Đề tài Phân tích các dạng chuẩn hoá dữ liệu trong mô hình quan hệ và một số thuật toán

LỜI GIỚI THIỆU Ngày nay, mọi ngành, mọi lĩnh vực trong đời sống, trong khoa học kinh doanh cũng như trong mọi mặt vận động của xã hội dưới mọi quy mô từ xí nghiệp nhà máy, công ty đến quốc gia, quốc tế đều đã áp dụng công nghệ thông tin vào quản lý và nhiều lĩnh vực khác như: điều khiển các quá trình sản xuất, điều khiển tự động, trợ giúp quyết định, thương mại điện tử ... Môn cơ sở dữ liệu là một trong những môn quan trọng liên quan đến các vấn đề thu thập, xử lý và cho những thông tin cần thiết từ dữ liệu. Mục tiêu chính của môn này là đưa ra các phương pháp để tổ chức thông tin làm sao cho tối ưu nhất các khâu trên của dữ liệu[3]. Để tiến hành các mục tiêu trên, người ta đi xây dựng các mô hình dữ liệu, và trên cơ sở mô hình dữ liệu này người ta đi xây dựng các hệ cơ sở dữ liệu. Từ các mô hình này, nhân loại đã đạt được nhiều thành công rực rỡ trên lĩnh vực này mà sản phẩm của nó được thương mại hoá trên khắp thế giới như: Foxbase, Foxpro, DBase, Access, SQL for Windows,... Lý thuyết cơ sở dữ liệu nguyên cứu các cơ chế, nguyên lý và phương pháp tổ chức dữ liệu trên các vật mang tin để khai thác có hiệu quả dữ liệu trong các hệ thống tin học ứng dụng cũng như trong các hệ lưu trữ và tra cứu thông tin. Trong số các mô hình cho việc tổ chức và khai thác cơ sở dữ liệu (CSDL), trên thực tế mô hình quan hệ [6] là được quan tâm hơn cả. Bởi vì mô hình này được xây dựng trên cơ sở lý thuyết và các quan hệ có cơ sở toán học chặt chẽ, xử dụng rộng rãi các công cụ đại số và logíc. Trong cơ sở dữ liệu quan hệ, các quan hệ có hình ảnh trực quan như là các bảng biểu thông thường mà ta hay gặp. Điều đó tạo nên những thuận lợi trong việc thực hiện các thao tác trên các quan hệ, các ngôn ngữ thao tác trên cơ sở dữ liệu quan hệ có khả năng tổ hợp cao và hiệu quả. Việc cập nhật dữ liệu trong mô hình quan hệ khá dễ dàng. Điều đáng quan tâm là cơ sở dữ liệu quan hệ còn cho phép đảm bảo được tính an toàn dữ liệu, tính nhất quán dữ liệu và tính độc lập dữ liệu [5]. Trong quá trình nguyên cứu và xử lý bảng biểu, các bảng này do các chuyên gia trong lĩnh vực tin học đề xuất ra, trong những năm 1970, người sáng lập ra mô hình dữ liệu quan hệ đã đề xuất ra 4 dạng chuẩn để chuẩn hoá các tệp dữ liệu (các bảng biểu). Nhờ các dạng chuẩn này, khi xử lý các tệp dữ liệu người ta tách được dữ liệu gốc ( do các chuyên gia trong mọi lĩnh vực đề xuất ra ). Vì thế các tệp dữ liệu con đã ở trong dạng chuẩn rồi và khi xử lý người ta lưu trữ các tệp dữ liệu con trong máy chứ không phải là các tệp dữ liệu lớn, nhưng một điều rất quan trọng là, để khỏi mất mát thông tin ( có tính pháp lý ) thì phải phục hồi tệp gốc ở bất cứ thời điểm nào cần, muốn hồi phục được người ta phải dùng phép nối tự nhiên nối tất cả các tệp dữ liệu con thì ta sẽ được tệp dữ liệu gốc lớn. Việc lưu trữ các tệp dữ liệu con thường chiếm ít bộ nhớ hơn các tệp dữ liệu gốc to, tốc độ chuẩn hoá các tệp dữ liệu đã được chuẩn hoá nhanh hơn rất nhiều các tệp dữ liệu chưa được chuẩn hoá ( tệp dữ liệu gốc to). Nhờ có những đóng góp như vậy mà người sáng lập ra đã được nhận giải thưởng Turing[3]. Cho đến nay tất cả các hãng máy tính trên thế giới khi xây dựng Mô hình dữ liệu quan hệ ( xử lý các tệp dữ liệu ) đều đã áp dụng các phụ thuộc hàm và các dạng chuẩn trong ngôn ngữ sử lý của họ, trong đó đặc biệt là phép kết nối tự nhiên . Mục tiêu của luận văn là tập chung nghiên cứu các tính chất của phụ thuộc hàm và các dạng chuẩn của mô hình dữ liệu quan hệ. Nội dung chính của đề tài được trình bày trong 4 chương Chương 1: Tổng quan về cơ sở dữ liệu Chương 2: Giới thiệu về phụ thuộc hàm và một số tính chất của chúng Chương 3: Các dạng chuẩn hoá dữ liệu trong mô hình quan hệ và một số thuật toán của chúng Chương 4: Cài đặt một số chương trình thực hiện cho thuật toán đã nêu trên. Trong thời gian hoàn thành bản luận văn tốt nghiệp, em xin chân thành cảm ơn khoa CNTT và các thầy cô giáo đã giúp đỡ và truyền đạt cho em những kiến thức cơ bản trong những năm học vừa qua. Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy Đoàn Văn Ban - Viện CNTT đã tận tình giúp đỡ và chỉ dẫn cho em những kiến thức và phương pháp làm việc để em hoàn thành bản luận văn tốt nghiệp. CHƯƠNG I : TỔNG QUAN VỀ CƠ SỞ DỮ LIỆU I.1. KHÁI NIỆM VỀ CƠ SỞ DỮ LIỆU Để lý giải cho các khái niệm, trước hết chúng ta hãy xem xét hệ thống bán xe máy của công ty HONDA Việt Nam bằng máy tính. Dữ liệu lưu trữ trong máy tính bao gồm thông tin về hành khách, loại xe, phân khối và giá cả .... Mọi thông tin về mối quan hệ này được biểu diễn trong máy thông qua việc đặt mua xe của khách hàng.Vậy làm sao để biểu diễn dữ liệu đó và bảo đảm cho khách hàng mua đúng chiếc xe mà mình đăng kí. Những dữ liệu nêu trên được lưu trữ trong máy theo một quy định nào đó được gọi là cơ sở dữ liệu (CSDL). Phần chương trình để xử lý, thay đổi số liệu này là các hệ quản trị cơ sở dữ liệu [6]. Tổng quát chúng ta có các định nghĩa sau : 1. Cơ sở dữ liệu: Là khối dữ liệu phản ánh thông tin được lưu trữ trên hệ thống theo một cấu trúc nào đó gọi tắt là cơ sở dữ liệu ( CSDL ). 2. Hệ quản trị cơ sở dữ liệu: Là một hệ thống phần mềm quản lý cơ sở dữ liệu và tập các thao tác xử lý dữ liệu. Hệ quản trị cơ sở dữ liệu là rất quan trọng, như là một bộ diễn dịch với ngôn ngữ bậc cao nhằm giúp người sử dụng có thể dùng được hệ thống mà ít nhiều không cần quan tâm đến thuật toán chi tiết hoặc biểu diễn ở trong máy. 3. Chức năng của hệ quản trị cơ sở dữ liệu a. Thiết lấp cơ sở dữ liệu : Gồm các giai đoạn - Khai báo - Định nghĩa - Nạp dữ liệu vào cơ sở dữ liệu b. Cập nhật dữ liệu: - Bổ sung dữ liệu vào cơ sở dữ liệu, - Loại bỏ dữ liệu khỏi cơ sở dữ liệu, - Sửa dữ liệu trong cơ sở dữ liệu. c. Khai thác dữ liệu trong cơ sở dữ liệu - Tìm kiếm thông tin theo yêu cầu, - Kết xuất thông tin theo yêu cầu. I.2. KHÁI QUÁT CHUNG VỀ MÔ HÌNH DỮ LIỆU Thông thường việc thiết kế và xây dựng các hệ thống thông tin quản lý, chúng ta cần xử lý các tệp (tệp ) dữ liệu, các tệp này bao gồm nhiều bản ghi ( record ) và có cùng cấu trúc xác định. Đồng thời, mỗi bản ghi được phân chia thành các trường dữ liệu. Mỗi cơ sở dữ liệu là một hệ thống các tệp dữ liệu , mỗi tệp này có cấu trúc bản ghi khác nhau . Mỗi hệ quản trị cơ sở dữ liệu là một hệ thống quản lý và điều hành các tệp dữ liệu. Trong quá trình thiết kế và xây dựng các hệ quản trị cơ sở dữ liệu, người ta tiến hành xây dựng các mô hình dữ liệu. Mô hình dữ liệu phải thể hiện được bản chất mối quan hệ cơ bản của các dữ liệu mà dữ liệu này phản ánh các mối quan hệ và các thực thể trong thế giới thực. Có thể thấy mô hình dữ liệu phản ánh khía cạnh cấu trúc logíc mà không đi vào khía cạnh vật lý của cơ sở dữ liệu. Yếu tố quan trọng nhất của cấu trúc cơ sở dữ liệu là dạng cấu trúc dữ liệu lưu trữ được mô tả. Có thể thấy rằng loại dữ liệu nền tảng của việc mô tả các mối quan hệ là loại bản ghi. Bởi vì các ràng buộc giữa các loại bản ghi tạo ra bản chất cấu trúc cơ sở dữ liệu. Vì thế dựa trên việc xác định các ràng buộc giữa các loại dữ liệu được cho như thế nào mà chúng ta phân loại các mô hình dữ liệu. Có nghĩa là từ cách nhìn của người sử dụng việc mô tả các dữ liệu và các ràng buộc giữa các dữ liệu được thực hiện như thế nào. Hiện nay đã có nhiều loại mô hìmh dữ liệu. Bốn loại mô hình dữ liệu đang được sử dụng rộng rãi là: Mô hình phân cấp, Mô hình mạng, Mô hình quan hệ, Mô hình hướng đối tượng. I.2.1. Mô hình phân cấp [6] Mô hình dưc liệu là một cây, trong đó các nút biểu diễn các tập thực thể, giữa các con và nút cha được liên hệ theo một mối quan hệ xác định ( Dựa trên cấu trúc cây) Ví dụ hình sau: Gốc Alà thực thể lớn, ta chia thực thể A làm 3 thực thể nhỏ hơn là B,C,D. Trong đó thực thể B ta lại chia ra làm 3 thực thể nhỏ hơn là G,H,I, tương tự C có hai thực thể nhỏ là K và L, và D có 3 thực thể nhỏ là M,N và P B D C G H I K L M N P A I.2.2. Mô hình mạng [6] Mô hình biểu diễn là một đồ thị có hướng ( Cấu trúc đồ thị ) A B D C E Ví dụ: Mô tả cho mô hình dữ liệu mạng: Cho 5 đỉnh A,B,C,D,E. Các đỉnh này nối với nhau bởi các đường, trong đó đỉnh A gọi là tệp dữ liệu lớn được phân chia thành các tệp dữ liệu nhỏ hơn. Tương tự ta có các đỉnh tiếp theo được thể hiện giống như đỉnh A và chúng được biểu diễn như hình trên. I.2.3. Mô hình quan hệ [6] Mô hình này dựa trên cơ sở khái niệm lý thuyết tập hợp của các quan hệ, tức là tập các k _ bộ với k là cố định, các ràng buộc trên được thể hiện qua các quan hệ (bảng ). I.2.4. Mô hình hướng đối tượng Hệ thống được xem như là tập các thực thể ( Đối tượng ), tác động qua lại với nhau thông qua các thông báo để thực hiện các nhiệm vụ đặt ra. Đây là mô hình mới đang được tập trung nghiên cứu và phát triển ứng dụng. Trong 4 loại mô hình trên thì mô hình quan hệ có nhiều ưu điểm và được nhiều người quan tâm hơn cả, bởi lẽ mô hình dữ liệu quan hệ có tính độc lập dữ liệu rất cao, lại rễ sử dụng. Điều quan trọng hơn cả là mô hình quan hệ được hình thức hoá toán học tốt, do đó được nghiên cứu, phát triển và cho được nhiều kết quả lý thuyết cũng như ứng dụng trong thực tiễn . Mô hình dữ liệu quan hệ là một mô hình rất tiện lợi để mô tả cấu trúc Logíc của các cơ sở dữ liệu. Như vậy, ở mức logíc mô hình bao gồm các tệp được biểu diễn dưới dạng các bảng. Do đó đơn vị cơ sở dữ liệu quan hệ là một bảng, trong đó các dòng của bảng là các bản ghi dữ liệu cụ thể ( đó là các thể hiện cụ thể của các bản ghi ) còn tên các cột trong bảng là các thuộc tính. Trên cơ sở mô hình dữ liệu quan hệ, đến nay đã phát triển thêm một số loại mô hình khác nhau nhằm mô tả và thể hiện thế giới thực một cách chính xác và phù hợp như mô hình quan hệ thực thể ( Entily Relationship Model), mô hình dữ liệu hướng đối tượng ( Object Oriented Model ),... Theo cách nhìn của người sử dụng thì một cơ sở dữ liệu quan hệ là một tập các bảng biến đổi theo thời gian. Với ưu điểm về tính cấu trúc đơn giản và khả năng hình thức hoá phong phú cơ sở dữ liệu quan hệ dễ dàng mô phỏng các hệ thống thông tin tiết kiệm có tính độc lập cao, dễ sửa đổi, bổ xung cũng như khai thác dữ liệu. Mặt khác, việc khai thác và áp dụng kĩ thuật tổ chức và sử dụng bộ nhớ cho phép cài đặt các cơ sở dữ liệu quan hệ đem lại hiệu quả cao và làm cho cơ sở dữ liệu khẳng định được ưu thế của mình trên thị trường. CHƯƠNG II : CÁC PHỤ THUỘC HÀM Đặt vấn đề: - Khái niệm thực thể: Là đối tượng có trong thực tế mà chúng ta cần khảo sát và giải quyết nhiều vấn đề liên qua đến đối tượng này. Ví dụ: Thực thể sinh viên, thực thể con người, thực thể hệ thống kế toán tài vụ ,... Thông thường người ta chia các thực thể lớn thành các thực thể đơn giản hơn và đến khi một thực thể được mô tả bàng một tệp dữ liệu. Hệ thống quản lý công chức Hệ thống công chức do ban tổ chức cán bộ chính phủ Hệ thống công chức do ban tổ chức TW Các bộ, ngành Tỉnh, Huyện Tổng công đoàn Hội phụ nữ Các ban - Các thuộc tính: Là đặc trưng của một thực thể. Các thuộc tính dùng để phân biệt thực thể đó với thực thể khác. Ví dụ: Thực thể sinh viên có các thuộc tính sau :Mã_SV, Họ_tên, Giới_tính, Nơi_sinh, Quê_quán ... Nếu một thực thể được mô tả bằng một tệp dữ liệu thì các thuộc tính được mô tả bằng các trường dữ liệu. Như vậy thực thể là một bảng thì thuộc tính là một cột trong bảng đó. - Thể hiện của một thực thể: Một mô tả cụ thể của thực thể đó. Nếu thực thể là một tệp dữ liệu thì thể hiện là một dòng ( bản ghi ) của tệp dữ liệu đó . Từ ví dụ thực thể Sinh viên trên chúng ta mô tả một cách tổng quát các thuộc tính của thực thể. Mã_SV Họ tên Giới tính Năm sinh Quê quán 01 Nguyễn văn Giang Nam 01-01-1977 Phú thọ 02 Nguyễnviệt Cường Nam 12-5-1974 Vĩnh phúc 03 Phan Hoa Nữ 13-7-1978 Hà tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Hoàng quốc Khanh Nam 12-6-1976 Hà nội Dễ thấy rằng thực thể sinh viên trên chính là tệp dữ liệu mô tả về thông tin của các Sinh viên của một trường nào đó, với năm thuộc tính cụ thể gồm: Mã_sv, Họ_tên, Giới_tính, Năm_sinh, Quê_quán. Trong tệp dữ liệu trên có 20 bản ghi. II.1. PHỤ THUỘC HÀM II.1.1. Khái niệm về phụ thuộc hàm Trên cơ sở nghiên cứu tệp dữ liệu người ta định nghĩa chính xác tệp dữ liệu như sau ( đôi khi người ta còn gọi là quan hệ ). Cho trước R = { a1, a2,..., an } là tập hữu hạn và không rỗng, nó được gọi là tập các thuộc tính. Mỗi thuộc tính ai ( i = 1,2,...,n ) là một miền giá trị D(ai ) và D(ai) có thể trùng nhau được. Khi đó r = { h1,h2,...,hm } được gọi là các tệp dữ liệu quan hệ nếu h: R®È D, ai ÎR(aI) Với điều kiện hj( ai ) Î D(aI) Ví dụ: Sinh viên = {Mã_sv, Họ_tên,....} Với định nghĩa này chúng ta lập được một bảng tương đương sau: a1 a2 ... an h1(a1) h1(a2) ... h1(an) h2(a1) h2(a2) . .. h2(an) . . . . . . . . . . . . hm(a1) hm(a2) . . . hm(an) Định nghĩa này là quan trọng nhất và nó là hạt nhân của mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ. Vì h1, h2, ..., hm là các thành phần trong tập hợp của tệp dữ liệu nhở. Một hạn chế là không chấp nhận có hai dòng giống nhau trong một tệp dữ liệu, có nghĩa là: " i ¹ j Þ hI ¹ hj . Đứng về khía cạnh sử dụng, một hệ cơ sở dữ liệu quan hệ đó là một tập hợp các tệp dữ liệu được định nghĩa như sau: Một hệ cơ sở dữ liệu là một tập hợp hữu hạn các tệp dữ liệu đã được định nghĩa ở trên và chúng được thay đổi theo thời gian. Đây là hệ cơ sở dữ liệu quan hệ. II.1.2. Định nghĩa phụ thuộc hàm Cho trước R = { a1, a2,..., an }là tập các thuộc tính và r = { h1, h2, ..., hm }. Giả sử A,B Í R. Khi đó ta nói rằng B phụ thuộc hàm vào A hoặc A xác định hàm vào B : Nếu mọi hi, hj Î r ta có ( a ÎA mà hi(a) = hj(a)) => ( bÎB ( hi(b) = hj(b))) Þ A®B Có thể thấy rằng, B mà phụ thuộc hàm vào A nếu hai dòng bất kỳ mà các giá trị của tập thuộc tính A bằng nhau từng cặp một thì kéo theo các giá trị trên tập thuộc tính B cũng phải bằng nhau từng cặp một. Ví dụ: Trong quan hệ Xe_máy có các thông tin về số xe, mác của xe, màu của xe, giá xe, năm sản xuất. Số xe Mác Màu Giá Năm sản xuất 100 Honda Đỏ 500 1996 300 Dream Mận 700 1998 500 Wave Xanh biển 1000 1999 Theo định nghĩa, trong quan hệ trên, nếu số xe xác định màu xe thì khi biết số xe người ta biết ngay được màu của xe, giá trị về màu này là duy nhất. Số xe ® Màu Số xe ® Giá Mác ® Giá Định nghĩa phụ thuộc hàm là rất quan trọng, nó nói lên mối quan hệ ngữ nghĩa trong nội bộ một tệp dữ liệu. Mối quan hệ ngữ nghĩa này được thể hiện giữa các tập cột. Ngoài phụ thuộc hàm ra, hiện nay người ta đã phát hiện ra trên ba mươi loại phụ thuộc dữ liệu. Người ta cũng chỉ ra tương ứng mỗi phụ thuộc dữ liệu ấy là một lớp bài toán có trong thực tiễn. Nhưng phổ thông nhất vẫn là phụ thuộc hàm, vì nó đơn giản và nó phổ thông theo nghĩa nếu tập cột A xác định hàm với tập cột B có nghĩa rằng A là xác định duy nhất B. Giả sử: f(x1) = y1, f(x2) = y2. Nếu x1 = x2 Þ f(x1) = f(x2) Þ y1 = y2 Với ý nghĩa đơn giản và phổ thông như vậy. Chỉ có phụ thuộc hàm mới đưa ra được thương trường. II.1.3. Định nghĩa hệ tiên đề Amstrong cho phụ thuộc hàm Gọi F là tập tất cả các phụ thuộc hàm đối với lược đồ quan hệ R, và X®Y là một phụ thuộc hàm, X,Y là tập con của R. Nói rằng X ®Y được suy diễn logíc từ F nếu mối quan hệ r trên R đều thoả mãn các phụ thuộc hàm của F thì cũng thoả mãn X ®Y[3]. Chẳng hạn F = {A ®B, B ®C } thì A ®C suy ra từ F. Gọi F+ là bao đóng của F, tức là tập tất cả các phụ thuộc hàm được suy diễn logíc từ F. Nếu F = F+ thì F là họ đầy đủ của các phụ thuộc hàm. Gọi R = {A1,A2,...,An}là tập các thuộc tính. X,Y,Z,W Í R. Hệ tiên đề Amstrong bao gồm : A1(phản xạ): Nếu Y Í X thì X®Y A2(tăng trưởng):Nếu Z Í R, X®Y thì XZ ® YZ A3(bắc cầu):Nếu X®Y, Y®Z thì X®Z Xét ví dụ sau: AB ® C, C ® A Cần chứng minh rằngBC ® ABC. Thật vậy từ 1. C ® A(giả thiết) 2. BC ® AB (tăng trưởng) AB ® C (giả thiết) AB ® ABC (tăng trưởng (3) thêm AB) BC ® ABC (bắc cầu từ (2) và (4)). Chúng ta có các bổ đề sau: Bổ đề 1: Hệ tiên đề Amstrong là đúng. Có nghĩa là F là tập phụ thuộc hàm đúng trên quan hệ r. Nếu X®Y là một phụ thuộc hàm được suy dẫn từ F nhờ hệ tiên đề Amstrong thì X®Y là đúng trên quan hệ r. Chứng minh: Lần lượt kiểm tra tính đúng đắn của ba đề A1,A2,A3 A1: Tiên đề A1 rõ ràng là đúng vì không thể có hai bộ bằng nhau trên X mà lại không bằng nhau trên tập con của nó . A2: Giả sử rằng quan hệ r thoả X®Y. Tồn tại hai bộ t,u sao cho t[XZ] = u[XZ] mà t[YZ] = u[YZ]. Vì rằng t[Z] = u[Z] nên để có t[YZ] # u[YZ] thì t[Y] # u[Y]. Nhưng vì t[X] = u[X]nên t[Y] # u[Y] là trái với giả thiết X®Y. Với t[YZ] = u[YZ]. A3: Cho X®Y và Y®Z đúng trên quan hệ r . Giả sử tồn tại hai bộ t và u Î r sao cho t[X] = u[X] và t[Z] # u[Z]. Từ X®Y suy ra t[X] = u[X] nên t[Y] = u[Y]. Nhưng lại có t[Y] = u[Y] và t[Z] # u[Z] là trái với giả thiết X ®Y. Do vậy t[Z] = u[Z]. Suy ra X ®Z đúng trên quan hệ r. Bổ đề 2: a. Luật hợp: nếu X ®Y và X ®Z thì X ®YZ . b. Luật tựa bắc cầu: nếu X ®Y và WY ®Z thì XW ®Z. c. Luật tách: nếu X ®Y và Z Í Y thì X ®Z . Chứng minh: a. Từ X ®Y dùng luật tăng trưởng, thêm X ta có X ®XY . khi X ®Z, dùng luật tăng trưởng thêm Y ta có XY ®YZ Và cuối cùng dùng luật bắc cầu suy ra cho X ®XY và XY ®ZX có X®YZ. b. Từ X ®Y dùng luật tăng trưởng thêm W có WX ®WY . Dùng luật bắc cầu cho WX ®WY và WY ®Z suy ra WX ®Z . c. Vì Z Í Y nên X ®Z ( theo luật phản xạ ) Dùng luật bắc cầu cho X ®Y và Y ®Z có X ®Z. Một hệ quả quan trọng của luật tách và luật hợp là nếu X ®Y suy ra X®Ai với mọi A i Î Y. Để dễ dàng chứng minh cho tính đầy đủ của hệ tiên đề Amstrong, ở đây đưa thêm khái niệm bao đóng của tập các thuộc tính của tập các phụ thuộc hàm. Gọi F là tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính R, X Í R. X+ là bao đóng của X đối với F được định nghĩa như sau: X+ = {A \ X ®A ÎF+ } Nói cụ thể X+ là tập tất cả các thuộc tính A mà phụ thuộc hàm X®A có thể được suy diễn logíc từ F nhờ hệ tiên đề Amstrong. Bổ đề 3: X ®Y suy diễn từ hệ tiên đề Amstrong khi và chỉ khi Y Í X+ Chứng minh: Giả sử Y = A1,A2,,...,An với A1,A2,,...,An là các thuộc tính và Y Í X+. Từ định nghĩa X+ có X®Ai , áp dụng hệ tiên đề Amstrong cho mỗi i có X®Ai, Ai ÎY, nhờ luật tách. Từ đó suy ra Y Í X+ . Định lý 1: Hệ tiên đề Amstrong là đúng và đầy đủ. Chứng minh: Tính đúng đắn của hệ tiên đề đã được chứng minh qua bổ đề 1.ở đây chỉ cần chứng minh tính đầy đủ tức là nếu X®Y không thoả trên r thì X®Y không thể suy diễn từ F. Gọi F là tập các phụ thuộc hàm trên tập thuộc tính R. Giả sử rằng X®Y là không thể suy dẫn được từ hệ tiên đề. Xét quan hệ r gồm hai tập sau: 11...1 11...1 11...1 00...0 Các thuộc tính thuộc X+ Các thuộc tính còn lại Trước hết cần chỉ ra rằng tất cả các phụ thuộc hàm thuộc F đều thoả r. Thật vậy, giả sử (V®W) ÎF nhưng không thoả trên r. Do đó V Í X+ , hoặc hai bộ của r sẽ không bằng nhau ít nhất trên một thuộc tính của V. Như vậy W không thể là tập con của X+ hoặc V ® W thoả trên r . Gọi A Î W nhưng A không thuộc X+. Vì XV Î X+, X®V suy ra từ bổ đề 3 .( X®V Î F ) do vậy, nhờ luật bắc cầu suy ra X®A, nhưng do A không thuộc X+ như giả thiết, do vậy là mâu thuẫn. Từ đó kết luận rằng mỗi (V®W) Î F đề thoả trên r . Bây giờ cần chứng minh rằng X®Y không thoả trên r. Giả sử rằng X®Y là thoả trên r. Như trên có X Í X+ và suy ra Y Í X+, nếu không hai bộ là bằng nhau trên X nhưng không bằng nhau trên Y. Theo bổ đề 3 thì X®Y có thể suy ra được từ hệ tiên đề, điều đó là hoàn toàn mâu thuẫn. Do vậy X®Y không thể đúng trên r. Đến đây có thể kết luận rằng: Nếu X®Y không suy dẫn được từ hệ tiên đề Amstrong thì X®Y không suy dẫn logíc được từ F. Hệ tiên đề đầy đủ. II.1.4. Phủ của các tập phụ thuộc hàm Cho tập phụ thuộc hàm F, hãy thay thế F bằng phụ thuộc G sao cho G vẫn đảm bảo đúng chức năng của F. Khi đó ta gọi G là phủ của tập phụ thuộc hàm F. Bổ đề 4: Mỗi ttập phụ thuộc hàm F đều được phủ bằng tập các phụ thuộc hàm G sao cho G mà vế phải các phụ thuộc hàm đó bao gồm không quá một thuộc tính . Chứng minh: Gọi G là tập các phụ thuộc hàm X®A sao cho với X®Y thuộc F thì A Î Y . Từ X®Y suy ra X®A (theo luật tách) Do vậy G Í F+ . Ngược lại, có F Í G+ vì nếu Y = A1,...,An thì X®Y được suy ra X®A1,. . . , X®An nhờ luật hợ