Đề tài Không được tiếc thời gian để phân tích trên lớp những sai lầm của học sinh

Lôøi caûm ôn – ă Vă D – bi ử ỡ m ă ă ử nghi ử gử : www.tailieu.vn , www.baigiang.violet.vn , www.mathgroup.org , www.thucvientoanhoc.net ử : :0 6498 769 Mail: Ledethuong.tt@gmail.com. rầ :01649826097 Mail: Tungocsp510@gmail.com. rầ :0 6747 8 79 M : Tranquangsp@gmail.com. u 6 011 Nhóm 1 : 2011 2 – Mục lục I. do ch n t i ............. 5 Mục ch nghiên c u ........... 7II. Nhi m vụ nghiên c u ............7III. h ch th v i t ng nghiên c u ...................................................7IV. i thu t ho h c ...........7V. h ng ph p nghiên c u ...........8VI. u tr c t i ..................8VII. h ng I: Nghiên c u v c c s i lầm phổ bi n củ S hi gi i to n A. c s i lầm phổ bi n A. 1. S i lầm hi bi n ổi công th c ...9 A. 2. S i lầm hi gi i ph ng trình .......................................................................10 A. 3. S i lầm hi ch ng minh BĐT 11 A. 4. S i lầm hi tìm gi trị M x Min 1 A. 5. S i lầm hi gi i t m th c bậc h i .........................13 A. 6. S i lầm hi hi gi i h pt ..................................14 A. 7. S i lầm hi t nh giới hạn ............................................14 A. 8. S i lầm hi gi i to n liên qu n n ạo h m ..................................15 A. 9. S i lầm hi xét b i to n ti p x c v ti p tu n 15 A. 10. S i lầm hi xét c c ờng ti m cận 16 A. 11. S i lầm hi gi i to n ngu ên h m v t ch phân 17 B. hân t ch ngu ên nhân dẫn n c c s i lầm củ S hi gi i to n B. 1. Ngu ên nhân 1: i u hông ầ ủ v ch nh x c 17 B. 2. Nguyên nhân 2: hông nắm vững c u tr c lôgic .....21 B. 3. Ngu ên nhân : Thi u i n th c cần thi t v lôgic ....24 B. 4. Ngu ên nhân 4: S hông nắm vững ph ng ph p gi i .............26 h ng II: c bi n ph p rèn lu n năng lực gi i to n thông qu vi c phân t ch v sử chữ c c s i lầm củ S T T hi gi i to n A. sở l luận A. 1. luận v ph ng ph p dạ h c 9 : 2011 3 – A. 2. Những v n c b n củ v n tâm l dạ h c 1 B. B ph ng châm chỉ ạo B. 1. h ng châm 1: T nh ịp thời B. 2. h ng châm : T nh ch nh x c 4 B. 3. h ng châm : T nh gi o dục 5 C. B n bi n ph p s phạm chủ u C. 1. Bi n ph p 1: Tr ng bị ầ ủ ch nh x c 6 C. 2. Bi n ph p : Tr ng bị c c i n th c 47 C. 3. Bi n ph p : S c thử th ch 5 C. 4. Bi n ph p 4: Theo dõi th ờng xu ên sự xó bỏ ...............53 D. c êu cầu i với S v V D. 1. Rèn lu n th c v ch 56 D. 2. ình th nh hoạt ộng h c 57 D. 3. Xâ dựng u t n GV........................................................................................................57 h ng III: Thực nghi m s phạm 1. Mục ch thực nghi m 60 2. Nội dung th c nghi m 60 3. Tổ ch c thực nghi m ............60 4. h ng ph p ti n h nh ......................................................................................60 5. t luận th c nghi m 62 6. Đ nghị một s hi u bi t qu n tr ng 63 VIII. T i li u th m h o ....................................................................65 IX. hụ lục .........................66 1. hụ lục 1: hi u i u tr 66 : 2011 4 – B ng hi u vi t tắt ! i i qu t xong v n . ? S i lầm. Đ o ẳng Đ Đại h c Đ S Đại h c s phạm. GD i o dục GDPT i o dục phổ thông. GV i o viên. HS c sinh. KT i n th c. N Tập s tự nhiên NCKH Nghiên c u ho h c. NT Nh tr ờng. PP h ng ph p. PT hổ thông. R Tập s thực SL S i lầm. SP S phạm. TL Tâm l . THPT Trung h c phổ thông. Z Tập s ngu ên : 2011 5 – I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Trong quá trình thực hiện bài tập giữa kỳ cho học phần P ươ p áp iê ứu khoa h c, chúng tôi đã suy nghĩ rất nhiều về việc lựa chọn một đề tài thực sự thiết thực, phù hợp với khả năng của cả nhóm và đặc biệt là hữu ích cho các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Huế. Sau một quá trình thảo luận đầy nghiêm túc, chúng tôi đã thống nhất theo các quan điểm sau: - Toán học là một bộ môn khoa học quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế trong các nghành khoa học kỹ thuật. Cũng giống như các môn thể thao trí tuệ khác, Toán học giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết các vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo. Nó còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác như cần cù và nhẫn nại, tự lực gánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, ham chuộng định lí. Dù bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn. Đó chính là lý do chương trình GDPT hiện nay luôn xem toán học là một trong các môn học chính, không thể thay thế. Các trường THPT cũng rất xem trọng bộ môn này, đặc biệt là đối với khối 12 - khối học chuẩn bị bước vào kỳ thi tốt nghiệp có môn toán là cố định. Tuy nhiên, khảo sát thực tiễn dạy toán ở nước ta trong nhiều năm qua có thể thấy rằng chất lượng dạy toán ở trường phổ thông còn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp toán học. - Giáo viên dạy toán chính là các huấn luyện viên trong môn thể thao trí tuệ này. Công việc dạy toán của chúng ta nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy toán học cùng những phẩm chất của con người lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương lai của đất nước. Do vậy, sinh viên sư phạm chúng ta cần ý thức được sứ mệnh cao cả này để không ngừng phấn đấu học tập, rèn luyện để đáp ứng yêu cầu của nghề nghiệp. Tuy nhiên, nhiều giáo viên vẫn chưa thực sự làm tốt chức năng sư phạm của mình, trong đó nhiều giáo viên còn ít kinh ngiệm trong các việc: phát hiện sai lầm của học sinh khi giải toán, tìm ra những nguyên nhân của những sai lầm đó và những biện pháp hạn chế, sửa chữa chúng, thậm chí là sai lầm khi không chú ý đến các sai lầm của các em và không đưa ra được biện pháp đúng đắn, kịp thời. : 2011 6 – Dẫn đến hiệu quả GD không cao. Vấn đề này đã được các nhà tâm lý và GD học quan tâm đến. Vd: J.A.Komensky đã khẳng định: “Bất kỳ một sai lầm nào củng có thể làm cho học sinh học kém đi nếu như GV không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hướng dẫn HS tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm”. A.A.Stoliar còn nhấn mạnh: “ Không được tiếc thời gian để phân tích trên lớp những sai lầm của học sinh”. - Hiện nay, nhiều học sinh có cảm giác mất gốc toán trầm trọng, dẫn đến các em ngại học môn toán, không có ý chí học tập. Ngược lại, nhiều em là học sinh khá giỏi, thậm chí là xuất sắc nhưng vẫn mắc các sai lầm khá cơ bản, thậm chí là phổ biến. B.V.Gownhenvenco khi nêu ra 5 phẩm chất toán học thì đã có nói tới 3 phẩm chất liên quan tới việc tránh các sai lầm khi giải toán:  Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận; thấy sự thiếu các mắc xích cần thiết của chứng minh.  Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ.  Sự chính xác của lí luận. - Các tài liệu nghiên cứu về sai lầm của HS THPT có khá nhiều, gồm cả tài liệu trong và ngoài nước. Nhưng các tài liệu đó vẫn chưa thực sự phổ biến và thiết thực cho cả HS và SV khoa toán chúng ta. - Chúng tôi chọn đối tượng là học sinh THPT vì bậc học này có nhiệm vụ hoàn chỉnh GDPT, chuẩn bị cho HS ra cuộc sống và một bộ phận lên học bậc Trung cấp chuyên nghiệp, Cao Đẳng, Đại Học. Do vậy, nếu HS bậc học này mắc sai lầm thì sẽ đi đến những hậu quả khá nghiêm trọng. Từ việc nhất quán các quan điểm trên, chúng tôi đã đi đến thống nhất lựa chọn đề tài: PHÂN TÍCH VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN : 2011 7 – II. MỤ ĐÍ N IÊN ỨU. Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán, đồng thời đề xuất các giải pháp sư phạm để hạn chế và sửa chữa các sai lầm này, nằm chủ yếu qua phân môn ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho HS và góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán trong các trường THPT. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:  Điều tra các sai lầm phổ biến của học sinh THPT khi giải toán.  Phân tích các nguyên nhân sai lầm của học sinh khi giải toán.  Đề xuất các biện pháp sư phạm với các tình huống điển hình để hạn chế, sửa chữa các sai lầm của HS THPT khi giải toán.  Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp được đề xuất. IV. KHÁCH THỂ VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU. Khách thể và đối tượng nghiên cứu của đề tài bao gồm:  Học sinh THPT của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế.  Giáo viên dạy toán THPT của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế.  Môi trường sư phạm của một số trường cấp III trên địa bàn thành phố Huế, đặc biệt là trong các giờ học toán. V. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC. Nếu các GV toán ở trường THPT nắm bắt được các sai lầm phổ biến của học sinh khi giải toán, đồng thời biết cách phân tích và sử dụng các biện pháp dạy học thích hợp để hạn chế, sửa chữa các sai lầm này thì năng lực giải toán của học sinh sẽ được nâng cao hơn, từ đó chất lượng giáo dục toán học sẽ tốt hơn. : 2011 8 – VI. ƯƠN Á N IÊN ỨU. 1. Nghiên c u lý luận: Cơ sở lý luận về tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học môn toán, điều khiển học, thông tin học để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh THPT khi giải toán. 2. Đi u tra tìm hi u: Tiến hành tìm hiểu về các sai lầm thông qua các GV toán ở trên địa bàn thành phố Huế, thông qua bài kiểm tra trực tiếp HS ở các trường THPT. 3. Thực nghi m s phạm: Tiến hành điều tra và đánh giá mức độ mắc sai lầm của HS lớp 11A2 trường THPT Quốc học. Qua đó nhận thức được vai trò của đề tài và đề xuất một số ý kiến đối với SV khoa toán chúng ta. VII. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài chúng tôi thực hiện gồm 3 chương:  : Nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán.  2: Các biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho HS THPT thông qua phân tích và sửa chữa sai lầm.  : Thực nghiệm sư phạm. Ngoài ra đề tài còn có 2 bảng, 8 sơ đồ và 1 phụ lục. : 2011 9 – h ng I Nghiên c u v các sai lầm phổ bi n của h c sinh phổ thông trung h c khi gi i toán. Theo từ điển tiếng việt thì:  Sai lầm: là trái với yêu cầu khách quan hoặc lẽ phải, dẫn đến hậu quả không hay.  Phổ biến: là có tính chất chung, có thể áp dụng cho cả một tập hợp hiện tượng, sự vật. Với cách hiểu trên, chúng tôi đã nghiên cứu các sai lầm phổ biến của HS THPT khi giải toán. Học sinh THPT hiện nay vẫn mắc nhiếu sai lầm khi giải toán và mọi đối tượng học sinh đều có thể mắc sai lầm khi giải toán. Một số nguyên nhân nổi trội: - Không hiểu khái niệm, nội dung, tính toán nhầm lẫn. - Xét thiếu trường hợp, không logic trong suy diễn . - Hiểu sai đề toán, thiếu điều kiện, quên xét điều kiện - Nhớ sai công thức, tính chất, diễn đạt kém.... Từ việc điều tra, nghiên cứu…một số lớp học trên địa bàn thành phố Huế cũng như thông qua các kỳ thi, chúng tôi đi đến kết quả sau: “ Học sinh còn mắc nhiều sai lầm khi giải toán, kể cả học sinh khá giỏi ở các lớp chuyên”. Dưới đây là những sai lầm phổ biến mà học sinh khá giỏi thường mắc phải.Đây là những sai lầm có tần xuất cao trong các lời giải toán của học sinh.Như đã nói, các sai lầm này nằm chủ yếu ở bộ môn Đại số - Giải tích của phổ thông trung học. A. Một s sai lầm th ờng gặp. A. 1. Sai lầm khi biến đổi công thức. - Những sai lầm khi biến đổi công thức thường mắc khi sử dụng các đẳng thức mà không phải là hằng đẳng thức, đó là các “á đẳng thức”- chưa đúng với điều kiện : 2011 10 – nào đó. Đôi khi sai lầm xuất hiện do hiểu nhầm công thức, sử dụng công thức mà quên mất điều kiện ràng buộc . - Các ví dụ: Sai Đúng log log log log | | 2.2 x = 4 x 2.2 x = 2 1+x A. 2. Sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình. - Những sai lầm khi giải phương trình thường mắc khi HS vi phạm quy tắc biến đổi phương trình, bất phương trình tương đương. Đặt thừa hay thiếu các điều kiện đều dẩn đến những sai lầm, thậm chí sai đến mức không giải được nữa! Một sai lầm còn do hậu quả của việc biến đổi công thức không đúng ( Xem mục VII. A. 1). - Các ví dụ: Sai Đúng 3 2 3 2 2 2 3 6 9 9( 2 3) 3 ( 2 3) 9( 2 3) 3 9 3 x x x x x x x x x x x x                3 2 2 2 2 2 2 2 3 6 9 9( 2 3) 3 ( 2 3) 9( 2 3) (3 9)( 2 3) 0 3 9 0 2 3 0 3 1 3 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                                  : 2011 11 –           2 2 2 2 lg x 2mx – lg x 1 0 lg x 2mx lg x 1 x 2mx x 1 x 2m 1 x 1 0                 m duy nh t khi: 2 2 (2 1) 4 0 4 4 3 0 3 2 1 2 m m m m m                         2 2 2 2 lg x 2mx – lg x 1 0 lg x 2mx lg x 1 1 x 2mx x 1 1 x (2m-1)x +1 0(*) x x                   m duy nh t khi: 2 2 (2 1) 4 0 4 4 3 0 3 2 1 2 m m m m m                 :  m = 3/2: Pt(*) trở thành 1 1(lo i)  m = -1/2: Pt(*) trở thành 1 1(lo i) V y không t n t t nghi m duy nh t. A. 3. Sai lầm khi khi chứng minh bất đẳng thức. - Các sai lầm thường bắt nguồn khi vận dụng các bất đẳng thức cổ điển mà không để ý đến điều kiện để bất đẳng thức đúng, sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ bất đẳng thức này suy ra bất đẳng thức kia. - Các ví dụ: : 2011 12 – VD: So sánh 1 Giải: Áp dụng BDT Cauchy cho 2 số x và ta có: 1 √ 1 Đẳng thức xảy ra khi : x = hay x 2 =1 hay x= 1 Sai lầm: Học sinh mắc sai lầm vì không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức Cauchy: √ Với a , b A. 4. Sai lầm khi tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. - Những sai lầm khi tìm giá trị lớn nhát và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay của biểu thức nhiều ẩn thường do vi phạm quy tắc suy luận lôgic:  “ Nếu{ f x m x x f x m thì min f x m”  “ Nếu{ f x M x x f x M thì m x f x M ” - Đối với biểu thức nhiều ẩn cũng có quy tắc tương tự. - Các ví dụ: VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của : F(x,y) = (x+y) 2 + (x+1) 2 + (y+1) 2 Giải: Với mọi x, y R thì (x+y) 2 (x+1) 2 (y+1) 2 Vậy F(x,y) hay min x : 2011 13 – Sai lầm :HS không chỉ ra các giá trị của x, y để F(x,y)=0. Nhớ rằng: F(x,y) và nếu tồn tại sao cho F( )=0 thì mới kết luận min x . Đối với bài này thì không tồn tại để F( )=0. Sửa lại: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta được: 1= | x x 1 | √ √ x 1 √ √ x 1 x x Đẳng thức xảy ra khi: => { 1 { 4 5 KL: Min x 1 { 4 5 A. 5. Sai lầm khi giải các bài toán tam thức bậc hai. - Khi giải toán tam thức bậc hai, các sai lầm xuất hiện do không chú ý đến giả thiết của các định lý mà đã vội vàng áp dụng hoặc là lạm dụng suy diễn những mệnh đề không đúng hoặc xét thiếu trường hợp cần biện luận. - Các ví dụ: VD: Tìm m sao cho: 1 (*) 1 : 2011 14 – 1 Sai lầm: khi nhân hai vế của (*) với khi chưa biết dấu của biểu thức này. A. 6. Sai lầm khi giải hệ phương trình, bất phương trình. - Sai lầm khi xét các loại hệ phương trình thường xuất phát từ nguyên nhân không nắm vững các phép biến đổi tương đương hoặc không để ý biện luận đủ các trường hợp xảy ra. - Các ví dụ: VD: Giải hệ phương trình:{ 1 4 Giải: Trừ từng vế của hai phương trình ta có: [ Vậy hệ có nghiệm x= -1 hoặc x=2. Sai lầm: Rõ ràng x=-1 không phải là nghiệm của hệ?? Cần lưu ý rằng: , , Lời giải trên đã vi phạm tính tương đương vì hiểu rằng: , A-B =0 Trong khi ta chỉ có: , A-B =0. Lời giải đúng là: Hệ tương đương với: { 1 Từ (**) ta có [ . Vì cả hai giá trị này đều không thỏa mãn nên hệ đã cho vô nghiệm. A. 7. Sai lầm khi tính giới hạn. - Tiếp xúc với các bài toán tính giới hạn, HS bước từ “vùng đất hữu hạn” sang “vùng đất vô hạn” với những đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn nên rất dễ mắc sai lầm. Các sai lầm của dạng toán này thường bắt nguồn từ việc không nắm vững các quy tắc vận dụng các định lí về giới hạn, đặc biệt là phạm vi có hiệu lực của định lí. : 2011 15 – - Các ví dụ: VD: Tính: L = lim √ √ √ Giải: Ta có: L= lim √ +lim √ +…..+lim √ = 0 + 0 + …+0 = 0 Sai lầm: Vì học sinh không nắm vững kiến thức: các phép toán giới hạn chỉ áp dụng cho hữu hạn số hạng, dẩn đến sai lầm trên. Lời giải đúng: 1 √ 1 √ 1 √ ớ 1 Do đó √ ∑ √ 1 mà lim √ 1 Theo Định lý kẹp thì L=1. A. 8. Sai lầm khi giải toán liên quan tới đạo hàm: - Các sai lầm liên quan tới khái niệm đạo hàm thường gặp khi tính đạo hàm và khi vận dụng đạo hàm để giải toán. - Các ví dụ: VD: Cho f(x) = { Tính f `(0)? Giải: Vì f(0) = 0 = const => f `(0)=0. Sai lầm : sai lầm của lời giải trên là khi thay x=0 vào f(x) rồi mới tính đạo hàm? Nếu cứ như vậy thì đạo hàm của f(x) tai mọi x đều bằng 0. Lời giải đúng: Theo định nghĩa ta có: F’(0) = lim = lim = * lim + = 1. : 2011 16 – A. 9. Sai lầm khi xét bài toán về tiếp xúc và tiếp tuyến - Các sai lầm khi xét bài toán loại này xuất phát từ việc không nắm vững thuật ngữ hoặc không hiểu đúng sự tiếp xúc của hai đồ thị là gì? - Các ví dụ: VD: Cho hàm số y = x - 3x + 1 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(3;19) tới đồ thị. Giải:Ta thấy f(3) = 19 A thuộc đồ thị. Vậy phương trình tiếp tuyến cần xác định là: y = f(3) = f’(3)(x - 3) y = 24x – 53. Sai lầm:Phương trình tiếp tuyến y = 24x – 53 là tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm) tất nhiên là kể từ A. Nhưng vẫn có thể tiếp tuyến đi qua A mà A không phải là tiếp điểm. Kết quả đúng là: Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn bài toán : y = 24(x - 3) + 19. y = (x - 3) + 19. A. 10. Sai lầm khi xét các đường tiệm cận của đồ thị. - Khái niệm về đường tiệm cận của đồ thị quan hệ chặt chẽ tới phép tính giới hạn (kể cả phép tính giới hạn một phía). Nhiều học sinh không nắm được định nghĩa mà chỉ nhìn vào hình thức của hàm số và suy đoán máy móc nên dẫn đến sai lầm. Tất nhiên việc tính các giới hạn sai cũng dẫn đến sai lầm khi tìm các đường tiệm cận. - Các ví dụ: VD: Tìm đường tiệm cận của đường y = √ Giải: Vì lim = nên đồ thị có hai đường tiệm cận đứng là x = 1. Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên lim không tồn tại. Suy ra đồ thị không có đường tiệm cận ngang. (?) Sai lầm: Vì tập xác định của hàm số là (-1; 1) nên chỉ có lim và lim .Do đó không viết lim . : 2011 17 – Cần lưu ý thêm đồ thị cũng không có tiệm cận xiên vì tập xác định của hàm số là (-1; 1). A. 11. Sai lầm khi giải toán nguyên hàm, tích phân - Những sai lầm loại này liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm và vận dụng sai các định lý, quy tắc. - Các ví dụ: VD: Tính ∫ x 1 dx. Giải:Ta có ∫ x 1 dx = c Sai lầm:Lời giải trên đã vận dụng công thức : ∫ x dx c với n 1 Ở đây phải đặt u = 2x + 1 du dx dx để có lời giải đúng. B. Phân tích các nguyên nhân dẫn tới sai lầm của h c sinh phổ thông trung h c khi gi i toán. B. 1. Nguyên nhân 1: Hiể k ô đầ đủ và chính xác các thuộc tính của các khái ni m toán h c. Chúng ta biết rằng: khái niệm là một trong các sản phẩm của tư duy toán học. Mỗi khái niệm đều có nội hàm và ngoại diện. Tập hợp các dấu hiệu đặc trưng cho bản chất của các đối tượng được phản ánh trong các khái niệm chính là nội hàm của các khái niệm. Tập hợp các đối tượng có chứa các dấu hiệu trên là chính là ngoại diện của khái niệm sẽ dẫn học sinh tới sự hiểu không trọn vẹn, thậm chí sai lệch bản chất của khái niệm. Từ đó, các sai lầm khi giải toán sẽ xuất hiện. Mặt khác nhiều khái niệm trong toán học là mở rộng hoặc thu hẹp của một khái niệm trước đó. V