên đoạn [0,x] ta được 1 1 10 0 ( ) x x n n S t dt nt dt 1 1 0 x n n nt dt 1 1 1 n n t t (2) là CSN Đạo hàm 2 vế của (2) ta được 1 2 1 ( ) (1 ) S x x Vậy 2 1 nÕu 1 ( ) (1 ) 1 nÕu 1 x S x x x x II. Hàm nhiều biến số. 2.1. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1: Cho : ; nf A A Ta nói hàm số f có giới hạn là l khi x dần tới a (Kí hiệu: lim ( ) x a f x l ). Nếu: lim ( ) x a f x l sao cho x A mà ( , )d x a thì ( )f x l Định nghĩa 2: : ; nf A A Hàm số f được gọi là liên tục tại a A nếu: lim ( ) x a f x ( )f a Hàm số f được gọi là liên tục trên A tại nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc A Định nghĩa 3: : ; nf A A Hàm số f được gọi là liên tục đều trên a nếu: 0 ; 0 sao cho ,x y A mà ( , )d x y thì ( ) ( )f x f y 13 Định nghĩa 4: ë 2: ; mf A A ( , ) :x y A ( , ) ( , ) ( , )f f x y f x x y y f x y Hàm số f được gọi là khả vi tại (x,y) nếu tồn tại A,B sao cho: 2 20 0 ( , ) . . lim 0 x y f x y A x B y x y Tính chất 1. Với dãy k x A mà lim k k x a thì lim ( ) ( )k k f x f a 2. Giả sử ,f g liên tục tại a A : thì f g ; .f g ; ( ( ) 0) f g a g liên tục tại a. 3. f liên tục tại a thì f liên tục theo từng biến tại a. 2.2. Mối liên hệ giữa tính liên tục, khả vi, đạo hàm của hàm nhiều biến 1. Nếu f khả vi tại ( , )x y A thì: f liên tục tại (x,y) f có đạo hàm riêng tại (x,y) và ' ( , ) x f x y A , '( , ) y f x y B 2. Nếu f có đạo hàm riêng trong lân cận của 0 0 ( , )x y A và đạo hàm riêng liên tục tại (x0,y0) thì f khả vi tại (x0,y0). 2.3. Đạo hàm, vi phân của hàm hợp Định nghĩa 1: Cho hàm số :f G ; ( ) ; y=y(t)x x t xác định trên D sao cho: ( ( ), ( )) ; t Dx t y t G khi đó hàm hợp ( ( ), ( ))f x t y t xác định trên D. Nếu f khả vi trên G; x(t), y(t) khả vi trên D thì ( ( ), ( ))f x t y t có đạo hàm tại t D và: ' f ( ( ),x t ( ))y t ' '.( ( ) ) x f x t ' '( ( ) ) y f y t 2.4. Hàm bậc cao Bài tập về hàm nhiều biến 14 Bài 1 : Cho hàm số 2 2 2 2 ( ) nÕu (x,y) (0,0) ( , ) 0 nÕu (x,y) (0,0) xy x y f x y x y Xét tính liên tục của f(x,y) và các đạo hàm riêng ' ', x y f f trên tập xác định Giải + Xét tính liên tục: Tại mọi (x,y) (0,0) , f(x,y) liên tục vì là hàm sơ cấp Xét sự liên tục của f tại (x,y)= (0,0) Nếu , lim ( , ) (0,0) 0 x y f x y f thì hàm số liên tục Ta có : 2 2 3 3 3 3 ( , ) (0,0) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 0 x yxy x y x y xy x y xy x y x y x y x y Do đó 2 2 2 2, (0,0) ( ) lim 0 x y xy x y x y , (0,0) lim ( , ) 0 (0,0) x y f x y f Vậy f liên tục tại (x,y)= (0,0) + Tính đạo hàm riêng: Tại ( , ) (0,0)x y hàm khả vi nên có đạo hàm theo từng biến và: ' 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 ( ) ( ) x x xy x y y x y f x y x y ' 2 2 5 3 2 4 ' 2 2 2 2 2 ( ) 4 2 ( ) y y xy x y x x y xy f x y x y Tại (x,y)=(0,0) Xét: 0 ( ,0) (0,0) lim 0 x f x f x ' x f và ' (0,0) 0 x f 0 (0, ) (0,0) lim 0 y f y f y ' y f và '(0,0) 0 y f Bài 2 : Cho hàm số 2:f xác định bởi 2 2 2 khi (x,y) (0,0) ( , ) 0 khi (x,y) = (0,0) xy x yf x y 15 a. Xét sự liên tục của f trên 2 b. Tính các đạo hàm riêng của f trên 2 Giải + Xét tính liên tục: Tại mọi ( , ) (0,0)x y thì hàm số liên tục vì là hàm sơ cấp Tại ( , ) (0,0)x y Chon dãy 1 1 , , (0,0) n n n x y n n Ta có 2 2 1 1 2. lim ( , ) lim 1 1 1 n n n n n nf x y n n (0,0)f Vậy hàm số không liên tục tại (0,0) + Tính đạo hàm riêng: Tại ( , ) (0,0)x y hàm khả vi nên có đạo hàm theo từng biến và: ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 (2 ) x x xy y x y x xy f x y x y ' 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 (2 ) ( ) y y xy x x y y xy f x y x y Tại (x,y)=(0,0) Xét: 0 ( ,0) (0,0) lim 0 x f x f x ' x f và ' (0,0) 0 x f 0 (0, ) (0,0) lim 0 y f y f y ' y f và '(0,0) 0 y f Bài 3: Cho hàm số 2 2 2 2 1 ( )sin khi (x,y) (0,0) ( , ) 0 khi (x,y) = (0,0) x y x yf x y CMR hàm số f(x,y ) có các đạo hàm riêng ' ', x y f f không liên tục tại (0,0) nhưng f(x,y) khả vi tại (0,0) Giải + Tính đạo hàm riêng: Tại ( , ) (0,0)x y hàm khả vi nên có đạo hàm theo từng biến và: 16 ' 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin cos x x f x x y x y x y ' 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 sin cos y y f y x y x y x y Tại (x,y)=(0,0) Xét: 2 2 0 0 1 sin ( ,0) (0,0) lim lim 0 x x x f x f x x x ' x f và ' (0,0) 0 x f 2 2 0 0 1 sin (0, ) (0,0) lim lim 0 y y y f y f y y y ' y f và '(0,0) 0 y f (do 2 1 sin 1 y ) + Xét sự liên tục của các đạo hàm riêng Nếu ' ' , (0,0) lim ( , ) (0,0) x y f x y f thì các đạo hàm riêng liên tục Ta có ' 2 2 2 2 2 2, (0,0) , (0,0) 1 2 1 lim ( , ) lim (2 sin cos ) x y x y x f x y x x y x y x y Do 2 2 2 2, (0,0) 1 1 sin 1 lim 2 sin 0 x y x x y x y Do 2 2 2 2 2 2 2 2, (0,0) , (0,0) 1 2 1 2 cos 1 lim cos lim x y x y x x x y x y x y x y Vậy ' ' 2 2 2 2 2 2, (0,0) , (0,0) 1 2 1 lim ( , ) lim (2 sin cos ) (0,0) x x x y x y x f x y x f x y x y x y Tương tự ta có ' ' 2 2 2 2 2 2, (0,0) , (0,0) 1 2 1 lim ( , ) lim (2 sin cos ) (0,0) y y x y x y y f x y y f x y x y x y Vậy các đạo hàm riêng không liên tục tại (0,0) + Xét sự khả vi tại (0,0) Để chứng minh f(x,y) khả vi tại (0,0) cần chứng minh , 0 lim ( , ) 0 s t s t với 2 2 1 ( , )s t s t ' '[ ( , ) (0,0) . (0,0) . (0,0)] x y f s t f s f t f Ta có 2 2 2 2, (0,0) , (0,0) 1 lim ( , ) lim sin 0 s t s t s t s t s t do 2 2 1 sin 1 s t Vậy f khả vi tại (0,0) 17 Bài 1: Cho 2 2 2 1 sin nÕu (x, ) (0,0) ( , ) 0 nÕu (x, ) (0,0) x y y x yf x y y a. Xét sự khả vi của f tại (x,y) 2 đặc biệt tại (0,0) b. Xét sự liên tục của các ĐHR ' ', x y f f tại (0,0) Giải a) Xét sự khả vi Tại ( , ) (0,0)x y Ta có: 2 ' 2 2 2 2 2 2 1 1 .cos ( ) x xy f x y x y 3 ' 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 .sin .cos ( ) y y f y x y x y x y Do ' ', x y f f liên tục tại mọi ( , ) (0,0)x y nên f khả vi tại mọi ( , ) (0.0)x y Tại ( , ) (0,0)x y Xét: 0 ( ,0) (0,0) lim 1 x f x f x ' x f và ' (0,0) 1 x f 2 2 0 0 1 sin (0, ) (0,0) lim lim 0 y y f y f y y y y ' y f và '(0,0) 0 y f (do 2 1 sin 1 y ) Tính: , 0 lim ( , ) s t s t Ta có: 2 2 1 ( , )s t s t ' '[ ( , ) (0,0) . (0,0) . (0,0)] x y f s t f s f t f 2 2 22 2 1 1 sint t ss t Nên 2 2 22 2, (0,0) , (0,0) 1 1 lim ( , ) lim sin 0 s t s t s t t s ts t (do 2 2 1 sin 1 s t ) Do , 0 lim ( , ) 0 s t s t nên f khả vi tại (0,0) b.Xét sự liên tục của các đạo hàm riêng ' ', x y f f tại (0,0) Để xét sự liên tục của các đạo hàm riêng ' ', x y f f tại (0,0) Ta tính ' ' ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim vµ lim x y x y x y f f 18 Chọn dãy 1 ( , ) ,0 (0,0) n n n x y n Ta có ' ( , ) (0,0) ' ( , ) (0,0) 1 lim ( ,0) 1 1 lim ( ,0) 0 x x y y x y f n f n Chọn dãy ' ' 1 1( , ) , (0,0) 2 2 n n y x y n n Ta có ' ( , ) (0,0) ' ( , ) (0,0) 1 1 lim ( , ) 2 2 1 1 lim ( , ) 2 2 x x y y x y f n n f n n Do vậy ' ' ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) lim vµ lim x y x y x y f f Vậy ' ', x y f f không liên tục tại (0,0) Bài 4: Cho 0a và 2 2 2 1 sin nÕu (x,y) (0,0) ( )( , ) 0 nÕu (x,y) = (0,0) a x x yf x y Tuỳ theo giá trị của 0a xét sự khả vi của f , sự liên tục của f’x,f’y tại (0,0) Giải + Tính các đạo hàm riêng Tại ( , ) (0,0)x y hàm khả vi và có đạo hàm theo từng biến: 3 ' 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sin cos ( ) ( ) x a a x f x x y x y x y 2 ' 2 2 2 2 2 1 cos ( ) y a x y f x y x y Tại ( , ) (0,0)x y Xét: 0 ( ,0) (0,0) lim 0 x f x f x ' x f và ' (0,0) 0 x f 2 0 0 1 sin (0, ) (0,0) lim lim 0 y y f y f y y y ' y f và '(0,0) 0 y f + Xét sự khả vi của f tại (0,0) 19 Tính: , 0 lim ( , ) s t s t Trong đó: 2 2 1 ( , )s t s t ' '[ ( , ) (0,0) . (0,0) . (0,0)] x y f s t f s f t f Nếu , 0 lim ( , ) 0 s t s t thì f khả vi tại (0,0). Ngược lại thì không khả vi. + Xét sự liên tục của các đạo hàm riêng Nếu ' ' , (0,0) lim ( , ) (0,0) x y f x y f thì các đạo hàm riêng liên tục.Ngược lại, các đạo hàm riêng không liên tục tại (0,0) III. Tích phân + Xét tính khả tích Riman (R) khả tích Lơbe (L) 1. Khả tích Riman i) Chứng minh f bị chặn trên [a,b] ( const)f M ii) Đặt { [ , ] ( ) gi¸n ®o¹n t¹i x}G x a b f x iii) Tính ( )G - Nếu ( ) 0G f khả tích Riman - Nếu ( ) 0G f không khả tích Riman 2. Khả tích Lơbe i) Chọn hàm g(x) thoả mãn: - g(x) liên tục trên [a,b] (g là hàm đã biết) - h.k.ng f trên [a,b] ii) Xét [ , ] ( ) ( )E x a b f x g x iii) Tính ( )E . Nếu ( ) 0 h.k.nE f g trên [a,b] iv) g liên tục trên [a,b] g khả tích (R) trên [a,b] g khả tích (L) trên [a,b] v) h.k.ng f trên [a,b] Do đó f khả tích (L) trên [a,b] 20 vi) Khi đó: ( ) ( ) b a L f x dx ( ) ( ) b a L g x dx ( ) ( ) b a R g x dx (Tích phân (R) là tích phân thông thường) Bài tập Bài 1: Cho hàm số 2 1 .sin nÕu x ( , ) nÕu x \x x x f x y e Xét tính khả tích (R) và khả tích (L) và tính tích phân (L) nếu có trên [a,b] Giải + Xét tính khả tích (L) - Chọn 2 1( ) xg x e : g liên tục trên [a,b] - Đặt {x [ , ] f(x) g(x)}E a b E đếm được nên ( ) 0 ( ) 0E h.k.ng f trên [a,b] - g liên tục trên [a,b] g khả tích (R) trên [a,b] g khả tích (L) trên [a,b] - h.k.ng f trên [a,b] f khả tích (L) trên [a,b] Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a L f x dx L g x dx 2 1 ( ) ( ) b b x a a R e dx 2 1 2 2( ) 2 2 b x b a a e e e e + Xét tính khả tích (R). - f bị chặn trên [a,b] (vì ( ) .sinf x x x x b ) - Đặt {x [ , ] f(x) gi¸n ®o¹n t¹i x}E a b {x [ , ] f(x) liªn tôc t¹i x}F a b 21 - f liên tục tại x {x } {y } \ n n sao cho lim ( ) ( )x lim ( ) ( )y n n n n n nn n f x f xx f y f yy lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) n n n n f x f x f y f y 2 1 .sin x x x e (*) Phương trình (*) có không qua đếm được nghiệm ( ) 0F ( ) ([ , ]) ( )E a b F 0b a f không khả tích (R) trên [a,b] Bài 1: Cho hàm số 1 sin nÕu x = ( , ) 1 cos nÕu x x n f x y x n Xét tính khả tích (R) và khả tích (L) và tính tích phân của f(x,y) trên