Đề tài Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất và bài tập

KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) Bùi Văn Tiệp (08267261) Phạm Văn Toàn (08096701) Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 KHOA: KHOA HỌC CƠ BẢN TIỂU LUẬN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐỀ TÀI: ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM – CÁC XẤP XỈ XÁC SUẤT VÀ BÀI TẬP GVHD: Trần Chiến Lớp: 211301101 Khoa: Kế Toán – Kiểm Toán Nhóm 1: Nguyễn Ngọc Thịnh (08106071) Bùi Văn Tiệp (08267261) Phạm Văn Toàn (08096701) Nguyễn Như Tuân (08251411) Thành phố Hồ Chí Minh, 11/2009 PHẦN I: LÝ THUYẾT Bài 3: Định lý giới hạn trung tâm – các xấp xỉ xác suất 3.1. Phân phối liên tục: Phân phối đều và phân phối chuẩn 3.1.1. Phân phối đều: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối đều trên đoạn [a,b] nếu có hàm mật độ là: Hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phối đều là: Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối đều trên [a,b] là: Hình 1: Đồ thị hàm mật độ Hình 2: Đồ thị hàm phân phối xác suất của phân phối đều. của phân phối đều. Các đặc trưng số của phân phối đều: Kỳ vọng: Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Với: E(X2) = (Tính ở trên) Suy ra phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) = - ()2 = 3.1.2. Phân phối chuẩn: Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với hai tham số µ và σ2 nếu có hàm mật độ là: f(x)= Kí hiệu: X ~ N(µ;σ2) Hàm phân phối xác suất: Phân phối chuẩn có hàm phân phối xác suất là: F(X)= à Do hàm mật độ của phân phối chuẩn không có nguyên hàm sơ cấp nên ta không thể biểu diễn hàm phân phối xác suất F(X) bởi một hàm số sơ cấp. Đồ thị: Ta xét đồ thị của hàm mật độ và hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn như sau: Hình 3: Đồ thị hàm mật độ của Hình 4: Đồ thị hàm phân phối xác phân phối chuẩn. suất của phân phối chuẩn. à Đồ thị hàm mật độ của phân phối chuẩn có dạng hình chuông nên phân phối chuẩn còn có tên gọi là phân phối hình chuông. Các đặc trưng số của phân phối chuẩn: Kỳ vọng: E(X) = = Phương sai: D(X) = E(X2) – E2(X) Với: E(X2) = = µ2 + σ2 E2(X) = 2 Suy ra: D(X) = E(X2) – E2(X) = µ2 + σ2 – 2 = σ2 Vậy phương sai : D(X) = σ2 à Ta thấy hai tham số và σ2 chính là kì vọng và phương sai của phân phối chuẩn. Tới đây ta có thể khẳng định phân phối chuẩn hoàn toàn xác định khi biết kì vọng và phương sai của nó. Tính xác suất: Giả sử X ~ N(;σ2) P[a≤ X ≤b] = = Quy tắc 3: Xét biến ngẫu nhiên X với kì vọng và phương sai σ2 Với ta có: Với ta có: Với ta có: à Như vậy nếu X ~ N((;σ2) thì khi . Điều này có nghĩa là nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với kì vọng µ và phương sai σ2 thì gần như chắc chắn rằng X sẽ nhận giá trị trong khoảng [- 3σ ,+ 3σ] Bổ sung về kiến thức phân phối chuẩn tắc: Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối với kì vọng µ = 0 và phương sai σ2 = 1 thì X được gọi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc hoặc phân phối Gauss. Hàm mật độ của phân phối chuẩn tắc được kí hiệu là còn gọi là hàm Gauss, hàm phân phối được kí hiệu là còn gọi là hàm Laplace. - Hàm là hàm chẵn, , trong khoảng (0, +∞) thì hàm đơn điệu giảm. , , , , và nếu x≥4 thì - Hàm = à Hàm là hàm lẻ. Ta có: , , , , và nếu x≥4 thì và nếu x < -4 thì Hình 5 : Đồ thị hàm Hình 6 : Đồ thị hàm 3.2. Định lý giới hạn trung tâm (Lyapounov) Cho họ các biến ngẫu nhiên {X1, X2, X3,...Xn) độc lập từng đôi một. Đặt Y =  ; và Nếu EXi , VarXi hữu hạn và Thì Y 3.3. Xấp xỉ xác suất giữa: Siêu bội và nhị thức, Poisson và Nhị thức 3.3.1. Xấp xỉ xác suất giữa siêu bội và nhị thức: Khi N khá lớn, n khá nhỏ so với N lúc đó quy luật phân phối siêu bội xấp xỉ với quy luật phân phối nhị thức. H(N, M, n) B(n, p) Ta có: P[X=K] = với (q=1–p) Ví dụ : Một lô hàng có 1000 sản phẩm trong đó có: 600 sản phẩm tốt và 400 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 3 sản phẩm tốt ? Giải: Gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra được trong 10 sản phẩm lấy ra. à X={0,1,2,...,9,10} Ta có: X ~ H(1000, 600, 10) B(10; 0,6) Suy ra: P[X=K] = với K= Gọi A là biến cố lấy được 3 sản phẩm tốt trong 10 sản phẩm lấy ra. Suy ra: P(A) = P[X=3]= = 0,04246 3.3.2. Xấp xỉ xác suất giữa poisson và nhị thức: Khi n khá lớn (n≥100) và p khá nhỏ (p≤0,05) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối poisson. B(n, p) () Ta có: P(X=K) = với =np và K= Ví dụ: Tại một trận địa phòng không, người ta bố trí 1000 khẩu súng trường. Xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu súng là 0,001. Nếu máy bay bị bắn trúng 1 phát thì xác suất rơi là 0,8. Nếu máy bay bị bắn trúng ít nhất 2 phát thì chắc chắn bị rơi. Tính xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi lần bắn một viên. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu à X={0,1,2,...,1000} Ta có: X ~ B(1000; 0,001) () Với: = np = 1000 x 0,001 = 1 Suy ra: X ~ B(1000; 0,001) (1) Gọi B là biến cố máy bay bị rơi. Gọi A0 là biến cố không có viên đạn nào trúng máy bay A1 là biến cố có 1 viên đạn bắn trúng máy bay A2 là biến cố có 2 viên đạn bắn trúng máy bay Ta có A0 , A1 , A2 lập thành một hệ đầy đủ xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) Với P(A0) = P(X=0) = P(B/ A0) = 0 P(A1) = P(X=1) = P(B/A1) = 0,8 P(A2) = P[X≥2] = 1 – P[X<2] = 1 - P(B/A2) = 1 Suy ra: P(B) = P(A0).P(B/ A0) + P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) = .0 + .0,8 + (1 - ).1 = 0,5585 Vậy xác suất máy bay bị bắn rơi khi 1000 khẩu súng cùng bắn, mỗi khẩu bắn một viên là 0,5585 3.4. Xấp xỉ xác suất giữa: Chuẩn và nhị thức Khi n khá lớn (n≥30) và không quá gần 0, cũng không quá gần 1 (0<<1) thì quy luật phân phối nhị thức xấp xỉ quy luật phân phối chuẩn và ta có: P[X=K] = với P[K1<X<K2] = Ví dụ: Một xạ thủ bắn 100 viên đạn vào một mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,8. Tìm xác suất để có 70 viên đạn trúng mục tiêu? Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng mục tiêu à X = {0,1,2,..100} X ~ B(100; 0,8) N Với =100. 0,8 = 80 và = npq = 100.0,8.0,2 = 16 Suy ra: X ~ B(100; 0,8) N(80;16) Gọi A là biến cố có 70 viên đạn trúng mục tiêu Suy ra: P(A) = P(X=70) = Vậy xác suất để có 70 viên trúng mục tiêu là 0,004375 PHẦN II: BÀI TẬP XÁC SUẤT II.1. CÔNG THỨC XÁC SUẤT TỔNG – TÍCH Câu 3: Trong một hộp có 8 bi trắng và 6 bi đen. Lấy lần lượt từ hộp ra 2 bi (không hoàn lại). Tính xác suất cả 2 đều là bi trắng; một bi trắng và một bi đen? Giải: Xác suất cả hai đều là bi trắng: Gọi A là biến cố lần 1 lấy được bi trắng B là biến cố lần 2 lấy được bi trắng C là biến cố cả hai lần lấy đươc bi trắng Vậy xác suất lấy được cả hai đều là bi trắng là : Xác suất 1 bi trắng và 1 bi đen Gọi A là biến cố lấy được lần 1 là bi trắng B là biến cố lấy được lần 2 là bi đen C là biến cố lấy được một bi trắng và một bi đen II.2. CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - BAYES Câu 15: Bao lúa thứ nhất nặng 20kg có tỉ lệ hạt lép là 1%; bao lúa thứ hai 30kg và 2% hạt lép; bao thứ ba 50kg và 3% hạt lép. Trộn cả ba bao lúa vào bao thứ tư rồi bốc ra 1 hạt. Tính xác suất hạt bốc ra là hạt lép; giả sử hạt bốc ra không lép, tính xác suất hạt này là của bao thứ 2. Giải: Xác suất hạt bốc ra là hạt lép Gọi A1: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ nhất” A2: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ hai” A3: “Biến cố bốc được hạt lúa từ bao thứ ba” B: “Biến cố hạt bốc ra là hạt lép” Ta có P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + P(A3).P(B/A3) Với P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(B/A1) = 0,01 P(B/A2) = 0,02 P(B/A3) = 0,03 P(B) = 0,2.0,01+0,3.0,02+0,5.0,03 = 0,023 = 2,3% Vậy xác suất bốc ra hạt lép là 2,3% Xác suất hạt bốc ra là hạt không lép ở bao thứ hai: Gọi : “Biến cố hạt lấy ra không lép” P() = 1- P(B) = 1 – 0,023 = 0,977 Suy ra : = = = 30,09% Vậy xác suất bốc ra hạt không lép ở bao thứ hai là 30,09% Câu 27: Hộp thứ nhất có 3 bi xanh và 4 bi đỏ, hộp thứ hai có 6 bi xanh và 2 bi đỏ; hộp thứ ba có 4 bi xanh và 7 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, tiếp tục lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp thứ hai bỏ vào hộp thứ ba. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộp thứ ba ra 1 bi, tính xác suất bi này là màu xanh. Giải: Gọi A là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 1 thì là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 1 Gọi B là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 2 thì là biến cố bốc được bi đỏ ở hộp 2 Gọi C là biến cố bốc được bi xanh ở hộp 3 P(A) = Áp dụng công thức đầy đủ P(B)= P(B/A).P(A) + P(B/)P()= = Áp dụng công thức đầy đủ P(C) = P(C/B).P(B) + P(C/).P() = Vậy xác suất bốc được bi xanh ở hộp 3 là: II.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ LIÊN TỤC Câu 28: Một kiện hàng có 5 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm (chọn một lần) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Giải: a) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm tốt chọn được. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được Ta có bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm tốt) X 0 1 2 Khi Khi Khi Khi Vậy hàm phân phối xác suất là: 0 nếu nếu 0<x1 nếu 1<x2 1 nếu x>2 b) Lập hàm phân phối xác suất của số sản phẩm xấu chọn được. Gọi X là số sản phẩm xấu được chọn: Ta tính xác suất tương đương của X Khi Khi Khi Bảng phân phối xác suất của X(Số sản phẩm xấu) X 0 1 2 Khi Khi Khi Khi Hàm phân phối xác suất sản phẩm xấu chọn được là: 0 nếu nếu F(X) = nếu 1 nếu x>2 c) Tính kỳ vọng phương sai của số sản phẩm tốt, sàn phẩm xấu. Kỳ vọng sản phẩm tốt: Kỳ vọng sản phẩm xấu là: Ta có: Suy ra phương sai của số sản phẩm tốt là: Và phương sai của số sản phẩm xấu là: Câu 48: Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Giải: a) Tìm hàm phân phối F(x). Tính ModX, MedX, EX, VarX * Tìm hàm phân phối F(x): Khi x 0 Khi 0<x Khi x >3 Vậy hàm phân phối xác suất của x là: nếu x nếu 0<x nếu x>3 * ModX: Ta có f(x)= nếu Bảng xét dấu f(x): x 0 3 f ’(x) + f(x) mod(x) = 3 * MedX: Gọi a là median của x thì a Vậy med(x)= * EX: E(x)= * VarX: D(x)= b) Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1;4) Xác xuất để x nhận giá trị trong khoảng (1,4) là : P(1<x<4)= Gọi A là biến cố để trong 3 phép thử độc lập cố 2 lần x thuộc (1,4) thì A tuân theo công thức bernoulli vói p=, k=2,n=3 = Vậy xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần x nhận giá trị trong khoảng (1; 4) là P(A) = 0,103 II.4. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG VÀ CÁC LOẠI XẤP XỈ XÁC SUẤT II.4.1. Phân phối Poisson Câu 49: Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 cuộc gọi trong một giờ. Tìm xác suất trạm điện thoại này nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút, không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút. Giải: Gọi X là số cuộc điện thoại gọi đến trong một phút. là số cuộc điện thoại trung bình gọi đến trong một phút: Suy ra: X~ Ta có: Gọi A là biến cố trong một phút có đúng hai cuộc gọi đến. Suy ra: Gọi B là biến cố trong một phút không ít hơn 2 cuộc điện thoại gọi đến. Suy ra: Vậy: Xác suất trạm điện thoại nhận đúng hai cuộc gọi trong một phút là 0,0842 Xác suất trạm điện thoại nhận không ít hơn hai cuộc gọi trong một phút là 0,9595 Câu 50: Trong 1000 trang sách có 100 lỗi in sai. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một trang sách này có đúng 3 lỗi in sai, nhiều hơn 3 lỗi in sai. Giải: Gọi X là số lỗi in sai trong một trang sách. là số lỗi in sai trung bình trong một trang sách: = Suy ra: X~ Ta có: Gọi A là biến cố trong một trang sách có đúng 3 lỗi in sai. Suy ra: Gọi B là biến cố trong một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai. Suy ra: Vậy: Xác suất để một trang sách có đúng 3 lỗi in sai là: 0,00015 Xác suất để một trang sách có nhiều hơn 3 lỗi in sai là: 0,0000038 II.4.2. Phép thử Bernoulli và phân phối Nhị thức Câu 56: Một lô hàng có rất nhiều sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm là 0,3%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm của lô hàng này. Tính số sản phẩm tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm không bé hơn 91%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một phế phẩm trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác suất chọn được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% thì là biến cố không nhận được phế phẩm nào trong tối thiểu n sản phẩm lấy ra để xác xuất nhận được ít nhất 1 phế phẩm không nhỏ hơn 91% Hai biến cố A và là hai biến cố đối lập nhau nên giả sử P(A) là xác suất của biến cố A thì xác suất của biến cố là P() = 1- P(A) Vì tỉ lệ phế phẩm = 0,003 là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra sản phẩm chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc nhận được chính phẩm hoặc nhận được phế phẩm nên bài toán tuân theo lược đồ bernoulli Gọi X là số phế phẩm lấy được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p =0,003 và q = 0,997 P() = P(X=0)= .(0,003)0.(0,997)n = (0,997)n P(A) = 1- (0,997)n Theo đề P(A) 0,91 1- (0,997)n 0,91 Vì n Z nên chọn n = 802 Vậy phải chọn tối thiểu 802 sản phẩm để xác suất nhận được ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 91% Câu 57: Một trường tiểu học có tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9%. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng học sinh của trường này. Tính số học sinh tối thiểu cần kiểm tra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95%. Giải: Gọi A là biến cố chọn dược ít nhất một học sinh bị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra để xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Suy ra là biến cố không chọn được học sinh nào bị cận thị trong tối thiểu n học sinh chọn ra để xác xuất nhận được ít nhất một học sinh bị cận thị không nhỏ hơn 95% Hai biến cố A và là hai biến cố đối lập nhau nên với P(A) là xác suất của biến cố A thì xác suất của biến cố là P() = 1- P(A) Vì tỉ lệ học sinh bị cận thị là 0,9% là không thay đổi và khi thực hiện chọn ra chỉ xảy ra 2 khả năng hoặc chọn được học sinh bị cận thị hoặc chọn được học sinh không bị cận thị nên bài toán tuân theo lược đồ Bernoulli Gọi X là số học sinh bị cận thị chọn được thì X tuân theo lược đồ Bernoulli Với p= 0,009 và q = 0,991 P() = P(X=0)= .(0,009)0.(0,991)n = (0,991)n P(A) = 1 - (0,991)n Theo đề P(A) 0,95 1 - (0,991)n 0,95 (*) Dễ thấy giá trị nguyên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (*) là n = 332 Vậy phải chọn tối thiểu 332 học sinh để kiểm tra thỏa mãn xác suất chọn được ít nhất một học sinh bị cận thị không bé hơn 95% Câu 68: Một người có 3 chỗ yêu thích như nhau để câu cá. Xác suất câu được cá ở 3 chỗ 1, 2, 3 tương ứng là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó chọn ngẫu nhiên 1 chỗ thả câu 3 lần và chỉ câu được 1 con cá. Tính xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ 3. Giải: Gọi A là biến cố 3 lần thả câu chỉ được một con cá Gọi Ai (i=1,2,3) là biến cố câu được cá ở cỗ thứ i Gọi Bilà biến cố chỉ câu được một con cá ở chỗ thứ i thì P(Bi) = P(A/Ai) A1, A2, A3 là các biến cố đồng khả năng và chúng lập thành hệ đầy đủ các biến cố xung khắc từng đôi. Vì khả năng câu được cá ở 3 chỗ là như nhau nên : P(A1) = P(A2) = P(A3)= Gọi x là số cá câu được sau 3 lần thả câu (x = 0,1,2,3) xác suất câu được x con cá ở mỗi chỗ là phân phối nhị thức với n=3 và P1= 0.6, P2=0.7,P3= 0.8 P(B1)= P(X=1)= P(B2)= P(X=1)= P(B3)= P(X=1)= P(A)= P(A1). P(A/A1)+P(A2). P(A/A2)+P(A3). P(A/A3) = P(A1). P(B1). +P(A2). P(B2). +P(A3). P(B3). = 0.191 P(A3/A)== Vậy xác suất để con cá câu được ở chỗ thứ ba là II.4.3. Phân phối chuẩn Câu 73: Cho X. Tính P(X<2), P(X2≤4), P(), P() Giải: Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo qui luật phân phối chuẩn với Giả sử ta cần tính P() Ta có P()= Đặt P()= = 0,65866 Câu 83: Một doanh nghiệp cần mua 1 loại trục máy có đường kính từ 1,18cm đến 1,22cm. Có hai nhà máy bán loại trục máy này và đường kính các loại trục máy được sản xuất ra là biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối chuẩn với các đặc trưng: Đặc điểm Nhà máy Đường kính trung bình Độ lệch tiêu chuẩn Giá bán X(Nhà máy I) 1,2cm 0,01 3 triệu/hộp/100 cái Y(Nhà máy II) 1,2cm 0,015 2,7 triệu/hộp/100 cái Vậy doanh nghiệp nên mua trục của nhà máy nào? Giải: Gọi X là số trục máy đạt tiêu chuẩn của nhà máy 1 thì X tuân theo quy luật phân phối chuẩn với và suy ra: P(X)= Vậy giả sử mua 100 cái trục của nhà máy 1 thì số trục đạt yêu cầu là 95,45 trong khi đó số tiền phải bỏ ra là 3tr đồng suy ra giá trị sử dụng trung bình của một trục là Gọi Y là số trục đạt tiêu chuẩn của nhà máy 2 thì Y tuân theo qui luật phân phối chuẩn với và suy ra: Suy ra trong 100 sản phẩm có 81,684 sản phẩm đạt yêu cầu Suy ra giá trị sử dụng của một trục của nhà máy 2 là tr Vậy giá trị sử dụng một trục sản phẩm của nhà máy X nhỏ hơn giá trị sử dụng một trục của nhà máy Y suy ra công ty nên mua trục của nhà máy X. II.4.4. Các loại xấp xỉ xác suất thông dụng (Siêu bội ~ Nhị thức ~ Poisson, Chuẩn) Câu 84: Một bao thóc có tỷ lệ hạt lép là 0,01%. Chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt. Tính xác suất để: a) Có đúng 2 hạt thóc lép. b) Có ít nhất 2 hạt thóc lép. Giải: Gọi X là số hạt lép trong 5000 hạt. Ta có: X ~ B(5000; 0,0001) Do n = 5000 khá lớn và p = 0,0001 khá bé ta dùng xấp xỉ: X P() với = 5000. 0,0001 = 0,5 X ~ P(0,5) Với P(X=K) = Gọi A là biến cố có đúng 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc. à P(A)=P(X=2)= Gọi B là biến cố có ít nhất 2 hạt thóc lép khi chọn ngẫu nhiên liên tiếp 5000 hạt thóc. à P(B) = P(X≥2)= 1- [P(X=0)+P(X=1)] = 1 – (+) = 0,0902 Câu 85: Một hãng sản xuất trung bình 1000 đĩa nhạc thì có 1 đĩa hỏng. Tính xác suất để khi hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc thì có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng. Giải: Gọi X là số đĩa nhạc không hỏng (0 ) Gọi A là biến cố số đĩa nhạc không hỏng >10 Thì là biến cố số đĩa nhạc bị hỏng P(A)=1- P() Vì tỷ lệ số đĩa nhạc bị hỏng = 0,001 là không đổi nên bài toán tuân theo công thức bernoulli với n=9000 và p=0,001 Mặt khác p quá nhỏ (p<0,05) và n quá lớn nên công thức bernoulli xấp xỉ công thức poisson với =np=0,001.9000 = 9 Vậy xác xuất để hãng đó sản xuất 9000 đĩa nhạc có nhiều hơn 10 đĩa không hỏng là 1 Câu 93: Một trường cấp 3 có 900 học sinh. Giả sử trong 1 năm trung bình mỗi học sinh phải nằm ở trạm y tế của trường 1 ngày và khả năng bị bệnh của học sinh phân phối đều các ngày trong năm. Số giường của trạm y tế tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01. Giải: Gọi X là số học sinh phải nằm trạm y tế trong 1 ngàyà X Gọi là số học sinh bị bệnh trung bình trong 1 ngàyà = Suy ra: X~P() Với P(X=K) = Gọi m là số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 Suy ra: à m=7 Vậy số giường tối thiểu để tỉ lệ không đủ giường cho người bệnh ít hơn 0,01 là 7 giường. PHẦN III: BÀI TẬP THỐNG KÊ III.1. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG Câu 1: Người ta kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm của một nhà máy thì thấy có 20 phế phẩm. Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này. Giải: Gọi p là tỉ lệ số chính phẩm trong 400 sản phẩm kiểm tra: p = = 0,95 Tính với độ tin cậy 95%, ta ước lượng tỉ lệ p đám đông Vậy ước lượng tỉ lệ chính phẩm của nhà máy này là (0,9256 ; 0,9714) Câu 4: Trong kho có 1000 sản phẩm của nhà máy A sản xuất bỏ lẫn với nhiều sản phẩm do nhà máy B sản xuất. Lấy ngẫu nhiên từ kho ra 100 sản phẩm thấy có 9 sản phẩm do nhà máy A sản xuất. Với độ tin cậy 92%, hãy ước lượng trong kho này có khoảng bao nhiêu sản phẩm do nhà máy B sản xuất? Giải: Nếu dự đoán thô: 100 sản phẩm có: 9 sản phẩm nhà máy A và 91 sản phẩm nhà máy B 1000 sản phẩm nhà máy Aà sản phẩm nhà máy B Tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất trong 100 sản phẩm là: FB = Độ tin cậy: 1 - =0,92 à à tα = 1,76 Độ chính xác: = 1,76.= 0,05 Suy ra ước lượng tỉ lệ số sản phẩm do nhà máy B sản xuất ra: PB =(fB-; fB+) = (0,91-0,05; 0,91+0,05) = (0,86; 0,96) Số sản phẩm do nhà máy B sản x