Đề tài Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình - Chu Hương Ly

Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Phương pháp dạy học toán, khoa Toán, trường Đại học Vinh đã giúp đỡ và có những ý kiến đóng góp quý báu trong quá trình sưu tầm tư liệu, soạn thảo đề cương và hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến TS. Chu Trọng Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong quá trình làm luận văn, để tác giả hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ của mình. Vinh, ngày 20 tháng 12 năm 2007 Tác giả Chu Hương Ly Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Để phục vụ cho sự nghiệp công nghiệp hóa - hiện đại hóa đất nước và bắt kịp sự phát triển của xã hội trong điều kiện bùng nổ thông tin, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: năng động, sáng tạo, tự chủ, kỷ luật nghiêm, có tính tổ chức, tính trật tự của các hành động và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khi giải quyết công việc. Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được thể hiện trong các Nghị quyết hội nghị như: Nghị quyết hội nghị lần thứ IV BCH trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khóa IV, 1993) nêu rõ: Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việc đào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước. Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BCH TW Đảng cộng sản Việt Nam (khóa VIII, 1997) đã đề ra:"Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng những phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu". Điều 24, luật giáo dục (1998) quy định:" Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh,..., bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh". Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trong quá trình dạy học là phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 1.2. Hiện nay ở trường phổ thông đã tiến hành giáo dục tin học. Tin học được dạy tường minh như một nội dung và sử dụng máy tính điện tử như công cụ dạy học. Do đó vấn đề phát triển phát triển tư duy thuật giải trong môn toán giữ một vị trí quan trọng trong giáo dục tin học. Khẳng định này được thể hiện rõ trong mục đích giáo dục tin học: "Làm cho tất cả mọi học sinh tốt nghiệp trung học đều nắm được những yếu tố cơ bản của tin học với tư cách là thành tố của văn hóa phổ thông". "Góp phần hình thành ở học sinh những loại hình tư duy liên hệ mật thiết với việc sử dụng công nghệ thông tin như tư duy thuật giải, tư duy điều khiển,..", "Góp phần hình thành ở học sinh những phẩm chất của người lao động trong nền sản xuất tự động hóa như: tính kỷ luật, tính kế hoạh hóa, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra,..". 1.3. Phát triển tư duy thuật giải là mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông vì: * Tư duy thuật giải tạo điều kiện tốt để học sinh tiếp thu kiến thức, rèn luyện các kỹ năng Toán học. * Tư duy thuật giải phát triển sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ (như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa,...) cũng như những phẩm chất trí tuệ (như : tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo). * Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được quá trình tự động hóa diễn ra trong những lĩnh vực khác nhau của con người, trong đó có lĩnh vực xử lý thông tin. Điều này làm cho học sinh thích nghi với xã hội tự động hóa, góp phần làm giảm ngăn cách giữa nhà trường và xã hội. 1.4. Phát triển tư duy thuật toán trong môn toán có ý nghĩa về nhiều mặt và môn toán chứa đựng khả năng to lớn về phát triển tư duy thuật giải, thế nhưng, tư duy thuật giải chưa được chú ý phát triển đúng mức ở nhà trường phổ thông. Đã có một số công trình nghiên cứu về vấn đề này, trong số các công trình đó có thể kể tới luận án phó tiến sỹ của Dương Vương Minh: "Phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông" (1998). Luận án này đã xem xét việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy các hệ thống số chứ chưa đi sâu vào việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy học nội dung phương trình. Luận văn của thạc sỹ Nguyễn Thị Thanh Bình: "Góp phần phát triển tư duy thuật giải của học sinh Trung học phổ thông thông qua dạy học nội dung lượng giác 11" (2000) đã đề cập đến việc phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trong khi dạy nội dung lượng giác 11. 1.5. Nội dung phương trình là nội dung quan trọng và khó ở chương trình toán trung học phổ thông với nhiều biến đổi phức tạp, nhiều dạng toán, nhiều quy trình vận dụng kỹ năng tính toán nhiều bài toán có tiềm năng có thể chuyển về một thuật giải. Đó là điều kiện thuận lợi nhằm phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. Với những lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông thông qua dạy học một số nội dung phương trình" làm đề tài nghiên cứu khoa học của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là đề ra một số biện pháp phát triển tư duy thuật giải trong quá trình dạy học một số nội dung phương trình nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học Toán ở trường phổ thông. 3. Giả thuyết khoa học Nếu trong quá trình dạy học Toán trung học phổ thông nói chung, dạy học nội dung phương trình, bất phương trình nói riêng, giáo viên thực hiện theo một quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi khoa học sau: 4.1. Tư duy thuật giải là gì và vì sao nó cần được phát triển ở học sinh trong môn Toán? 4.2. Tiến hành phát triển tư duy thuật giải của học sinh trong môn toán dựa trên những tư tưởng chủ đạo nào? 4.3. Có thể xây dựng quy trình dạy học phương trình theo hướng phát triển tư duy thuật giải được không? 4.4. Để phát triển tư duy thuật giải cho học sinh cần có những định hướng sư phạm nào? 4.5. Có thể đưa ra thuật giải giải một số dạng phương trình nhằm tập luyện hoạt động tư duy thuật giải cho học sinh được không? 4.6. Kết quả thực nghiệm như thế nào? 5. Phương pháp nghiên cứu 5.1. Nghiên cứu lý luận * Nghiên cứu các văn kiện Đảng và nhà nước, của Bộ giáo dục đào tạo có liên quan đến việc dạy và học Toán ở trường phổ thông. * Các sách báo, tạp chí có liên quan đến nội dung đề tài. * Các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài (các luận văn, luận án, chuyên đề...) 5.2. Nghiên cứu thực tiễn * Dự giờ, quan sát giờ dạy của giáo viên và hoạt động học tập của học sinh trong quá trình dạy học nói chung, dạy học nội dung phương trình nói riêng. * Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và đối chứng trên cùng một lớp đối tượng. 6. Đóng góp của luận văn 6.1. Luận văn góp phần làm sáng tỏ nội dung khái niệm tư duy thuật giải và vai trò vị trí của việc phát triển tư duy thuật giải trong dạy học toán. 6.2. Xây dựng được các quy trình dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 6.3. Xác định được một số định hướng sư phạm phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 6.4. Khai thác được một số dạng phương trình có thể giúp học sinh xây dựng được thuật giải. 6.5. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên toán trung học phổ thông. 7. Cấu trúc luận văn Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo gồm có 3 chương. Chương 1. Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh phổ thông. 1.1. Cơ sở lý luận. 1.2. Khái niệm thuật toán. 1.3. Khái niệm tư duy thuật giải. 1.4. Vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong dạy học Toán. Chương 2. Một số định hướng sư phạm góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh trung học phổ thông khi dạy một số nội dung phương trình. 2.1. Các nguyên tắc dạy học theo hướng phát triển tư duy thuật giải. 2.2. Một số định hướng phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy học nội dung phương trình. 2.3. Hướng dẫn học sinh xây dựng thuật giải cho một số dạng phương trình. Chương 1 Tư duy thuật giải và vấn đề phát triển tư duy thuật giải cho học sinh thông qua môn Toán 1.1. Cơ sở lý luận 1.1.1. Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt động giao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học. Còn học tập là một quá trình xử lý thông tin. Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghi nhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối. Học sinh thực hiện các chức năng này bằng những hoạt động của mình. Thông qua hoạt động thúc đẩy sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tích cực. Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệ với nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một số trong những hoạt động đã phát hiện. Việc phân tích một hoạt động thành những hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độ phức hợp vừa sức họ. Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt là tri thức phương pháp. Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạt động khác. Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thể lại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn. Do đó cần phân bậc những hoạt động theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học. Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động. Luận văn được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học. Nội dung của quan điểm này được thể hiện một cách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau: * Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tương thích với nội dung và mục đích dạy học. * Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động. * Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả của hoạt động. * Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học. 1.1.2. Một số quan điểm khác Luận văn lấy quan điểm hoạt động làm nền tảng tâm lý học để nghiên cứu nhưng cũng dựa vào quan điểm của lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo bởi vì các quan điểm dạy học của các lý thuyết này có sự giao thoa với quan điểm của lý thuyết hoạt động. Theo lý thuyết tình huống thì học là sự thích ứng (bao gồm đồng hóa và điều tiết) đối với một môi trường sản sinh ra những mâu thuẫn, những khó khăn, những sự mất cân bằng. Một tình huống thường liên hệ với những quy trình hành động. Một yếu tố của tình huống mà sự thay đổi giá trị của nó có thể gây ra sự thay đổi quy trình giải quyết vấn đề của học sinh. Do đó trong quá trình dạy học ta cần soạn thảo ra tình huống tương ứng với tri thức cần dạy (tình huống cho tri thức đó một nghĩa đúng). Sau đó ủy thác tình huống này cho học sinh. Học sinh tiến hành hoạt động học tập diễn ra nhờ sự tương tác với môi trường. Theo lý thuyết kiến tạo, học tập là hoạt động thích ứng của người học. Do đó dạy học phải là dạy hoạt động, tổ chức các tình huống học tập đòi hỏi sự thích ứng của học sinh, qua đó học sinh kiến tạo được kiến thức, đồng thời phát triển được trí tuệ và nhân cách của mình. Như vậy, nếu phân tích rõ quan điểm dạy học theo lý thuyết tình huống và lý thuyết kiến tạo sẽ góp phần phát triển phương pháp dạy học phát triển tư duy thuật giải cho học sinh. 1.2. Khái niệm thuật toán Khái niệm tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật toán. Do đó trước khi đưa ra khái niệm tư duy thuật giải ta hãy nghiên cứu khái niệm thuật toán. 1.2.1. Nghiên cứu khái niệm thuật toán a. Khái niệm bài toán Trong tin học, người ta quan niệm bài toán là một việc nào đó ta muốn máy tính thực hiện. Những việc như đưa một dòng chữ ra màn hình, giải phương trình bậc hai, quản lý cán bộ của một cơ quan... là những ví dụ về bài toán. Khi dùng máy tính giải toán, ta cần quan tâm đến hai yếu tố: Đưa vào máy thông tin gì (Input) và lấy ra thông tin gì (Output). Do đó để phát biểu một bài toán, ta cần phải trình bày rõ Input và Output của bài toán và mối quan hệ giữa Input và Output. Ví dụ 1: Bài toán tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương. Input: Hai số nguyên dương M và N. Output: ước chung lớn nhất của M và N. Ví dụ 2: Bài toán tìm nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a0) Input: Các số thực a, b, c. (a0) Output: Tất cả các số thực x thỏa mãn: ax2 + bx + c = 0 ở đây Output có thể là một hoặc hai số thực hoặc câu trả lời không có số thực nào như vậy. Qua các ví dụ trên, ta thấy các bài toán được cấu tạo bởi hai thành phần cơ bản: Input: Các thông tin đã có. Output: Các thông tin cần tìm từ Input. b. Khái niệm thuật toán Việc cho một bài toán là mô tả rõ Input cho trước và Output cần tìm. Vấn đề là làm thế nào để tìm ra Output. Việc chỉ ra tường minh một cách tìm Output của bài toán được gọi là một thuật toán (algorithm) giải bài toán đó. Có nhiều định nghĩa khác nhau về thuật toán. Dựa vào sự phân tích trên ta có thể định nghĩa thuật toán như sau: Thuật toán để giải một bài toán là một dãy hữu hạn các thao tác được sắp xếp theo một trình tự xác định sao cho sau khi thực hiện dãy thao tác ấy, từ Input của bài toán, ta nhận được Output cần tìm. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của một dãy số nguyên. + Xác định bài toán. + Input: Số nguyên dương N và dãy N số nguyên a1, a2, ...an. + Output: Giá trị lớn nhất Max của dãy số. * ý tưởng: - Khởi tạo giá trị Max = a1. - Lần lượt với i từ 2 đến N, so sánh giá trị số hạng ai với giá trị Max, nếu ai > Max thì Max nhận giá trị mới là ai. * Thuật toán: Thuật toán giải bài toán này có thể được mô tả theo cách liệt kê như sau: Bước 1: Nhập N và dãy a1, a2, ...,an. Bước 2: Max = ai ; i: = 2 Bước 3: Nếu i > N thì đưa ra giá trị Max rồi kết thúc. Bước 4: + Bước 4.1. Nếu ai > Max thì Max: = ai + Bước 4.2. Nếu i: = i + 1 rồi quay lại bước 3. Từ định nghĩa ta thấy thuật toán có các tính chất sau: * Tính dừng: Thuật toán phải kết thúc sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác. * Tính xác định: Sau khi thực hiện một thao tác thì hoặc là thuật toán kết thúc hoặc là có đúng một thao tác xác định để được thực hiện tiếp theo. * Tính đúng đắn: sau khi thuật toán kết thúc ta phải nhận được Output cần tìm. Ví dụ: Với thuật toán tìm Max đã xét: * Tính dừng: Vì giá trị của i mỗi lần tăng lên một đơn vị nên sau N lần thì i > N, khi đó kết quả của phép so sánh ở bước 3 xác định việc đưa ra giá trị Max rồi kết thúc. * Tính xác định: Thứ tự thực hiện các bước của thuật toán được mặc định là tuần tự nên sau bước 1 là bước 2, sau bước 2 là bước 3. Kết quả các bước so sánh trong bước 3 và bước 4 đều xác định duy nhất bước tiếp theo cần thực hiện. * Tính đúng đắn: Vì thuật toán so sánh Max với từng số hạng của dãy số và thực hiện Max: = ai nếu ai > Max nên sau khi so sánh hết N số hạng của dãy thì Max là giá trị lớn nhất. Ví dụ: Tính tổng các số nguyên dương lẻ trong khoảng từ 1 đến n. - Xác định bài toán: + Input: N là số nguyên dương lẻ. + Output: Tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến n. * Thuật toán tính tổng các số nguyên dương lẻ từ 1 đến N như sau: Bước 1: Hỏi giá trị của N. Bước 2: S: = 0 Bước 3: i = 1. Bước 4: Nếu i = N+1 thì sang bước 8, ngược lại sang bước 5. Bước 5: Cộng thêm i vào S. Bước 6: Cộng thêm 2 vào i. Bước 7: Quay lại bước 4. Bước 8: Tổng cần tìm chính là S. Ta chú ý đến bước 4. ở đây ta muốn kết thúc thuật toán khi giá trị của i vượt quá N. Thay vì viết "nếu i lớn hơn N" thì ta viết điều kiện "i = N+1" không phải lúc nào cũng đạt được. Vì ban đầu i là một số lẻ, sau mỗi bước i lại được tăng thêm 2 đơn vị nên i luôn luôn là số lẻ. Nếu N là số chẵn thì N + 1 là số lẻ nên sau một số bước nhất định, i sẽ bằng N + 1. Tuy nhiên, nếu N là số lẻ thì N + 1 là số chẵn, do i là số lẻ nên dù có qua bao nhiêu bước đi chăng nữa, i vẫn khác N + 1. Trong trường hợp đó, thuật toán trên bị quẩn (hay vi phạm tính dừng). Tính "đúng" là một tính chất khá hiển nhiên nhưng là tính chất khó đạt tới nhất. Thật vậy, khi giải quyết một số vấn đề bài toán, ta luôn mong muốn lời giải của mình sẽ cho kết quả đúng nhưng không phải lúc nào cũng đạt được. Mọi học sinh khi làm bài kiểm tra đều muốn bài làm của mình có đáp số đúng, nhưng trên thực tế, trong lớp chỉ có một số học sinh nhất định là có khả năng đưa ra lời giải đúng. 1.2.2. Các đặc trưng của thuật toán 1. Tính đơn trị Tính đơn trị của thuật toán đòi hỏi rằng các thao tác sơ cấp phải đơn trị, nghĩa là hai phần tử thuộc cùng một cơ cấu, thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng thì phải cho cùng kết quả. Ví dụ: Quy trình 4 bước để giải một bài toán. Bước 1. Tìm hiểu nội dung bài toán. Bước 2. Tìm đường lối giải toán. Bước 3. Thực hiện chương trình giải toán. Bước 4. Kiểm tra kết quả và nghiên cứu lời giải. Quy trình này không phải là một thuật toán vì tính đơn trị bị vi phạm. Chẳng hạn bước 1, bước 2, bước 3, bước 4 không được xác định vì người ta có thể hiểu và làm theo nhiều cách khác nhau. Từ tính đơn trị, ta cũng thấy được tính hình thức hóa của thuật toán. Bất kể cơ cấu nào, chỉ cần biết thực hiện đúng trình tự quy định là sẽ đi đến kết quả chứ không cần phải hiểu ý nghĩa của những thao tác này. Tính chất này hết sức quan trọng vì nhờ đó ta có thể giao cho những thiết bị tự động thực hiện thuật giải, làm một số công việc thay thế cho con người. 2. Tính hiệu quả Tính hiệu quả của thuật toán được đánh giá dựa trên một số tiêu chuẩn như: khối lượng tính toán, không gian và thời gian khi thuật toán được thực hiện. Tính hiệu quả của thuật toán là một yếu tố quyết định để đánh giá, chọn lựa cách giải quyết vấn đề - bài toán trên thực tế. Có rất nhiều phương pháp để đánh giá tính hiệu quả của thuật toán. Độ phức tạp của thuật toán là một tiêu chuẩn được dùng rộng rãi. 3. Tính tổng quát Thuật toán có tính tổng quát là thuật toán phải áp dụng được cho mọi trường hợp của bài toán chứ không phải chỉ áp dụng được cho một số trường hợp riêng lẻ nào đó. Chẳng hạn thuật toán giải phương trình bậc hai sau đây bằng Delta đảm bảo được tính chất này vì nó luôn luôn giải được với mọi giá trị số thực a, b, c bất kỳ. Tuy nhiên, không phải thuật toán nào cũng đảm bảo được tính tổng quát. Trong thực tế, có lúc người ta chỉ xây dựng thuật toán cho một dạng đặc trưng của bài toán mà thôi. Ví dụ: Thuật toán giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) 1. Cho biết giá trị ba hệ số a, b, c. 2. Nếu a = 0 thì: 2.1. Yêu cầu bài toán không đảm bảo. 2.2. Kết thúc thuật toán. 3. Nếu a 0 thì: 3.1. Tính giá trị D = b2 - 4ac 3.2. Nếu D > 0 thì: 3.2.1. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 3.2.2. Giá trị của hai nghiệm tính theo công thức: , 3.2.3. Kết thúc thuật toán. 3.3. Nếu D = 0. 3.3.1. Phương trình có nghiệm kép x0 3.3.2. Giá trị của nghiệm kép là 3.3.3. Kết thúc thuật toán. 3.4. Nếu D < 0 thì: 3.4.1. Phương trình vô nghiệm. 3.4.2. Kết thúc thuật toán. 1.2.3. Các phương pháp biểu diễn thuật toán Khi chứng minh hoặc giải một bài toán trong toán học, ta thường dùng những ngôn ngữ toán học như: "ta có", "điều phải chứng minh","giả thiết",... và sử dụng các phép suy luận toán học như phép kéo theo, phép tương đương,... Thuật toán là một phương pháp thể hiện lời giải một bài toán nên cũng phải tuân theo một số quy tắc nhất định. Để có thể truyền đạt thuật toán cho người khác hay chuyển thuật toán thành chương trình máy tính, ta phải có phương pháp biểu diễn thuật toán. Có 4 phương pháp biểu diễn thuật toán. 1. Ngôn ngữ t