Đề tài Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10

1 CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU 1. Giới thiệu Giáo dục tính tích cực, chủ động và phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn đề cho học sinh là vấn đề cần được quan tâm trong mọi thời đại. Công nghệ thông tin ngày càng có vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực, trong đó có giáo dục. Nó đã, đang và sẽ có tác động trực tiếp đến nội dung, phương tiện và phương pháp dạy học. Vì vậy, mỗi nhà trường THPT cần trang bị cho học sinh kỹ năng không ngừng tự bổ sung kiến thức và đổi mới tri thức, phát triển kỹ năng tích cực học tập của học sinh, biết tự mình thu thập tri thức và vận dụng tri thức một cách sáng tạo. Nhằm đáp ứng nhu cầu trên, hiện nay, các chương trình giáo dục toán phổ thông thường tạo điều kiện cho tất cả học sinh để: Xây dựng kiến thức toán thông qua giải quyết vấn đề; Giải quyết vấn đề nảy sinh từ toán học và những hoàn cảnh khác; Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề; Theo dõi và phản ánh quá trình giải quyết vấn đề. Theo PISA (chương trình đánh giá Học sinh Quốc tế - Programme for International Student Assessment) thì học sinh lớp 10 đang ở lứa tuổi mười lăm, lứa tuổi vừa hoàn thành phổ cập chính thức bậc trung học cơ sở, cũng là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quyết định, ở đó năng lực toán của học sinh sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và nghề nghiệp sau này. Do đó, để hình thành các năng lực về toán cho học sinh là điều rất quan trọng. Trong chương trình Đại số lớp 10, có rất nhiều khái niệm, định lý… khá trừu tượng và vẫn còn nhiều giáo viên dạy theo lối truyền thụ, thiếu mô hình trực quan động nên học sinh thường gặp khó khăn trong việc nắm khái niệm cũng như nhầm lẫn các khái niệm. Khi đó, sẽ xảy ra trình trạng học sinh phải học thuộc định nghĩa, định lý và vận dụng máy móc vào giải bài tập mà không hiểu được bản chất của các khái niệm cơ bản. Chúng tôi cho rằng, các phần mềm động có thể giúp ích cho việc học toán, nghĩa là: thông qua các biểu diễn 2 trực quan động được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Skepchpad (GSP), giáo viên có thể sử dụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề, khảo sát, giải quyết vấn đề, củng cố, kiểm tra và đánh giá, thông qua đó học sinh có thể phát hiện và giải quyết vấn đề một cách dễ dàng, nhanh chóng. 1.1. Nhu cầu nghiên cứu Giải quyết vấn đề là mục tiêu chính của việc học toán. Với học sinh, đó là kỹ năng cơ bản cho công việc ở tương lai. Khác với một số nước trên thế giới, các hoạt động tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động chưa có vị trí riêng trong nội dung dạy học hay các chủ đề của chương trình toán ở nước ta. Do đó, đa số học sinh đều bỡ ngỡ khi tiếp xúc với các kiểu nhiệm vụ này, đặc biệt là sử dụng các biểu diễn trực quan động để giải quyết các vấn đề toán học và thực tế. Phương pháp dạy học luôn cần được đổi mới để phù hợp với các yêu cầu của thời đại và mỗi người giáo viên luôn mong muốn mang đến cho học sinh những giờ học thực sự hiệu quả, giáo viên truyền đạt đầy đủ kiến thức nhưng mất không quá nhiều thời gian, học sinh chủ động hoàn toàn. Lấy ví dụ, để rút ra được định lý về dấu của tam thức bậc hai, giáo viên phải có 6 đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng với các trường hợp. Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào để học sinh có thể rút ra được kết luận mà không phải dùng nhiều hơn một đồ thị? không mất quá nhiều thời gian trên lớp?...Sử dụng biểu diễn trực quan động là một câu trả lời phù hợp. Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, nâng cao các năng lực toán cho học sinh, việc đổi mới phương pháp cần được thực hiện theo hướng tích cực hoá người học, cần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động, tích cực và sáng tạo. Thích hợp với định hướng đó có nhiều xu hướng dạy học nhằm nâng cao năng lực đại số với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động trên máy tính. 1.2. Đề tài nghiên cứu Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc nâng cao năng lực toán của học sinh THPT nói chung và trong việc nâng cao năng lực đại số của 3 học sinh lớp 10 nói riêng là một nhiệm vụ thiết thực, có ý nghĩa. Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức và nâng cao năng lực toán học cho học sinh. Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng nó vào giảng dạy cần được thực hiện một cách phổ biến. Chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10”. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của nghiên cứu “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10” là:  Lên ý tưởng và thiết kế các mô hình động, phù hợp với khả năng của học sinh để học sinh có thể thực hiện được các thao tác trên mô hình nhằm đạt hiệu quả trong giờ dạy.  Nắm bắt được năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và các vấn đề thực tế bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động.  Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10. 3. Câu hỏi nghiên cứu Dựa vào các mục đích ở trên, nghiên cứu này sẽ trả lời ba câu hỏi sau:  Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao trong giảng dạy và học tập?  Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Những năng lực đại số nào mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và thực tế thông qua thao tác trên các biểu diễn trực quan động?  Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Các bài toán có sử dụng biểu diễn trực quan động có vai trò như thế nào đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10? 4. Định nghĩa các thuật ngữ  Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công 4 cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi, 2003, [14, tr. 217).  Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh Phúc, 2010, [4]).  Biểu diễn bội: BDB là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau (Minh Phúc, 2010, [4]).  Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng.  Biểu diễn trực quan động: BDTQĐ trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán (Minh Phúc, 2010, [4]).  Vấn đề: Vấn đề là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [10]).  Suy luận: Suy luận chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L. D.,2004, [15]).  Tư duy: là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề. Tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng.  Tư duy toán học: là khả năng của người học để đạt một kết luận có cơ sở từ những dữ liệu toán học đã cho. Đặc trưng quan trọng nhất của tư duy toán học là tính có vấn đề, tư duy phải được gắn với những tình huống có vấn 5 đề. Học sinh phải đặt được giả thuyết, rồi từ những mối liên hệ trong tình huống có vấn đề để đi đến kết luận và lý giải kết quả đạt được. Những kết quả này sẽ được tổng hợp thành những ý tưởng toán học mới. Ở đây, chúng ta chia thành bốn thành phần chính là nhắc lại, hiểu, phê phán và sáng tạo. Với quan điểm này thì quá trình suy luận toán học là một bộ phận của tư duy toán học, nó nằm trên mức độ tư duy nhắc lại.  Tư duy logic: là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển.  Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan hệ, suy nghĩ mới về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị.  Tư duy phê phán: là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi khía cạnh của bài toán hay tình huống. Tư duy phê phán thể hiện qua việc học sinh có khả năng nhận ra giả thiết và các yêu cầu của bài toán, hoặc phát hiện được tính hợp lý trong các điều kiện của bài toán, tính đầy đủ của lời giải...Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào các yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin. 5. Ý nghĩa của nghiên cứu  Thứ nhất: Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy và người học những mô hình động có thể sử dụng trong giờ học nhằm hỗ trợ học sinh giải quyết một số vấn đề.  Thứ hai: Kết quả thăm dò sẽ cung cấp một cái nhìn khách quan về năng lực đại số của học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động.  Thứ ba: Kết quả của nghiên cứu sẽ giúp chúng ta thấy được những vai trò của các biểu diễn trực quan động trong quá trình giúp học sinh giải quyết vấn đề. 6. Cấu trúc khóa luận Khóa luận bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và các phụ lục. Chương 1: Mở đầu 6 Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên cứu này. Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan Trong chương 2, chúng tôi trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết về biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động. Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA. Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan. Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu Trong chương 3, chúng tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế. Chương 4: Kết quả nghiên cứu Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu nêu ra ở chương 1. Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng Trong chương này, trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu từ đó lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu. 7. Tóm tắt Trong chương 1, chúng tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa một số thuật ngữ cho khóa luận. Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2. 7 CHƯƠNG 2. NHỮNG KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN 1. Giới thiệu Mục đích của chương này là xác định và làm rõ vấn đề nghiên cứu, lịch sử của vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết, cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA, biểu diễn bội và biểu diễn trực quan động, tóm tắt sơ lược các nghiên cứu trước đây liên quan đến đề tài. 2. Nền tảng lý thuyết 2.1. Lý thuyết kiến tạo Trong quá trình dạy học, điều quan trọng nhất không phải là giáo viên dạy những gì mà học sinh học được những gì. Do đó, khi dạy người giáo viên không những quan tâm đến phương pháp, nội dung giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến việc học sinh học như thế nào. Lý thuyết kiến tạo nhằm trả lời cho câu hỏi “con người học như thế nào?”. Bằng cách xây dựng lý thuyết từ những biểu diễn trực quan động, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm, định lý, hệ quả và có thể đi từ nhận biết sang hiểu nó. Về cơ bản, lý thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng.  Đồng hóa: nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;  Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với những sơ đồ nhận thức đang có. Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó. Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau:  Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;  Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người. Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể. 8 Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta. Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau. Và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ học sinh xây dựng kiến thức chính xác. Đôi khi học sinh kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể. Khi đó giáo viên cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình. Một khi học sinh nhận ra rằng tri thức được kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có thể điểu chỉnh và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp. Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình nhận thức. Một môi trường học tập tích cực gắn liền với sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của học sinh. Tích tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của học sinh. Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực. Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú và bồi dưỡng động cơ học tập (Trần Vui, 2006, [9]). 2.2. Biểu diễn bội 2.2.1. Giới thiệu Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong những chủ đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây. Biểu diễn bội cung cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái niệm toán, định lý, hệ quả được học. Điều quan trọng đặt ra là những biểu diễn nào được dùng cho những khái niệm, định lý riêng biệt. Các câu hỏi sau đây cần có được những câu trả lời xác đáng: (1) Với một khái niệm đại số, một định lý, sử dụng biểu diễn bội như thế nào để hỗ trợ học sinh nắm bắt khái niệm, định lý đó? (2) Các biểu diễn thao tác được đóng vai trò như thế nào trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán? (3) Học sinh chọn lựa các thao tác trên các biểu diễn như thế nào để giải quyết các vấn đề toán được đặt ra? Biểu diễn trực quan động với thế mạnh của mình có thể thể hiện đồng thời nhiều loại biểu diễn khác nhau và hỗ trợ tốt cho học sinh khám phá kiến thức. 9 2.2.2. Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:  Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;  Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;  Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;  Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn. Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin. (Minh Phúc, 2010, [4]). Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu. Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn: Giai đoạn phát triển Phân loại Mô tả Biểu diễn ký hiệu Sử dụng số, chữ cái và các ký hiệu toán. Biểu diễn ký hiệu Biểu diễn ngôn ngữ Sử dụng ngôn ngữ nói và viết hằng ngày như tiếng Việt, tiếng Anh. Biểu diễn biểu tượng Biểu diễn minh họa/ trực quan Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính. Biểu diễn thực thao tác được Thực hiện các thao tác lên các mô hình ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác. Biểu diễn thực tế Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối tượng. 10 2.2.3. Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng học sinh phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em. Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị. Từ đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ một biểu diễn như nhau. Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để học sinh nắm bắt được bản chất toán học của nó. Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau. Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng ta tin rằng học sinh nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích (Minh Phúc, 2010, [4]). 2.3. Biểu diễn trực quan động 2.3.1. Biểu diễn trực quan động trên máy tính Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn. Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán. Thao tác động theo William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:  Thao tác trực tiếp. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một đa giác rồi lấy một điểm di động M trên biên của đa giác đó. Bạn nắm lấy điểm M rồi kéo rê nó đến trùng với các đỉnh của đa giác. Bạn sẽ nói “Tôi kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”. 11  Chuyển động cập nhật liên tục. Các thay đổi được cập nhật liên tục trong suốt quá trình kéo rê. Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm. Chẳng hạn, nếu tính độ dài cung ¼AM trên đường tròn lượng giác thì giá trị hiển thị độ dài của cung trên màn hình sẽ thay đổi tương ứng với sự thay đổi vị trí của điểm M khi kéo rê M.  Môi trường tối ưu cho các thao tác. Thực nghiệm của bạn chỉ liên quan đến những đối tượng mà bạn thao tác. Bạn khám phá chúng, làm việc với chúng. Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ. Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn. Hơn nữa, trong những điều kiện ch