Đề tài Điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai và đường cong bậc ba

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN VĂN THÀNH ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI VÀ ĐƯỜNG CONG BẬC BA KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BỘ MÔN: ĐẠI SỐ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN PGS. TS. NGUYỄN CHÁNH TÚ HUẾ, THÁNG 5-2011 LỜI CẢM ƠN Với tất cả lòng kính trọng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo, PGS.TS. Nguyễn Chánh Tú, người hướng dẫn tôi hoàn thành bài khóa luận này. Qua đây tôi cũng xin được gửi lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy cô khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Huế, những người đã dạy dỗ tôi trong suốt 4 năm học vừa qua. Cuối cùng, tôi gửi sự trân trọng và biết ơn đến tất cả người thân, bạn bè vì sự quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tác giả i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iii 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1 NHÓM VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Nhóm aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Giới thiệu về đường cong phẳng . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Định lý Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI 6 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Điểm hữu tỉ trên đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Điểm hữu tỉ trên đường conic . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG CONIC TỒN TẠI ĐIỂM HỮU TỈ . 9 2.2.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Định lý Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 BỘ BA PITAGO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.1 Định nghĩa bộ ba Pitago . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3.2 Điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . 10 2.3.3 Công thức biểu diễn bộ ba Pitago . . . . . . . . . . . . . 11 ii 3 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA 16 3.1 PHƯƠNGPHÁPCHUNGĐỂ TÌM ĐIỂMHỮUTỈ TRÊNĐƯỜNG CONG BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 CẤU TRÚC NHÓM CỦA CÁC ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA KHÔNG CÓ ĐIỂM KỲ DỊ . . . . . . . . . . . 18 3.2.1 Điểm kỳ dị trên trên đường cong . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.2 Cấu trúc nhóm trên đường bậc ba không có điểm kỳ dị . 18 3.3 ĐƯỜNG CONG BẬC BA CHO DƯỚI DẠNG CÔNG THỨC WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.2 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.4 PHÂN LOẠI ĐƯỜNG CONG BẬC BA . . . . . . . . . . . . . 22 3.4.1 Định nghĩa các loại đường cong bậc ba . . . . . . . . . . 22 3.4.2 Ý nghĩa hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC BA KỲ DỊ . . . 24 3.5.1 Phương pháp tìm điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị 24 3.5.2 Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba kỳ dị . . 25 3.6 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG ELLIPTIC . . . . . . . 29 3.6.1 Nhóm các điểm hữu tỉ trên đường cong elliptic . . . . . . 29 3.6.2 Công thức tính tọa độ của "tổng" hai điểm . . . . . . . . 30 3.6.3 Định lí Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.7 NHÓM CON XOẮN CỦA E(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.7.1 Bậc của điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.7.2 Nhóm con xoắn của E(Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7.3 Đường cong (E) có phương trình y2 = x3+ax và y2 = x3+a 37 3.8 ĐỊNH LÍ FERMAT TRONG TRƯỜNG HỢP N = 3, N = 4 . . 39 3.8.1 Định lý Fermat trong trường hợp n = 3 . . . . . . . . . . 39 3.8.2 Định lý Fermat trong trường hợp n = 4 . . . . . . . . . . 41 3.9 SỐ ĐỒNG DẠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iii MỞ ĐẦU Chúng ta đều biết phương trình a2+b2 = c2, phương trình này có xuất xứ từ hình học, ta biết rằng các cạnh của tam giác vuông là nghiệm của phương trình này. Vấn đề đặt ra là tìm tất cả những nghiệm nguyên của phương trình. Ta xét nghiệm không tầm thường của phương trình này, tức là nghiệm (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Khi đó phương trình được viết lại như sau a2 + b2 = c2 ⇔ (a c )2 + ( b c )2 = 1. Như vậy vấn đề đó tương đương với việc tìm tất cả các điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị. Một cách tổng quát hơn là việc tìm tất cả các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai. Chúng ta chắc đều đã từng nghe qua định lý Fermat, định lý phát biểu rằng phương trình Xn + Y n = Zn không có nghiệm nguyên X, Y, Z khác 0 tất cả với n > 2. Ta xét định lý Fermat trong trường hợp n = 3, tức là phương trình X3 + Y 3 = Z3 không có nghiệm nguyên X, Y, Z khác 0 tất cả. Với X, Y, Z khác 0 tất cả phương trình được viết lại như sau X3 + Y 3 = Z3 ⇔ (X Z )3 + ( Y Z )3 = 1. Việc chứng minh định lý Fermat trong trường hợp này tương đương với việc chỉ ra đường cong x3 + y3 = 1 chỉ có 2 điểm hữu tỉ là (1, 0), (0, 1). Từ đó đặt ra vấn đề là làm sao tìm ra được tất cả các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba này, và tổng quát hơn là cho một đường cong bậc ba bất kỳ. Vì vậy vấn đề tìm điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai và bậc ba có nhiều ứng dụng về mặt số học, thêm nữa việc nghiên cứu điểm hữu tỉ trên đường cong mang đến nhiều điều thú vị bất ngờ, đó là sự kết hợp của nhiều mảng của toán học bao gồm số học, hình học và đại số. Được sự hướng dẫn của thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Chánh Tú tôi quyết định chọn đề tài: Điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai và đường cong bậc ba để khảo sát. Mục tiêu của khóa luận là tìm tất cả các điểm hữu tỉ trên đường cong bâc hai, đường cong bậc ba và nêu một số ứng dụng của việc làm đó. Nội dung của khóa luận được chia làm 3 chương. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị bao gồm các kiến thức chuẩn bị bao gồm các kiến thức về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm abel hữu hạn sinh, 1 giới thiệu về đường cong phẳng, định lý Bezout. Chương 2: Trình bày phương pháp để tìm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc hai, điều kiện để đường cong bậc hai tồn tại điểm hữu tỉ, đưa ra công thức biểu diễn bộ ba Pitago và nêu một số ứng dụng của công thức bộ ba Pitago. Chương 3: Trình bày phương pháp chung để tìm các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba cho ở dạng tổng quát, không dừng lại ở đó chúng ta còn xây dựng được một cấu trúc nhóm của các điểm hữu tỉ trên đường cong bậc ba không có điểm kỳ dị. Ở chương này chúng ta làm việc với đường cong bậc ba mà đã có hoặc có thể chỉ một điểm hữu tỉ trên nó, đường cong như thế này chúng ta có thể đưa nó về dạng Weierstrass, tức là y2 = P (x), với P (x) là đa thức bậc ba hữu tỉ. Vì vậy những bài sau đó ta sẽ làm việc với đường cong bậc ba có dạng Weierstrass. Tiếp đến ta chia đường cong bậc ba làm 2 loại, đó là đường cong bậc ba kỳ dị và đường cong elliptic, ta sẽ đi tìm công thức tính tọa độ các điểm hữu tỉ cũng như xây dựng và mô tả cấu trúc nhóm của các điểm hữu tỉ trên hai loại đường cong này. Cuối cùng là nêu một số ứng dụng, đó là chứng minh định lý Fermat với n = 3, n = 4 và nêu một số vấn đề của số đồng dạng. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian cũng như khả năng của bản thân nên khóa luận này không tránh khỏi những sai sót. Rất mong quý Thầy Cô và các bạn quan tâm góp ý. Tôi xin chân thành cảm ơn. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 NHÓM VÀ ĐỒNG CẤU NHÓM 1.1.1 Định nghĩa nhóm Định nghĩa 1.1.1. Một nhóm là một cặp (G,+), trong đó G là một tập không rỗng và (+) là một phép toán trên G thỏa mãn các điều kiện sau đây: i, G ổn định với phép toán (+), tức là mọi x, y ∈ G thì x+ y ∈ G. ii, Phép toán (+) có tính kết hợp, nghĩa là với mọi x, y, z ∈ G thì (x+ y) + z = x+ (y + z). iii, Có một phần tử 0 ∈ G được gọi là phần tử trung hòa, có tính chất x+ 0 = 0 + x = x, với mọi x thuộc G. iv, Với mọi x ∈ G có một phần tử x′ ∈ G được gọi là phần tử đối của x sao cho x+ x′ = x′ + x = 0. 1.1.2 Nhóm aben hữu hạn sinh Định nghĩa 1.1.2. Nhóm G được gọi là nhóm aben hữu hạn sinh nếu G là một nhóm aben có tập sinh hữu hạn. Định nghĩa 1.1.3. Nhóm G được gọi là không xoắn nếu phần tử trung hòa của G là phần tử duy nhất trong G có cấp hữu hạn. Định lí 1.1.1 ([5, tr. 81]). Một nhóm aben hữu hạn sinh và không xoắn đều là một nhóm aben tự do, tức là đẳng cấu với tích của một số hữu hạn nhóm xyclic Z. 3 Phần chứng minh có thể tham khảo tài liệu [5, tr. 81]. Định lí 1.1.2 ([5, tr. 88]). Một nhóm aben hữu hạn sinh đều có thể phân tích thành tổng trực tiếp của một nhóm con không xoắn và một nhóm con hữu hạn. Chúng ta tham khảo phần chứng minh trong tài liệu [5, tr. 88]. 1.1.3 Đồng cấu nhóm Định nghĩa 1.1.4. Cho (G,+) và (G, ∗) là 2 nhóm. Một ánh xạ ϕ : G → G′ được gọi là một đồng cấu nhóm nếu ϕ(x+ y) = ϕ(x) ∗ ϕ(y), với mọi x, y ∈ G. Nếu ϕ là một song ánh và một đồng cấu nhóm thì ϕ là một đẳng cấu nhóm từ G lên G′. 1.2 ĐƯỜNG CONG PHẲNG 1.2.1 Giới thiệu về đường cong phẳng Chúng tôi làm việc với đường cong phẳng có dạng f(x, y) = 0, với f(x, y) ∈ Q[x, y]. Chúng tôi làm việc với đường cong trên mặt phẳng R2. Bậc của đường cong chính là bậc của đa thức f . Định nghĩa 1.2.1. Đường cong bậc một (hay đường thẳng hữu tỉ) có phương trình dạng ax + by + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ cho trước trong đó a, b không đồng thời bằng 0. Định nghĩa 1.2.2. Đường cong bậc hai (hay đường conic) có phương trình dạng ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 với a, b, c, d, e, f là các số hữu tỉ cho trước a, b, c không đồng thời bằng 0. Định nghĩa 1.2.3. Đường cong bậc ba (hay đường cubic) có phương trình dạng a1x 3 + a2x 2y + a3xy 2 + a4y 3 + a5x 2 + a6xy + a7y 2 + a8x+ a9y + a10 = 0. Với các ai là các số hữu tỉ cho trước, a1, a2, a3, a4 không đồng thời bằng 0. 4 1.2.2 Định lý Bezout Định lý cho ta biết số giao điểm của hai đường cong phẳng, trước khi phát biểu định lý ta xem ví dụ sau. Ví dụ 1.2.1. Cho 2 đường cong có phương trình lần lượt là xy = 0 và (x2 + y2)y = 0, cả hai đường cong này đều có chứa thành phần chung là đường cong y = 0, do đó có vô số giao điểm chung. Vậy ta chỉ tìm số giao điểm của hai đường cong không có thành phần chung. Đường cong x− 2 = 0 và đường cong x2 + y2 = 1 có cắt nhau tại 2 điểm và cả hai điểm đều có tọa độ phức. Đường thẳng y− 1 = 0 và đường thẳng y− 2 = 0 chỉ có giao điểm trong mặt phẳng xạ ảnh P 2, đường thẳng y−1 = 0 và y−2 = 0 gặp nhau tại một điểm trên đường thẳng tại vô cùng. Vậy ta phải chấp nhận giao điểm có tọa độ phức và giao điểm tại vô cùng. Định lí 1.2.1 ([2, tr. 237]). Cho X, Y là hai đường cong phẳng có bậc m và n trong mặt phẳng xạ ảnh trên trường số phức. Nếu X, Y không có thành phần chung thì số giao điểm của X, Y đúng bằng mn. Đây là định lý cơ bản của đường cong phẳng, phần chứng minh của định lý khá khó, chúng ta có thể tham khảo ở tài liệu [2, tr. 237]. Chú ý: Dựa vào định lý trên ta thấy rằng 2 đường cong bậc ba không có thành phần chung có 9 giao điểm, nhờ vào điều này ta sẽ đưa ra định lý sau đây. Định lí 1.2.2 ([2, tr. 16]). Gọi C, C1, C2 là ba đường cong bậc ba, nếu C đi qua 8 giao điểm của C1 và C2 thì C đi qua giao điểm thứ 9 của C1 và C2. Phần chứng minh chúng ta có thể tham khảo [2, tr. 16]. 5 Chương 2 ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONG BẬC HAI 2.1 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT ĐỂ TÌM ĐIỂM HỮU TỈ TRÊN ĐƯỜNG CONIC 2.1.1 Điểm hữu tỉ trên đường thẳng Chúng ta sẽ bắt đầu với việc tìm các điểm hữu tỉ trên đường thẳng có phương trình dạng ax+ by + c = 0. Không mất tính tổng quát ta giả sử b 6= 0, khi đó tập các điểm hữu tỉ trên đường thẳng này là E = {(x,−a b x− c b ), x ∈ Q}. Ta dễ dàng mô tả tập các điểm hữu tỉ trên đường thẳng. 2.1.2 Điểm hữu tỉ trên đường conic Cho đường conic (C) có phương trình ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0. Vấn đề đặt ra liệu có tồn tại điểm hữu tỉ trên đường conic này và nếu có thì tìm bằng cách nào. Giả sử tồn tại một điểm hữu tỉ O trên đường conic này, ta sẽ thực hiện phép chiếu các điểm trên đường conic lên một đường thẳng. Ta đã biết tập các điểm hữu tỉ trên đường thẳng (d), vì vậy ta lấy một điểm hữu tỉ E bất kỳ trên (d), đường thẳng OE cắt conic tại điểm F , ta có F là một điểm hữu tỉ trên C. Thật vậy đường thẳng OE đi qua 2 điểm hữu tỉ nên nó là đường 6 OF E(C) (d) Hình 2.1: Phép chiếu lên đường thẳng. thẳng hữu tỉ, ta sẽ rút một ẩn từ phương trình của đường thẳng này thế vào phương trình của đường conic (C) ta được một phương trình bậc hai với các hệ số hữu tỉ, phương trình này có một nghiệm hữu tỉ vì vậy nghiệm thứ hai cũng là nghiệm hữu tỉ (nghiệm kép sẽ được tính hai lần). Do vậy F là một điểm hữu tỉ. Ngược lại, khi cho một điểm hữu tỉ F trên (C). Nếu OF song song với (d) thì không tồn tại giao điểm. Nếu OF không song song với (d) thì đường thẳng OF cắt (d) tại một điểm E, và E là một điểm hữu tỉ trên (d). Như vậy trừ đi điểm F mà OF song song với (d) thì ta có sự tương ứng 1 − 1 giữa các điểm hữu tỉ trên đường conic (C) và trên đường thẳng (d). Ví dụ 2.1.1. Tìm các điểm hữu tỉ trên đường tròn (C): x2 + y2 = 2. Ta dễ dàng tìm được một điểm hữu tỉ trên (C) là A(1, 1). Ta sẽ chọn đường thẳng (d) là trục Ox có phương trình là y = 0. Lấy một điểm hữu tỉ bất kỳ trên O y x A(1,1) d 1 1 B(t,0) (x,y) Hình 2.2: Phép chiếu đường tròn lên đường thẳng. (d) là B(t, 0), với t ∈ Q. Phương trình đường thẳng AB x = (t− 1)(1− y) + 1. 7 Thay x vào phương trình của đường conic ta được ((1− y)(t− 1) + 1)2 + y2 = 2 ⇔ (1− y)2(t− 1)2 + 2(1− y)(t− 1) + y2 − 1 = 0. (2.1.1) Nếu y = 1, suy ra x = ±1 ta có hai điểm hữu tỉ trên (C) là A(1, 1) và C(−1, 1). Nếu y 6= 1, phương trình 2.1.1 trở thành (1− y)(t− 1)2 + 2(t− 1)− y − 1 = 0 ⇔ y = −t 2 + 2 −t2 + 2t− 2 . (2.1.2) Suy ra x = t2 − 4t+ 2 −t2 + 2t− 2 . Thay t = 2 vào công thức biểu diễn x, y ở trên ta được điểm A(1, 1). Bằng cách loại điểm C(−1, 1), ta có sự tương ứng 1−1 giữa điểm hữu tỉ trên đường thẳng và điểm hữu tỉ trên đường tròn như sau (t, 0)←→ ( t 2 − 4t+ 2 −t2 + 2t− 2 , −t2 + 2 −t2 + 2t− 2). Chú ý: Đối với đường conic có phương trình cho dưới dạng tổng quát ta sẽ thực hiện phép đổi biến để đưa nó về phương trình đơn giản hơn trước khi tìm các điểm hữu tỉ của nó. Ví dụ 2.1.2. Cho đường conic (C) có phương trình x2+4xy+13y2+6y−7 = 0. Ta sẽ thực hiện các phép đổi biến để đưa nó về dạng đơn giản hơn như sau. x2 + 4xy + 13y2 + 6y − 7 = 0 ⇔ (x2 + 4xy + 4y2) + (9y2 + 6y + 1) = 8 ⇔ (x+ 2y)2 + (3y + 1)2 = 8 ⇔ (x+ 2y 2 )2 + ( 3y + 1 2 )2 = 2. Đặt   X = x+ 2y 2 Y = 3y + 1 2 . Khi đó phương trình trở thành X2 + Y 2 = 2. 8 Như vậy bằng việc tìm các điểm hữu tỉ trên đường conic có phương trình X2 + Y 2 = 2, ta sẽ suy ra được các điểm hữu tỉ trên đường conic ban đầu. Ta nhận thấy rằng đường conic tồn tại một điểm hữu tỉ thì sẽ có vô số điểm hữu tỉ. Vậy vấn đặt ra là khi nào đường conic tồn tại điểm hữu tỉ, ta sẽ tìm hiểu ngay sau đây. 2.2 ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG CONIC TỒN TẠI ĐIỂM HỮU TỈ 2.2.1 Bài toán Xét bài toán sau: Tìm các điểm hữu tỉ trên đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = 3. (2.2.1) Giả sử tồn tại điểm hữu tỉ (x, y). Khi đó, chúng ta viết x = X Z , y = Y Z với X, Y, Z nguyên khác 0. Thay vào phương trình 2.2.1 ta được X2 + Y 2 = 3Z2. (2.2.2) Nếu X, Y, Z có cùng ước số chung thì ta có thể rút gọn cả hai vế của 2.2.2 cho ước số chung đó, do đó có thể giả sử rằng chúng không tồn tại ước số chung. Khi đó X, Y không chia hết cho 3. Thật vậy, nếu X chia hết cho 3 thì Y 2 = −X2 +3Z2 sẽ chia hết cho 3 suy ra Y chia hết cho 3. Do đó X2 +Y 2 chia hết cho 9 nên Z2 chia hết cho 3, suy ra Z chia hết cho 3. Vậy X, Y, Z có ước số chung là 3 (mâu thuẫn với giả thiết). Vì X, Y không chia hết cho 3 nên ta có X ≡ ±1 (mod 3), Y ≡ ±1 (mod 3). Suy ra X2 ≡ Y 2 ≡ 1 (mod 3). Khi đó 0 ≡ 3Z2 ≡ X2 + Y 2 ≡ 2 (mod 3) (vô lý). Vậy không có điểm nào hữu tỉ trên đường tròn này. Vậy liệu rằng có một phương pháp tổng quát để giúp chúng kiểm tra sự tồn tại của điểm hữu tỉ trên đường conic không, câu trả lời sẽ có trong định lý dưới đây. 2.2.2 Định lý Legendre Định lí 2.2.1 ([2, tr. 15]). Cho phương trình aX2+bY 2 = cZ2với a, b, c nguyên. Phương trình tồn tại nghiệm nguyên (X,Y, Z) khác (0, 0, 0) khi và chỉ khi trong 9 modulo m nào đó, phương trình đồng dư aX2 + bY 2 ≡ cZ2 có nghiệm (X,Y, Z) và X,Y, Z nguyên tố với m. Phần chứng minh sẽ tham khảo tài liệu [6, tr. 21]. Ví dụ 2.2.1. Kiểm tra sự tồn tại của điểm hữu tỉ trên đường tròn có phương trình x2 + y2 = 6. Ta xét phương trình đồng dư X2 + Y 2 ≡ 6Z2 trong modulo 3. Ta sẽ chỉ ra là phương trình này không có nghiệm (X,Y, Z) mà cả X,Y, Z nguyên tố với 3. Thật vậy, giả sử phương trình có nghiệm (X,Y, Z) mà cả X,Y, Z đều nguyên tố với 3. Khi đó X ≡ ±1, Y ≡ ±1. Suy ra 2 ≡ X2 + Y 2 ≡ 6Z2 ≡ 0 (vô lý). Vậy không tồn tại điểm hữu tỉ trên đường tròn này. 2.3 BỘ BA PITAGO 2.3.1 Định nghĩa bộ ba Pitago Các nhà toán học cổ đại từng quan tâm đến việc giải các phương trình đại số với hệ số nguyên thường được gọi là phương trình Đi-ô-phăng, ở đây ta quan tâm đến việc tìm nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ của phương trình nổi tiếng nhất là a2+ b2 = c2. Phương trình này có xuất xứ từ hình học. Ta biết rằng các cạnh của một tam giác vuông thỏa mãn phương trình này. Định nghĩa 2.3.1. Một bộ ba (a, b, c) các số nguyên dương thỏa mãn phương trình a2 + b2 = c2 được gọi là một bộ ba Pitago. Định nghĩa 2.3.2. Một bộ ba Pitago (a, b, c) với a, b, c nguyên tố với nhau từng đôi một được gọi là một bộ ba Pitago nguyên thủy. 2.3.2 Điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị Mục này ta sẽ tìm công thức biểu diễn các điểm hữu tỉ, trên đường tròn đơn vị (C) có phương trình x2 + y2 = 1. Ta chọn một điểm hữu tỉ trên đường tròn là A(−1, 0), chọn đường thẳng (d) là trục Oy có phương trình x = 0. Lấy một điểm hữu tỉ bất kỳ trên Oy là B(0, t) với t ∈ Q. Phương trình đường thẳng AB 10 Oy x A(-1,0) B(0,t) (x,y) Hình 2.3: Phép chiếu đường tròn đơn vị lên trục Oy. có dạng y = t(1 + x). Thay y vào phương trình đường tròn (C) ta được x2 + [t(1 + x)]2 = 1 ⇔ t2(1 + x)2 = 1− x2. Với x = −1, ta có điểm hữu tỉ trên (C) là A(−1, 0). Với x 6= −1 phương trình trở thành t2(1 + x) = 1− x. Suy ra x = 1− t2 1 + t2 , y = 2t 1 + t2 . Vậy loại trừ điểm A(−1, 0) ra thì ta có sự tương ứng 1 − 1 giữa các điểm hữu tỉ trên Oy và điểm hữu tỉ trên (C) như sau (O, t)←→ (1− t 2 1 + t2 , 2t 1 + t2 ). 2.3.3 Công thức biểu diễn bộ ba Pitago Trong mục này ta sẽ tiến hành tìm công thức tổng quát cho một bộ ba Pitago. Cho (X,Y, Z) là một bộ ba Pitago. Nếu X, Y, Z có ước số chung thì ta có thể rút gọn cho ước số chung đó. Bởi vậy, chúng ta có thể giả sử rằng 3 số đó không có ước số chung nào khác ±1. Khi đó X, Y, Z nguyên tố với nhau từng đôi một. Thật vậy, giả sử nếu X, Z không nguyên tố cùng nhau thì X, Z chia hết cho số nguyên a khác ±1 nào đó, vì Y 2 = Z2 −X2 chia hết cho a2 nên Y chia hết cho a. Vậy X, Y, Z có ước số chung là a (mâu thuẫn với giả thiết). Vì X, Y nguyên tố cùng nhau nên X, Y 11 không thể đều chẵn, hơn nữa X, Y không thể đều lẻ. Thật vậy, nếu X, Y đều lẻ thì X ≡ ±1 (mod 4), Y ≡ ±1 (mod 4). Do đó, X2 + Y 2 ≡ 2 (mod 4). Mặt khác, Z2 ≡ 0 (mod 4) hoặc Z2 ≡ 1 (mod 4). Điều vô lý này dẫn đến X, Y không thể đều lẻ. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử X lẻ Y chẵn. Vì X, Y, Z là nguyên dương nên ta có X2 + Y 2 = Z2 ⇔ (X Z )2 + ( Y Z )2 = 1. Đặt x = X Z , y = Y Z . Lúc đó (x, y) là điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1, áp dụng công thức biểu biễn các điểm hữu tỉ trên đường tròn đơn vị ở phần 2.4.2 ta được x = X Z = 1− t2 1 + t2 , y = Y Z = 2t 1 + t2 , với t ∈ Q. Đặt t = m n , với m, n ∈ Z, n 6= 0, (m,n) = 1. Khi đó X Z = n2 −m2 n2 +m2 , Y Z = 2mn n2 +m2 . Vì X, Y có tính chẵn lẻ khác nhau nên m, n có tính chẵn lẻ khác nhau. Vì X, Y, Z dương nên ta chỉ cần xét n > m > 0. Do X Z , Y Z là các phân số tối giản nên tồn tại số nguyên λ để λZ = n2 +m2, λY = 2mn, λX = n2 −m2. Chúng ta sẽ chứng minh λ = 1. Vì λ chia hết cả n2 + m2 và n2 − m2 nên λ chia hết 2n2 và 2m2, mặt khác (m,n) = 1 nê