Đề tài Nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm(∝,E1,E3) lồi trên tập (∝,E1,E2)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 MỤC LỤC Trang Mục lục……………………………………………………………... 1 Lời nói đầu…………………………………………………………. 2 Chương I. Tập  1 2, ,E E -lồi……………………………………... 4 1.1. Tập  1 2, ,E E -lồi……………………………………………… 4 1.2 Các ví dụ....................................................................................... 8 1.3 Các tính chất của tập  1 2, ,E E -lồi…………………………… 12 Chương II. Hàm  1 3, ,E E -lồi…………………………………... 30 2.1 Hàm  1 3, ,E E -lồi……………………………………………... 30 2.1.1 Định nghĩa hàm  1 3, ,E E -lồi……………………………….. 30 2.1.2 Các ví dụ……………………………………………………… 33 2.1.3 Các tính chất hình học-đại số của hàm  1 2, ,E E -lồi……… 36 2.2. Hàm  1 3, ,E E -tựa lồi……………………………………….. 49 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi……………………………………... 58 3.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu với hàm E -lồi…………………… 58 3.2 Một số kết quả cho bài toán  EP ………………….................… 59 3.3 Một số kết quả cho bài toán  EP ………………….................… 63 Kết luận…………………………………………………………… 69 Tài liệu tham khảo………………………………………………… 70 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2 LỜI NÓI ĐẦU Sau khi lý thuyết qui hoạch tuyến tính được hoàn thiện vào những năm 50 của thế kỉ trước, với nội dung cơ bản là thuật toán đơn hình của G. B. Dantzig, giải tích lồi đã được xây dựng và đóng vai trò quan trọng trong giải quyết các bài toán tối ưu lồi nói riêng và tối ưu phi tuyến nói chung. Mặc dù cho tới nay, nhiều nghiên cứu về giải tích lồi vẫn còn đang được tiến hành, nhưng có thể nói giải tích lồi đã trở thành lí thuyết hoàn chỉnh vào những năm 70 của thế kỉ trước với những cuốn sách kinh điển như Convex Analysis của R. T. Rockafellar (1970) và Nonlinear Programming của O. L. Mangasarian (1967),... Mặc dù là công cụ mạnh để giải quyết các bài toán tối ưu phi tuyến, nhiều bài toán thực tế vẫn không thể mô tả bởi các hàm lồi trên các tập lồi. Vì vậy, ngay trong giải tích lồi, các nhà toán học đã cố gắng mở rộng khái niệm hàm lồi. Bằng cách giữ lại một trong các tính chất cơ bản của hàm lồi làm định nghĩa hoặc tính chất cơ bản, lớp các hàm lồi suy rộng (hàm tựa lồi, hàm giả lồi, hàm lồi bất biến,…) đã được nghiên cứu sâu về mặt toán học và được áp dụng hiệu quả trong các bài toán thực tế. Một trong những suy rộng của hàm lồi được một số nhà nghiên cứu quan tâm trong khoảng mười năm trở lại đây là lớp hàm E -lồi do Ebrahim A. Youness đề xuất năm 1999 (xem [14]). Khái niệm hàm E -lồi là mở rộng khá tự nhiên của lớp hàm lồi. Trong luận văn này chúng tôi bước đầu nghiên cứu một lớp hàm mới là lớp hàm  1 3, ,E E -lồi trên tập  1 2, ,E E -lồi. Khái niệm  1 2, ,E E -lồi cho phép thống nhất một số khái niệm trong giải tích E -lồi (tập E -lồi, tập E -lồi mạnh, hàm E -lồi, hàm E -lồi mạnh, hàm semi hàm E -lồi,…). Bố cục luận văn gồm phần Mở đầu, Ba chương và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Tập  1 2, ,E E -lồi. Chương 2: Hàm  1 3, ,E E -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3 Chương 3: Tối ưu hàm E -lồi. Mặc dù những nghiên cứu trong luận văn mới chỉ ở dạng phác thảo, theo cảm nhận của chúng tôi, một số kết quả trong luận văn đã cho phép nhìn lại một số nghiên cứu về lớp hàm E -lồi, vì vậy khái niệm  1 2, ,E E -lồi có lẽ cũng đáng được quan tâm. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, nhân dịp này em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với Thầy. Em xin cảm ơn các thầy cô của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã tận tình giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn khoa Toán, khoa Sau Đại Học trường ĐHSP Thái Nguyên và trường Cao đẳng Kinh tế Kĩ thuật Thái Nguyên đã quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện kế hoạch học tập của mình. Xin cảm ơn người thân, đồng nghiệp, bạn bè đã cổ vũ động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 19.8.2010 Ngô Thị Thu Trang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4 Chương I. TẬP  1 2, ,E E – LỒI 1.1. Tập  1 2, ,E E -lồi Ta đã biết, một tập nM   được gọi là lồi nếu (1 )x y M    với mọi ,x y M và  0,1 . Nhằm mở rộng khái niệm tập lồi và hàm lồi với mục đích áp dụng giải bài toán tối ưu, Youness lần đầu tiên (1999, [14]) đã đưa ra khái niệm tập E -lồi. Ta có Định nghĩa 1.1 Cho tập nM   và ánh xạ : n nE   . Tập M được gọi là E -lồi trên tập E -lồi M (tương ứng với ánh xạ E ) nếu với mọi ,x y M và  0,1 ta có ( ) (1 ) ( )E x E y M   . (1.1) Rõ ràng, tập lồi là tập E -lồi với E I là ánh xạ đồng nhất ( ( )I x x với mọi nx ). Do đó, khái niệm E -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi. Ta có Mệnh đề 1.1 (Youness, 1999, [14], Proposition 2.2) Nếu M là tập E -lồi thì ( )E M M . Ta có một số nhận xét sau. Nhận xét 1.1 Tập M lồi (theo nghĩa thông thường) có thể không lồi tương ứng với ánh xạ E nào đó. Nói cách khác, ánh xạ E có thể làm biến dạng tập M (làm mất những tính chất đẹp của tập E ). Ví dụ 1.1 Tập M là hình vuông ABCD được cho bởi:   1 2 1 2, : 1 1; 1 1M x x x x x        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 Ánh xạ : n nE   được cho bởi công thức    1 2 1 2 1 , , 2 E x E x x x x         . Khi ấy  E M là hợp của hai tam giác AOB và COD nên không là tập lồi (Hình 1.1). Tuy nhiên, vì M là tập lồi nên bao hàm thức (1.1) nghiệm đúng với mọi ,x y M và  0,1 . Do đó M là tập E -lồi. Hình 1.1 Nhận xét 1.2 Tập M và ánh xạ E có thể rất đẹp, nhưng (1.1) có thể không được thỏa mãn. Nói cách khác, M không phải là E -lồi. Ví dụ 1.2 Tập M là hình tròn đơn vị (0,1)B tâm tại gốc   2 21 2 1 2, : 1M x x x x x    Ánh xạ : n nE   được cho bởi công thức      1 2 1 2, 2 ,2E x E x x x x  . Khi ấy  E M là hình tròn (0,2)B tâm tại gốc bán kính bằng 2 (Hình 1.2). Do  E M M nên M không phải là E -lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6 Hình 1.2 E. A. Youness và Tarek Emam đã đưa ra khái niệm tập E -lồi mạnh như sau. Định nghĩa 1.2 (Youness-Emam, 2005, [17]) Tập nM   được gọi là E -lồi mạnh (tương ứng với ánh xạ : n nE   ) nếu với mọi ,x y M ,  0;1 và  0,1 ta có    ( ) (1 ) ( )x E x y E y M       . (1.2) Nhằm thống nhất một cách hợp lí các khái niệm E -lồi và E -lồi mạnh (tương ứng, khái niệm hàm E -lồi và hàm E -lồi mạnh trong Chương 2), chúng tôi đưa ra khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi sau đây. Định nghĩa 1.3 ([9]) Cho trước tập nM   , hai ánh xạ 1,2 : n nE   và số   . Tập M được gọi là  1 2, ,E E -lồi nếu với mọi ,x y M và  0,1 ta có      1 1 2( ) (1 ) ( )x E x y E y E M       . (1.3) Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với mọi  0;1 thì ta nói M là tập  1 2,E E - lồi mạnh. Nếu bất đẳng thức (1.3) đúng với 0  thì ta nói M là tập  1 2,E E -lồi . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7 Nhận xét 1.3 Nếu 1 2E E I  và 0  thì (1.3) có dạng (1 )x y M    với mọi ,x y M và  0,1 . Vậy tập M là lồi theo nghĩa thông thường khi và chỉ khi nó là  0, ,I I -lồi. Nói cách khác, khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi là một sự mở rộng của khái niệm tập lồi thông thường. Nhận xét 1.4 Nếu 2E I , 1E E với : n nE   là một ánh xạ nào đó và 0  thì (1.3) có dạng ( ) (1 ) ( )E x E y M    với mọi ,x y M và  0,1 . Khi đó M là tập  0, ,E I -lồi khi và chỉ khi nó là tập E -lồi theo Định nghĩa 1.1. Như vậy, khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi là mở rộng của khái niệm E -lồi của Youness trong [14]. Nhận xét 1.5 Mọi tập bất kỳ đều là  0 01 20, ,E E -lồi với    0 01 2 0E x E x x  với mọi x M , trong đó 0x là một điểm bất kỳ nào đó của M . Nhận xét 1.6 Youness trong [14] đã định nghĩa tập E -lồi như sau. Định nghĩa 1.4 (Definition 2.1, [14]) A set nM   is said to be E -convex iff there is a map : n nE   such that  1 ( ) ( )E x E y M   , for each ,x M and 0 1  . Theo Nhận xét 1.5, rõ ràng luôn luôn tồn tại ánh xạ : n nE   (   0E x x với mọi x M , trong đó 0x là một điểm bất kỳ nào đó của M ), để ta có  1 ( ) ( )E x E y M    với mọi ,x y M và 0 1  . Do đó, theo Nhận xét 1.5 thì mọi tập M đều là E -lồi (với 0E E ) theo Định nghĩa 1.4. Vì vậy, Định nghĩa của Youness trong [14] cần được sửa lại như Định nghĩa 1.1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8 Nhận xét 1.7 Nếu tập nM   là  1 2,E E -lồi mạnh (  1 2, ,E E -lồi với mọi 0 1  ), với 1E E và 2E I thì M là E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Như vậy, tập  1 2,E E -lồi mạnh M là tập E -lồi mạnh (theo Định nghĩa 1.2) khi 2E I . 1.2 Các ví dụ Ví dụ 1.3 Cho   21 2 1 2; :1 4;1 4M x x x x      là một hình vuông trong 2 . Cho 2 2 1,2 :E   được xác định theo công thức    1 20,E x x ;    2 1 22,E x x x  với mọi   21 2,x x x  ; nghĩa là 1E là phép chiếu (vuông góc) từ 2 xuống trục tung, còn 2E là một ánh xạ tuyến tính giữ nguyên tọa độ 2x , tọa độ 1x được chuyển dịch sang trái 2 đơn vị (    2 1 2,E x z z với 1 1 2 22;z x z x   ). Ta có     21 1 2 1 2; : 0;1 4E M x x x x     và     22 1 2 1 2; : 1 2;1 4E M x x x x       . Vậy  1E M và  2E M là các tập lồi theo nghĩa thông thường và    1 2E M E M hay  1 1 2( ) (1 ) ( )E x E y E M    với mọi ,x y M và  0,1 . Vậy M là tập  1 20, ,E E -lồi. Tuy nhiên, M không phải là tập  1 21, ,E E -lồi. Thật vậy, ta chọn  4,1x M  và  4,4y M  . Khi ấy    1 0,1E x  ;    1 0,4E y  . Chọn 1 2   (và 1  đã chọn) ta được            1 1 21 4,5x E x y E y E M        . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9 Chứng tỏ M không phải là tập  1 21, ,E E -lồi. Chọn 1 2   và 0  ,  4,1x M  và  4,4y M  ta được        1 1 5 1 0, 2 x E x y E y M              . Chứng tỏ M cũng không phải là tập  10, ,E I -lồi, tức là M không phải là tập 1E -lồi (khái niệm  10, ,E I -lồi trùng với khái niệm 1E -lồi). Do đó M cũng không phải là tập 1E -lồi mạnh theo Định nghĩa 1.2. Ví dụ 1.4 Cho                     3 2 1 2 3 1 2 3 1 3 2 1 2 3 1 2 3 1 , , 0,0 2,1 0,3 ; , , 0, 1 , , 0,0 0, 3 2, 1 , , , 0; 1 . i i i i M x y x y x y x y                                                Khi ấy tập M là hợp của hai miền tam giác AOB và COD vậy M không phải là tập lồi (Hình 1.3), nhưng là  10, ,E I -lồi (hay M là 1E -lồi). Cho 2 2 1 :E   ,    1 20,E x x với  1 2,x x x hay 1E là phép chiếu (vuông góc) từ 2 xuống trục tung, 2E I với  I x x mọi 2x . Thật vậy, ta có     21 , , 0, 3 3E M x y x y M       là một tập lồi. Với mọi ,x y M ta có    1 1E x E M và    1 1E y E M . Chứng tỏ với mọi  0,1 thì    1 1 10 ( ) (1 ) 0 ( ) ( )x E x y E y E M M       hay M là tập  10, ,E I -lồi (hay 1E -lồi). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10 Hình 1.3 Ví dụ 1.5 Cho 2 2 1,2 :E   ;   2 1 1 21 1 2 2 4 , ; 3 3 x x x x E x x         ;    2 1 2 1, 2,E x x x  . Nhận xét rằng 1,2E là các ánh xạ tuyến tính. Tập M cho như trong Ví dụ 1.4. Khi đó ta có  2E M là hợp của hai miền tam giác ABC và ADE (Hình 1.4). Hình 1.4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11 Tập M không là tập lồi (xem Hình 1.3) và cũng không là  1 21, ,E E -lồi. Thật vậy, chọn  0,3x  ,  2, 1y    và 1 2   thì      1 1 0,3 2,1E x E  và      1 1 2, 1 0, 3E y E     thì ta có        1 1 21 ( ) (1 ) 1 ( ) 0,0x E x y E y E M      . Vậy tập M không phải là  1 21, ,E E -lồi. Ví dụ 1.6 Cho 2 2 1,2 :E   ;  1 1 2,E x x     2 1 2 2, 0,E x x x . Tập M được cho như sau:      2 21 2 1 2 1 2 1 2, : 1, 0 , : 1, 0M x x x x x x x x          . Tập M là hợp của hai tập lồi rời nhau, do đó không phải là tập lồi. Tuy nhiên,       1 2 2 20, ,E M E M x x   là tập lồi và  1E M M . Chứng tỏ M không phải là tập 1E -lồi theo nghĩa Youness, nhưng là tập  1 20, ,E E - lồi. Điều này nói lên rằng khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi “uyển chuyển” hơn khái niệm tập E -lồi. Kết luận Các ví dụ trên chứng tỏ một tập có thể là  1 2, ,E E -lồi với 1  và không là  1 2, ,E E -lồi với 2  nào đó. Tuơng tự, một tập có thể là  1 2, ,E E - lồi với 2E này nhưng không là  1 2, ,E E -lồi với 2E khác. Như vậy, một tập có thể không lồi theo nghĩa thông thường, nhưng có thể là  1 2, ,E E -lồi với một bộ  1 2, ,E E nào đó. Điều này cho phép mở rộng các khái niệm và kết quả của giải tích lồi sang cho giải tích  1 2, ,E E -lồi. Tuy nhiên, do các ánh xạ 1 2,E E được chọn tương đối tùy ý, nên ảnh của tập M có thể bị biến dạng mạnh và do đó ảnh của tập lồi có thể bị bóp méo và trở thành tập không lồi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12 theo nghĩa thông thường (mặc dù có thể là E -lồi). Điều này dẫn đến lưu ý rằng, mặc dù về mặt hình thức, khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi là mở rộng của khái niệm tập lồi, không có nghĩa là, khái niệm tập  1 2, ,E E -lồi phản ánh đúng thực chất cấu trúc của tập mà ta đang quan tâm. Dẫu sao nghiên cứu tập M qua ảnh ( )E M của nó có thể cho phép ta hiểu tốt hơn về tập M . 1.3 Các tính chất của tập  1 2, ,E E -lồi Cho nM   và 1,2 : n nE   . Mệnh đề 1.2 dưới đây là mở rộng của Mệnh đề 2.2 trong [14]. Mệnh đề 1.2 Nếu tập nM   là  1 2,E E -lồi tương ứng với các ánh xạ 1 2,E E thì  1 2( )E M E M . Chứng minh Vì M là tập  1 2,E E -lồi nên với mọi  , , 0,1x y M   ta có        1 1 21E x E y E M   . Lấy 1  thì    1 2E x E M với mọi x M , vậy    1 2E M E M . Mệnh đề được chứng minh. Nếu 2E I và 1E E thì Mệnh đề 1.1 là hệ quả của Mệnh đề 1.2. Theo một nghĩa nào đó, Mệnh đề dưới đây là đảo lại của Mệnh đề 1.2. Mệnh đề 1.3 Giả sử 1( )E M hoặc 2( )E M là tập lồi. Nếu  1 2( )E M E M thì M là tập  1 2,E E - lồi. Chứng minh Lấy ,x y là hai điểm bất kỳ thuộc M . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13 Trường hợp 1: 1( )E M là tập lồi. Khi ấy với mọi  0,1 ta có  1 1 1( ) (1 ) ( )E x E y E M    . Mặt khác,  1 2( )E M E M nên    1 1 1 2( ) (1 ) ( )E x E y E M E M     với mọi  0,1 . Vậy M là tập  1 2,E E -lồi. Trường hợp 2: 2( )E M là tập lồi. Vì theo giả thiết  1 2( )E M E M nên với mọi điểm ,x y bất kỳ thuộc M ta luôn có    1 1 2( )E x E M E M  và    1 1 2( )E y E M E M  . Vì 2( )E M là tập lồi nên  1 1 2( ) (1 ) ( )E x E y E M   . Vậy nếu 1( )E M hoặc 2( )E M là tập lồi thì M là tập  1 2,E E -lồi. Nếu 2E I và 1E E thì ta có Hệ quả 1.1 (Grace-Thangavelu, 2009, [7], Proposition 2.3) Giả sử ( )E M là tập lồi. Nếu ( )E M M thì M là E -lồi. Mệnh đề 1.4 Giả sử 1 : n nE   là ánh xạ tuyến tính, và 2 : n nE   thỏa mãn tính chất      2 1 2 2 2 1 2E M E M E M M   ; 1,2 nM   là các tập  1 2,E E -lồi. Khi ấy 1 2M M cũng là  1 2,E E -lồi. Chứng minh Lấy ,x y bất kỳ thuộc tập 1 2M M . Khi đó ta có 1 2x x x  với 1 1 2 2;x M x M  và 1 2y y y  với 1 1 2 2;y M y M  . Với mọi  0,1 , do 1E là ánh xạ tuyến tính nên    1 1 1 2 1 1 1 2( ) ( )E x E x x E x E x    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14 và    1 1 1 2 1 1 1 2( ) ( )E y E y y E y E y    . Do 1 nM   là tập  1 2,E E -lồi nên 1 1 1 1 2 1( ) (1 ) ( ) ( )E x E y E M   . Do 2 nM   là tập  1 2,E E -lồi nên 1 2 1 2 2 2( ) (1 ) ( ) ( )E x E y E M   . Vì 2E có tính chất      2 1 2 2 2 1 2E M E M E M M   nên ta có                           1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ( ) (1 ) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) . E x E y E x E x E y E y E x E y E x E y E M E M E M M                           Vậy với mọi 1 2,x y M M  và  0,1 ta có  1 1 2 1 2( ) (1 ) ( )E x E y E M M    . hay 1 2M M là tập  1 2,E E -lồi. Nhận xét 1.8 Nếu 2E là ánh xạ tuyến tính, tức là      2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2E t x t x t E x t E x   với mọi 1 2,t t  thì điều kiện      2 1 2 2 2 1 2E M E M E M M   mặc nhiên thỏa mãn. Nếu 2E I và 1E E thì ta có Hệ quả 1.2 (Younes, 1999, [14], Lemma 2.2) Giả sử : n nE   là ánh xạ tuyến tính, 1,2 nM   là các tập E -lồi. Khi ấy 1 2M M cũng là E -lồi. Mệnh đề 1.4 có thể được tổng quát hóa thành Mệnh đề 1.5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15 Giả sử 1,2 : n nE   là các ánh xạ tuyến tính, các tập , 1,iM i m là  1 2,E E -lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực it tập 1 m i i i M t M   là  1 2,E E -lồi. Chứng minh Lấy ,x y bất kỳ thuộc tập M . Khi đó tồn tại các phần tử , ( 1, )i i ix y M i m  sao cho 1 m i i i x t x   và 1 m i i i y t y   . Vì 1E là ánh xạ tuyến tính nên ta có        1 1 1 1 1 1 1 1 m m i i i i i i E x E y E t x E t y                        =            1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ... 1m m m mt E x t E x t E y t E y          =            1 1 1 1 1 1 11 ... 1m m mt E x E y t E x E y             . Vì , 1,iM i m là các tập  1 2,E E -lồi nên với mỗi i ta có        1 1 21i i iE x E y E M    Từ đó ta có            1 1 1 2 1 2 2 2 21 ... m mE x E y t E M t E M t E M       Vì 2E là ánh xạ tuyến tính nên                 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 ... ... ... . m m m m m m t E M t E M t E M E t M E t M E t M E t M t M t M E M            Suy ra với mọi ,x y bất kỳ thuộc tập M ta có        1 1 21E x E y E M   . Vậy theo định nghĩa, 1 m i i i M t M   là tập  1 2,E E -lồi. Nếu 2E I và 1E E thì ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 Hệ quả 1.3 (Grace-Thangavelu, 2009, [6], Proposition 5.1) Giả sử : n nE   là ánh xạ tuyến tính, các tập , 1,iM i m là E -lồi. Khi ấy với mọi bộ số thực it , 1,i m , tập 1 m i i i M t M   là E -lồi. Mệnh đề 1.6 Giả sử : n nE   là ánh xạ tuyến tính, 1( )E a a với một số thực na nào đó và M là tập  1 2,E E -lồi. Khi ấy nếu 2 : n nE   là ánh xạ có tính chất    2 2E