Đề tài Biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng

1 Chương 1 : MỞ ĐẦU 1. Lời giới thiệu Nhiệm vụ của người GV là mở rộng trí tuệ của HS chứ không phải làm đầy trí tuệ của các em bằng cách truyền thụ các tri thức đã có. Khi GV dạy một kiến thức mới muốn HS khắc sâu kiến thức vừa học đòi hỏi GV phải có nhiều cách khác nhau thể hiện kiến thức đó một cách khách quan và dễ hiểu nhất. Bởi vì, các tri thức được mô tả bằng mô hình, sơ đồ, hình ảnh trực quan…gắn liền với thực tế, thao tác được thì các kết quả thường dễ được chấp nhận hơn so với các kiến thức đòi hỏi tư duy trừu tượng. Chính vì vậy, GV có thể nghĩ đến việc tiếp cận một khái niệm, một tính chất, một kết quả toán học bằng cách sử dụng CNTT mà cụ thể là biểu diễn trực quan động có nghĩa là một hình vẽ trên màn hình có thể được thay đổi bằng cách kích chuột và kéo rê các đối tượng hình học trong khi các tính chất hình học đó của hình vẽ và mối quan hệ giữa các đối tượng được bảo toàn. Khi đó, những biểu diễn trực quan động không những là phương tiện để minh họa cho quá trình dạy của GV mà còn là công cụ hỗ trợ đắc lực cho quá trình tư duy của HS. GV đang tìm kiếm những biểu diễn toán trực quan, đặc biệt là biểu diễn trực quan động làm cầu nối cho các biểu diễn toán thực tế mà HS quen thuộc với các biểu diễn ký hiệu trừu tượng giúp HS tự kiến tạo tri thức toán cho mình một cách tích cực. CNTT trong dạy và học toán có thể được xem như là một công cụ hỗ trợ cho sự tương tác của HS và GV bởi các đồ dùng dạy học thích hợp. Những phương tiện dạy học thông tin nhằm kích thích và tạo thích thú lôi cuốn HS vào việc học toán và hiểu toán. 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Trong thực tế giảng dạy, khi đi đến các nội dung hình học, để chỉ cho HS thấy mối quan hệ của các đối tượng hình học là khó. Trong bài toán quỹ tích, các yếu tố biến thiên và bất biến được trình bày bằng phương pháp truyền thống 2 sẽ khá vất vả và khó hiểu. Do đó hiệu quả giáo dục chưa cao. Việc ứng dụng CNTT vào giảng dạy sẽ giúp cho GV thiết kế bài giảng có hiệu quả cao hơn, HS tiếp thu kiến thức trực quan sinh động, từ đó các em tự giác tích cực trong học tập, ngoài ra các vấn đề như quỹ tích, bài toán thực tế, phép biến hình…nếu được minh họa sinh động của mô hình hoặc hình vẽ thì HS có thể hiểu nhanh hơn, nhớ lâu kết hợp lập luận suy diễn và minh họa, kiểm nghiệm bằng máy giúp hình thành kiến thức rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy của HS. Sử dụng các minh họa thao tác được có thể sẽ giúp HS hiểu về bản chất của một số kiến thức như quỹ tích, các tính chất trong vectơ…Đồng thời, còn giúp HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng, kiểm chứng các phỏng đoán và tính toán một số phép tính rườm rà... Chính vì vậy, việc nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng là đáng quan tâm. 1.2. Phát biểu vấn đề nghiên cứu Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng được các nhà giáo dục đặc biệt quan tâm. Trong môi trường máy tính với phần mềm toán học có nhiều tác nhân giúp kích thích HS hoạt động tìm tòi khám phá, HS hình thành kiến thức mới bằng chính hoạt động thực hành của mình, HS kiểm nghiệm với số lượng đủ lớn các trường hợp theo ý tưởng toán đã nêu ra, nhờ đó cảm nhận được sự thuyết phục của sự kiện biến đổi biểu thức, hợp lý của hình vẽ, tính đúng đắn của lời giải, định lý, tính chất đưa ra. Do vậy, chúng tôi chọn “biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng” làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận này. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu này gồm: (1) Nghiên cứu một số tính năng của phần mềm GSP để xây dựng một số biểu diễn trực quan động nhằm hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng. 3 (2) Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá một số kiến thức hình học phẳng. (3) Phát hiện con đường khám phá kiến thức hình học phẳng của HS khi có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động. 3. Câu hỏi nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu là đánh giá khả năng tư duy phê phán của HS khi sử dụng các biểu diễn động hỗ trợ việc khám phá một số kiến thức hình học phẳng và nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong hỗ trợ HS khám phá kiến thức hình học phẳng. Do đó việc nghiên cứu sẽ nhằm trả lời các câu hỏi sau: Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những biểu diễn trực quan động trong hình học phẳng như thế nào để GV và HS có thể sử dụng nhằm đạt được những hiệu quả trong giảng dạy và học tập? Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Các biểu diễn trực quan động có tác động tích cực trong việc hỗ trợ HS khám phá các kiến thức hình học phẳng ra sao? Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Con đường khám phá các kiến thức hình học phẳng của HS với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động diễn ra như thế nào? 4. Định nghĩa các thành phần Mục này sẽ dành cho việc định nghĩa các thành phần, thuật ngữ dùng trong khóa luận như: biểu diễn, biểu diễn bội, trực quan, biểu diễn trực quan, biểu diễn trực quan động, tương tác, vấn đề, suy luận, tư duy, tư duy logic, tư duy sáng tạo, tư duy phê phán…  Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. 4  Biểu diễn bội: Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau.  Trực quan: Là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi (2003).  Biểu diễn trực quan: Là biểu diễn dựa trên hình ảnh thực tế, sơ đồ…để có thể hình dung được các đối tượng trừu tượng.  Biểu diễn trực quan động: Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn (Minh Phúc, 2010).  Tương tác: những tác động hỗ trợ lẫn nhau giữa các đối tượng, giữa các chủ thể và khách thể. Tương tác trong giáo dục được hiểu là sự trao đổi thông tin, kiến thức, là sự giúp đỡ, hỗ trợ lẫn nhau giữa GV- HS, HS - HS.  Vấn đề: là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải. (Trần Vui, 2006).  Suy luận: chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác. (English, L.D, 2004).  Tư duy: Là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó mà con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.  Tư duy logic: Là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển. 5  Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.  Tư duy phê phán: Là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua việc HS có khả năng nhận ra giả thuyết và các yêu cầu của bài toán, tính đầy đủ của lời giải…Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào những yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin trong bài toán, nhớ và kết hợp với thông tin đã học. 5. Ý nghĩa của việc nghiên cứu  Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy những mô hình động phục vụ trong việc khám phá kiến thức hình học phẳng của HS.  Nghiên cứu này giúp HS khám phá các kiến thức hình học phẳng một cách hiệu quả hơn thông qua các biểu diễn trực quan động.  Đồng thời, kết quả nghiên cứu sẽ giúp GV thấy được con đường khám phá, phát hiện các kiến thức hình học phẳng của HS. Từ đó, GV có những phương pháp giúp HS thấy được con đường để đi đến giải quyết các đề toán học. Bên cạnh đó, GV cũng có thể đưa ra các tác động trong quá trình đi tìm lời giải cho các vấn đề toán học của HS. Nếu các em đi chệch hướng, thì các tác động trên có vai trò dẫn dắt. Nếu các em đi đúng con đường nhưng gặp khó khăn thì các tác động của GV đóng vai trò hỗ trợ. 6. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mục lục, danh mục các chữ viết tắt, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận được trình bày trong năm chương.  Chương 1: Mở đầu Chương này, đưa ra nhu cầu nghiên cứu, vấn đề nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, đưa ra các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên cứu này. 6  Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan Chương trình bày nền tảng lịch sử, nền tảng lý thuyết, gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động. Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA). Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan.  Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu Chương này, đưa ra phương pháp nghiên cứu, thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế.  Chương 4: Kết quả nghiên cứu Chương này, nêu lên những kết quả nghiên cứu nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu đã nêu ra ở chương 1.  Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng Chương này, nêu lên kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu. Từ đó, lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu. 7. Tóm tắt Trong chương 1, tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài "Biểu diễn trực quan động hỗ trợ học sinh khám phá một số kiến thức hình học phẳng", đồng thời tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ cho khóa luận. Tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2. 7 Chương 2: NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Lịch sử vấn đề nghiên cứu 1.1. Khái niệm hình học động Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi. Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm như Sketchpad và Cabri. Các phần mềm này thực thi với công cụ cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử. Các bản vẽ trên Sketchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc. Sketchpad nhớ các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối tượng tự do. Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, nhớ đường tròn (C) có tâm O và đi qua điểm P… Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học. Có nhiều tranh luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của học sinh. Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận của các em. Việc phổ biến các phần mềm tới tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết kế sẵn trong dạy và học Toán. 1.2. Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán bằng phần mềm hình học động Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời gian dài. Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý tưởng toán học. Một số khác khẳng định những lợi ích quan trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực, 8 bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh. PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống thực. PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [27, tr. 11]). PISA cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực. 2. Nền tảng lý thuyết 2.1. Lý thuyết kiến tạo Lý thuyết kiến tạo về cơ bản là một lý thuyết dựa trên quan sát và nghiên cứu khoa học nhằm trả lời cho câu hỏi: CON NGƯỜI HỌC NHƯ THẾ NÀO? Lý thuyết này nói rằng con người kiến tạo những sự hiểu biết và tri thức về thế giới thông qua trải nghiệm và phản ánh. Khi chúng ta đối mặt với một điều gì mới mẻ, chúng ta phải điều ứng nó với những ý tưởng và kinh nghiệm có từ trước. Cũng có thể nó sẽ thay đổi điều mà ta đã tin tưởng hoặc loại bỏ chúng vì không thích đáng. Trong bất cứ trường hợp nào, chúng ta thật sự là những nhà kiến tạo cho tri thức cho chính bản thân. Để làm điều này, chúng ta phải đưa ra những nghi vấn, khám phá và đánh giá cái mà chúng ta biết. Trong lớp học, quan điểm kiến tạo của việc học có thể đi đến một số lượng những thực nghiệm dạy học khác nhau. Trong hầu hết các trường hợp, nó thường có nghĩa là khuyến khích người học sử dụng những kỹ năng hoạt động (thực nghiệm, giải quyết vấn đề thực tế) để tạo nhiều thông tin và rồi phản ánh, nói về những cái mà chúng đang làm và sự hiểu biết của chúng đang thay đổi như thế nào. 9 Trong quá trình dạy học người GV không những quan tâm đến phương pháp giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến HS học như thế nào. Bởi vì việc học của HS không chỉ đơn giản là phản chiếu lại những gì đã được dạy mà HS phải tích cực kiến tạo tri thức cho riêng mình. Về cơ bản lý thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác của hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng.  Đồng hóa: Nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;  Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có (cũ). Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó (kiến thức đã có không bao giờ bị xóa đi). Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau :  Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;  Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta. Bằng cách xây dựng trên những kiến thức đã được kiến tạo, HS có thể nắm tốt hơn các khái niệm và có thể đi từ nhận biết sự vật sang hiểu nó. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép HS tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Khi đó HS có thể trình bày khái niệm, kiểm chứng, bảo vệ và phê phán về khái niệm được xây dựng. GV đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ HS xây dựng kiến thức chính xác. Đôi khi HS kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể. Khi đó GV cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép HS thử nghiệm kiến thức của mình. Một HS nhận ra rằng tri thức được sáng tạo không đúng với tình huống các em có thể điều chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp. 10 HS tự kiến tạo tri thức mới cho riêng mình vì thế vai trò của người thầy không phải là đọc giảng mà tạo ra những tình huống cho HS. HS sẽ học toán tốt nhất khi các em được đặt trong môi trường xã hội tích cực mà ở đó các em có khả năng kiến tạo các hiểu biết toán học cho riêng mình. Theo quan điểm này có nhiều cách tiếp cận để cải thiện việc dạy học toán trong nhà trường như tìm nhiều cách khác nhau để thu hút từng HS tham gia, phát triển môi trường giàu thông tin để khảo sát toán học, chuẩn bị nhiều bài toán hoặc vấn đề liên quan để HS đối chứng thực nghiệm. Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực chủ động và sáng tạo của HS trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tích cực gắn liền với sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của HS. Niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở sự bền bỉ, kiên trì và sáng tạo trong việc giải quyết các vấn đề. Tính tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của HS. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú và bồi dưỡng động cơ học tập. 2.2. Biểu diễn bội 2.2.1 Vai trò của biểu diễn trong dạy học toán Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ. Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau. Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:  Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;  Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;  Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề; 11  Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn. Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. Chẳng hạn, chúng ta dùng đồ thị để đưa đến khái niệm tiếp tuyến của đường cong tại một điểm như là giới hạn của các cát tuyến đi qua điểm đó. Đồ thị sẽ giúp ta đưa đến biểu thức lấy giới hạn và từ đó đưa ra định nghĩa khái niệm tiếp tuyến. Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn: Giai đoạn phát triển Phân loại Mô tả Biểu diễn ký hiệu Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán. Biểu diễn ký hiệu Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng ngày như tiếng Việt, tiếng Anh. Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn minh họa/ trực quan Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính. Biểu diễn thực thao tác được Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác. Biểu diễn thực tế Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối tượng. 12 2.2.2. Những tiếp cận dạy học hình học phẳng theo biểu diễn bội Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng HS phải kiến tạo tri thức cho bản thân