Đề tài Lí thuyết động học của electron trong Klystron

BÁO CÁO Y HỌC HẠT NHÂN VÀ KĨ THUẬT XẠ TRỊ Đề tài: Lí thuyết động học của electron trong Klystron Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thái Hà SV thực hiện: Nguyễn Nhân Tĩnh Lớp : DTYS – K52 SHSV: 20072926 1. Giới thiệu Klystron là một thiết bị quan trọng trong máy gia tốc tuyến tính. Nó có chức năng tạo ra vi sóng công suất lớn để gia tốc chùm điện tử. Ở trong bài báo cáo này, em đề cập tới quá trình điện tử đi trong Klystron, cụ thể ở đây là khoang tạo búi. Các công thức, phương trình thể hiện sự chuyển động đó. Đây cũng là các công thức chính để thiết kế một Klystron. Lí thuyết mà em trình bày dưới đây nói lên sự quan trọng của hệ số ghép đôi (coupling coefficient) và các chùm điện tử đi trong các khoang . Điều này rất quan trọng, đặc biệt ở các sóng cỡ millimet, hoặc nguồn năng lượng có biên độ đỉnh rất lớn. Ở những sóng này sự ảnh hưởng của các khoang tới nhau là tất yếu. Bài báo cáo bao gồm hai phần đó là sự hình thành các búi điện tử trong khoang tạo búi của Klystron và lí thuyết về hệ số ghép đôi. 2. Lí thuyết về sự tạo búi của điện tử 2.1 Lịch sử hình thành của Klystron: Để tạo nên được Klystron như ngày nay, là sự đóng góp của rất nhiều người, từ lí thuyết cho tới thực tế. Ta sẽ điểm qua quá trinh hình thành nên Klystron. Người được nhắc đến đầu tiên phải là D.A Rozhansky, giáo sư vật lí ở trường Tổng Hợp Leningrad. Năm 1932 ông là người đầu tiên đưa ra phương pháp tạo chùm điện tử có “mật độ biến thiên”. Tuy nhiên ông lại không tạo ra chùm điện tử để kiểm tra lí thuyết của ông, và chính lí thuyết đó ông cũng không công bố. Tuy nhiên ông cũng làm việc với nhiều nhà vật lí trẻ trong học viện của ông, trong đó có Agnessa Arsenjeva, vợ của Oskar Heil. Vợ chồng nà Heil đã công bố các bài báo kinh điển về điều chế vận tốc và tạo búi điện tử vào năm 1935. Trước đó vào năm 1934 họ đã chế tạo ống điều chế vận tốc của điện tử Trong thời gian trước thế chiến thứ II, WW. Hansen, một phó giáo sư của đại học Standford, trong chương trình nghiên cứu chế tạo điện tử điện áp cao để sử dụng trong phổ tia X. Trong quá trình nghiên cứu ông đã tạo ra khoang vi sóng (cộng hưởng mà không phụ thuộc vào tụ điện và cuộn cảm, nên thực hiện ở điện áp, tần số cao, hiệu suất lớn). Ông cũng phát triển lí thuyết, làm các thành phần mạch, và nêu lên các lí thuyết đầu tiên về cho các khoang riêng có hình dạng khác nhau. Làm việc với Hansen ở học viện có hai anh em nhà Varian. Russell- một nhà vật lí, và Sigurd một phi công của hãng hàng không Mỹ Pan. Ngày 21-7-1937 Russ Varian đã viết trong nhật kí của mình một phác thảo về Oscillator hai khoang, và một tháng sau đó ông và anh trai của mình đã chế tạo nên nó. Việc sử dụng khoang cộng hưởng do Hansen chế tạo ra có nhiều hữu ích hơn là do vợ chồng nhà Heil làm ra năm 1934. Cũng trong năm đó, khái niệm klystron ra đời. 2.2 Cấu tạo Klystron Klystron bao gồm : - Cathode - Anode - Khoang tạo búi - Khoang cộng hưởng (khoang bẫy điện tử) - Các lưới gia tốc - Collector - Bộ phận làm mát - Nguồn cung cấp (Hình vẽ của một Klystron cơ bản như hình 1) Ở trong khuôn khổ bài tìm hiểu này, em chỉ đề cập chủ yếu tới hai khoang cơ bản trong Klystron là khoang tạo búi và khoang cộng hưởng. Hình 1: Cấu tạo của klystron 2.3 Xây dựng hệ thức động học Khi đặt điện áp vào sợi đốt ở cathode, sợi đốt được nung nóng và phát xạ ra điện tử. Giữa hai đầu cathode và anode có điện áp V 0 nên điện tử phun ra từ cathode sẽ được gia tốc bởi điện trường. Khi ra khỏi lưới 1, chùm điện tử có vận tốc v o và đi vào buồng đầu tiên là buồng tạo búi điện tử. Tại đây, chùm điện tử được kích thích bởi một nguồn sóng radio công suât thấp gọi là RF driver. Hình 2: Klystron hai khoang Phương trình của sóng RF: V 1 .sin(ωt) Động năng của e sau khi đi ra khỏi lưới là: .m.v 0 2 = e.V 0 (1) ở đây e là điện tích của điện tử. Sau khi ra khỏi lưới, chùm e sẽ chịu tác động của sóng điện từ (RF). Giả sử sau khi chịu tác động của RF, chùm e có vận tốc là “v” ta có biểu thức liên hệ: .m.v 2 - .m.v 0 2 = e.M.V 1 .sin(ωt) (2) Với M là hệ số ghép đôi (coupling coefficient) – ta sẽ tìm hiểu về hệ số này sau Từ đó ta có: v = v 0. 1 0 1 sin( ) MV t V  (3) Ta có công thức gần đúng sau: Với x <<1 thì ta có: (1 + x)n ≈ 1 + nx ở đây nếu ta có: V1 << V0 thì: v = v 0 (1 + 1 0 sin 2. MV t V  ) (4) Ta giả thiết, khoảng cách giữa hai khoang trống là “l”, tại thời điểm t 1 thì chùm điện tử ở trung tâm khoang tạo búi, sau khi đi qua khoang trống tới trung tâm khoang bẫy điện tử ở thời điểm t 2 .  t 2 = t 1 + = t 1 + 1 0 0 . v (1 sin ) 2. l M V t V  ≈ t 1 + - 1 1 0 sin 2. . o lMV t v V  (5) Nhân cả hai vế với ω ta có: ω.t 2 = ωt 1 + ω. – ω. 1 1 0 sin 2. . o lMV t v V  ωt 2 = ωt 1 + θ 0 – Xsin(ωt 1 ) (6) Với θ 0 = 0 1 v  và X = 1 0 0 2 lMV v V  gọi là các hệ số búi. Chúng ta sẽ khảo sát sự ảnh hưởng của θ 0 và X tới sự hình thành các búi điện tử. Dựa vào công thức (6) ta thấy, ωt 2 là một hàm số của ωt 1 . Ta bắt đầu khảo sát. Coi ωt 1 là một biến. - Khi X = 0. => ωt 2 = ωt 1 + θ 0 . Đây là đường thẳng qua gốc - Khi X tăng dần lên ta có hàm bắt đầu uốn cong gần theo dạng hình sin - Khi X > 1 ta có ωt 2 là một hàm đa trị của ωt 1 Tức là khi X >1 thì với mỗi giá trị của ωt 2 ta có thể tìm được nhiều giá trị của ωt 1 , hay khi ta tăng dần giá trị của X thì chùm điện tử bắt đầu tạo búi với các giá trị X gần giống nhau, còn với các giá trị X < 1, đồ thị là đơn điệu, hay cùm điện tử chuyển động tự do, đơn lẻ mà không chuyển động cặp với nhau. Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của ω.t 2 vào ω.t 1 với ảnh hưởng của hệ số búi X: Hình 2: Đồ thị thể hiện pha bắt đầu và tới của điện tử trong Klystron hai khoang như một hàm của hệ số tạo búi X Ta gọi số lượng điện tích đi từ khoang tạo búi từ thời điểm t 1 tới t 1 + dt 1 là Io.dt 1 và tại t 1 = 0 thì I 0 chính là cường độ dòng điện tử đi vào khoang và bắt đầu tạo búi. Điện tích này rời khỏi khoang tạo búi, qua drift space tới khoang bẫy điện tử, ở thời điểm t 2 tới t 2 + dt 2 . Gọi It là dòng tổng tới được khoang bẫy điện tử bao gồm dòng một chiều của điện tử và xoay chiều của sóng RF, thì theo định luật bảo toàn điện tích ta luôn có: Io.dt 1 = It.dt 2 (7) Trở lại với phương trình (6). Vi phân 2 vế của phương trình (6) ta có: d(ω.t 2 ) = d(ωt 1 ) – Xcos(ωt 1 ).d(ωt 1 ) bỏ ω ở cả hai vế ta có: d(t 2 ) = d(t 1 ) – Xcos(ωt 1 )d(t 1 ) ωt 2 ωt 1  2 1 ( ) ( ) d t d t = 1 – X.cos(ωt 1 ) (8) kết hợp với (7) ta có: It Io = 1 – Xcos(ωt 1 )  It = 1 1 cos( ) Io X t Từ công thức (9) ta có thể thấy sự phụ thuộc của dòng điện tử vào X. Tức là X chính là nhân tố tạo nên dạng sóng của dòng điện tử. Khi X = 0, It = Io => sóng là một đường thẳng. Khi X nhỏ: It I 0 (1 + Xcos(ωt 1 )) dạng sóng ta thu được là hình sin. Khi ta tăng dần X lên, ta thấy dòng điện tử bắt đầu xuất hiện các búi, và khi X 1 thì các búi này bắt đầu tách hẳn nhau ra, các điện tử sẽ đi thành từng búi riêng biệt với nhau, tùy vào hệ số X của mỗi điện tử. Chú ý X = 1 0 0 2 lMV v V  Đồ thị của It với sự ảnh hưởng của tham số X: Hình 3: dạng sóng của búi điện tử phụ thuộc vào X ( code vẽ đồ thị thể hiện sự thay đổi bằng Matlab phụ lục) Kết luận: Với sự tác động của sóng RF, thì chùm điện tử được tăng tốc hoặc giảm tốc theo các búi gọi là búi điện tử có vận tốc gần nhau. Vì It là hàm tuần hoàn của ωt 2 , vì vậy ta có thể phân tích nó thành chuỗi Fourier như sau: It = Io + 2 0 2 0 1 [ cos ( ) sin ( )] n n a n t b n t       (11) Với các hệ số a n và b n được cho bởi: a n = 0 0 2 0 2 1 cos ( ) ( ) t I n t d t            (12) Và: b n = 0 0 2 0 2 1 sin ( ) ( ) t I n t d t            (13) Ta có: ωt 2 = ωt 1 + θo – Xsinωt 1  ωt 2 – θo = ωt 1 – Xsinωt 1 Ta lại có: I t .d(ωt 2 ) = Io.d(ωt 1 ) Lần lượt thế vào phương trình (12) và (13) ta có: a n = 0 1 1 1 cos ( sin( )) ( ) t I I n t X t d t        (14) Và : b n = 0 1 1 1 sin ( sin( )) ( ) t I I n t X t d t        (15) Ta thấy ở biểu thức thứ (15) thì hàm số dưới dấu tích phân là hàm lẻ của ωt 1 , và cận tích phân thì đối xứng nhau:  b n = 0 Nó chỉ ra rằng biểu thức (14) cho hệ số a n biểu diễn cho hàm bessel của dạng đầu tiên và dạng thứ n : a n = 2.I 0 J n (nX) (16) Do đó thì tại khoang bẫy điện tử thì dòng It có thể viết lại thành: 0 0 1 0 1 2 ( )cos ( ) t n I I I J nX n t      (17) Khi n = 1 thì ta có dạng đơn giản của dòng I t là: 0 ( ) 1 0 1 0 0 1 2 ( )cos( ) Re[2 ( ) ] j t I I J X t I J X e       (18) Khi X < 1, ta có ... trong phương trình (17) hội tụ với mọi giá trị của t2. Cho X = 1 và X > 1, ta cho t 2 thay đổi ta sẽ thu được như hình vẽ (5) Hình 5: Hàm Bessel của biến nX. J 1 đạt giá trị cực đại tại nX = 1.84 và giá trị cực đại là 0.582 Biên độ điều hòa tương ứng với đỉnh của hàm Bessel. Nếu dòng It là một chuỗi các hàm δ thì tất cả các hàm điều hòa sẽ bằng nhau. Trong trường hợp này, nó gần như bằng nhau. 3. Phân tích tín hiệu nhỏ cho hệ số tạo cặp: Lý thuyết Feenberg và hầu hết các cuốn sách về Klystron xuất bản những năm 40 và đầu những năm 50 về thiết kế của Klystrons tất cả đều giả thiết là v 0 << c. Tuy nhiên với các máy Klystrons có công suất lớn, thì sự chuyển động của điện tử là lớn, nó có thể đạt tới vận tốc cỡ c/3 hoặc hơn nữa, vì vậy lí thuyết về chuyển động tương đối của điện tử là rất cần thiết trong thiết kế các Klystron và máy gia tốc như thế này. Và tiếp tục ta sẽ xác định một hệ số là hệ số tạo cặp – M. Trong chế tạo Klystron, thì có lẽ hệ số M là một hệ số quan trọng nhất. Hệ số khuếch đại của tín hiệu phụ thuộc trực tiếp vào hệ số M, (g = M2n, trong đó n là số khoang cộng hưởng). Hệ số M này cũng rất nhạy cảm với đường kính chìm tia, trong khi chẳng bao giờ ta có thể biết một cách chính xác giá trị đó. Do đó, những khác biệt trong tính toán hoặc mô phỏng sự khuếch đại của Klystron luôn luôn bắt nguồn từ sự không chính xác đó. Nó là cả một vấn đề mà ta không dễ giải quyết. Chúng ta sẽ bắt đầu tìm hiểu nó. Chúng ta bắt đầu với phương trình chuyển động của điện tử trong khoảng không lưới với điện trường E(z) được định nghĩa như sau: E z (z,t) = E m f(z)e jωt Trong đó thì f(z) là “field shape factor” – FSF. Và E m liên hệ với điện thế V 1 của sóng radio đi qua khoang trống qua phương trình: V 1 = 0 ( , ) d z E z t dz = j 0 ( )e d t m E f z dz   (21) Ta sẽ xét thông thông số, đó là α, ta gọi nó là độ sâu điều chế của chùng điện tử. α = (22) với các tín hiệu nhỏ thì α << 1 ta bắt đầu xét sự gia tốc của điện tử bắt đầu qua trường của khoang trống : 2 2 ( , ) ( ) j t m d z e e E z t E f z e dt m m   (23) ta nhân hai vế của phương trình (23) với 2dz, ta sẽ thu được bình phương của vi phân vận tốc v: 2 2 2 dz d z dt dt dt = 2 2 ( ) d dz dt dt dt = 2E m f(z)e jωt dz (24) Nếu trường điện từ trong khoang trống nhỏ ( α << 1), lúc đó vị trí của điện tử tại thời điểm t có thể tính xấp xỉ theo công thức: 0 v t z (25) Chúng ta đặt 0 e v    “the beam propagation factor”. Nhân 2 vế của phương trình (25) với e  ta được: ωt = e  z (26) Như vậy ta có được công thức liên hệ giữa t và z. Ta thế ωt bởi e  z vào phương trình (24) 2 2 ( ) d dz dt dt dt = 2E m f(z) e z e  dz Loại bỏ 2, chú ý: v = dz dt , tích phân 2 vế: j2 2 0 0 2 ( )e e d z m e v v E f z dz m     22 j 0 0 ( )e 2 2 e d z m mvmv eE f z dz    (27) Ở đây v là vận tốc của điện tử ở cuối của khoang trống, v 0 là vận tốc tương ứng với điện thế của chùm điện tử V 0 . Từ phương trình (27) ta thấy: vế trái của phương trình là hiệu động năng của điện tử ở và cuối khoang trống, sự thay đổi động năng này của điện tử khi đi được một khoảng cách có thể được biểu diễn bởi một điện thế gọi là điện thế hiệu dụng V eff ∆w = 22 0 2 2 mvmv  = eV eff Thế vào phương trinh (27) : V eff = j 0 ( )e e d z m E f z dz   = j z 0 E (z,t)e e d z dz   (28) Ta thiết lập tỉ số giữa điện thế hiệu dụng này với tích phân của điện trường trong ống, và định nghĩa tỉ số này, gọi là hệ số tạo cặp – M ( coupling coefficient) j 0 0 ( )e ( ) ( ) e d z z e d z E z dz M E z dz      (29) Ta thấy hệ số tạo cặp M là một đại lượng không thứ nguyên, nó chỉ phụ thuộc vào yếu tố định dạng trường ( f(z)). Nếu trường là một hằng số, thì tích phân ở mẫu là không đáng kể. Ta có thể tổng quát hóa phương trình (29), bằng tích phân suy rộng, tức là cận lấy tích phân sẽ là toàn bộ trục z. khi đó thì z sẽ không chỉ ở trong khoảng (0;d) mà là ( ; )  . Như hình vẽ (6) j e 1 ( )e ( ) ( ) e z z ff e z E z dz V M V E z dz           (30) Nói cách khác, M là kết quả của tích chập điện trường ( ) z E z với số mũ j e e z (V eff )chia cho điện thế qua khoang trống (V 1 ) TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. High Power Klystrons: Theory and Practice at the Stanford Linear Accelerator Center - George Caryotakis 2. 3. 4. 5. 6. Và một số tài liệu khác PHỤ LỤC Tạo búi điện tử trong Klystron hai khoang: Chương trình được viết bởi C++, sử dụng thư viện đồ họa Mesa. The white coloured vertical line to the left of each screenshot is the buncher cavity, and a similar line towards the right in each screenshot is the catcher cavity. A small horizontal line over the virtical buncher cavity line shows the direction to the instantaneous RF field applied at the buncher cavity. The length of the horizontal line shows the strength of the electric field. The white dots, representing electrons, are generated randomly and pop onto the screen from the left side. As they move towards the right through the buncher cavity, their velocity is changed due to the RF field applied to buncher cavity. This change in the velocity of electrons causes "velocity modulation" which in turn causes bunching of the electrons as they travel towards the catcher cavity Fig 1.1 Here the electric field is directed towards the right. So the electrons entering from the left side get retarded. Fig 1.2 The electric field is now directed towards the left, thus accelerating the electrons coming from the left. These accelerated electrons are going to bump onto the previously slow moving retarded electrons. Such bunching can be seen taking place in the middle of the Klystron. Fig 1.3 A big bunch of electrons thus formed can be seen moving towards the catcher cavity. Fig 1.4 The electron bunch passes through the catcher cavity inducing sinusoidal oscillations whose magnitude will depend on the amount of bunching that has taken place. These sinusoidal oscillations induced are conceptually similar to those that are induced in a class C amplifier. Sau đây là code của chương trình: #include #include #include #include #include #include #include #include using namespace std; /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Time /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// float t; float dt = 0.01; void advance_time () { t += dt; } /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Sinusoid /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// class Sinusoid { public: float w; // radian frequency float A; // Amplitude Sinusoid (float frequency_ = 1, float amplitude_ = 1); float value (); }; Sinusoid::Sinusoid (float frequency_, float amplitude_) { w = frequency_; A = amplitude_; } float Sinusoid::value () { return A * sin(w * t); } /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Electron /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// enum ElectronState { Invalid, Valid }; class Electron { public: float x, y; float velocity; enum ElectronState state; bool affected_by_rf; public: Electron (); ~Electron (); void reset (); void advance (); }; Electron::Electron () : x(0), y(0), velocity(0), state(Invalid), affected_by_rf(false) { } Electron::~Electron () { } void Electron::reset () { x = 0; y = 0; affected_by_rf = false; state = Invalid; } void Electron::advance () { x += velocity; } /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Surface /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// class Surface { public: const int width; const int height; Surface (); ~Surface (); }; Surface::Surface () : width(800), height(100) { } Surface::~Surface () { } /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // Klystron /////////////////////////////////////////////////////////////////////////// // The vector of Electrons will grow initially. As the cavity gets // full with electrons, the size of the vector will stabilize struct BuncherCavity { int x; }; struct CatcherCavity { int x; }; class Klystron { public: vector elist; Sinusoid rfsignal; Surface surface; BuncherCavity buncher_cavity; CatcherCavity catcher_cavity; public: Klystron (); ~Klystron (); void randomize_electron (Electron&); void iterate (); void draw (); void draw_electrons (); }; Klystron::Klystron () : rfsignal(1, 1.5) { srand (time(0)); elist.reserve (100); buncher_cavity.x = 100; catcher_cavity.x = 700; } Klystron::~Klystron () { } void Klystron::randomize_electron (Electron& e) { e.x = 0; e.y = 100. * (((float) rand ()) / RAND_MAX); e.velocity = 3.0; } void Klystron::draw () { glColor3f(.5,.5,.5); glBegin (GL_LINE); glVertex2i (buncher_cavity.x, -100); glVertex2i (buncher_cavity.x, 200); glEnd (); glBegin (GL_LINE); glVertex2i (catcher_cavity.x, -100); glVertex2i (catcher_cavity.x, 200); glEnd (); glColor3f(1,1,1); glBegin (GL_LINE); glVertex3f ((float)buncher_cavity.x, 100+30., 0.); glVertex3f ((float)buncher_cavity.x - 10 * rfsignal.value(), 100+30., 0.); glEnd (); draw_electrons (); } void Klystron::draw_electrons () { glBegin (GL_POINTS); for (unsigned i = 0; i < elist.size(); i++) { if (elist[i].state == Valid) glVertex3f (int(elist[i].x), int(elist[i].y), 0); } glEnd (); } void Klystron::iterate () { // calculate the number of new electrons to be added int n = int (4.0 * float(rand()) / RAND_MAX); // cout << "elist size = " << elist.size() << endl; for (int i = 0; i < elist.size(); i++) { if (!elist[i].affected_by_rf && elist[i].x <= buncher_cavity.x && elist[i].x + elist[i].velocity > buncher_cavity.x) { //cout << "RF signal strength = " << rfsignal.value() << endl; elist[i].velocity += rfsignal.value(); elist[i].affected_by_rf = true; } elist[i].advance (); for (unsigned j = 0; j < elist.size(); j++) { if (i == j) continue; if (fabs(elist[i].y - elist[j].y) < 2.5 && fabs(elist[i].x - elist[j].x) < 2.5) { elist[i].velocity = (elist[i].velocity + e